ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΗ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ (ΤΥΠΟΥ YARKOVSKY) ΣΤΗ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΑΣΤΕΡΟΕΙ ΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Πτυχιακή Εργασία ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΗ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ (ΤΥΠΟΥ YARKOVSKY) ΣΤΗ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΑΣΤΕΡΟΕΙ ΩΝ Μυρίσας Μαγκούνης Αθανάσιος 12694 Επιβλέπων Καθηγητής Τσιγάνης Κλεοµένης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2013

Περίληψη Στην παρούσα εργασία µελετούµε την επίδραση της δύναµης Yarkovsky στους Τρωικούς αστεροειδείς του ία. Στα δύο πρώτα κεφάλαια περιγρά- ϕουµε τις ϐασικές αρχές της Ουράνιας Μηχανικής (πρόβληµα τριών σωµάτων, σηµεία ισορροπίας, συντονισµοί) καθώς και τους Τρωικούς αστεροειδείς (τροχιές, ιδιότητες, εξέλιξη). Στο τρίτο κεφάλαιο κάνουµε µια εισαγωγή στο ϕαινόµενο Yarkovsky καθώς και στον ϱόλο που παίζει στην κίνηση των α- στεροειδών της κύριας Ϲώνης. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο µελετούµε την δυναµική συµπεριφορά των Τρωικών του ία υπό την επίδραση δυο τυπικών ταχυτήτων Yarkovsky. Βρίσκουµε και σχολιάζουµε τις κατανοµές των διαφυγόντων σωµατιδίων, µελετούµε τις µεταβολές του µεγάλου ηµιάξονα και της εκκεντρότητας και εν τέλει κάνουµε κάποιες εκτιµήσεις στην κατανοµή τους µε ϐάση τους χρόνους διαφυγής τους.

Abstract In this current thesis we study the affection of the Yarkovsky force on the Jupiter Trojans. In the first two chapters we describe some basics of Celestial Mechanics (three body problem, equilibrium points, resonances) as well as the Jupiter Trojans (orbits, properties, evolution). In the third chapter we make an introduction to the Yarkovsky effect and how it comes in the motion of main belt asteroids. In the fourth and final chapter we study the dynamical behaviour of Jupiter Trojans under the affection of two typical Yarkovsky values. We find and discuss the distributions of the escape test particles, we study the variations of the semi-major axis and the eccentricity and finally we make some estimates of the distributions based on their escape times.

Περιεχόµενα 1 Στοιχεία Μηχανικής 1 1.1 Εισαγωγή............................. 1 1.2 Το πρόβληµα των δύο σωµάτων................. 2 1.3 Στοιχεία της τροχιάς....................... 4 1.4 Το πρόβληµα των τριών σωµάτων................. 6 1.4.1 Το περιορισµένο κυκλικό πρόβληµα των τριών σωµάτων. 6 1.4.2 Ολοκληρώµατα της κίνησης............... 9 1.4.3 Ισορροπία - σηµεία Lagrange.............. 11 1.5 ιαταραχές στην κίνηση..................... 13 1.5.1 Η παρελκτική συνάρτηση................. 13 1.5.2 Συντονισµοί και χάος................... 15 2 Οι Τρωικοί αστεροειδείς 17 2.1 Εισαγωγή............................. 17 2.2 Οι Τρωικοί αστεροειδείς του ία................. 17 2.2.1 Ονοµατολογία....................... 17 2.3 Οι πρώτες παρατηρήσεις..................... 19 2.4 Πλήθος και µάζα......................... 20 2.5 Τροχιές.............................. 21 2.6 Φυσικές ιδιότητες......................... 23 2.6.1 Περιστροφή........................ 23 2.6.2 Σύσταση.......................... 23 2.7 Εξέλιξη των Τρωικών....................... 24 3 Το ϕαινόµενο Yarkovsky 26 3.1 Εισαγωγή............................. 26 3.2 Βασικές αρχές.......................... 27 3.3 Μαθηµατική ανάλυση...................... 30 i

3.4 Εφαρµογές............................ 31 3.4.1 Μεταφορά αντικειµένων από την κύρια Ϲώνη....... 31 3.4.2 ιασπορά οικογενειών αστεροειδών............ 32 4 Η επίδραση του ϕαινοµένου Yarkovsky στους Τρωικούς 33 4.1 Εισαγωγή............................. 33 4.2 Περιγραφή του µοντέλου..................... 34 4.3 Αποτελέσµατα........................... 38 4.3.1 Ποσοστά διαφυγόντων................... 38 4.3.2 Μεταβολές των a και e.................. 43 4.3.3 Χρόνοι ιαφυγής..................... 48 4.4 Σύνοψη και συµπεράσµατα................... 51 Α Συµπλεκτικοί αλγόριθµοι 52 ii

Κεφάλαιο 1 Στοιχεία Μηχανικής 1.1 Εισαγωγή Από πολύ παλιά ο άνθρωπος έστρεψε το ϐλέµµα του στον ουρανό. Ανάµεσα στα αντικείµενα που έβλεπε παρατήρησε κάποια τα οποία κινούνταν διαφο- ϱετικά (πλανήτες) σε σχέση µε τα υπόλοιπα (απλανείς). Με το πέρασµα των χρόνων ανακάλυψε νέες µεθόδους παρατήρησης του ουρανού. Γύρω στο 1609 ο Γαλιλαίος, πρώτος, χρησιµοποίησε το τηλεσκόπιο για αστρονοµική παρατήρηση. Με τα τηλεσκόπια όµως άρχισε σιγά σιγά να α- νακαλύπτεται το Ηλιακό Σύστηµα. Σώµατα µικρότερα των πλανητών και του ήλιου ανακαλύπτονταν συνέχεια. Τέτοια σώµατα ήταν οι κοµήτες, οι αστε- ϱοειδείς, οι πλανητικοί δακτύλιοι κ.τ.λ. Το µεγάλο ερώτηµα των αστρονόµων και γενικά των επιστηµώνων ήταν πώς ϑα µπορούσαν να µελετήσουν την κίνηση των σωµάτων αυτών. Τα πρώτα ϐήµατα έγιναν λίγο πριν τον Γαλιλαίο, γύρω στο 1605, όταν ο Johannes Kepler µε ϐάση τις παρατηρήσεις της τροχιάς του Άρη, υπολόγισε τις διάφορες ϑέσεις της Γης και εξήγαγε τους τρεις περίφηµους νόµους του για τις τροχιές των πλανητών οι οποίοι είναι οι εξής : Οι πλανήτες περιφέρονται γύρω από τον Ηλιο σε ελλειπτικές τροχιές µε τον Ηλιο να καταλαµβάνει την µια από τις δυο εστίες. Το διάνυσµα ϑέσης του πλανήτη ως προς τον Ηλιο διαγράφει ίσα εµβαδά σε ίσους χρόνους. Τα τετράγωνα των περιόδων περιφοράς είναι ανάλογα των κύβων των µεγάλων ηµιαξόνων των ελλείψεων. 1

Η κορύφωση της µελέτης της κίνησης των ουρανίων σωµάτων ήρθε µε την ανακάλυψη του απειροστικού λογισµού από τον Isaac Newton και την χρήση του στην επίλυση του προβλήµατος των δύο σωµάτων αλλά και άλλων προβληµάτων της ϕυσικής και των µαθηµατικών. Οι ιδέες του διατυπώθηκαν στο περίφηµο τρίτοµο έργο Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Μαθηµατικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας). Σχήµα 1.1: Johannes Kepler, Galileo Galilei, Isaac Newton 1.2 Το πρόβληµα των δύο σωµάτων Σύµφωνα µε την ανάλυση των Murray και Dermott (1999) έστω το σύστηµα των σωµάτων Σ 1 και Σ 2 µε µάζες m 1 και m 2 αντίστοιχα. Οι εξισώσεις των σωµάτων αυτών είναι R 1 = Gm 2 (R 2 R 1 ) R 2 R 1 3 (1.1) R 2 = Gm 1 (R 2 R 1 ) R 2 R 1 3 (1.2) όπου R 1 και R 2 είναι οι διανυσµατικές ακτίνες των σωµάτων και G η σταθερή της ϐαρύτητας. Αν ϑέσουµε r = R 2 R 1 το διάνυσµα της σχετικής ϑέσης των δύο σωµάτων, τότε οι παραπάνω εξισώσεις µετασχηµατίζονται στην εξίσωση r = G (m 1 + m 2 ) r 3 r (1.3) Η τελευταία εξίσωση περιγράφει την κίνηση του κέντρου µάζας του συστήµατος των δύο σωµάτων ως προς την αρχή αδρανειακού συστήµατος αναφοράς. 2

κύκλος e = 0 a > 0 p = a έλλειψη 0 < e < 1 a > 0 p = a(1 e 2 ) παραβολή e = 1 a p = 2q υπερβολή e > 1 a < 0 p = a(e 2 1) Πίνακας 1.1: Οι κωνικές τοµές Μπορεί να λυθεί αναλυτικά και να µας δώσει την µορφή της τροχιάς. Για να γίνει αυτό απαιτείται η γνώση των αρχικών συνθηκών της κίνησης, της ϑέσης r(0) και της ταχύτητας ṙ(0). Η ενέργεια του συστήµατος E = 1 2 µυ2 Gm 1m 2 r 2 και η στροφορµή L = µr ṙ αποτελούν τα δύο ολοκληρώµατα της κίνησης, σταθερές δηλαδή που παραµένουν αµετάβλητες κατά την διάρκεια της κίνησης. Η τελική λύση είναι η τροχιά του σώµατος Σ 2 µε µάζα, την ανηγµένη µάζα του συστήµατος µ = m 1m 2 m 1 +m 2 που περιφέρεται γύρω από το ελκτικό κέντρο το οποίο κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Η εξίσωσή της είναι αυτή της κωνικής τοµής : r = p 1 + e cos(ϑ ϖ) (1.4) όπου p η ηµιπαράµετρος της τοµής, e η εκκεντρότητα της κωνικής τοµής και ϖ το µήκος του περικέντρου δηλαδή η γωνία της γραµµής των αψίδων µε τον άξονα ϑ = 0. Πολλές ϕορές χρησιµοποιείται η αληθής ανωµαλία 1 f = ϑ ϖ αντί για τη γωνία ϑ. Οι τέσσερις περιπτώσεις διακρίνονται µε ϐάση τις τιµές των a,e,p. όπου a είναι ο µεγάλος ηµιάξονας. Οι τιµές όµως αυτές των µεγεθών αυτών εξαρτώνται από τα ολοκληρώµατα της κίνησης. a = k (1.5) 2E e = 1 + 2EL2 mk 2 (1.6) όπου k σταθερή. Για E < 0 η κίνηση είναι περατωµένη (κύκλος, έλλειψη) ενώ για E 0 η κίνηση είναι µη περατωµένη (παραβολή, κλάδος υπερβολής). Ο µεγάλος ηµιάξονας εξαρτάται µόνο από την ενέργεια ενώ η εκκεντρότητα εξαρτάται και από την ενέργεια και από την στροφορµή. Η µεγάλη επιτυχία 1 Επειδή η γραµµική ταχύτητα δεν είναι σταθερή, η f είναι µη-γραµµική συνάρτηση του χρόνου. Ετσι δικαιολογείται η χρήση της λέξης ανωµαλία. 3

Σχήµα 1.2: Η έλλειψη (0 < e < 1) της εύρεσης αναλυτικής λύσης µε τις µεθόδους του απειροστικού λογισµού ήταν ότι όχι µόνο αποδείχθηκαν οι τρεις εµπειρικοί νόµοι του Κεπλερ, αλλά και ότι εκτός από τις περατωµένες τροχιές, υπήρχαν και οι µη περατωµένες που αργότερα διαπιστώθηκε ότι είχαν οι κοµήτες. Φυσικά το µεγαλύτερο κέρδος ήταν ο νέος τρόπος αντιµετώπισης προβληµάτων, που δε στηριζόταν αποκλειστικά στην ευκλείδια γεωµετρία, αλλά στις διαφορικές εξισώσεις. 1.3 Στοιχεία της τροχιάς Το διάνυσµα ϑέσης της Γης ως προς τον Ηλιο ορίζει το επίπεδο της τροχιάς που ονοµάζεται εκλειπτικό επίπεδο. Επειδή η στροφορµή παραµένει σταθερή, το επίπεδο αυτό είναι σταθερό. Αν όµως ϑέλουµε να εξετάσουµε την τροχιά ενός τρίτου σώµατος όπως πχ. του Άρη ή ενός αστεροειδή, τότε χρησιµοποιού- µε την εκλειπτική σαν επίπεδο αναφοράς. Γενικά, η γωνία που σχηµατίζει το επίπεδο της τροχιάς µε την εκλειπτική ονοµάζεται κλίση της τροχιάς, i. Η τοµή της τροχιάς µε το επίπεδο της εκλειπτικής ορίζει την γραµµή των συνδέσµων. Το σηµείο που η τροχιά τέµνει για πρώτη ϕορά την εκλειπτική µε κατεύθυνση από κάτω προς τα πάνω ονοµάζεται αναβιβάζων σύνδεσµος, ενώ το σηµείο που η τροχιά τέµνει για πρώτη ϕορά την εκλειπτική µε κατεύθυνση από πάνω προς τα κάτω ονοµάζεται καταβιβάζων σύνδεσµος. Η γωνία που έ- χει πλευρές τον άξονα x και την ηµιευθεία της γραµµής των συνδέσµων προς τον αναβιβάζοντα σύνδεσµο ονοµάζεται µήκος του αναβιβάζοντος συνδέσµου, Ω. Η γωνία ανάµεσα στο περίκεντρο της τροχιάς και την ηµιευθεία της γραµ- µής των συνδέσµων προς τον αναβιβάζοντα σύνδεσµο ονοµάζεται µήκος του 4

Σχήµα 1.3: Τα στοιχεία της τροχιάς περικέντρου, ω. Αν η κίνηση γίνεται [ κατά) την ορθή (prograde) ϕορά, τότε η κλίση παίρνει τιµές στο διάστηµα 0, π 2 ενώ αν η κίνηση γίνεται κατά [ την ανάδροµη π (retrograde) ϕορά, η κλίση παίρνει τιµές στο διάστηµα, π]. Στην ειδική 2 περίπτωση που η κλίση τείνει στο 0 τότε το µήκος του περικέντρου είναι το ϖ = Ω + ω (1.7) και το επίπεδο της τροχιάς συµπίπτει µε το επίπεδο της εκλειπτικής. Ο µεγάλος ηµιάξονας a καθορίζει το µήκος της περιφέρειας της έλλειψης. Η εκκεντρότητα e ορίζεται ως ο λόγος της απόστασης µιας εστίας από το κέντρο της έλλειψης προς το µεγάλο ηµιάξονα και δείχνει πόσο πεπλατυσµένη ή όχι είναι η έλλειψη. Τέλος η αληθής ανωµαλία ορίζεται από την σχέση. f = ϑ ϖ (1.8) Πολλές ϕορές αντί της αληθούς ανωµαλίας χρησιµοποιείται η µέση ανωµαλία M η οποία µεταβάλλεται γραµµικά µε το χρόνο M = n(t t 0 ) (1.9) όπου n η µέση κίνηση (µέση τιµή της γωνιακής ταχύτητας) και t 0 ο χρόνος κατά τη δίοδο από το περίκεντρο. 5

Ανακεφαλαιώνοντας, χρειαζόµαστε έξι µεταβλητές για την περιγραφή του προβλήµατος των δύο σωµάτων. Αν το σύστηµα συντεταγµένων είναι το καρτεσιανό, ϑέλουµε τρεις συντεταγµένες ϑέσης (x, y, z) και τρεις συντεταγµένες ταχύτητας (υ x, υ y, υ z ). Αν το σύστηµα συντεταγµένων είναι το ηλιοκεντρικό χρειαζόµαστε τρεις µεταβλητές που καθορίζουν τον προσανατολισµό της τροχιάς (i, Ω, ω), δύο µεταβλητές που καθορίζουν το σχήµα και το µέγεθος της τροχιάς (a, e) και την µέση ανωµαλία M. 1.4 Το πρόβληµα των τριών σωµάτων Είδαµε ότι το πρόβληµα των δύο σωµάτων µπορεί να λυθεί αναλυτικά και η λύση του µπορεί να αναχθεί στην κίνηση ενός σώµατος µάζας µ = m 1m 2 m 1 +m 2 που κινείται γύρω από ένα ελκτικό κέντρο το οποίο κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Το µοντέλο όµως αυτό είναι ιδανικό και δεν παρατηρείται πουθενά. Αν κοιτάξουµε το ηλιακό σύστηµα, µπορούµε να καταλάβουµε αµέσως ότι ο Ηλιος είναι το ελκτικό κέντρο αλλά δεν υπάρχει µία µόνο µάζα που περιφέρεται γύρω από αυτόν. Οι µάζες των πλανητών είναι σηµαντικές ώστε να ασκούνται στο σύστηµα πολλές ϐαρυτικές αλληλεπιδράσεις οι οποίες ϑα αλλάζουν σηµαντικά το αποτέλεσµα του προβλήµατος των δύο σωµάτων. Γι αυτό είναι υποχρεωτική η προσθήκη µιας επιπλέον µάζας (σε πρώτη ϕάση) για να δούµε πώς ϑα αλληλεπιδράσει το σύστηµα υπό την επίδραση µόνο των ϐαρυτικών δυνάµεων. Το γενικό πρόβληµα των τριών σωµάτων µας καλεί να υπολογίσουµε τις τροχιές τριών σωµάτων που αλληλεπιδρούν ϐαρυτικά και είναι γνωστές οι αρχικές συνθήκες τους δηλαδή η αρχική ϑέση και η αρχική ταχύτητα του καθενός. Οσο και αν ϕαίνεται απλή η διατύπωσή του, ο Henri Poincare α- πέδειξε ότι δεν υπάρχει αναλυτική λύση στο γενικό πρόβληµα. Είναι ανάγκη λοιπόν να κάνουµε κάποιες απλοποιήσεις και παραδοχές ώστε να απλοποιηθεί το πρόβληµα. Αυτό όχι µόνο δεν µας ενοχλεί αλλά ταιριάζει εν µέρει και µε την µορφή του ηλιακού συστήµατος που σε πρώτη ϕάση ϑέλουµε να µελετήσουµε. 1.4.1 Το περιορισµένο κυκλικό πρόβληµα των τριών σω- µάτων Θεωρούµε δύο σώµατα µε µάζες m 1 και m 2 τα οποία κινούνται σε κυκλικές τροχιές γύρω από το κέντρο µάζας τους. Αν κάνουµε την παραδοχή ότι 6

m 1 > m 2 ώστε το κέντρο µάζας να ϐρίσκεται κοντά στο σώµα µάζας m 1 τότε ϑεωρούµε και ένα τρίτο σώµα αµελητέας µάζας το οποίο συµµετέχει στην κίνηση και δεν επηρρεάζει την κίνηση των άλλων δύο αλλά επηρρεάζεται από αυτά. Το Ϲητούµενό µας είναι η τροχιά του µικρού αυτού σώµατος. Το σύστηµα συντεταγµένων σε πρώτη ϕάση είναι αδρανειακό (X, Y, Z) µε την αρχή του καρφωµένη στο κέντρο µάζας των m 1 και m 2. Ορίζουµε τις ποσότητες m 2 µ = m 1 + m 2 (1.10) µ 1 = Gm 1 = 1 µ (1.11) µ 2 = Gm 2 = µ (1.12) όπου µ < 1. Οι εξισώσεις κίνησης στο αδρανειακό σύστηµα είναι 2 Ẍ = µ 1 X 1 X r 3 1 + µ 2 X 2 X r 3 2 (1.13) Y 1 Y Y 2 Y Ÿ = µ 1 + µ r1 3 2 r2 3 (1.14) Z 1 Z Z 2 Z Z = µ 1 + µ r1 3 2 r2 3 (1.15) όπου οι αποστάσεις r 1 και r 2 ορίζονται από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα. r 2 1 = (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 + (Z Z 1 ) 2 (1.16) r 2 2 = (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 + (Z Z 2 ) 2 (1.17) εχτήκαµε ότι οι δυο ϐαριές µάζες περιστρέφονται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα n γύρω από το κέντρο µάζας τους. ϑα ήταν λοιπόν ϐολικότερο να περιγράψουµε την κίνηση µε τη ϐοήθεια ενός περιστρεφόµενου συστήµατος αναφοράς. Ετσι λοιπόν διαλέγουµε την αρχή των αξόνων του περιστρεφόµενου συστήµατος (x, y, z) να συµπίπτει µε την αρχή του αδρανειακού (X, Y, Z) και τον άξονα x να είναι πάνω στην ευθεία που ενώνει τις δυο ϐαριές µάζες. Οι καινούριες εξισώσεις ϑα προκύψουν από τις παλιές µε τη ϐοήθεια του πίνακα στροφής X cos nt sin nt 0 x Y = sin nt cos nt 0 y (1.18) Z 0 0 1 z 7

Σχήµα 1.4: Το περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων. Τα σώµατα µε µάζες µ 1 και µ 2 εκτελούν κυκλικές τροχιές γύρω από το κέντρο µάζας O. Το περιστρεφόµενο σύστηµα xy περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα n ως προς το αδρανειακό XY. και παραγωγίζοντας δύο ϕορές προκύπτει Ẍ cos nt sin nt 0 ẍ 2nẏ n 2 x Ÿ = sin nt cos nt 0 ÿ + 2nẋ n 2 y (1.19) Z 0 0 1 z Οι όροι 2nẋ και 2nẏ είναι οι όροι Coriolis ενώ οι n 2 x και n 2 y είναι οι ϕυγόκεντροι όροι. Οι εξισώσεις που προκύπτουν στο περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς είναι οι εξής [ ] ẍ 2nẏ n 2 x + µ 2 x µ 1 x = µ 1 + µ r1 3 2 r2 3 (1.20) ] ÿ + 2nẋ n 2 y = z = [ µ1 r1 [ 3 µ1 r 3 1 + µ 2 r 3 2 + µ 2 r 3 2 y (1.21) ] z (1.22) 8

Αν γράψουµε τις επιταχύνσεις σαν την κλίση µιας ϐαθµωτής συνάρτησης U : όπου είναι ẍ 2nẏ = U x ÿ + 2nẋ = U y z = U z (1.23) (1.24) (1.25) U(x, y, z) = n2 2 (x2 + y 2 ) + µ 1 r 1 + µ 2 r 2 (1.26) Οι όροι 1/r 1 και 1/r 2 είναι οι ϐαρυτικοί όροι ενώ οι x 2 και y 2 είναι οι ϕυγόκεντροι όροι. 1.4.2 Ολοκληρώµατα της κίνησης Αν πολλαπλασιάσουµε τις (1.23), (1.24) και (1.25) µε ẋ, ẏ και ż αντίστοιχα και προσθέσουµε, τότε προκύπτει η εξίσωση ẋẍ + ẏÿ + ż z = U x ẍ + U y ÿ + U z (1.27) z από την οποία ολοκληρώνοντας παίρνουµε την ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 2U C J (1.28) Το αριστερό µέλος είναι η ταχύτητα του σώµατος στο περιστρεφόµενο σύστηµα ενώ η σταθερή της ολοκλήρωσης αποτελεί το ολοκλήρωµα του Jacobi. Η σταθερή αυτή η οποία ορίζεται από την σχέση C J = n 2 (x 2 + y 2 ) + 2µ 1 r 1 + 2µ 2 r 2 υ 2 (1.29) αποτελεί το µοναδικό ολοκλήρωµα της κίνησης στο περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων, αφού η ενέργεια E και η στροφορµή L αποδεικνύεται ότι δεν διατηρούνται σταθερές. Πώς όµως χρησιµεύουν τα ολοκληρώµατα της κίνησης ; Στο πρόβληµα των δύο σωµάτων υπάρχουν δύο ολοκληρώµατα της κίνησης. Για διάφορες τιµές της ενέργειας E υπάρχει λύση, η οποία ϑα παριστάνει είτε ϕραγµένη 9

1.5 1.5 1.5 1.5 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 1.0 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 1.0 1.5 1.5 1.5 Σχήµα 1.5: καµπύλες µηδενικής ταχύτητας για διάφορες τιµές της σταθεράς Jacobi. (Σχεδιάστηκαν µε Mathematica 7.0.) τροχιά (κύκλος, έλλειψη) είτε µη ϕραγµένη τροχιά (παραβολή, υπερβολή. Στο περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων, το µοναδικό ολοκλήρωµα της κίνησης είναι το ολοκλήρωµα του Jacobi C J. Οι διάφορες τιµές του δεν µας δίνουν τις λύσεις για την εύρεση των τροχιών αλλά µπορούµε µε αυτές να ορίσουµε περιοχές του χώρου στις οποίες το µικρό σώµα αποκλείεται να ϐρίσκεται. Πιο συγκεκριµένα, ας εκτιµήσουµε την κίνηση του σωµατιδίου ϑεωρώντας ότι η ταχύτητά του είναι µηδέν. Άρα από την (1.29) έχουµε ότι C J = n 2 (x 2 + y 2 ) + 2µ 1 r 1 + 2µ 2 r 2 2U. (1.30) Οι τοµές των επιφανειών που ορίζονται από την (1.30) για κάθε τιµή του C J, µε το επίπεδο x y ονοµάζονται καµπύλες µηδενικής ταχύτητας και παίζουν πολύ σηµαντικό ϱόλο στην τοποθέτηση των επιτρεπτών ορίων κίνησης του σωµατιδίου. Μια πάρα πολύ σπουδαία χρήση του ολοκληρώµατος του Jacobi είναι όταν τύχει ένα µικρό σώµα να περνάει πολύ κοντά από ένα ϐαρύ σώµα. Ας ϕανταστούµε έναν κοµήτη ή έναν µικρό αστεροειδή ο οποίος είναι έτοιµος να περάσει πολύ κοντά από το ία. Το ϕαινόµενο είναι γνωστό σαν κοντινή 10

προσέγγιση (close encounter). Κατά την κοντινή προσέγγιση, το ολοκλήρωµα του Jacobi έχει σταθερή τιµή σύµφωνα µε αυτά που έχουµε πει. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα να αλλάξουν τιµές τα στοιχεία (a, e, i) της τροχιάς του µικρού σώµατος σε (a, e, i ). Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι όταν ο αστεροειδής πλησιάσει το ία, τότε η ϐαρυτική του έλξη ϑα του δώσει µια ώθηση, µια κλωτσιά και ϑα αυξήσει απότοµα τις τιµές του a και του e µε αποτέλεσµα την γρήγορη αποµάκρυνση του αστεροειδή από την περιοχή. 1.4.3 Ισορροπία - σηµεία Lagrange Είδαµε ότι δεν µπορούµε να ϐρούµε την αναλυτική λύση της τροχιάς σωµατιδίου στο περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων, αλλά περιοχές στις οποίες το σωµατίδιο απαγορεύεται να ϐρίσκεται. Είναι λοιπόν αναγκαία µια ποιοτική µελέτη της κίνησης. Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει να ϐρούµε σηµεία ισορρπίας και να µελετήσουµε την ευστάθειά τους ϐλέποντας την κίνηση του σωµατιδίου στη γειτονιά τους. Ο Joseph-Louis Lagrange απέδειξε την ύπαρξη πέντε σηµείων ισορροπίας στο περιορισµένο κυκλικό πρόβληµα των τριών σωµάτων στα οποία αν τοπο- ϑετήσουµε ένα δοκιµστικό σωµατίδιο µε µηδενική ταχύτητα, ως προς το πε- ϱιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς, ϑα ισορροπήσει. Τρία σηµεία (L 1, L 2, L 3 ) είναι συνευθειακά και ϐρίσκονται πάνω στην ευθεία που ενώνει τις δύο ϐα- ϱιές µάζες, τα άλλα δύο (L 4, L 5 ) ϐρίσκονται σε τέτοιες ϑέσεις ώστε το κάθε ένα να σχηµατίζει µε τις δυο ϐαριές µάζες ισόπλευρο τρίγωνο, γι αυτό ονο- µάζονται και τριγωνικά σηµεία. Και τα πέντε σηµεία ϐρίσκονται στο επίπεδο που ορίζουν τα τρία σώµατα. Ως προς την ευστάθειά τους, τα συνευθειακά σηµεία (L 1, L 2, L 3 ) είναι ασταθή ενώ τα τριγωνικά (L 4, L 5 ), γραµµικά ευσταθή. Αυτό σηµαίνει ότι ένα δοκιµαστικό σώµα που ϑα ϐρεθεί κοντά στο L 3 ϑα αποµακρυνθεί, ενώ αν ϐρεθεί κοντά στο L 4 ή το L 5 ϑα εκτελέσει λικνίσεις γύρω από αυτά. Αν η τροχιά που ϑα εκτελέσει το δοκιµαστικό σώµα είναι µόνο γύρω από το L 4 ή το L 5 τότε πρόκειται για µια ατρακτοειδή τροχιά (tadpole orbit), ενώ αν η τροχιά επικαλύπτει ταυτόχρονα τα σηµεία L 3, L 4 και L 5, τότε πρόκειται για µία πεταλοειδή τροχιά (horseshoe orbit). 11

Σχήµα 1.6: Στην πρώτη εικόνα παριστάνονται τα 5 σηµεία ισορροπίας. Τα πρώτα τρία είναι συνευθειακά ενώ τα δύο τελευταία σχηµατίζουν ισόπλευρα τρίγωνα µε τα δυο σώµατα. Στην δεύτερη εικόνα ϕαίνονται οι ατροκτοειδείς και η πεταλοειδής τροχιά γύρω από τα L 4 και L 5. 12

1.5 ιαταραχές στην κίνηση 1.5.1 Η παρελκτική συνάρτηση Στην προηγούµενη ενότητα περιγράψαµε την κίνηση ενός δοκιµαστικού σω- µατιδίου αµελητέας µάζας το οποίο ϐρίσκεται στο πεδίο ϐαρύτητας δύο ϐα- ϱιών µαζών που περιφέρονται γύρω από το κέντρο µάζας τους. Το µόνο ολοκλήρωµα της κίνησης είναι η σταθερή του Jacobi η οποία χρησιµεύει στον προσδιορισµό των περιοχών που το δοκιµαστικό σώµα αποκλείεται να ϐρεθεί. Το σύστηµα έχει πέντε σηµεία ισορροπίας, τρία ασταθή και δύο ευσταθή, γύ- ϱω από τα τελευταία το δοκιµαστικό σώµα µπορεί να εκτελέσει ατρακτοειδείς ή πεταλοειδείς τροχιές. Τι γίνεται όµως αν εισάγουµε στο σύστηµα ένα τρίτο σώµα το οποίο έχει µάζα ; Τότε η ϐαρυτική δύναµη του τρίτου σώµατος εισάγει επιπρόσθετους όρους επιτάχυνσης εκτός από τους όρους που προέρχονται από τα δύο ϐαριά σώµατα. Εστω τρία σώµατα µε µάζες M, m i και m j και R, R i και R j οι αντίστοιχες διανυσµατικές τους ακτίνες. Οι εξισώσεις κίνησης σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα είναι : M R = GMm i r i r 3 i + GMm j r j r 3 j (r j r i ) m i R i = Gm i m j r j r i GMm 3 i (r i r j ) m j R j = Gm i m j r i r j GMm 3 j r i ri 3 r j rj 3 (1.31) (1.32) (1.33) Από τη στιγµή που οι αλληλεπιδράσεις είναι συντηρητικές, οι επιταχύνσεις προέρχονται από την κλίση µιας ϐαθµωτής συνάρτησης Ω µε διαστάσεις ε- νέργειας. Ετσι η εξίσωση κίνησης του µικρότερου σώµατος (µε µάζα m j ) είναι r j = j Ω. (1.34) Η ϐαθµωτή συνάρτηση η οποία γράφεται Ω = U j + R j (1.35) αποτελείται από δύο όρους, ο πρώτος παριστάνει το Κεπλέριο δυναµικό της µάζας U j = G (M+m j) r j ενώ ο δεύτερος όρος ονοµάζεται παρελκτική συνάρτηση (disturbing function), ορίζεται ως R j = Gm i r i r j Gm r i r j i ri 3 (1.36) 13

και παριστάνει την επίδραση του άλλου σώµατος πάνω στο µικρότερο σώµα. Με εφαρµογή στο Ηλιακό Σύστηµα, η κυρίαρχη µάζα M είναι ο Ηλιος, η m 1 ο ίας και η m 2 ένας αστεροειδής. Τα στοιχεία της τροχιάς του αστεροειδή a, e, i, Ω, ω και M εκτελούν µικρές ταλαντώσεις γύρω από µια µέση τιµή. Αυτό σηµαίνει ότι για κάθε τιµή τους ορίζεται και µια ξεχωριστή τροχιά στο διάστηµα µε την προϋπόθεση ότι σταµατάνε ακαριαία οι παρέλξεις. Για το λόγο αυτό ονοµάζονται στιγµιαία στοιχεία της τροχιάς (osculating elements). Οι µέσες τιµές τους γύρω από τις οποίες ταλαντώνονται ονοµάζονται τέλεια ή ιδανικά στοιχεία της τροχιάς (proper elements). (Τσιγάνης, 2010) Από τον ορισµό της, η παρελκτική συνάρτηση περιγράφεται σε καρτεσιανές συντεταγµένες. Αν λάβουµε υπόψη µας τις σχέσεις µετασχηµτισµού από το καρτεσιανό σύστηµα στο ηλιοκεντρικό, η R µπορεί να γραφτεί σαν ένα άθροισµα άπειρων όρων της µορφής R = Gm S(a, a, e, e, i, i ) cos ϕ (1.37) όπου τα τονούµενα στοιχεία αναφέρονται στον αστεροειδή, ενώ τα υπόλοιπα αναφέρονται στον πλανήτη. Το όρισµα του συνηµιτόνου ορίζεται σαν ο γραµ- µικός συνδυασµός των γωνιακών µεγεθών του πλανήτη και του αστεροειδή ϕ = j 1 λ + j 2 λ + j 3 ϖ + j 4 ϖ + j 5 Ω + j 6 Ω (1.38) όπου λ = ϖ + l το µέσο µήκος το οποίο προτιµάται έναντι της µέσης ανωµαλίας M. Οι συντελεστές j i είναι ακέραιοι και ικανοποιούν τις συνθήκες του D Alembert. 6 j i = 0, j 5 + j 6 = 2κ (1.39) i=1 Οι όροι του αθροίσµατος είναι άπειροι γι αυτό είναι αδύνατο να λυθούν οι εξισώσεις κίνησης. Γι αυτό ξεχωρίζουµε τους όρους της R µε ϐάση το πόσο γρήγορα µεταβάλλονται στο χρόνο. Αν για παράδειγµα δύο σώµατα ϐρίσκονται σε συντονισµό τότε ϑα ισχύει ότι j 1 n + j 2 n 0 (1.40) και για να συµβαίνει αυτό ϑα πρέπει οι µεγάλοι ηµιάξονές τους να ικανοποιούν τον τρίτο νόµο του Κέπλερ. a ( ) 2 j1 3 a j 2 (1.41) 14

Ετσι οι δύο πρώτοι όροι του ϕ γίνονται j 1 λ + j 2 λ (j 1 n + j 2 n)t + c (1.42) και µεταβάλλονται πολύ αργά σε σχέση µε τους υπόλοιπους όρους που δεν περιέχουν τα λ και λ. Αυτό σηµαίνει ότι στο χρονικό διάστηµα µιας περιόδου περιφοράς γύρω από τον Ηλιο, οι όροι που µεταβάλλονται αργά δίνουν µια µη µηδενική µέση τιµή σε αντίθεση µε τους όρους που µεταβάλλονται γρήγορα η οποίοι δίνουν µέση τιµή µηδέν και γι αυτό µπορούν να παραληφθούν. 1.5.2 Συντονισµοί και χάος ύο αντικείµενα που περιφέρονται γύρω από ένα ϐαρύτερο (πχ. δυο δορυφό- ϱοι γύρω από έναν πλανήτη) ϐρίσκονται σε συντονισµό αν ο λόγος των µέσων κινήσεών τους n και n (ή των περιόδων περιφοράς τους) είναι ϱητός αριθµός n n = p p + q (1.43) όπου p και q δύο ακέραιοι αριθµοί. Αυτό σηµαίνει ότι αν ο ένας δορυφόρος εκτελεί δύο περιφορές την ώρα που ο δεύτερος εκτελεί µία, τότε ϐρίσκονται σε συντονισµό 2:1. Το όρισµα της παρελκτικής συνάρτησης δύο αντικειµένων σε συντονισµό παίρνει τη µορφή και η ποσότητα ϕ = (p + q)λ pλ qϖ. (1.44) I = e 2 + ln a (1.45) αποδεικνύεται ότι είναι ολοκλήρωµα της κίνησης (Τσιγάνης, 2012). Στο ηλιακό σύστηµα υπάρχουν πολλά παραδείγµατα συντονισµένων κινήσεων όπως Ϲευγάρια δορυφόρων του Κρόνου και οι οικογένειες των αστεροειδών. Οι Τρωϊκοί, που εξετάζουµε παρακάτω, ϐρίσκονται σε 1:1 συντονισµό µε το ία ενώ οικογένεια των Hildas ϐρίσκεται σε 3:2 συντονισµό µε το ία. Και οι δυο αυτές οικογένειες είναι παραδείγµατα οικογενειών που οφείλονται σε ευσταθείς συντονισµούς. Υπάρχουν όµως και περιοχές στην κύρια Ϲώνη οι οποίες είναι κενές από αντικείµενα. Οι περιοχές εκείνες αντιστοιχούν σε ϑέσεις τροχιακών συντονισµών οι οποίες όµως είναι άδειες λόγω των συνεχό- µενων παρέλξεων από το ία. Τα κενά αυτά είναι γνωστά σας διάκενα του Kirkwood (Kirkwood gaps). Η κίνηση σε συντονισµό ϑα µπορούσε να πα- ϱοµοιαστεί µε την κίνηση του απλού εκρεµµούς (για σταθερή µέση τιµή του 15

e). Το ϕασικό πορτρέτο αποτελείται από κέντρα και σάγµατα και ανάλογα µε την τιµή της ενέργειας η κίνηση είναι λίκνηση (κίνηση γύρω από κέντρο) ή περισστρφή. Στην πραγµατικότητα όλοι οι συντονισµοί αποτελούνται από δύο ή περισσότερους υποσυντονισµούς σε γειτονικές ϑέσεις. Αν το εύρος του καθενός είναι αρκετά µεγάλο και οι ϑέσεις ισορροπίας τους είναι κοντά, τότε έχου- µε επικάλυψη συντονισµών (resonance overlap). Αν ένας αστεροειδής ϐρεθεί στην περιοχή ενός υποσυντονισµού τότε περνάει στην περιοχή επιρροής του γειτονικού του µε απρόβλεπτο τρόπο και πλέον δεν ισχύει το ολοκλήρωµα I = e 2 + ln a (Τσιγάνης, 2012). Η κίνηση µπορεί να κατανοηθεί καλύτε- ϱα χρησιµοποιώντας σαν παράδειγµα το διπλό εκρεµές του οποίου η κίνηση είναι χαοτική. Σήµερα πιστεύτεαι ότι η επικάλυψη συντονισµών είναι το ϕαινόµενο που ευθύνεται για τα διάκενα του Kirkwood. Η εκκεντρότητα του αστεροειδή αυξάνεται δραµατικά όσπου η τροχιά του να τµήσει την τροχιά του Άρη και έτσι να διαφύγει για πάντα από την Ϲώνη των αστεροειδών. Σχήµα 1.7: Θέσεις των συντονισµών µέσης κίνησης στην περιοχή του ία (4-6 AU) (http://www.fisica.edu.uy/ gallardo/atlas/color4to6.png) 16

Κεφάλαιο 2 Οι Τρωικοί αστεροειδείς 2.1 Εισαγωγή Οι αστεροειδείς είναι µικρά σώµατα σε τροχιά γύρω από τον Ηλιο και αποτελούν ως επί το πλείστον κατάλοιπα του αρχικού σχηµατισµού του Ηλιακού συστήµατος. ύο είναι οι κύριες περιοχές που καταλαµβάνουν οι αστεροειδείς στο Ηλιακό σύστηµα, η πρώτη είναι η Ϲώνη του Kuiper (Kuiper Belt) και η δεύτερη είναι ο χώρος ανάµεσα στις τροχιές του Άρη και του ία η οποία ονοµάζεται κύρια Ϲώνη των αστεροειδών. Εκτός όµως αυτών των περιοχών, υπάρχουν και άλλες περιοχές κατάληψης αστεροειδών, οι οποίοι µάλιστα διακρίνονται σε οικογένειες µε ϐάση τις περιοχές αυτές κυρίως. Ετσι έχουµε τις οικογένειες Hilda, Coronis, Eos κτλ. Ως Τρωικό αντικείµενο χαρακτηρίζεται οποιοδήποτε καταλαµβάνει ένα από τα δύο σηµεία ισορροπίας Lagrange ενός πλανήτη. Ετσι, Τρωικά αντικείµενα ανακαλύφθηκαν πρώτα στα τριγωνικά σηµεία του ία, του Ποσειδώνα, του Άρη, της Γης και του Ουρανού καθώς και δυο δορυφόροι του Κρόνου, η Τηθύς και η ιώνη. 2.2 Οι Τρωικοί αστεροειδείς του ία 2.2.1 Ονοµατολογία Η γνώση του ότι γύρω από τα σηµεία L 4 και L 5 µπορούν να ϕιλοξενηθούν αστεροειδείς ήταν γνωστή από τον Lagrange, ο οποίος πρώτος µελέτησε το περιορισµένο πρόβληµα των τριών σωµάτων. Πολύ αργότερα ο αυστριακός Johann Palisa πρότεινε τον όρο Τρωικά αντικείµενα λόγω της δουλειάς του 17

Σχήµα 2.1: Κατανοµές των αστεροειδών της κύριας Ϲώνης (http://web.njit.edu/ gary/320/lecture21.html) 18

πάνω στην ϑεωρητική εύρεση των τροχιών τους. Από εδώ και πέρα µε τον όρο Τρωϊκούς αστεροειδείς ϑα εννοούµε τους Τρωϊκούς του ία. Σύµφωνα µε το άρθρο en.wikipedia.org/wiki/jupiter_trojan οι Τρωικοί του σηµείου L 4 πήραν τα ονόµατά τους από τους Ελληνες ϐασιλιάδες και ήρωες του Τρωικού πολέµου γι αυτό ονοµάζονται Ελληνες ή ηγούµενα µέλη γιατί προπορεύονται του ία. Αντίθετα, οι αστεροειδείς του L 5 πήροαν τα ονόµατά από τους ήρωες και τους στρατηγούς των Τρώων γι αυτό αποτελούν τους Τρώες ή τα επόµενα µέλη γιατί ακολουθούν το ία κατά την περιφορά του γύρω από τον Ηλιο. Ανάµεσα στους πρώτους τρωϊκούς αστεοειδείς ήταν ο Εκτορας (624 Hektor) και ο Πάτροκλος (617 Patroclus) οι οποίοι τοπο- ϑετήθηκαν στα σηµεία L 4 και L 5 αντίστοιχα και αυτό γιατί δεν ίσχυε ακόµα ο κανόνας ονοµατολογίας των στρατοπέδων. Γι αυτό, οι δυο αστεροειδείς αποτελούν τους κατασκόπους του ενός στρατοπέδου στο άλλο. 2.3 Οι πρώτες παρατηρήσεις Οπως είδαµε, πρώτος ο Lagrange µελέτησε το πρόβληµα των τριών σωµάτων και ανακάλυψε ότι στα τριγωνικά ή τρωϊκά σηµεία ϑα µπορούσαν να υπάρχουν αντικείµενα. Οµως για περίπου έναν αιώνα δεν ανακαλύφθηκε κανένα τέτοιο αντικείµενο σε τέτοια σηµεία. Η πρώτη ανακάλυψη τρωϊκού αστεροειδή έγινε από τον Edward Emerson Barnard το 1904 ο οποίος όµως δεν κατάλαβε ότι ανακάλυψε Τρωικό αντικείµενο αλλά ϑεώρησε ότι ϐρήκε τον πρόσφατο δορυφόρο του Κρόνου, την Φοίβη (Phoebe) ή ότι απλά ήταν ένα καινούριο άστρο. Πρόσφατα, το 1999 διαπιστώθηκε ότι το αντικείµενο ήταν τελικά ο πρώτος παρατηρούµενος Τρωικός αστεροειδής (12126) 1999RM 11. Μετά από δύο χρόνια, τον Φεβρουάριο του 1906, ο αστρονόµος Max Wolf ανακάλυψε τον πρώτο αναγνωρισµένο αστεροειδή ο οποίος ονοµάστηκε Αχιλλέας (588 Achilles) και ϐρισκόταν κοντά στο σηµείο L 4 του συστήµατος Ηλιος - ίας. Λίγο αργότερα ο γερµανός Kopff ανακάλυψε τον Πάτροκλο και τον Εκτορα, τους δυο κατασκόπους. Μέσα σε µια τριακονταετία ανακαλύφθηκαν 11 Τρωικοί αστεροειδείς αλλά µέχρι και το 1961 ανακαλύφθηκαν τρεις πα- ϱαπάνω. Από εκεί και πέρα, µε την εξέλιξη της τεχνολογίας, οι ανακαλύψεις εκτινάχθηκαν στα ύψη. Μέχρι το 2000 είχαν καταγραφεί 257 αστεροειδείς και το 2003 ο αριθµός τους έφτασε τους 1600 περίπου. Σήµερα είναι γωνστό ότι υπάρχουν 3891 αστεροειδείς στο L 4 και 1995 στο L 5. 19

2.4 Πλήθος και µάζα Γύρω από το σηµείο L 4 στεγάζονται περίπου 200000 αστεροειδείς µε διαµέτρους πάνω από 2 km και 600000 αστεροειδείς µε διαµέτρους πάνω από 1 km.οι εκτιµήσεις αυτές προκύπτουν από εκτεταµένες έρευνες και παρατηρήσεις σε ορισµένα σηµεία του ουρανού. Με την προϋπόθεση ότι και το σηµείο L 5 έχει παρόµοιους αριθµούς αστεροειδών, µιλάµε τότε για µια καινούρια περιοχή κατάληψης αντικειµένων εκτός από την κύρια Ϲώνη µιας και οι πλη- ϑυσµοί τους είναι συγκρίσηµοι και ξεπερνούν το 1000000. Εκτιµάται ότι η συνολική µάζα των Τρωικών αστεροειδών είναι το 1/10000 της µάζας της Γης. Τα παραπάνω νούµερα όµως ϑεωρούνται λίγο υπερβολικά για δυο ϐασικούς λόγους : λανθασµένη εκτίµηση για την κατανοµή τους στον ουρανό η εκτίµηση ότι όλοι οι Τρωϊκοί έχουν τιµές albedo 0,04, ενώ τα πιο µικρά αντικείµενα δεν ξεπερνούν το 0,12. Συµπεριλαµβανόµενες αυτές τις παρατηρήσεις ο ολικός αριθµός των Τρωικών αστεροειδών (D > 2km) είναι 6, 3±1, 0 10 4 γύρω από το L 4 και 3, 4±0, 5 10 4 γύρω από το L 5 και αυτά τα νούµερα ϑα µπορούσαν να µειωθούν στο µισό αν τα µικρά αντικείµενα είναι πιο αντανακλαστικά από τα µεγαλύτερα. Οι Τρωικοί του L 4 είναι ελαφρώς περισσότεροι και πιο σταθεροί από τους Τρωικούς του L 5 αν και η διαφορά στον αριθµό τους µπορεί να ωφείλεται σε εσφαλµένες παρατηρήσεις. Ο µεγαλύτερος Τρωικός αστεροειδής είναι ο Εκτορας (624 Hektor) µε µέση διάµετρο 203 ± 3, 6km. Από κει και πέρα δεν υπάρχουν πολλοί Τρωϊκοί µεγάλου µεγέθους σε σύγκριση µε τον ολικό τους αριθµό. Οσο µειώνεται το µέγεθός τους, ο αριµός τους αυξάνεται ϱαγδαία, πιο γρήγορα µάλιστα από τους αστεροειδείς της κύριας Ϲώνης. Ενας αστε- ϱοειδής διαµέτρου 84 km αντιστοιχεί σε απόλυτο µέγεθος 9,5, υποθέτοντας ότι έχει ανακλαστική ικανότητα 0,04. Στο διάστηµα των 4,4-40 km η κατανο- µή των Τρωϊκών ταιριάζει µε την κατανοµή των αστεροειδών της κύριας Ϲώνης. Για τις µάζες των µικρότερων αστεροειδών δεν υπάρχουν δεδοµένα λόγω έλλειψης τεχνολογικών µεθόδων. Θεωρείται όµως ότι οι µικρότεροι αστεροειδείς είναι το αποτέλεσµα συγκρούσεων των µεγαλυτέρων. 20

2.5 Τροχιές Οι Τρωικοί αστεροειδείς καταλαµβάνουν τα σηµεία L 4 και L 5 τα διανύσµατα ϑέσεις των οποίων σχηµατίζουν µε το διάνυσµα ϑέσης του ία ως προς το κέντρο µάζας του συστήµατος Ηλιος - ίας γωνία 60. Οι περιοχές κατάληψης είναι επιµήκεις και καµπυλωµένες και οι µεγάλοι ηµιάξονές τους παίρνουν τιµές από 5,05 έως 5,35 AU. Κάθε στρατόπεδο τεντώνεται για περίπου 26 κατά µήκος της τροχιάς του ία το οποίο αντιστοιχεί πραγµατικά σε συνολική έκταση 2,5 AU. Το πλάτος κάθε στρατοπέδου ισούται περίπου µε δύο ϕορές την σφαίρα Hill 1 του ία η οποία είναι περίπου 0,6 AU.Οι τιµές των κλίσεων ως προς το εκλειπτικό επίπεδο του ία κυµαίνονται από 0 έως 40 περίπου οι οποίες ϑεωρούνται µεγάλες τιµές. Οπως είδαµε στο πρώτο κεφάλαιο, η κίνηση ενός δοκιµαστικού σωµατιδίου γύρω από έναν πλανήτη ο οποίος κινείται µαζί µε το άστρο σε κυκλικές τροχιές ως προς το κέντρο µάζας τους, εξαρτάται από την τιµή του ολοκλη- ϱώµατος του Jacobi. Οι τιµές της σταθερής αυτής δεν ορίζουν την κίνηση αλλά περιοχές στις οποίες αποκλείεται να ϐρεθεί το σωµατίδιο. Για την περίπτωση του Ηλιακού συστήµατος, ο ίας κινείται σε σχεδόν σφαιρική τροχιά (e J 0.048) και η ήµητρα (Ceres) που αποτελεί τον µεγαλύτερο αστεροειδή του Ηλιακού συστήµατος έχει µάζα της τάξης του ενός εκατοµµυριοστού της µάζας του ία. Οι τροχιές των Τρωικών (Marzari, Scholl, Murray and Lagerkvist (2002)) γύρω από τα τριγωνικά σηµεία είναι ευσταθείς αν ικανοποιείται η συνθήκη µ < µ crit = (27 621)/54 0.0385 (2.1) Κάθε νέφος Τρωικών γύρω από κάθε τριγωνικό σηµείο ισορροπίας αποτελείται από δύο ταυτόχρονες κινήσεις µία κίνηση µακράς περιόδου και µια κίνηση µικρής περιόδου. Η πρώτη είναι λίκνηση µε περίοδο T 1 = T J / (27/4)µ (2.2) Για µ 10 3 και T J 12 χρόνια, τότε προκύπτει T 1 146 χρόνια. Η δεύτερη κίνηση που πραγµατοποείται ταυτόχρονα µε την πρώτη και είναι σύντοµης διάρκειας έχει περίοδο T 2 = T J / 1 (27/8)µ. (2.3) 1 Η σφαίρα Hill ενός πλανήτη είναι η περιοχή ϐαρυτικής επιρροής του πλανήτη έναντι ενός δορυφόρου ή αστεροειδή και είναι ίση µε r H a ( ) m 3/2 3M για αµµελητέα εκκεντρότητα 21

Η κίνηση αυτή είναι γνωστή και σαν επικυκλική κίνηση του αστεροειδή και είναι ουσιαστικά η Κεπλέρια κίνησή του στο περιστρεφόµενο σύστηµα ανα- ϕοράς. Παρατηρήστε ότι αν το µ παίρνει µικρές τιµές τότε T 2 T J. Επιπλέον αν η κίνηση του αστεροειδή τείνει στην κυκλική (e 0), η επικυκλική κίνηση εξαφανίζεται. Αποδεικνύεται ότι για λικνήσεις µικρού πλάτους γύρω από τα τριγωνικά σηµεία, ο λόγος των αξόνων της ελλειπτικής περιοχής είναι 3µ ενώ ο λόγος των αξόνων της επικυκλικής περιοχής είναι 1/2. Είναι δελεαστικό να ϕανταστούµε ότι οι καµπύλες µηδενικής ταχύτητας αντιπροσωπεύουν πραγµατικές τροχιές. Στην περίπτωση των Τρωικών αυτό είναι γεγονός. Ετσι, παρατηρώντας τους Τρωϊκούς, ϐρίσκονται πάνω στην ελλειπτική περιοχή γύρω από τα τριγωνικά σηµεία µε τη διαφορά ότι αφήνουν ουρές. Οπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο οι τροχιές αυτές λέγονται ατρακτοειδείς (tadpole) µιας και µοιάζουν µε έναν γυρίνο και είναι το κύριο χαρακτηριστικό γνώρισµά των Τρωϊκών. Στα τριγωνικά σηµεία ισορροπίας η σταθερή του Jacobi παίρνει ελάχιστη τιµή, ενώ στο L 1 την µέγιστη. Αν αυξηθεί ελαφρώς το πλάτος της λίκνησης τότε οι ουρές επιµηκύνονται έως ότου πλησιάσουν το L 3. Αν η σταθερή του Jacobi παίρνει τιµές C 3 < C J < C 1 τότε η τροχιά επικαλύπτει και το σηµείο L 3. Τέτοιες τροχιές ονοµάζονται πεταλοειδείς (horseshoe) µιας και µοιάζουν µε πέταλο αλόγου. Τα αποτελέσµατα αυτά τα οποία προκύπτουν από το περιρισµένο κυκλικό πρόβληµα, µπορούν να εξαχθούν αριθµητικά και για το περιορισµένο ελλειπτικό πρόβληµα. Ετσι τέτοιου είδους τροχιές αποτελούν µια ξεχωριστή οµάδα η οποία ερµηνεύει την συν-τροχιακή κίνηση. Οπως και στην κύρια Ϲώνη. έτσι και οι Τρωικοί χωρίζονται σε οικογένειες. Η διάκρισή τους όµως είναι πολύ δυσκολότερη σε σύγκριση µε την κύρια Ϲώνη λόγω της στενότερης περιοχής που καταλαµβάνουν. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα να επικαλύπτονται τα σµήνη µεταξύ τους και να συγχωνεύονται µε το όλο σύνολο. Γύρω στο 2003 αναγωρίστηκαν περίπου 12 οικογένειες Τρωικών. Η µεγαλύτερη από αυτές είναι η οικογένεια του Μενελάου (Menelaus group) η οποία αποτελείται από 8 µέλη. Γενικά όµως οι οικογένειες των Τρωικών είναι πολύ µικρότερες από τις οικογένειες τις κύριας Ϲώνης. Οι Τρωικοί αστε- ϱοειδείς µπορούν να σχηµατίσουν και διπλά Ϲεύγη. Ο µεγαλύτερος Τρωικός αστεροειδής, ο Εκτορας, είναι πιθανόν ένα διπλό σύστηµα επαφής µε ένα ϕεγγαροειδές (moonlet). Το πρώτο διπλό σύστηµα που ανακαλύφθηκε το 2001 ήταν ο Πάτροκλος τα σώµατα του οποίου ϐρίσκονται πολύ κοντά γύρω στα 650 km. 22

2.6 Φυσικές ιδιότητες Οι Τρωικοί αστεροειδείς ειναι µαύρα σώµατα ακανονίστου σχήµατος. Τα γεωµετρικά τους albedo παίρνουν γενικά τιµές από 3 έως 10%. Για σώµατα µεγαλύτερα των 57 km η µέση τιµή είναι 0, 056 ± 0, 003, ενώ για σώµατα µικρότερα των 25 km η µέση τιµή είναι 0, 121 ± 0, 003. Ο αστεροειδής 4709 Ennomos έχει το µεγαλύτερο albedo από τους γνωστούς Τρωϊκούς (0,18). 2.6.1 Περιστροφή Οι ιδιότητες της περιστροφής των Τρωικών δεν είναι και πολύ γνωστές. Μια ανάλυση των καµπύλων ϕωτός 72 Τρωϊκών µας λέει ότι η µέση τιµή της περιόδου περιστροφής είναι περίπου 11,2 ώρες ενώ για τα αντικείµενα της κύριας Ϲώνης είναι 10,6 ώρες. Οι περίοδοι των Τρωικών περιγράφονται αρκετά καλά από µια κατανοµή Maxwell,αντίθετα από τα αντικείµενα της κύριας Ϲώνης. Μια τέτοια κατανοµή στις περιόδους µαρτυράει το γεγονός ότι οι Τρωικοί υ- πέστησαν περισσότερες και πιο ϐίαιες συγκρούσεις κατά την εξέλιξή τους, σε αντίθεση µε την κύρια Ϲώνη. Εντούτοις µια οµάδα από το Calvin College, το 2008, ανέλυσε τις καµπύλες ϕωτός από 10 Τρωϊκούς και ϐρήκε ότι η µέση τιµή της περιόδου τους ήταν 18,9 ώρες, µια τιµή που ήταν σαφώς µεγαλύτερη από αστεροειδείς της κύ- ϱιας Ϲώνης παροµοίου µεγέθους (11,5 ώρες). Η διαφορά αυτή ϑα µπορούσε να σηµαίνει ότι οι Τρωικοί είναι αραιότεροι από τους αστεροειδείς της κύριας Ϲώνης και άρα ϑα µπορούσαν να έχουν σχηµατιστεί στη Ϲώνη του Kuiper. 2.6.2 Σύσταση Οι περισσότεροι Τρωϊκοί αστεροειδείς είναι ϕασµατικού τύπου D και κυριαρχούν στις εξωτερικές περιοχές της Ϲώνης των αστεροειδών. Ενας µικρός αριθ- µός είναι ϕασµατικού τύπου P ή C. Τα ϕάσµατά τους είναι κυρίως προς το κόκκινο που σηµαίνει ότι αντανακλούν το ϕως στα µεγαλύτερα µήκη κύµατος. Παρόλο που δεν υπάρχουν σαφείς ενδείξεις για ύπαρξη νερού, οργανικών ή άλλων χηµικών ενώσεων, ο Εννοµος (4709 Ennomos) έχει, όπως είπαµε µια τιµή του albedo λίγο µεγαλύτερη από τον µέσο όρο των του συνόλου των Τρωικών, το οποίο µπορεί να µαρτυράει την ύπαρξη πάγου. Εκτός αυτού υπάρχουν µερικοί αστεροειδείς οι οποίοι παρουσιάζουν µικρή απορροφητικότητα στα 1,7 και 2,3 µm όπως είναι ο Πάτροκλος και ο Αγαµέµνονας (911 Agamemnon, 617 Patroclus). Τα ϕάσµατα των Τρωικών είναι παρόµοια µε 23

ορισµένα ϕεγγάρια του ία ή ακόµα και και µε κάποιους πυρήνες κοµητών, είναι όµως πολύ διαφορετικά από τα ϕάσµατα των ερυθρότερων αντικειµένων στην Ϲώνη του Kuiper. Το ϕάσµα ενός τυπικού Τρωικού µαρτυράει την ύπαρξη πάγου, άνθρακα και πυριτικά άλατα πλούσια σε µαγνήσιο. Η σύσταση των Τρωικών είναι σχεδόν σταθερή µε λίγες διαφορές ανάµεσα στους Ελληνες και τους Τρώες. Το 2006, µια οµάδα από το αστεροσκοπείο Keck στη Χαβάη ανακοίνωσε ότι πολλά Τρωϊκά αντικείµενα ϑα µπορούσαν να µοιάζουν µε κοµήτες ή αντικείµενα της Ϲώνης Kuiper µελετώντας το διπλό σύστηµα του Πάτροκλου και µετρώντας την πυκνότητά του η οποία ήταν µικρότερη της πυκνότητας του πάγου. Το σηµαντικό ήταν ότι δεν έµοιαζαν µε τα αντικείµενα της κύριας Ϲώνης. Παράξενο όµως είναι το γεγονός ότι ο αστεροειδής Εκτορας, ο µεγαλύτερος των Τρωικών, έχει πυκνότητα σαφώς µεγαλύτερη από του Πάτροκλου. Αυτό είναι ένα στοιχείο για την αναξιοπιστία της µέτρησης της πυκνότητας στη µελέτη της εξέλιξης των Τρωικών αστεροειδών. 2.7 Εξέλιξη των Τρωικών ύο είναι οι κύριες ϑεωρίες για την εξήγηση της δηµιουργίας και της δυνα- µικής εξέλιξης των αστεροειδών. Η πρώτη ισχυρίζεται ότι οι Τρωικοί σχηµατίστηκαν στην ίδια περιοχή που ϐρίσκεται και ο ίας µέσα στο Ηλιακό σύστηµα καθώς ο πλανήτης ϐρισκόταν ακόµα στον σχηµατισµό του (Marzari, Scholl, Murray and Lagerkvist (2002)). Στα τελευταία στάδια της δηµιουργίας του, ο ίας αύξανε την µάζα του µε εκθετικό ϱυθµό λόγω της προσθήκης τεράστιων ποσοτήτων υδορογόνου και ηλίου από τον πρωτοπλανητικό δίσκο του τότε Ηλιακού συστήµατος. Η αύξηση αυτή της µάζας του διήρκεσε 10000 χρόνια κατά την οποία αυξήθηκε γυρω στο δεκαπλάσιο. Με αυτόν τον τρόπο το ϐα- ϱυτικό πεδίο του ία έγινε ισχυρότερο και τα τριγωνικά σηµεία σταθερότερα σε µεγαλύτερες περιοχές. Ετσι τα πλανητοειδή τα οποία είχαν τροχιές κοντά σε αυτή του ία πιάστηκαν από το ϐαρυτικό του πεδίο, αδειάζοντας την πε- ϱιοχή γύρω από τον πλανήτη και γεµίζοντας τα τριγωνικά σηµεία ισορροπίας. Μάλιστα η παγίδευση ήταν τόσο αποτελεσµατική που περίπου ο µισός πλη- ϑυσµός από τα υπάρχοντα πλανητοειδή πιάστηκαν στις περιοχές αυτές. Το µοντέλο αυτό έχει δύο ϐασικά προβλήµατα. Ο αριθµός των παρατηρούµενων Τρωικών είναι κατά τέσσερις τάξεις µεγέθους µικρότερος από τον αριθµό που προβλέπει το µοντέλο και οι κλίσεις των Τρωικών παίρνουν πολύ µεγαλύτερες τιµές ( 40 ) από τις τιµές που προβλέπει το µοντέλο. Παρόλα αυτά, προσο- 24

µοιώσεις δείχνουν ότι ϑα µπορούσαν µε αυτόν τον τρόπο να υπάρξουν Τρωϊκά αντικέιµενα στον Κρόνο αν και δεν έχει ανακαλυφθεί µέχρι τώρα κανένα. Η δεύτερη ϑεωρία η οποία αποτελεί ένα κοµµάτι του µοντέλου της Νίκαιας, προτείνει ότι ο εγκλωβισµός των σηµερινών Τρωικών έγινε κατά την µεγάλη µετανάστευση των πλανητών στις σηµερινές τους ϑέσεις (Morbidelli, Levison, Tsiganis, Gomes, (2005)). Περίπου 500 µε 600 εκατοµµύρια χρόνια από τη δηµιουργία του Ηλιακού συστήµατος, ο ίας και ο Κρόνος πέρασαν από τον µεγάλο 2:1 συντονισµό µέσης κίνσης. Σαν αποτέλεσµα Ο Ποσειδώνας, ο Ουρανός και λίγο ο Κρόνος µετανάστευσαν µακρύτερα από τον Ηλιο ενώ παράλληλα ο ίας µετακινήθηκε λίγο προς το εσωτερικό. Το επακόλουθο ήταν η αποσταθεροποίση της τότε Ϲώνης Kuiper αναγκάζοντάς την να τροφοδοτήσει όλο το εσωτερικό του Ηλιακού συστήµατος µε εκατοµµύρια αντικείµενα. Τα σηµεία L 4 και L 5 του ία έχασαν την ευστάθειά τους λόγω των συνιστάµενων ϐαρυτικών πεδίων και ό,τι αντικείµενα υπήρχαν παγιδευµένα εκεί, έφυγαν ϐίαια. Καθώς ο ίας και ο Κρόνος αποµακρύνονταν από τον µεγάλο συντονισµό και τα τριγωνικά σηµεία αποκτούσαν ξανά την ευστάθειά τους, παγίδεψαν τα αντικείµενα που εισήλθαν από τη Ϲώνη Kuiper ϕορµά- ϱοντας έτσι τα σηµερινά νέφη των Τρωικών. Το σενάριο αυτό ερµηνεύει τις µεγάλες κλίσεις των Τρωικών αλλά και την χαµηλή πυκνότητα πολλών από αυτούς. Η εξέλιξη των Τρωικών αστεροειδών είναι ανοιχτή σε µελλοντικές έρευνες. Πολλαπλοί ασθενείς συντονισµοί του ία µε τον Κρόνο προκαλούν την χαοτική τους συµπεριφορά κατά καιρούς. Ακόµη, οι συγκρούσεις που υφίστανται µεταξύ τους αναγκάζει τα ϑραύσµατα να εξέρχονται σιγά σιγά και να µειώνουν τον πληθυσµό τους. Αστεροειδείς που αποµακρύνονται, µπορούν να γίνουν περιστασιακοί δορυφόροι του ία ή των κοµητών του ία. Σχεδόν το 17% των τροχιών των Τρωικών είναι χαοτικές ως προς την ηλικία του Ηλιακού συστήµατος. Πιστεύεται ότι περίπου 200 εξερχόµενα αντικείµενα µεγαλύτερα του 1 km µπορεί να ταξιδεύουν στο Ηλιακό σύστηµα και ίσως ορισµένα να τέµνουν την τροχιά της Γης. Άλλα µπορεί να γίνονται κοµήτες και η διάβασή τους από τον Ηλιο να εξατµίζει το νερό της επιφάνειάς τους. 25

Κεφάλαιο 3 Το ϕαινόµενο Yarkovsky 3.1 Εισαγωγή Σύγχρονες παρατηρήσεις των µικρών αντικειµένων του Ηλιακού συστήµατος παρέχουν σηµαντικούς περιορισµούς για τη δυναµική τους συµπεριφορά. είγµατα από µετεωρίτες, αστροµετρικές και ϕωτοµετρικές παρατηρήσεις µικρών αντικειµένων στην γειτονιά της Γης ή λίγο µεγαλύτερων στην κύρια Ϲώνη µας αναγκάζουν να λάβουµε σοβαρά υπόψη µας τα διάφορα ϕαινόµενα µη ϐαρυτικής ϕύσης. Τα σηµαντικότερα ϕαινόµενα που σχετίζονται µε την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας και παράγουν τις µεγαλύτερες επιταχύνσεις είναι : η πίεση της ακτινοβολίας η µετατόπιση Poynting - Robertson ο ηλιακός άνεµος και η µετατόπιση πλάσµατος το ϕαινόµενο Yarkovsky. Ολα αυτά τα ϕαινόµενα είναι τουλάχιστον 10 τάξεις µεγέθους ασθενέστερα από την ϐαρυτική αλληλεπίδραση. Παρόλο που ϕαίνονται να είναι ασήµαντα ϕαινόµενα µε την πρώτη µατιά, αν λάβουµε υπόψη µας τις κατευθύνσεις των επιταχύνσεων, ϑα δούµε ότι παίζουν πολύ σηµαντικό ϱόλο στην µακροπρό- ϑεσµη δυναµική εξέλιξη µικρών αστεροειδών ή κοµητών. Ως προς την κατεύθυνση της επιτάχυνσης, µια ακτινική συνιστώσα ϑα µπορούσε να επιφέρει πολύ µικρές ή ασήµαντες αλλαγές στην τροχιά ενός 26

Σχήµα 3.1: Το ϕαινόµενο Yarkovsky/YORP (Broz, 2006). µικρού σώµατος, ϑα του άλλαζε µόνο την τροχιακή ταχύτητα. Μια εγκάρσια συνιστώσα, από την άλλη µεριά, ϑα µπορούσε να επιφέρει αλλαγές στην ενέργεια και κατά συνέπεια και στον µεγάλο ηµιάξονα. Από αυτή τη σκοπιά, το ϕαινόµενο Yarkovsky/YORP είναι µακράν η σηµαντικότερη µη ϐαρυτική δύναµη, για σώµατα από 10 cm έως 10 km. 3.2 Βασικές αρχές Το ϕαινόµενο Yarkovsky ϐασίζεται στην ιδέα της απορρόφησης ηλιακής ακτινοβολίας από ένα µικρό σώµα και κατόπιν της καθυστερηµένης επανεκποµπής του. Ο συνδυασµός της ασύµµετρης κατανοµής της ϑερµοκρασίας και του µη σφαιρικού σχήµατος του αντικειµένου οδηγούν σε δυνάµεις και ϱοπές ανάκρουσης. Οπως και το ϕαινόµενο Poynting - Robertson έτσι και το ϕαινό- µενο Yarkovsky εξαρτάται από τις ιδιότητες ιδιοπεριστροφής του αντικειµένου (λόξωση γ και περίοδος T ). Ο λόγος είναι η µεταβολή της διεύθυνσης της α- πορρόφησης µε αυτήν της επανεκποµπής που οφείλεται στην πεπερασµένη ϑερµική αγωγιµότητα των σωµάτων. Για να γίνει κατανοητή αυτή η ϑερµική καθυστέρηση, αρκεί να ϕανταστούµε ότι παρόλο που ο Ηλιος µεσουρανεί στις 12:00 (Θεσσαλονίκη, καλοκαίρι), αισθανόµαστε ότι στις 15:00 έχει τη µεγαλύτερη Ϲέστη. Στους αστεροειδείς αυτή η ϑερµική καθυστέρηση προκαλεί µια µεταβολή της ορµής και κατ επέκταση και του µεγάλου ηµιάξονα της τροχιάς. Το ϕαινόµενο Yarkovsky είναι αµελητέο στην περίπτωση πολύ µικρών ή πολύ µεγάλων σωµάτων. Στα πολύ µεγάλα η ενεργός επιφάνεια είναι πολύ µικρή και έτσι η δύναµη της εκπεµπόµενης ακτινοβολίας είναι α- µελητέα. Στα πολύ µικρά η ακτινοβολία διέρχεται από όλο το σώµα λόγω του 27

µικρού τους µεγέθους, έτσι δεν υπάρχει η ανισοκατανοµή της ϑερµοκρασίας. Το ανώτατο όριο του µεγέθους D είναι ανάλογο της επιφάνειας (D 2 ), της µά- Ϲας και του όγκου (D 3 ). Ετσι η επιτάχυνση ϑα είναι ανάλογη του D 1 (Broz, 2006). Το κατώτατο όριο του µεγέθους εξαρτάται από ϑερµική αγωγιµότητα η οποία ελαττώνει τις ϑερµοκρασιακές διαφορές στην επιφάνεια και καθιστά την υπέρυθρη ακτινοβολία σχεδόν ισότροπη. Η ϱοπή YORP λειτουργεί µόνο σε µη σφαιρικά σώµατα. Εχει µια ασυµπτωτική συµπεριφορά καθώς µετα- ϐάλει την λόξωση προς το 0 ή τις 180 και την περίοδο στο 0 ή στο. Ολοι οι όροι και της δύναµης Yarkovsky και της ϱοπής YORP παράγονται από την κατανοµή της ϑερµοκρασίας πάνω στην επιφάνεια του σώµατος. Για να υπολογίσουµε το ϕαινόµενο Yarkovsky/YORP πρέπει να γνωρίζουµε : την κατανοµή της ϑερµοκρασίας στην επιφάνεια του αστεροειδή την τροχιά του το µέγεθος και το σχήµα την ιδιοπεριστροφή του την µάζα και την πυκνότητά των επιφανειακών στρωµάτων του την ανακλαστικότητα και την ϑερµική αγωγιµότητά του Είναι εξαιρετικά δύσκολο να γνωρίζουµε όλες τις παραπάνω παραµέτρους. Στην χειρότερη περίπτωση (και για την πλειοψηφία των αστεροειδών) είναι γωστή µόνο η τροχιά και οι ϕωτοµετρικές µετρήσεις ευρείας Ϲώνης. Ενας τρόπος για ξεπεραστεί αυτό το πρόβληµα είναι η µελέτη αστεροειδών τους οποίους γνωρίζουµε πολύ καλά όπως ο (6489) Golevka. Ενας άλλος τρόπος είναι να εξεταστεί η δυναµική συµπεριφορά ενός συνόλου από σώµατα (πχ. οικογένειες αστεροειδών) και να χειριστούµε τις άγνωστες παραµέτρους σαν στατιστικές ποσότητες. Στο πέρασµα του χρόνου ανακαλύφθηκαν δύο ϕαινόµενα Yarkovsky (Bottke, Vokrouhlicky, Rubincam and Broz). Το ηµερήσιο (diurnal) ϕαινόµενο Yarkovsky συµβαίνει όταν ο άξονας ιδιοπεριστροφής του αντικειµένου είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς του. Οπως είπαµε, το αντικείµενο απορρο- ϕά την ακτινοβολία του Ηλιου και την επανεκπέµπεει µε µια καθυστέρηση λόγω της πεπερασµένης ϑερµικής αγωγιµότητας. Στο µεταξύ όµως έχει στρίψει και η απορρόφηση µε την επανεκποµπή δεν είναι στην ίδια διεύθυνση. Τα ϕωτόνια που απορροφούνται και επανεκπέµπονται έχουν ορµή p = E/c. 28

Σχήµα 3.2: (α) Το ηµερήσιο ϕαινόµενο Yarkovsky. Ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς. Κατά την απορρόφηση-επανεκποµπή ο αστεροειδής περιστρέφεται και εµφανίζεται ακτινική και εφαπτοµενική συνιστώσα. Προκαλείται (εδώ) αύξηση του a ( ) da και cos γ.(ϐ) Το εποχιακό dt Y ϕαινόµενο Yarkovsky. Ο άξονας περιστροφής είναι πάνω στο επίπεδο της τροχιάς. Στα σηµεία A και C τα ηµισφαίρια κοντά στον Ηλιο απορροφούν τη µέγιστη ακτινοβολία. Στα B και D επανεκπέµπουν. Προκαλείται ελαφριά µείωση του a ( ) da και dt Y sin2 γ (Broz, 2006). Ετσι η ακτινοβολία τελικά εξέρχεται από το ϑερµό κοµµάτι δίνοντας µια µικρή ώθηση προς την ψυχρότερη. Αν το αντικείµενο δεν είχε καθόλου ϑερµική αγωγιµότητα, η ϑερµοκρασιακή κατανοµή ϑα ήταν παντού συµµετρική και έτσι η δύναµη ϑα είχε µόνο ακτινική συνιστώσα. Το µόνο αποτέλεσµα ϑα ήταν απλά αλλάξει η ταχύτητα του αντικειµένου. Με την πεπερασµένη ϑερ- µική αγωγιµότητα, υπάρχει και ένας εφαπτοµενικός όρος ο οποίος επιφέρει µακροπρόθεσµες αλλαγές στον µεγάλο ηµιάξονα (αύξηση του a αν το αντικείµενο περιφέρεται µε την ορθή τροχιά, µείωση του a αν περιφέρεται µε την ανάστροφη). Σχεδόν 100 χρόνια µετά την πρόταση του ηµερισίου ϕαινοµένου από τον Yarkovsky, προτάθηκε και ένα δεύτερο ϕαινόµενο. Το εποχιακό (seasonal) fain omeno Yarkovsky συµβαίνει όταν το αντικείµενο έχει τον άξονα ιδιοπε- ϱιστροφής του πάνω στο επίπεδο της τροχιάς. Οπως και πριν, το αντικείµενο απορροφάει την ηλιακή ακτινοβολία και την επανεκπέµπει µε µια καθυστέ- ϱηση. Η διαφορά είναι ότι σε αυτή την περίπτωση το κοµµάτι που ϑερµαίνεται (ϐόρειος πόλος ή νότιος πόλος) γίνεται ϑερµότερο σε κάποιο επόµενο σηµείο της τροχιάς του και όχι λόγω της περιστροφής του. Για το λόγο αυτό, το εποχιακό ϕαινόµενο εξαρτάται από την περίοδο περιφοράς και όχι από τη 29

συχνότητα περιστροφής του αντικειµένου. 3.3 Μαθηµατική ανάλυση Για να υπολογίσουµε τη δύναµη Yarkovsky πρέπει να υπολογίσουµε δυο πράγµατα. Πρώτον την κατανοµή της ϑερµοκρασίας στην επιφάνεια και δεύτερον, να εξάγουµε τις δυνάµεις ή τις ϱοπές (Broz, 2006). Τη ϑερµοκρασία της επιφάνειας την υπολογίζουµε από την εξίσωση της ϑερµικής διάχυσης (K T ) = ϱc T t (3.1) και από την συνοριακή συνθήκη πάνω στην επιφάνεια : (K T n ) + εσt 4 = αe (3.2) όπου K είναι η ϑερµική αγωγιµότητα, C είναι η ειδική ϑερµική ικανότητα, ϱ η πυκνότητα, ε η επιφανειακή ικανότητα εκποµπής, E η χρονοεξαρτη- µένη ϱοή της ηλιακής ακτινοβολίας στο αντικείµενο και n το κάθετο στην επιφάνεια διάνυσµα. Γνωρίζοντας το σχήµα και το πώς περιστρέφεται το αντικείµενο προσδιορίζουµε το E. Αν γωρρίζουµε και τις ιδιότητες του υλικού (K, C, ϱ) τότε οι εξισώσεις (3.1) και (3.2) µπορούν να λυθούν αριθµητικά (µε προσεγγίσεις) και να ϐρεθεί η ϑερµοκρασία T. Θεωρούµε τώρα ότι το αντικείµενο έχει µικρή εκκεντρότητα, σφαιρικό σχήµα και περιστρέφεται γύρω από έναν τυχαίο άξονα περιστροφής. Ετσι περιµένουµε και ηµερίσιους όρους και εποχιακούς, µιας και ο άξονας δεν είναι ούτε κάθετος ούτε παράλληλος στο επίπεδο της τροχιάς. Υπολογίζουµε την δύναµη της εκπεµπόµενης ακτινοβολίας ως F Y = 2 εσ 3 c S T 4 n ds (3.3) και την ϱοπή M Y = S r df Y = 2 εσ r n T 4 ds (3.4) 3 c S Αν ϑεωρήσουµε ένα τοπικό σύστηµα αξόνων (x, y, z) µε το επίπεδο xy να συµπίπτει µε το επίπεδο της τροχιάς ϑα δούµε ότι η δύναµη αναλύεται σε τρεις 30

συνιστώσες. Οι F x και F y είναι οι συνιστώσες του ηµερισίου ϕαινοµένου και εξαρτώνται από την γωνιακή συχνότητα περιστροφής του αντικειµένου ω ενώ η συνιστώσα F z εξαρτάται από την µέση κίνηση n και αποτελεί την συνιστώσα του εποχιακού ϕαινοµένου. Αν αγνοήσουµε την εκκεντρότητα, τότε οι µεταβολές στον µεγάλο ηµιάξονα από τα δυο ϕαινόµενα περιγράφονται από τις σχέσεις (Bottke Jr, Vokrouhlicky, Rubincam and Broz) : ( ) da dt ( ) da dt diurnal seasonal = 8αΦ 9n F ω(r, Θ) cos γ (3.5) = 4αΦ 9n F n(r, Θ) sin 2 γ (3.6) όπου γ η λόξωση του άξονα του αντικειµένου και F είναι µια συνάρτηση της ϑερµικής παραµέτρου Θ και του R = R/l ν όπου l ν το µήκος διείσδυσης της ακτινοβολίας. Αν γνωρίζουµε τις µέσες τιµές των παραµέτρων Θ, α, Φ, γ και R για τους αστεροειδείς της κυριας Ϲώνης τότε η µέση τιµή της ηµερήσιας συνιστώσας (da/dt) diurnal παίρνει τη µορφή (Τσιγάνης, 2012) ( da dt ) Y = 2.7 10 4. (3.7) D Οι µονάδες της µεταβολής αυτής είναι AU/Myr ενώ του D σε km. Μπο- ϱούµε να καταλάβουµε λοιπόν ότι για σώµατα µε διαστάσεις µερικών χιλι- µέτρων, η ταχύτητα Yarkovsky ϑα είναι της τάξης του 10 4 AU/Myr ενώ για σώµατα µε διαστάσεις µερικών εκατοντάδων µέτρων, ϑα είναι της τάξης του 10 3 AU/Myr. 3.4 Εφαρµογές 3.4.1 Μεταφορά αντικειµένων από την κύρια Ϲώνη Ενα µεγάλο πρόβληµα που απασχολούσε τους επιστήµονες για πολλά χρόνια ήταν το πώς ϐρέθηκαν µικροί αστεροειδείς και µετεωροειδείς στην γειτονιά της Γης. Ερευνες πάνω στο ϕαινόµενο Yarkovsky έδειξαν όχι µόνο ότι τα αντικεί- µενα αυτά προήλθαν από την κύρια Ϲώνη αλλά και από ποια σηµεία ακριβώς (http://www.scholarpedia.org/article/yarkovsky_and_yorp_effects). Από µόνο του, το ϕαινόµενο Yarkovsky είδαµε ότι προκαλεί µια µεταβολή στον µεγάλο ηµιάξονα σε µακρόχρονη κλίµακα. Αυτή όµως δεν είναι αρκετή 31

για να κινήσει ϑραύσµατα µεγάλων αστεροειδών από την κύρια Ϲώνη στο κοντινό περιβάλλον της Γης. Αν γινόταν αυτό ϑα χρειαζόντουσαν πολύ µεγάλες χρονικές κλίµακες ή εξωπραγµατικές τιµές στις ϑερµικές παραµέτρους και τους ϱυθµούς περιστροφής. Προσοµειώσεις έδειξαν ότι ο κύριος µηχανισµός µεταφοράς αντικειµένων από την κύρια Ϲώνη είναι η διέλευση από έναν µεγάλο συντονισµό. Η δύναµη Yarkovsky µειώνει τον µεγάλο ηµιάξονα του αντικειµένου σιγά σιγά ώσπου να πιαστεί από έναν συντονισµό και να αλλάξει απότοµα η εκκεντρότητά του. Αυτό ϑα έχει σαν αποτέλεσµα, ο αστεροειδής να τµήσει την τροχιά του Άρη και κατ επέκταση να πιαστεί στο πεδίο της Γης και να γίνει ένας παραγήινος αστεροειδής (Near Earth Asteroid, NEA). 3.4.2 ιασπορά οικογενειών αστεροειδών Οπως προείπαµε, οι οικογένειες αστεροειδών είναι σµήνη που δηµιουργούνται από συγκρούσεις µεγάλων αστεροειδών µε µεγάλες ταχύτητες. Γίνονται αντιληπτοί από τον χώρο τον ίδιων στοιχείων διότι έχουν παρόµοιες τιµές στα στοιχεία τους και υπάρχει η πιθανότητα σύγχυσης στον χώρο των στιγµιαίων στοιχείων. Ο κυριότερος όρος στο ϕαινόµενο Yarkovsky είναι ο ηµερήσιος και λόγω αυτού οι οικογένειες υφίστανται και ϑετικές και αρνητικές µεταβολές στον µεγάλο ηµιάξονα. Κατά την εξέλιξη αυτή µπορούν µερικά αντικείµενα να επηρρεαστούν από µικρούς συντονισµούς αυξάνοντας σιγά σιγά την εκκεντρότητα και την κλίση τους (e p, sin i p ). Κάποια στιγµή ϑα διέλθουν από έναν µεγαλύτερο συντονισµό ο οποίος ϑα τους διώξει έξω από την οικογένεια και την κύρια Ϲώνη. 32

Κεφάλαιο 4 Η επίδραση του ϕαινοµένου Yarkovsky στους Τρωικούς 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούµενα κεφάλαια είδαµε την κίνηση των Τρωικών αστεροειδών κάτω από ϐαρυτικές δυνάµεις. Τα σώµατα αυτά ϐρίσκονται σε 1:1 συντονισµό µε το ία και εκτελούν ατρακτοειδείς τροχιές (tadpole orbits) γύρω από τα ευσταθή σηµεία Lagrange L 4 και L 5. Αυτό σηµαίνει ότι το σχετικό µέσο µήκος παίρνει τιµές λ λ = ± π. Επίσης είδαµε τι ϑα συµβεί σε µικρούς αστεροειδείς της κύριας Ϲώνης αν εκτός από τις ϐαρυτικές δυνάµεις, επιδράσει και 3 η δύναµη Yarkovsky λόγω της καθυστερηµένης επανεκποµπής της ηλιακής ακτινοβολίας από την επιφάνειά τους. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε µε την επίδραση αυτής της δύναµης µη ϐαρυτικής ϕύσης στους Τρωικούς αστεροειδείς. 33

4.2 Περιγραφή του µοντέλου Το µοντέλο που χρησιµοποιούµε αποτελείται από τον Ηλιο και τους τέσσερις αέριους γίγαντες ία, Κρόνο, Ουρανό και Ποσειδώνα. Χρησιµοποιήθηκαν 1584 δοκιµαστικά σωµατίδια στις ϑέσεις των πραγµατικών Τρωικών γύρω α- πό το L 4. Οι αρχικές συνθήκες τους πάρθηκαν από την ϐιβλιοθήκη AstDys 1. Αυτή περιλαµβάνει πλήρεις καταλόγους µε τα στιγµιαία και τα ιδανικά στοιχεία της τροχιάς. Η ολοκλήρωση των τροχιών έγινε µε το πακέτο SWIFT (Levison, Duncan, 1994) και συγκεκριµένα µε τον µεικτό συµπλεκτικό αλγόριθµο (Mixed Variable Symplectic) των Wisdom και Holman (1991). Η ολοκλήρωση πραγ- µατοποιήθηκε δύο ϕορές µε τις ίδιες αρχικές ( συνθήκες ) µία για κάθε ταχύτητα da Yarkovsky.Οι ταχύτητες αυτές είχαν τιµές = 2, 7 dt Y 10 4 AU/Myr και ( da ) = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr. Η ολοκήρωση διήρκησε κάποιους µήνες. Για την γρηγορότερη απόδοση αλλά και την αποφυγή διακοπών ϱεύµατος, τα δοκιµαστικά σωµατίδια χωρίστηκαν σε ογδοντάδες οι οποίες ολοκληρώθηκαν ξεχωριστά. Το πρώτο πράγµα που έπρεπε να κάνουµε ήταν να µετατρέψουµε τα στιγµιαία στοιχεία της τροχιάς (a, e, i, Ω, ω, n) σε καρτεσιανές συντεταγµένες (x, y, z, v x, v y, v z ) µε τις οποίες δουλεύει ο αλγόριθµος. Για να γίνει αυτό υπολογίζεται πρώτα η µέση ανωµαλία M = n(t τ) (4.1) όπου τ ο χρόνος διάβασης από το περίκεντρο. Κατόπιν υπολογίζεται η έκκεντρη ανωµαλία από τη σχέση και η αληθής ανωµαλία M = E e sin E (4.2) tan f ( ) 1/2 1 + e 2 = tan E 1 e 2. (4.3) Υπολογίζοντας το µέτρο του διανύσµατος ϑέσης r = a(1 e cos E) = p 1 + e cos f (4.4) 1 hamilton.dm.unipi.it/astdys 34

(όπου p η ηµιπαράµετρος της έλλειψης p = a(1 e 2 )) και το µέτρο της ειδικής στροφορµής h = µa(1 e 2 ) (4.5) καταλήγουµε στους µετασχηµατισµούς και x = r(cos Ω cos(ω + f) sin Ω sin(ω + f) cos i) (4.6) y = r(sin Ω cos(ω + f) + cos Ω sin(ω + f) cos i) (4.7) z = r(sin i sin(ω + f)) (4.8) v x = xhe rp sin f h (cos Ω sin(ω + f) + sin Ω cos(ω + f) cos i) (4.9) r v y = yhe rp sin f h (sin Ω sin(ω + f) cos Ω cos(ω + f) cos i) (4.10) r v z = zhe rp sin f + h sin i cos(ω + f) (4.11) r Οι τροχιές των σωµατιδίων ολοκληρώθηκαν για 1 δισεκατοµµύριο χρόνια (1 Gyr = 10 9 yrs). Το χρονικό ϐήµα ήταν 0,125 yrs. Η ολοκλήρωση ϑα σταµατούσε µε δύο τρόπους, είτε ϕτάνοντας στον τελικό χρόνο, είτε µε µια κοντινή προσέγγιση. Η κοντινή προσέγγιση συνέβαινε αν το δοκιµαστικό σωµατίδιο περνούσε µέσα στην σφαίρα Hill του ία. 35

Σχήµα 4.1: Οι αρχικές συνθήκες 1584 Τρωικών στον χώρο των ίδιων στοιχείων 36

Σχήµα 4.2: Οι αρχικές συνθήκες στον τριδιάστατο χώρο των ίδιων στοιχείων 37

4.3 Αποτελέσµατα 4.3.1 Ποσοστά διαφυγόντων Τελειώνοντας η ολοκλήρωση των τροχιών και για τις δυο ταχύτητες Yarkovsky παρατηρήσαµε ϐασικά ότι ( το) ϕαινόµενο έχει επιρροή στους Τρωικούς. Ενα 5,11% απέδρασε για = 2, 7 dt Y 10 4 AU/Myr και ένα 28,16% για da ( da ) = 2, 7 dt Y 10 3 AUMyr. Για να γίνουν πιο κατανοητά αυτά χωρίσαµε τις αρχικές συνθήκες (στον χώρο των ίδιων στοιχείων) σε περιοχές του i ή του sin i p. Η πρώτη ϑα είναι για 0 < i < 10, η δεύτερη για 10 < i < 20 και η τρίτη για 20 < i < 30. Αυτό έγινε για να έχουµε µια καλύτερη εποπτεία για το από πού έφυγαν τα σωµατίδια. Οπως ϐλέπουµε στο Σχήµα 4.3 ϕαίνονται µε χρώµα τα διαφυγόντα σωµατίδια καθώς και οι τρεις διαφορετικές περιπτώσεις ως προς το i p ή το sin i p. Κατασκευάζοντας τα διαγράµµατα e-d µόνο για κάθε περιοχή του i (Σχήµατα 4.4, 4.5, 4.6) υπολογίζουµε τα ποσοστά των ( διαφυγόντων ) επί του συνολικού αριθµού σωµατιδίων της κάθε da ϕέτας. Για = 2, 7 dt Y 10 4 AU/Myr ( τα ποσοστά είναι 4,8%, 5,7% και ) da 5,6% µε την αύξηση του i, ενώ για = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr τα ποσοστά είναι 28,5%, 29,8% και 29,7% µε την αύξηση του i. Από τα διαγράµµατα αυτά παρατηρούµε ότι από όλες τις περιοχές του i αποδρούν µε περίπου το ίδιο ποσοστό. Άρα η απόδρασή τους είναι ανεξάρτητη από τις αρχικές τους ϑέσεις. 38

Σχήµα 4.3: Κατανοµές διαφυγόντων (έγχρωµα) στον χώρο των ιδανικών στοιχείων. Κόκκινο για 0 < i < 10, πράσινο για 10 < i < 20 και µπλε για 20 < i < 30 ( ) da. Πάνω για = 2, 7 dt Y 10 4 AU/Myr, κάτω για ( da ) = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr. 39

Σχήµα 4.4: ιαγράµµατα για 0 < i < 10 ( ) da. Πάνω για = 2, 7 dt Y 10 ( ) 4 da AU/Myr, κάτω για = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr. 40

Σχήµα 4.5: ιαγράµµατα για 10 < i < 20 ( ) da. Πάνω για = 2, 7 dt Y 10 ( ) 4 da AU/Myr, κάτω για = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr. 41

Σχήµα 4.6: ιαγράµµατα για 20 < i < 30 ( ) da. Πάνω για = 2, 7 dt Y 10 ( ) 4 da AU/Myr, κάτω για = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr. 42

4.3.2 Μεταβολές των a και e Πέρα από το πλήθος των διαφυγόντων Τρωικών µας ενδιαφέρει και η µεταβολή στα στοιχεία της τροχιάς τους. Ετσι µε τον αλγόριθµο follow του πακέτου SWIFT εµφανίσαµε µερικές τροχιές και σχεδιάσαµε τις µεταβολές του εύ- ϱους λίκνισης και του πλάτους ταλάντωσης της εκκενρότητας e για κάθε µία από ( τις δυο ταχύτητες Yarkovsky. Με µια πρώτη µατιά, ϐλέπουµε ότι για da ) = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr (Σχήµα 4.7) το εύρος λίκνισης αυξάνεται ενώ το πλάτος ταλάντωσης ( της ) εκκεντρότητας µειώνεται. Οι µεταβολές αυτές είναι da αρκετά έντονες. Για = 2, dt Y 7 10 4 AU/Myr (Σχήµα ;;) το εύρος λίκνισης αυξάνεται πιο αργά από πριν αλλά η µεταβολή στο πλάτος ταλάντωσης της e δεν είναι σαφής. Και µε αυτό εννοούµε ότι για µερικές τροχιές το πλάτος της ταλάντωσης της e αυξάνεται, για άλλες µειώνεται ελαφρά, για άλλες υφίσταται πολλές αλλαγές κ.τ.λ. Σχήµα 4.7: ( ) Χρονική εξέλιξη του εύρους λίκνισης και της εκκεντρότητας. da Πάνω για = 2, ( ) dt Y 7 10 3 da AU/Myr, κάτω για = 2, dt Y 7 10 4 AU/Myr. Για να γίνουν πιο κατανοητές οι αλλαγές της εκκεντρότητας και του µεγάλου ηµιάξονα αρκεί να σχεδιάσουµε τις χρονοσειρές των µεγίστων των πα- 43

ϱαπάνω γραφικών παραστάσεων. Για να το πετύχουµε αυτό χωρίσαµε κάθε τροχιά σε παράθυρα των 10 5 χρόνων το καθένα (Σχήµα 4.8). Η επιλογή αυτή έγινε έτσι ώστε κάθε παράθυρο να περιλαµβάνει τουλάχιστον ένα τοπικό µέγιστο. Κατόπιν υπολογίσαµε και εµφανίσαµε τις µέγιστες τιµές καθώς και τις αντίστοιχες χρονικές στιγµές για κάθε παράθυρο και σχεδιάσαµε τα αποτελέσµατα. Σχήµα 4.8: Χωρισµός των τροχιών σε παράθυρα και υπολογισµός της µέγιστης τιµής (a max, e max ) στο καθένα. (Στο σχήµα τα παράθυρα είναι τυχαία σχεδιασµένα για εποπτικούς λόγους.) ( ) da Παρατηρούµε ότι για = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr (Σχήµα 4.9) οι γραφικές παραστάσεις µπορούν να προσεγγιστούν αρκετά καλά µε ευθείες µέχρι τουλάχιστον το 75% του ολικού αριθµού των σηµείων τους. Φαίνεται καθαρά ότι το a max ( ) αυξάνει µε το χρόνο ενώ το e max µειώνεται. da Για = 2, 7 dt Y 10 4 AU/Myr (Σχήµα 4.10) το a max αυξάνεται µε µικρότερο ϱυθµό ως επί το πλείστον. Εξαίρεση αποτελούν µερικές τροχιές οι οποίες εµφανίζουν απότοµη αύξηση του a max οι οποίες είναι πολύ λίγες σε σχέση µε αυτές που περιγράψαµε προηγουµένως. Τέτοιες περιπτώσεις µπορούµε να τις απαλείψουµε γιατί η απότοµη κλίση τους (παρόλο που είναι λίγες) επηρεάζει την µέση τιµή της κλίσης όλων των καµπυλών. Οσον 44

( Σχήµα 4.9: ιαγράµµατα των a max και e max µερικών τυχαίων τροχιών για da ) = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr. 45

( Σχήµα 4.10: ιαγράµµατα των a max και e max µερικών τυχαίων τροχιών για da ) = 2, 7 dt Y 10 4 AU/Myr. 46

< A > ( 10 10 AUyr 1 ) < E > ( 10 11 yr 1 ) 0 < i < 10 2.1 ± 0.203 0.6 ± 0.107 10 < i < 20 3.07 ± 0.88 1.71 ± 0.744 20 < i < 30 7.19 ± 0.524 1.16 ± 0.14 < A > ( 10 10 AUyr 1 ) < E > ( 10 11 yr 1 ) 0 < i < 10 1.8 ± 0.414 0.272 ± 0.101 10 < i < 20 1.52 ± 0.363 0.318 ± 0.129 20 < i < 30 2.51 ± 0.857 0.33 ± 0.147 Πίνακας 4.1: ( ) Μέσες τιµές των κλίσεων των ευθειών του a max (t) και e max (t). da Πάνω για = 2, ( ) dt Y 7 10 3 da AU/Myr, κάτω για = 2, dt Y 7 10 4 AU/Myr. αφορά το e max, παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει µια σαφήνεια στη µεταβολή όπως στην προηγούµενη περίπτωση, αλλά ϕαίνεται να µη µεταβάλεται πολύ. Υπάρχουν αρκετές τροχιές των οποίων το e max αυξάνεται ελαφρώς, άλλες των οποίων µειώνεται, µερικές ϕαινοµενικά σταθερών κλίσεων και αρκετές απροσδιόριστες. Παρόλα αυτά τις προσεγγίσαµε και αυτές µε ευθείες ελαχίστων τετραγώνων στο αρχικό τους κοµµάτι. Θεωρήσαµε ότι οι ευθείες αυτές ικανοποιούν τις εξισώσεις a max = At + B (4.12) e max = Et + C (4.13) ( ) da για τις ταχύτητες = 2, dt Y 7 10 3 AU/Myr ( ) da και = 2, dt Y 7 10 4 AU/Myr αντίστοιχα, υπολογίσαµε αριθµητικά τις κλίσεις A και E όλων των τροχιών και ϐρήκαµε την µέση τιµή τους < A > και < E > για κάθε ϕέτα του i. Τα αποτελέσµατα ϕαίνονται στον Πίνακα 4.1. ( Φαίνεται ) πλέον ποσοτικά η da µεγαλύτερη κλίση στον µεγάλο ηµιάξονα για = 2, 7 dt Y 10 3 AU/yr και η µείωση στην εκκεντρότητα για την ίδια ταχύτητα. 47

4.3.3 Χρόνοι ιαφυγής Για κάθε σωµατίδο που απέδρασε σηµειώθηκε ο χρόνος διαφυγής του. Ετσι για κάθε µια από τις δυο ταχύτητες Yarkovsky χωρίσαµε το σύνολο των χρόνων διαφυγής σε κλάσεις των 2 10 8 χρόνων και σχεδιάσαµε τα ιστογράµµατα του ποσοστού (για κάθε ϕέτα του i) των διαφυγόντων ( ) σωµατιδίων ανά κλάση da (Σχήµα 4.11). Παρατηρούµε αµέσως ότι για = 2.7 dt Y 10 3 AU/Myr εκτός του ότι είναι σαφές ότι αποδρούν πολλά σωµατίδια, η κατανοµή µοιάζει µε κανονική ( ) µε το µέγιστο περίπου στα 5.1 10 8 χρόνια (για 0 < i < 10 ). da Για = 2.7 dt Y 10 4 AU/Myr παρατηρούµε (εκτός του ότι είναι λιγότερα) ότι δεν είναι σαφής ο προσδιορισµός της κατανοµής. Είδαµε ότι περισσότερα σωµατίδια αποδρούν από τις µικρότερες κλίσεις στο χώρο των ιδανικών στοιχείων (Σχήµατα 4.4, 4.5, 4.6). Μπορούµε να συνδυάσουµε τις τελευταίες µας παρατηρήσεις κατασκευάζοντας τα διαγράµ- µατα των κατανοµών των χρόνων διαφυγής T esc ως προς το sin i p όλων των διαφυγόντων (Σχήµα 4.12). Παρατηρείται µεγάλη διασπορά των χρόνων δια- ϕυγής ως προς την κλίση. Αν από κάθε περιοχή του i υπολογίσουµε την µέση τιµή του T esc προκύπτουν τρία σηµεία (για κάθε ένα από τα παραπάνω διαγράµµατα) ( ) στα οποία περάσαµε µια ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. Ετσι da για = 2.7 dt Y 10 4 AU/Myr η ευθεία προκύπτει T esc = ( 1.95 ± 0.535) 10 7 sin i p + (3.837 ± 0.1525) 10 7 (4.14) T J ( ) da ενώ για = 2, 7 dt Y 10 3 AU/Myr η ευθεία έχει τη µορφή T esc T J = ( 1.736 ± 0.1734) 10 7 sin i p + (4.5473 ± 0.488) 10 7. (4.15) 48

Σχήµα 4.11: Ιστογράµµατα κατανοµών των διαφυγόντων σωµατιδίων ως προς κλάσεις των χρόνων. Ο κατακόρυφος άξονας είναι το ποσοστό N esc /N tot για κάθε ϕέτα του i. Πάνω για 0 < i < 10, µέση για 10 < i < 20 και κάτω για 20 < i < 30 ( ) ( da. Πυκνά χρώµατα για = 2.7 dt Y 10 3 AU/Myr και αραιά ) da χρώµατα για = 2, 7 dt Y 10 4 AU/Myr. 49