2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε μορφής, περιοδικής ή όχι, μπορεί να περιγραφεί θεωρητικά ως το άθροισμα μιας απειροστής σειράς ημιτονικών και συνημιτονικών κυματομορφών (οι οποίες λέγονται αρμονικές) συγκεκριμένης συχνότητας και πλάτους η κάθε μία, οι οποίες, όλες μαζί, συναποτελούν την αρχική κυματομορφή. Όσο μεγαλύτερος αριθμός αρμονικών συναθροίζεται, τόσο πιο ακριβής γίνεται η ανασύσταση της αρχικής κυματομορφής 2.2 Τριγωνομετρική μορφή της σειράς Fourier Κάθε περιοδική κυματομορφή που περιγράφεται με την συνάρτηση μπορεί να αναπτυχθεί σε μια σειρά Fourier εφόσον πληροί τις συνθήκες του Dirichlet, οι οποίες συνοψίζονται ως εξής: Η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής, στο διάστημα μιας περιόδου, ή να έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων ασυνέχειας. Να έχει πεπερασμένη μέση τιμή στο διάστημα μιας περιόδου. Να έχει πεπερασμένο πλήθος μέγιστων και ελάχιστων. Υπό τις προϋποθέσεις αυτές, η κυματομορφή μπορεί να γραφεί υπό την γενική μορφή μιας τριγωνομετρικής σειράς (που ονομάζεται και σειρά Fourier): (2.1) Οι συντελεστές λέγονται συντελεστές Fourier και μπορούν να υπολογιστούν από την κυματομορφή. Ο όρος αποτελεί την συνεχή συνιστώσα (DC) του σήματος, αν υπάρχει. Η περίοδος είναι η περίοδος της τριγωνομετρικής σειράς. Λέγεται και περίοδος της θεμελιώδους αρμονικής. Όλοι οι όροι της σειράς (οι αρμονικές της κυματομορφής δηλαδή) έχουν συχνότητες που είναι ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας ω της θεμελιώδους. Για τον υπολογισμό των συντελεστών πολλαπλασιάζουμε με και ολοκληρώνουμε κατά μέλη για την διάρκεια μιας περιόδου, τους όρους της σειράς:
2.2 (2.2) Όλα τα ορισμένα ολοκληρώματα είναι 0, εκτός από το: Άρα: (2.3) Ο συντελεστής προκύπτει από τον συντελεστή για n=0. Καθώς η τιμή είναι η μέση τιμή της κυματομορφής στην διάρκεια μιας περιόδου, η τιμή του μπορεί να υπολογισθεί σχετικά εύκολα από την μορφή της κυματομορφής. Για τον υπολογισμό των συντελεστών πολλαπλασιάζουμε αντίστοιχα με και ολοκληρώνουμε κατά μέλη για την διάρκεια μιας περιόδου. Οι συντελεστές θα είναι: (2.4) Μια άλλη μορφή των συντελεστών με μεταβλητή είναι η: (2.5)
2.3 Στους ανωτέρω υπολογισμούς των συντελεστών η ολοκλήρωση για την διάρκεια μιας περιόδου, δεν είναι απαραίτητο να γίνεται από 0 έως ή από 0 έως. Τα ίδια αποτελέσματα θα πάρουμε αν η ολοκλήρωση γίνει από έως, έως, ή σε οποιοδήποτε άλλο χρονικό διάστημα που αντιστοιχεί σε μια περίοδο. Ή σειρά Fourier συγκλίνει ομοιόμορφα στη συνάρτηση, σε όλα τα σημεία συνέχειας, ενώ στα σημεία ασυνέχειας συγκλίνει στο ημιάθροισμα των τιμών της συνάρτησης από δεξιά και αριστερά. Καθώς οι ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς κυματομορφές με την ίδια συχνότητα, στην ουσία είναι ίδιες μεταξύ τους, έχοντας μια διαφορά φάσης, μπορούν να συνδυαστούν σε μία κυματομορφή (ημιτονοειδή ή συνημιτονοειδή) με μία διαφορά φάσης. Έτσι η σειρά Fourier, μπορεί να εκφρασθεί και με δύο άλλες μορφές, η κάθε μία από τις οποίες θα είναι έκφραση μόνον ημιτονοειδών ή μόνον συνημιτονοειδών κυματομορφών, σύμφωνα με τις σχέσεις που ακολουθούν: (2.6) Όπου: είναι το πλάτος της κυματομορφής είναι η φάση της αρμονικής είναι η φάση της αρμονικής 2.3 Εκθετική μορφή της σειράς Fourier Καθώς το ημίτονο και το συνημίτονο μπορούν να εκφρασθούν και σε εκθετική μορφή σύμφωνα με τους τύπους: (2.7) Αντικαθιστώντας, μπορούμε να εκφράσουμε και κάθε όρο της σειράς Fourier σε εκθετική μορφή: (2.8) Θέτουμε:
2.4 (2.9) Και η εκθετική μορφή της σειράς Fourier γίνεται: { } (2.10) Για να βρούμε τους συντελεστές πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη με και ολοκληρώνουμε σε διάστημα μιας περιόδου: (2.11) Τα ολοκληρώματα στο δεξιό μέρος είναι 0 εκτός από το που είναι Άρα: ή με μεταβλητή το, (2.12) Όπως και για τα η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει σε διάστημα μιας περιόδου και όχι απαραίτητα από. Οι συντελεστές της τριγωνομετρικής σειράς Fourier μπορούν εύκολα να υπολογιστούν από τους συντελεστές της εκθετικής μορφής: (2.13)
2.5 2.4 Ο ρόλος της συμμετρίας της κυματομορφής στην σειρά Fourier Στην ανάπτυξη της σειράς Fourier, σημαντικό ρόλο παίζει η συμμετρία της κυματομορφής, κατά τρόπο ώστε ανάλογα με την συμμετρία- η σειρά μπορεί να έχει ή να μην έχει κάποιους από του όρους (π.χ. ημιτονικούς ή συνημιτονικούς). Η ιδιότητα αυτή, μιας κυματομορφής, διευκολύνει τον υπολογισμό της σειράς Fourier. Στο 1 ο Κεφάλαιο εξετάσαμε τα διάφορα είδη των κυματομορφών ως προς την συμμετρία τους. Βασικά είδαμε πως υπάρχουν οι κυματομορφές: Άρτιας συμμετρίας Περιττής συμμετρίας Συμμετρίας ημιπεριόδου Συμμετρίας τετάρτου περιόδου Άρτια συμμετρία Μια συνάρτηση καλείται άρτια αν ισχύει: Το συνημίτονο για παράδειγμα είναι άρτια συνάρτηση. To άθροισμα δύο ή περισσότερων άρτιων συναρτήσεων, είναι άρτια συνάρτηση. Με την πρόσθεση μιας σταθεράς συνιστώσας, η συνάρτηση παραμένει άρτια (σχήμα d). Οι κυματομορφές του σχήματος που ακολουθεί, παριστάνουν άρτιες συναρτήσεις. Παρατηρούμε πως οι άρτιες συναρτήσεις, είναι όλες συμμετρικές ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Περιττή συμμετρία Σχήμα 2.1 Κυματομορφές με άρτια συμμετρία Μια συνάρτηση είναι περιττή, αν ισχύει:. Το ημίτονο για παράδειγμα είναι μια περιττή συνάρτηση. Το άθροισμα δύο η περισσότερων περιττών συναρτήσεων είναι περιττή συνάρτηση (σχήμα b). Με την πρόσθεση μιας σταθεράς συνιστώσας, σε αντίθεση με το ότι συμβαίνει με την
2.6 άρτια συμμετρία, η συνάρτηση παύει να είναι περιττή, γιατί η δεν είναι πλέον ίση με την Το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Οι κυματομορφές του σχήματος που ακολουθεί είναι περιττές συναρτήσεις. Συμμετρία ημιπεριόδου Σχήμα 2.2 Κυματομορφές με περιττή συμμετρία Μια περιοδική συνάρτηση, λέμε ότι έχει συμμετρία ημιπεριόδου εάν ισχύει η σχέση:, όπου Τ είναι η περίοδος. Στο σχήμα που ακολουθεί οι δύο κυματομορφές έχουν συμμετρία ημιπεριόδου. Σχήμα 2.3 Κυματομορφές με συμμετρία ημιπεριόδου
2.7 Η αναφορά στην συμμετρία των κυματομορφών έχει ιδιαίτερη σημασία στην ανάλυσή τους κατά Fourier. Κι αυτό γιατί ανάλογα με την συμμετρία τους οι κυματομορφές έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: Αν η κυματομορφή είναι άρτια Τότε όλοι οι όροι της αντίστοιχης σειράς θα είναι μόνον συνημιτονοειδείς και άρα δεν υπολογίζουμε τους ημιτονοειδείς όρους. Σταθερός όρος θα υπάρχει, αν η κυματομορφή έχει μέση τιμή διάφορη του μηδενός. Αν η κυματομορφή είναι περιττή Η σειρά έχει μόνον ημιτονοειδείς όρους. Η κυματομορφή ενδεχομένως- μπορεί να είναι περιττή, μόνον αν της αφαιρεθεί ο σταθερός όρος. Στην περίπτωση αυτή η σειρά Fourier περιέχει, εκτός από το σταθερό όρο, μόνο ημιτονοειδείς όρους. Αν η κυματομορφή έχει συμμετρία ημιπεριόδου Η σειρά θα έχει μόνον αρμονικές περιττής τάξεως (ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς όρους), εκτός αν η συνάρτηση είναι παράλληλα περιττή η άρτια, οπότε θα έχει μόνο τους ημιτονοειδείς ή τους συνημιτονοειδείς όρους (αντίστοιχα), αλλά μόνο τους περιττούς. Τα είναι 0, για, για κάθε κυματομορφή με συμμετρία ημιπεριόδου. Μερικές κυματομορφές μπορεί να είναι περιττές ή άρτιες, ανάλογα με την θέση του κατακόρυφου άξονα. Για παράδειγμα, η τετραγωνική κυματομορφή του σχήματος (a) ικανοποιεί την συνθήκη δηλ είναι μια άρτια συνάρτηση. Η ίδια κυματομορφή μετατοπισμένη στον κατακόρυφο άξονα (σχήμα b) μετατρέπεται σε περιττή, γιατί τότε θα ισχύει η σχέση:. Αν ο κατακόρυφος άξονας μετατοπισθεί σε άλλη θέση (πέραν των δύο αυτών) τότε η τετραγωνική κυματομορφή δεν θα είναι ούτε άρτια ούτε περιττή και η σειρά Fourier θα περιέχει και ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς όρους. Μετά την ανωτέρω διαπίστωση, στην ανάλυση περιοδικών συναρτήσεων, συμφέρει να γίνεται η επιλογή της θέσης του κατακόρυφου άξονα, ώστε να έχουμε άρτιες ή περιττές συναρτήσεις, με την προϋπόθεση βέβαια ότι κάτι τέτοιο είναι δυνατό.
2.8 Σχήμα 2.4 Τετραγωνική κυματομορφή με άρτια και περιττή συμμετρία Η θέση του οριζόντιου άξονα μπορεί επίσης να απλοποιήσει την σειρά της κυματομορφής. Για παράδειγμα, η κυματομορφή του σχήματος (a) δεν είναι μια περιττή συνάρτηση. Στην περίπτωση όμως του σχήματος (b) με μετατοπισμένο τον οριζόντιο άξονα, τότε γίνεται περιττή συνάρτηση. Η αρχική δηλαδή θα είναι περιττή, αφού της αφαιρεθεί η συνεχής συνιστώσα, ή διαφορετικά, θα έχει έναν σταθερό όρο και τους ημιτονοειδείς μόνον. Όλα τα ανωτέρω που ορίστηκαν για την σειρά Fourier των κυματομορφών, ανάλογα με την συμμετρία τους, ισχύουν και για την εκθετική μορφή της σειράς. Μια άρτια κυματομορφή περιέχει μόνο συνημιτονοειδείς όρους στην τριγωνομετρική της σειρά και άρα οι συντελεστές της εκθετικής σειράς είναι καθαρά πραγματικοί αριθμοί. Μια περιττή συνάρτηση που η τριγωνομετρική της σειρά αποτελείται από ημιτονοειδείς όρους έχει καθαρά φανταστικούς συντελεστές στην εκθετική της σειρά.
2.9 Σχήμα 2.5 Πριονωτή κυματομορφή χωρίς και με περιττή συμμετρία 2.5 Γραμμικό φάσμα κυματομορφής Εάν παραστήσουμε πάνω στους άξονες x,y τα πλάτη των αρμονικών της σειράς Fourier μιας κυματομορφής, τότε η αποτύπωση αυτή λέγεται γραμμικό φάσμα. Γενικώς, οι χαμηλές αρμονικές έχουν μεγαλύτερα πλάτη από τις υψηλότερες, ενώ τα πλάτη μικραίνουν γρήγορα για κυματομορφές, με σειρές που συγκλίνουν γρήγορα. Όταν οι κυματομορφές έχουν ασυνέχειες (όπως η πριονωτή, η τετραγωνική, η τριγωνική, κ.λ.π.), τότε τα φάσματά τους έχουν αρμονικές των οποίων τα πλάτη μειώνονται αργά, καθώς οι σειρές τους έχουν αξιόλογες υψηλές αρμονικές. Γενικότερα οι κυματομορφές που έχουν ασυνέχειες, δηλαδή παρουσιάζουν απότομες εναλλαγές, για να περιγραφούν, απαιτούν υψηλές αρμονικές. Αντίθετα οι σειρές κυματομορφών χωρίς ασυνέχειες και γενικά χωρίς απότομες μεταβολές, συγκλίνουν γρήγορα και μερικές μόνο αρμονικές είναι αρκετές για να αποδώσουν ικανοποιητικά την κυματομορφή. Αυτή η γρήγορη σύγκλιση φαίνεται από το γραμμικό φάσμα, όταν τα πλάτη των αρμονικών ελαττώνονται γρήγορα ώστε πέρα από την 5 η και 6 η αρμονική να είναι ασήμαντα. Οι διαπιστώσεις αυτές θα γίνουν πιο εμφανείς και κατανοητές στα παραδείγματα που θα ακολουθήσουν.
2.10 2.6 Παραδείγματα υπολογισμού της σειράς Fourier σε κυματομορφές 1. Να υπολογισθεί η σειρά Fourier της κυματομορφής του σχήματος: Σχήμα 2.6 Πριονωτή κυματομορφή Για ή κυματομορφή είναι συνεχής και δίνεται από την Σε ένα μεγαλύτερο διάστημα έχει σημεία ασυνέχειας στα Οι συνθήκες Dirichlet ικανοποιούνται., όπου [ ] Δηλαδή η μέση τιμή της κυματομορφής θα είναι: Οι συντελεστές α n : [ ] ( ) Δηλαδή η σειρά δεν θα έχει όρους συνημιτόνων. Οι συντελεστές b n :
2.11 [ ] Δηλαδή η σειρά Fourier θα είναι τελικά: Στο ίδιο αποτέλεσμα θα οδηγηθούμε αν αναπτύξουμε την εκθετική σειρά Fourier της κυματομορφής. [ ] Η εκθετική μορφή της f(t) θα είναι, σύμφωνα με την σχέση που υπολογίστηκε: { } Δηλαδή η f(t): Οι συντελεστές των συνημιτινοειδών όρων της τριγωνομετρικής σειράς είναι: Άρα η τριγωνομετρική σειρά δεν έχει συνημιτονοειδείς όρους, αφού για κάθε. Οι συντελεστές των ημιτονοειδών όρων: ( ) Η μέση τιμή είναι 5 και η σειρά είναι: Το γραμμικό φάσμα της κυματομορφής θα είναι:
2.12 Σχήμα 2.7 Γραμμικό φάσμα πριονωτής κυματομορφής Εάν επιλέξουμε την εκθετική μορφή της σειράς Fourier, τότε οι όροι θα έχουν συχνότητες και και το πλάτος της αρμονικής τάξεως θα είναι το άθροισμα των δύο πλατών για και για. Στο φάσμα βρίσκουμε γραμμές πλάτους για και. Αν τις προσθέσουμε, βρίσκουμε το πραγματικό πλάτος της αρμονικής 2, που είναι το ίδιο με το πλάτος που βρήκαμε πριν:. Σχήμα 2.8 Γραμμικό φάσμα πριονωτής κυματομορφής Στο σχήμα που ακολουθεί, φαίνεται η ανασύσταση της αρχικής κυματομορφής με την συμμετοχή του σταθερού όρου και των πέντε (5) πρώτων αρμονικών.
2.13 Σχήμα 2.9 Ανασύσταση της πριονωτής κυματομορφής με 5 αρμονικές+dc Από το σχήμα γίνεται προφανές πως όσο περισσότερες αρμονικές συνεισφέρουν στην ανασύσταση της κυματομορφής, τόσο βελτιώνεται και προσεγγίζει στην αρχική. Στα σημεία ασυνέχειας η σειρά συγκλίνει στο ημιάθροισμα των ορίων της συναρτήσεως από δεξιά και αριστερά. Στην περίπτωσή μας, στο 0 και στο 2π, η σειρά έχει τιμή 5 (όσο ο σταθερός όρος δηλαδή), γιατί εκεί, όλοι οι ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς όροι είναι 0. Αυτά είναι τα σημεία ασυνέχειας και η τιμή της συνάρτησης σ αυτά είναι 10, όταν πλησιάζουμε από αριστερά, και 0 όταν πλησιάζουμε από δεξιά, με μέση τιμή 5. 2. Να υπολογισθεί η σειρά Fourier της κυματομορφής του σχήματος: Σχήμα 2.10 Τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας 1 Hz
2.14 Η κυματομορφή, στην γενική της μορφή θα είναι όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα: V 0 ωt π 2π 3π -V Σχήμα 2.11 Τετραγωνική κυματομορφή Η κυματομορφή, όπως φαίνεται εύκολα από το σχήμα, έχει μέση τιμή μηδενική, άρα θα είναι: a 2 0. Στο διάστημα t f t 0 V. Οι συντελεστές θα είναι: 0 είναι V f t, ενώ στο π ωt 2π είναι [ ] {[ ] [ ] } Δηλαδή η σειρά δεν περιέχει όρους συνημιτόνων. [ ] {[ ] [ ] } [ ] [ ] Δηλαδή θα είναι: b n 4V πn για n 1,3,5,, και b 0 για n 2,4,6,,. n Η σειρά Fourier της κυματομορφής θα είναι: Στην περίπτωση της κυματομορφής μας, με συχνότητα F=1 Hz (T=1 sec) και V=1 volt, θα είναι ω=2π και η σειρά: Στο σχήμα που ακολουθεί, φαίνεται η ανασύσταση της αρχικής κυματομορφής με την συμμετοχή των πέντε (5) πρώτων αρμονικών.
2.15 Σχήμα 2.12 Ανασύσταση της τετραγωνικής κυματομορφής με 5 αρμονικές Το γραμμικό φάσμα της κυματομορφής με τις αρμονικές που υπολογίσαμε φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 2.13 Το γραμμικό φάσμα της τετραγωνικής κυματομορφής Από τον υπολογισμό της σειράς φαίνεται πως έχουμε μόνο τους ημιτονοειδείς όρους των περιττών αρμονικών. Αυτό βέβαια οφείλεται, όπως είδαμε και παραπάνω εξετάζοντας την συμμετρία των κυματομορφών, στο ότι η τετραγωνική είναι περιττή (άρα έχει μόνο ημιτονοειδείς όρους) και έχει συμμετρία ημιπεριόδου (άρα έχει μόνο περιττές αρμονικές).
2.16 3. Να υπολογισθεί η σειρά Fourier της κυματομορφής f(t)=x 3 =(ωt) 3 του σχήματος: Σχήμα 2.14 Kυματομορφή f(t)=x 3 =(ωt) 3 Η συνάρτηση είναι περιοδική για [-π x < π] ή [-π ωt < π] με περίοδο 2π. Από την μορφή της κυματομορφής εξάγουμε ότι αυτή είναι: Περιττή, και άρα η σειρά Fourier δεν θα έχει όρους με συνημίτονα (a n =0) Η κυματομορφή δεν έχει σταθερή συνιστώσα: Η κυματομορφή έχει πεπερασμένο πλήθος ασυνεχειών Ολοκληρώνοντας κατά μέρη, σύμφωνα με τους κάτωθι τύπους: udv [uυ] vdu d d Θέτουμε: u du d και dv d v Οι συντελεστές των ημιτονοειδών όρων b n θα έχουν ως εξής: ([ ] ) ([ ] )
2.17 ([ ] ) ( ( ) ) Καθώς η σχέση cos(x) είναι μια άρτια συνάρτηση, θα ισχύει: cos(nπ)=cos(-nπ). Έτσι η b n θα γίνει: ( ) Θέτουμε: u du d udv [uυ] vdu και dv d v Άρα: ( ([ ] )) ( ([ ] )) ( (( ) )) Καθώς η σχέση sin(nπ)=0, για κάθε ακέραιο n, η b n θα γίνει: ( ( )) ( ( )) Θέτουμε: u du d udv [uυ] vdu και dv d v ( [ [ ] ]) ( [ [ ] ]) ( [ ( ) [ ] ]) Καθώς η σχέση cos(x) είναι άρτια, ισχύει: cos(nπ)=cos(-nπ). Επίσης ισχύει: Δεδομένου ότι το ολοκλήρωμα του ημιτόνου σε μια περίοδο είναι μηδέν: [ ]
2.18 Ο συντελεστής θα γίνει: ( [ ]) ( ) Η σειρά Fourier της κυματομορφής θα είναι: [ ] Και καθώς όλοι οι όροι α n είναι μηδενικοί, θα έχουμε: Και στην τελική της μορφή: [ ]= Η ανασύσταση της κυματομορφής για διάφορο πλήθος αρμονικών φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Σχήμα 2.15 Ανασύσταση της κυματομορφής f(t)=x 3 =(ωt) 3
2.19 4. Να υπολογισθεί η σειρά Fourier της κυματομορφής f(t)=x 2 =(ωt) 2 του σχήματος: Σχήμα 2.16 Κυματομορφή f(ωt) =(ωt) 2 ή f(x)=x 2 Η συνάρτηση είναι άρτια (συμμετρική στον κατακόρυφο άξονα) και περιοδική με περίοδο 2π. Άρα αφού είναι άρτια θα έχει μόνον τους συνημιτονικούς όρους με τους συντελεστές α n. [ ] ( ) Θέτουμε: u du d udv [uυ] vdu και dv d v Άρα: ([ ] ) ([ ] ) (( ) ) ( ) Θέτουμε: u du d udv [uυ] vdu και dv d v Άρα:
2.20 ([ ] ) ([ ] ) (( ) ) ( ( )) ( ) [ ] Και καθώς όλοι οι όροι b n είναι μηδενικοί, θα έχουμε: Και στην τελική της μορφή: Στο σχήμα που ακολουθεί, φαίνεται η ανασύσταση της αρχικής κυματομορφής με την συμμετοχή των πέντε (5) πρώτων αρμονικών. Σχήμα 2.17 Ανασύσταση της κυματομορφής με 9 αρμονικές
2.21 5. Να υπολογισθεί η σειρά Fourier της κυματομορφής του σχήματος: Σχήμα 2.18 Κυματομορφή f(x) Η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο 2π και περιγράφεται από την σχέση: { [ ] [ ] Θέτουμε: u du d udv [uυ] vdu και dv d v Άρα: ([ ] ) [ ] [ ( ) [ ] ] ( ) [ [ ] ] [ ] {
2.22 ([ ] ) [ ] [( ) [ ] ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) Και στην τελική της μορφή: [ ] Στο σχήμα που ακολουθεί, φαίνεται η ανασύσταση της αρχικής κυματομορφής με την συμμετοχή των πέντε (5) πρώτων αρμονικών. Σχήμα 2.19 Ανασύσταση της κυματομορφής με 5 αρμονικές
2.23 2.7 Το φαινόμενο του Gibbs Στην ανάλυση των κυματομορφών με την μέθοδο της σειράς Fourier, παρουσιάζεται, σε μερικές περιπτώσεις, μία παραμόρφωση στην σύνθεση της κυματομορφής, η οποία είναι γνωστή ως φαινόμενο Gibbs. Το φαινόμενο αυτό παρουσιάζεται εκεί που υπάρχουν ασυνέχειες, σε μια κυματομορφή που είναι παραγωγίσιμη κατά τμήματα. Για την ιστορία αναφέρουμε πως το φαινόμενο παρατηρήθηκε για πρώτη φορά το 1848 από τον Wilbraham. Το 1898 ο Albert Michelson θα κατασκευάσει ένα μηχανικό σύστημα που υπολογίζει την σειρά και το άθροισμα Fourier ενός σήματος που δέχεται στην είσοδό του. Θα παρατηρήσει πως οι ασυνέχειες ενισχύονται παρ όλο που αυξάνεται ο αριθμός των αρμονικών. Και ενώ ο Albert Michelson αποδίδει το φαινόμενο σε κατασκευαστικό λάθος του συστήματός του, ο Gibbs θα αποδείξει πως το φαινόμενο έχει μαθηματική προέλευση και παρουσιάζεται σε γενικευμένες συνθήκες. Το 1906 ο Maxime Bôcher θα δώσει την πρώτη ικανοποιητική ερμηνεία του φαινομένου, το οποίο και θα αποκαλέσει φαινόμενο του Gibbs. Θα μπορούσαμε να πούμε πως το φαινόμενο είναι, κατά κάποιο τρόπο, ένα «σφάλμα προσέγγισης», μόνο όμως στα σημεία που υπάρχουν ασυνέχειες. Σχήμα 2.20 Φαινόμενο Gibbs με διαφορετικό αριθμό αρμονικών Μπορείτε να βρείτε στο διαδίκτυο, διάφορες εφαρμογές για την κατανόηση και την διαδραστική απεικόνιση της ανάλυσης Fourier. Παρατίθενται μερικές διευθύνσεις προς τούτο: http://www.jhu.edu/~signals/fourier2/index.html http://en.wikipedia.org/wiki/fourier_series http://www.sosmath.com/fourier/fourier1/fourier1.html http://www.falstad.com/fourier/e-index.html http://fr.wikipedia.org/wiki/ph%c3%a9nom%c3%a8ne_de_gibbs Υπολογισμός ολοκληρωμάτων http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=dc816cd78d306d7bda61f6facf5f17f7 http://www.integral-calculator.com/#