ΕΑΠ ΦΥΕ 4 Σύντοµες Απαντήσεις στην Εξέταση Ιουνίου 4 στο µάθηµα «Από την Κασική στην Σύγχρονη Φυσική» ) Η σειρά Balmer του γραµµικού φάσµατος του ατόµου του υδρογόνου αντιστοιχεί σε µεταβάσεις ηεκτρονίων που καταήγουν στην στιβάδα n. είτε παραδείγµατα.7,.8, Άσκησεις, 4, στην σείδα 9 του Serway. ( α ) Το µέγιστο µήκος κύµατος της σειράς Balmer είναι : A B Γ E 76 nm 66 nm 76 nm 86 nm 6 nm ΣΤ Τίποτα απ όα αυτά. Επεξηγήστε. ( β ) Το µικρότερο δυνατό µήκος κύµατος της σειράς Balmer είναι : A 46 nm B 76 nm Γ 6 nm 66 nm E 76 nm ΣΤ Τίποτα απ όα αυτά. Επεξηγήστε. Eπιέξατε µια µόνο από τις απαντήσεις, που πιστεύετε ότι ταιριάζει καύτερα σε κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις. Θα πρέπει να φαίνονται οι πράξεις που οδηγούν στο συγκεκριµένο αποτέεσµα. ( γ ) Βρείτε την ενέργεια σε ev του φωτονίου της σειράς Balmer, που έχει το µικρότερο µήκος κύµατος.4 ev (µε αριθµητική τιµή και µονάδες) (δ) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις, οι οποίες αφορούν τη συχνότητα ν και το µήκος κύµατος µιας φασµατικής γραµµής είναι κατά τη γνώµη σας σωστές, όπου, είναι τα µήκη κύµατος και ν,ν οι συχνότητες δύο άων φασµατικών γραµµών. Α το µήκος κύµατος δίνεται από τη σχέση Β η συχνότητα ν δίνεται από τη σχέση ν ν ν
Γ το µήκος κύµατος δίνεται από τη σχέση η συχνότητα ν δίνεται από τη σχέση ν ν ν Ε το µήκος κύµατος δίνεται από τη σχέση c c c + ΣΤ Τίποτα απ όα αυτά. Επεξηγήστε. Συνδυαστική αρχή, ιατήρηση της ενέργειας ) Η κασσική σχέση για την συνάρτηση φασµατικής πυκνότητας u (ν,τ) δίνεται από 8π τον τύπο: u( ν, T) ν kt Β (σχέση των Rayleigh-Jeans). είτε δεύτερη εργασία c (α) Εξηγείστε ποιοτικά ότι η σχέση των Rayleigh-Jeans, δεν είναι αποδεκτή και δεν µπορεί να περιγράψει τους πειραµατικούς νόµους των Stephan-Bltzmann και Wien (νόµο µετατοπίσεως του Wien). Υπεριώδης καταστροφή, ν max, Ισχύς Ι. Γι αυτό τον όγο ο Wien επινόησε τον παρακάτω εµπειρικό τύπο για την συνάρτηση αν u(ν,τ) : u( ν, T) Aν e k Β T, όπου Α και α αυθαίρετες θετικές σταθερές, οι οποίες προσδιορίζονται εµπειρικά συγκρίνοντας µε τις πειραµατικές µετρήσεις. είξτε ότι, πράγµατι ο τύπος αυτός δεν έχει τα προβήµατα της κασσικής σχέσης των Rayleigh-Jeans). ηαδή δικαιοογεί: (β) τον πειραµατικό νόµο µετατοπίσεως του Wien u( ν, T) v, είτε δεύτερη εργασία (γ) καθώς και τον πειραµατικό νόµο των Stephan και Bltzmann. 4 ( ν, ) είτε δεύτερη εργασία I u T dv I T (δ) Εξηγήστε ότι, παρόα αυτά, η παραπάνω εµπειρική συνάρτηση του Wien δεν είναι αποδεκτή. Γιατί; εν ικανοποιεί την αρχή της αντιστοιχίας για ν ) Χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα του παρακάτω πίνακα για το έργο εξόδου Φ σε ev, βρείτε: (α) για το Νάτριο την οριακή συχνότητα κάτω από την οποία δεν παρατηρείται φωτοηεκτρικό φαινόµενο. είτε δεύτερη εργασία hv Φ K όταν Κ σταµατάει να παρατηρείται φωτοηεκτρικό φαινόµενο, οπότε:
Φ v 6 h 4 Hz Μέταο Φ (ev) Μέταο Φ (ev) Al 4. K. Be. Mn.7 Ca.9 Na. Cs. Ni. Cu 4.7 Pb 4. Fe 4. Pt.7 Hg 4. Zn 4. (β) ποια θα ήταν η µέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηεκτρονίων που θα µπορούσαν να εκπεµφθούν από µια µεταική επιφάνεια Νατρίου (Na), (γ) Καισίου (Cs) και (δ) Χακού (Cu), όταν φωτίζονται µε µονοχρωµατικό κόκκινο φως ( 7 Ả); Τι αάζει στην απάντησή σας εάν χρησιµοποιήσουµε µονοχρωµατικό κυανό φως ( 4 Ả); Για 7 Ả, Κ<. Άρα δεν µπορεί να συµβεί φωτοηεκτρικό φαινόµενο Για 4 Ả, Κ Na.6 ev, Κ Cs. ev, Κ Cu < : Αδύνατο. (ε) Αναφέρετε ένα κριτήριο µε βάση το οποίου να αξιοογήσετε ποιο (ή ποια) από τα στοιχεία του πίνακα θα ήταν καταηότερο, κατά την γνώµη σας, για την κατασκευή φωτοηεκτρικών στοιχείων. Ποιο θα ήταν το ιγότερο κατάηο; Το Cs το οποίο έχει το µικρότερο έργο εξόδου. 4) Ένα ηεκτρόνιο βρίσκεται στην χαµηότερη στάσιµη ενεργειακή κατάσταση, περιορισµένο µέσα σε ένα µονοδιάστατο απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού («κουτί») εύρους LẢ. (α) είξτε, µε όποια µέθοδο επιθυµείτε, ότι οι ενεργειακές καταστάσεις του σωµατιδίου δίνονται από τη σχέση π En n n ml,,,, Στάσιµο κύµα de Brglie, της µορφής Ψ ( x) Asin( kx), Ψ ( x, t) Asin( kx)cs( ωt).
Ψ (), Ψ ( L) Asin( kl). Άρα klnπ, ή E n h n 8mL k π E E n n m ml n,,,, (β) Ποια είναι η αβεβαιότητα στη θέση και την ενέργεια του σωµατιδίου; x L Ả, Ε (καθορισµένη ενέργεια, σύµφωνα µε την ορµή, ± k ). En π ml n, αά µη καθορισµένη (γ) Για να προσδιορίσουµε την θέση του ηεκτρονίου µέσα στο κουτί µε δεκαπάσια ακρίβεια, χρησιµοποιούµε φωτόνια µήκους κύµατος. Ả ( συµπηρώστε τα κενά). (δ) Ποια θα είναι µετά την µέτρηση η αβεβαιότητα στην ενέργεια του; Η ενέργεια του ηεκτρονίου πριν την µέτρηση θα είναι: h ( hc) (4 ev A) E 8 ev 8mL 8( mc ) L 6 8(. ev ) (. A) Η αβεβαιότητα στην τιµή αυτή της ενέργειας (εφόσον έχουµε ένα σταθερό σωµάτιο, στην χαµηότερη ενεργειακή κατάσταση και δεν κάνουµε κάποια µέτρηση ώστε να το διαταράξουµε) είναι µηδέν (ενέργεια απόυτα καθορισµένη, στις στάσιµες καταστάσεις). Η αβεβαιότητα Ε στην ενέργεια του ηεκτρονίου µετά την µέτρηση θα είναι όση και η ενέργεια του φωτονίου Ε Φ µήκους κύµατος.ả. ηαδή: 4 ev A E.4. A ev (ε) Σε ποιες ενεργειακές καταστάσεις θα µπορούσε να βρεθεί το ηεκτρόνιο µετά τη µέτρηση; Το ηεκτρόνιο µπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε κατάσταση n όπου En E, ή: E.4 ev n E E, n 6. 8 ev E ax ) (α) Επαηθεύσατε ότι η συνάρτηση ψ ( x) Ae, όπου Α και α θετικές σταθερές, περιγράφει την κυµατοσυνάρτηση της θεµειώδους καταστάσεως ενός αρµονικού τααντωτή µάζας m και συχνότητας ω. Η δυναµική ενέργεια του αρµονικού τααντωτή δίνεται από τη σχέση: 4
V( x) Dx m x ω, όπου ω η (ιδιο)συχνότητα του τααντωτή. Άρα η (χρονοανεξάρτητη) εξίσωση του Schrödinger γράφεται: d ψ( x) me mω + x ψ x ( ). ax Έχουµε: ψ ( x) Ce, dψ ( x) ax C( ax) e και d ψ ( x) ax C( a+ 4 a x ) e. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του Schrödinger βρίσκουµε: ax me mω Ce ( a + 4 a x ) + x Για να ικανοποιείται αυτή η εξίσωση για κάθε τιµή του x θα πρέπει το άθροισµα των σταθερών όρων καθώς και των όρων που είναι ανάογοι προς x να ίσο µε me µηδέν. ηαδή: a και ( a) mω. (β) Βρείτε την τιµή της σταθεράς α και την ενέργεια της θεµειώδους καταστάσεως του αρµονικού τααντωτή συναρτήσει των χαρακτηριστικών ποσοτήτων του τααντωτή m και mω ω. Άρα: a και E ω. (δ) ώστε µια µαθηµατική έκφραση από την οποία θα µπορούσε να προσδιοριστεί η τιµή της σταθεράς Α. + + 4 a x Ψ ( x), A e (ε) ώστε µια µαθηµατική έκφραση για την πιθανότητα να βρεθεί το σωµάτιο από την θέση x έως την θέση x x. x x 4 a x. P(, x ) Ψ ( x) A e