ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών κατοπτρικής συµµετρίας ως προς ευθεία, στο επίπεδο. Σχηµατισµός του ειδώλου τροχιάς κατά την ανάκλαση σε επίπεδο κάτοπτρο. [ ύο διδακτικές ώρες] Ενδεικτικό σχήµα Τµήµα: Ονοµ/νυµο µαθητών: 1.. 3. ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Κεντρική ιδέα του σεναρίου Γνωρίζουµε ότι κατά την ανάκλαση του φωτός σε επίπεδα κάτοπτρα, σχηµατίζονται είδωλα που είναι συµµετρικά των φωτεινών αντικειµένων, ως προς το επίπεδο που ορίζεται από το κάτοπτρο. Εποµένως, για να κατασκευάσουµε το είδωλο ενός αντικειµένου, αρκεί να βρούµε πώς µετασχηµατίζονται οι συντεταγµένες κάθε σηµείου του, κάτω από ένα µετασχηµατισµό συµµετρίας ως προς το επίπεδο του κατόπτρου. Στο παρόν σενάριο εργαζόµαστε σε ένα δισδιάστατο χώρο. Οι καρτεσιανές συντεταγµένες των σηµείων του προσδιορίζονται ως προς ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων x-y. Τοποθετούµε το επίπεδο κάτοπτρο κατά µήκος της ευθείας y = tan( θ) x όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει το κάτοπτρο µε τον άξονα x. Μεταβάλλοντας τη γωνία θ µπορούµε να περιστρέφουµε το κάτοπτρο ως προς τους άξονες x-y. Για µια θέση του κατόπτρου (δηλαδή για µια τιµή της γωνίας θ), βρίσκουµε το µετασχηµατισµό των συντεταγµένων που απεικονίζει τυχαίο σηµείο (x,y) στο συµµετρικό του (X,Y), ως προς το κάτοπτρο. Η αναλυτική έκφραση του µετασχηµατισµού, δίνεται από τις σχέσεις: X= Y= (1 λ ) x+ λ y 1+λ λ x (1 λ ) y 1+λ Στη συνέχεια, θεωρούµε ότι τα σηµεία (x,y) διαγράφουν µία καµπύλη του επιπέδου, για παράδειγµα ένα κύκλο, και επιχειρούµε να απαντήσουµε στο ερώτηµα: Πώς απεικονίζεται η καµπύλη αυτή µέσω του µετασχηµατισµού κατοπτρικής συµµετρίας, που βρήκαµε στο προηγούµενο βήµα; είχνουµε θεωρητικά ότι το σχήµα της καµπύλης που διαγράφει το φωτεινό αντικείµενο διατηρείται αναλλοίωτο ως προς κάθε µετασχηµατισµό κατοπτρικής συµµετρίας. Η επιβεβαίωση των συµπερασµάτων που προέκυψαν από τη θεωρητική µελέτη των µετασχηµατισµών κατοπτρικής συµµετρίας και της δράσης τους πάνω σε καµπύλες του επιπέδου, γίνεται στο περιβάλλον του εκπαιδευτικού λογισµικού MODELLUS: Κατασκευάζουµε ένα µοντέλο, όπου σχηµατίζεται ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των σηµείων µιας τροχιάς (καµπύλης) µέσω του µετασχηµατισµού κατοπτρικής συµµετρίας, που αντιστοιχεί στη συγκεκριµένη θέση του κατόπτρου. Έχουµε τη δυνατότητα να αλλάζουµε τόσο τη µορφή της τροχιάς, όσο και τη θέση του κατόπτρου και σε κάθε περίπτωση να ελέγχουµε αν το σχήµα της τροχιάς διατηρείται αναλλοίωτο κάτω από τον αντίστοιχο µετασχηµατισµό κατοπτρικής συµµετρίας. ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Τι χρειάζεται να γνωρίζεις από τη Φυσική και τα Μαθηµατικά. Φυσική: Ανάκλαση σε επίπεδο καθρέφτη 1) Θεώρησε µια σηµειακή φωτεινή πηγή (που ορίζεται ως φωτεινό αντικείµενο) και έναν επίπεδο καθρέφτη. Οι φωτεινές ακτίνες που εκπέµπονται από το φωτεινό σηµείο και συναντούν τον καθρέφτη, αλλάζουν κατεύθυνση: υφίσταται ανάκλαση. Η κατεύθυνση κάθε ανακλώµενης ακτίνας προσδιορίζεται από τους ακόλουθους δύο νόµους της ανάκλασης (σχήµα 1): a) Η ανακλώµενη και η προσπίπτουσα ακτίνα, µαζί µε την κάθετη ευθεία στην επιφάνεια του καθρέφτη που περνάει από το σηµείο πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Εικόνα 1: Το Α είναι συµµετρικό του Α ως προς το επίπεδο του καθρέφτη. b) Η κάθετη ευθεία σχηµατίζει µε την προσπίπτουσα και την ανακλώµενη ακτίνα δύο γωνίες: τη γωνία πρόσπτωσης και τη γωνία ανάκλασης αντίστοιχα. Οι γωνίες αυτές είναι ίσες. ) Οι ανακλώµενες ακτίνες φαίνεται ότι προέρχονται από ένα φανταστικό φωτεινό σηµείο, που βρίσκεται πίσω από τον καθρέφτη. Το σηµείο αυτό ονοµάζεται (φανταστικό) είδωλο του φωτεινού αντικειµένου. Με βάση τους δύο νόµους της ανάκλασης, µπορούµε να δείξουµε εύκολα, ότι το είδωλο φωτεινού σηµείου ως προς κάθε επίπεδο καθρέφτη είναι συµµετρικό ως προς το επίπεδο του καθρέφτη (σχήµα 1). Αν το φωτεινό σηµείο - αντικείµενο διαγράφει µια τροχιά, τότε και το είδωλό του θα διαγράφει µια τροχιά. Η τροχιά του ειδώλου είναι συµµετρική της τροχιάς του αντικειµένου ως προς το επίπεδο του καθρέφτη. Μαθηµατικά: Μετασχηµατισµοί συµµετρίας του επιπέδου Κατοπτρική συµµετρία 1) Ο µετασχηµατισµός κατοπτρικής συµµετρίας στο επίπεδο, απεικονίζει τα σηµεία του επιπέδου στα συµµετρικά τους ως προς µια ορισµένη ευθεία (ε) του επιπέδου, που ονοµάζουµε άξονα συµµετρίας του µετασχηµατισµού. Αν (x,y) είναι οι συντεταγµένες τυχαίου σηµείου Α του επιπέδου, τότε ο µετασχηµατισµός κατοπτρικής συµµετρίας ως προς άξονα (ε), απεικονίζει τα x, y στις συντεταγµένες X, Y του συµµετρικού σηµείου (Α ) του Α, ως προς την (ε), µέσω µιας αναλυτικής έκφρασης της µορφής: X= f 1(x,y) (1) Y= f (x,y) Οι αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων f 1 και f προσδιορίζονται από την επιλογή (άρα και την εξίσωση) του άξονα συµµετρίας (ε). Ο µετασχηµατισµός (1) ισοδυναµεί µε ένα µαθηµατικό µοντέλο του φαινοµένου της ανάκλασης σε επίπεδο καθρέφτη, ο οποίος τοποθετείται στη θέση της ευθείας (ε). Αν γνωρίζουµε την αναλυτική έκφραση του µετασχηµατισµού κατοπτρικής συµµετρίας (1), για ορισµένη θέση του επίπεδου καθρέφτη, µπορούµε να βρούµε τις συντεταγµένες του ειδώλου οποιουδήποτε φωτεινού σηµείου Α(x,y). Επιπλέον, αν το φωτεινό σηµείο Α διαγράφει µια καµπύλη τροχιά, που περιγράφεται µε γνωστές παραµετρικές εξισώσεις, της µορφής: x= x(t) () y= y(t) τότε από τις σχέσεις (1) µπορούµε να βρούµε την αναλυτική έκφραση της τροχιάς που διαγράφει το είδωλο του Α: ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 3

X= f 1(x(t),y(t)) Y= f (x(t),y(t)) (3) Οι µετασχηµατισµοί κατοπτρικής συµµετρίας έχουν τις ακόλουθες δύο ιδιότητες, που θα τις αποδείξουµε στο πλαίσιο του σεναρίου: α) διατηρούν αναλλοίωτο το σχήµα κάθε τροχιάς, β) αφήνουν αναλλοίωτα τα σηµεία του άξονα συµµετρίας (ε) του µετασχηµατισµού. ) Στο σενάριο θα βρούµε τις αναλυτικές εκφράσεις ελλειπτικών και κυκλικών τροχιών ως προς µετασχηµατισµούς κατοπτρικής συµµετρίας. Προς τούτο, χρειαζόµαστε τις παραµετρικές εκφράσεις των αντίστοιχων καµπύλων, ως προς ένα σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων. Έστω έλλειψη µε ηµιάξονες a, b και κέντρο συµµετρίας το (x 0,y 0 ). Τα σηµεία (x,y) της έλλειψης ικανοποιούν την εξίσωση: (x x 0) (y y 0) + = 1 (4) a b Από την (4) προκύπτει ότι οι παραµετρικές εξισώσεις της έλλειψης µπορούν να εκφραστούν µε τις σχέσεις: x= x0 + a cos( ω t) y= y + b sin( ω t) (5) 0 π 0 t ω Για a=b=r, οι εξισώσεις (5) είναι παραµετρικές εξισώσεις κύκλου, κέντρου (x 0,y 0 ) και ακτίνας R. ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 4

Στόχοι του σεναρίου Τι θα κάνει ο µαθητής Ο βασικός στόχος του σεναρίου είναι η απόκτηση της ικανότητας διαµόρφωσης µαθηµατικών µοντέλων για την περιγραφή φυσικών συστηµάτων και η διερεύνησή τους στο πλαίσιο συγκεκριµένων εκπαιδευτικών λογισµικών. Οι στόχοι του σεναρίου µπορούν να εξειδικευτούν στους ακόλουθους: Εφαρµόζω τις γνώσεις µου στο φαινόµενο της ανάκλασης και υπολογίζω γεωµετρικά τη θέση του ειδώλου φωτεινού σηµείου, ως προς τυχαία θέση του επίπεδου καθρέφτη. Με βάση τη γεωµετρική κατασκευή του ειδώλου φωτεινού σηµείου ως προς επίπεδο καθρέφτη, και µε δεδοµένο σύστηµα συντεταγµένων, υπολογίζω τις συντεταγµένες του ειδώλου ως συναρτήσεις των συντεταγµένων του αντικειµένου. είχνω ότι οι µετασχηµατισµοί κατοπτρικής συµµετρίας του επιπέδου διατηρούν αναλλοίωτο το σχήµα κάθε ελλειπτικής τροχιάς. Χειρίζοµαι το σχετικό αρχείο του εκπαιδευτικού λογισµικού MODELLUS. Στο περιβάλλον του προγράµµατος διερευνώ την ισχύ των συµπερασµάτων που έχω διαµορφώσει για την κατοπτρική συµµετρία στο επίπεδο, καθώς και τη σχέση του µαθηµατικού µοντέλου µε το φυσικό σύστηµα (της ανάκλασης), που περιγράφει. Ο µαθητής µπορεί να αξιοποιήσει το σενάριο είτε µόνος του, είτε στην τάξη, µε την καθοδήγηση των καθηγητών του, είτε σε συνεργασία µε συµµαθητές του, είτε στο πλαίσιο κάποιας ευρύτερης συνθετικής εργασίας. εδοµένου ότι ο κεντρικός στόχος του σεναρίου αγγίζει τον πυρήνα της σύγχρονης µεθόδου της Φυσικής, δηλαδή τη σύνθεση µαθηµατικών µοντέλων για την περιγραφή φυσικών συστηµάτων, η αξιοποίησή του µπορεί να γίνει στο πλαίσιο της συνεργασίας των καθηγητών των Μαθηµατικών και της Φυσικής του Σχολείου. Στην περίπτωση αυτή, το σενάριο αποκτά ένα σαφή διαθεµατικό χαρακτήρα, µε στόχο συναφή µε τους θεµελιώδεις στόχους του Αναλυτικού Προγράµµατος Σπουδών Φυσικής του Λυκείου (βλέπε σχετική έκδοση του Π.Ι.: ιαθεµατικά Αναλυτικά Προγράµµατα Σπουδών Ε. Λυκείου). ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 5

Φύλλο εργασίας 1 1. είξε ότι ο µετασχηµατισµός κατοπτρικής συµµετρίας των σηµείων (x,y) του επιπέδου, ως προς την ευθεία: όπου λ= tanθ y =λ x (1) [θ είναι η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία (1) µε τον άξονα x] δίνεται από τις σχέσεις: X= Y= (1 λ ) x+ λ y 1+λ λ x (1 λ ) y 1+λ () Υπόδειξη (x,y) (x, λ x) (X,Y) θ Ισχύουν οι σχέσεις: (x x, λ x y) i(x, λ x) = 0 (X, Y) = (x, y) + (x x, λ x y) Απόδειξη:. είξε ότι αν τα σηµεία (x,y) διαγράφουν τον κύκλο: x= x + R cos( ω t) 0 y= y + R sin( ω t) 0 π 0 t ω Τότε και τα σηµεία (X,Y), που προσδιορίζονται από το µετασχηµατισµό (), διαγράφουν ένα κύκλο ίσης ακτίνας R. Υπολόγισε τη θέση του κέντρου του κύκλου επί του οποίου βρίσκονται τα σηµεία (X,Y). Υπόδειξη Χρησιµοποίησε τις σχέσεις: 1 λ 1 (tan θ) = = cos( θ) 1+λ 1 + (tan θ) λ tanθ = = sin( θ) 1+λ 1 + (tan θ) cos( ωt)cos( θ+ ) sin( ωt)sin( θ= ) cos( ω t θ) Απόδειξη ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 6

3. Στο περιβάλλον του εκπαιδευτικού λογισµικού MODELLUS, άνοιξε το αρχείο reflection a.mdl. Με το αρχείο αυτό µπορούµε να σχεδιάσουµε κυκλικές ή ελλειπτικές τροχιές και να βρούµε τις εικόνες τους µέσω του κατοπτρικού µετασχηµατισµού (), για διάφορες τιµές της γωνίας θ που σχηµατίζει το κάτοπτρο (δηλαδή η ευθεία (1): y=λx) µε το θετικό ηµιάξονα x. Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να ελέγξουµε και να γενικεύσουµε το αποτέλεσµα της ερώτησης : Σηµειώσεις 1) Στο µοντέλο µπορούµε να σχεδιάζουµε ελλειπτικές τροχιές της µορφής: π x= x0 + R cos( t) Τ π y= y0 + R sin( t) Τ Ο κατοπτρικός µετασχηµατισµός () διατηρεί αναλλοίωτο το σχήµα κάθε καµπύλης του επιπέδου, για κάθε τιµή της γωνίας 0<θ<π/. Άνοιξε το παράθυρο «Αρχικές Συνθήκες». Στις τέσσερις «περιπτώσεις» που εµφανίζονται, όρισε ένα κύκλο κέντρου (x 0,y 0 )=(10,10) και ακτίνας R=5. Προς τούτο θέσε x 0 =10, y 0 =10 και a=b=5. Στην 1η «περίπτωση θέσε τη γωνία του κατόπτρου ως προς τον άξονα x, θ=10 µοίρες, στη η θ=30 µοίρες, στην 3η θ=0 µοίρες και στην 4η θ=80 µοίρες. Από το παράθυρο «Έλεγχος» τρέξε το πρόγραµµα. Παρατήρησε την εικόνα της τροχιάς, που σχηµατίζεται µέσω του µετασχηµατισµού κατοπτρικής συµµετρίας. Συµφωνεί το αποτέλεσµα µε τις απαντήσεις των ερωτήσεων 1 και ; Εξήγησε. Στο Τ έχει δοθεί η τιµή του ολικού χρόνου λειτουργίας του µοντέλου, ώστε η έλλειψη να διαγραφεί µια φορά. Για τις ρυθµίσεις που έχουν γίνει είναι t max =Τ=0 ) Η ορατή περιοχή του επιπέδου x- y εκτείνεται για: -0<x<50 και -0<y<0 (1pixel=0.1µονάδες µήκους) Η θέση και οι διαστάσεις της τροχιάς πρέπει να επιλέγονται έτσι ώστε η ίδια και το είδωλό της να εµπίπτουν στην ορατή περιοχή σχεδίασης. ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 7

Φύλλο εργασίας 4. Στο περιβάλλον το MODELLUS, άνοιξε το αρχείο reflection a.mdl. Άνοιξε το παράθυρο «Αρχικές Συνθήκες». Στις τέσσερις «περιπτώσεις» που εµφανίζονται, όρισε ως αντικείµενο, κύκλο κέντρου (x 0,y 0 )=(10,10) και ακτίνας R=5, όπως έκανες στην ερώτηση 3 του φύλλο εργασίας 1. Υπολόγισε τις συντεταγµένες του κέντρου του ειδώλου του κύκλου, σύµφωνα µε τις σχέσεις που απέδειξες κατά την επεξεργασία της ερώτησης. Χρησιµοποίησε το εργαλείο µέτρησης συντεταγµένων και προσδιόρισε γραφικά τη θέση του κέντρου του ειδώλου, σύµφωνα µε τους υπολογισµούς σου. Στη συνέχεια, µε τη βοήθεια του εργαλείου της µέτρησης αποστάσεων, µέτρησε την απόσταση του κέντρου από δύο ή τρία σηµεία της περιµέτρου. Ταυτίζεται το αποτέλεσµα µε την τιµή της ακτίνας του αρχικού κύκλου; Αν ΝΑΙ, διατύπωσε ένα γενικευµένο συµπέρασµα. Αν ΟΧΙ συζήτησε τους υπολογισµούς σου, όσον αφορά στην παραγωγή της αναλυτικής έκφρασης των µετασχηµατισµών κατοπτρικής συµµετρίας, καθώς και τους χειρισµούς που έκανες στο περιβάλλον του µοντέλου, µε τον καθηγητή σου. 5. Όρισε ένα νέο κύκλο µε κέντρο στο σηµείο (8,1) και ακτίνα R=6. Επανάλαβε τα βήµατα 3 έως 5. 6. Όρισε µια έλλειψη µε κέντρο το σηµείο (8,10) και ηµιάξονες a=6, b=4. Επανάλαβε τα βήµατα 3 έως 5. Αξιολόγηση του σεναρίου A) Βρήκες την αναλυτική έκφραση των µετασχηµατισµών κατοπτρικής συµµετρίας του επίπέδου, ως προς την ευθεία y=λx; ΝΑΙ ΟΧΙ B) Αν ΝΑΙ έλεγξες θεωρητικά αν οι µετασχηµατισµοί αυτοί διατηρούν αναλλοίωτο το σχήµα ενός κύκλου; ΝΑΙ ΟΧΙ C) Πώς κατέληξες στο αντίστοιχο συµπέρασµα της προηγούµενης ερώτησης; ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 8

D) Έκανες τους κατάλληλους χειρισµούς στο µικρόκοσµο του αρχείου του MODELLUS, για να ελέγξεις τα θεωρητικά συµπεράσµατα τα σχετικά µε τους µετασχηµατισµούς κατοπτρικής συµµετρίας και τα αναλλοίωτά τους, που έχουν προηγηθεί; ΝΑΙ ΟΧΙ E) Αν ΟΧΙ, προσδιόρισε αναλυτικά τα προβλήµατα που αντιµετώπισες. ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 9

Ο ΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ Ι ΑΣΚΟΝΤΑ Για την προετοιµασία των µαθητών Οι µαθητές πρέπει να έχουν διδαχθεί τις παραµετρικές εξισώσεις κωνικών τοµών και στοιχεία µετασχηµατισµών του επιπέδου. Η εξοικείωσή τους µε το περιβάλλον του MODELLUS είναι ένα ακόµα προαπαιτούµενο. Μπορεί να επιτευχθεί µε την καθοδηγούµενη σύνθεση απλών µοντέλων, και το χειρισµό των εργαλείων του προγράµµατος, όπως µέτρηση συντεταγµένων σε γράφηµα «Παρουσίασης», µέτρηση γωνιών ή αποστάσεων σηµείων κλπ. Βασική προϋπόθεση για την επίτευξη των στόχων του σεναρίου είναι η κατανόηση της φιλοσοφίας του λογισµικού και µια σχετική εξοικείωση µε τη λειτουργία του. Για την διαχείριση των εργαλείων του µικρόκοσµου: Ζητήστε από τους µαθητές να περιηγηθούν στις διάφορες συνιστώσες του µοντέλου: Να διαβάσουν τον κώδικα του µοντέλου. Να δουν πώς ορίζεται η κλίµακα, των γεωµετρικών αντικειµένων στο παράθυρο «Παρουσίαση»: Σχέση pixel µήκους. Να µετράνε συντεταγµένες και µήκη στο παράθυρο «Παρουσίαση». Να εισάγουν δεδοµένα στο παράθυρο «Αρχικές Συνθήκες», συµβατές µε τον τρόπο κατασκευής του µοντέλου και της «Παρουσίασης». Να ελέγχουν το µέγιστο χρόνο εκτέλεσης του µοντέλου και το αντίστοιχο βήµα, στο παράθυρο «Έλεγχος». Να επιλέγουν µοίρες ή ακτίνια για τη µέτρηση των γωνιών. Για τις ερωτήσεις διερευνήσεις - απαντήσεις: Ζητήστε από τους µαθητές να προβλέψουν την απάντηση κάθε ερώτησης και στη συνέχεια να τη διαπραγµατευθούν διεξοδικά. Βασικός στόχος είναι να αποκτήσουν την ικανότητα να συνδέουν, να ανιχνεύουν και να ανακαλύπτουν τα αναλλοίωτα µεγέθη ή σχέσεις, που συνδέονται µε συγκεκριµένες οµάδες µετασχηµατισµών. Το εκπαιδευτικό λογισµικό µπορεί να βοηθήσει σηµαντικά στην αισθητοποίηση της έννοιας του αναλλοίωτου, που συνοδεύει µια µεταβολή και κατ επέκταση στην αφοµοίωση της δύσκολης και αφηρηµένης αυτής σχέσης. Στο προκείµενο σενάριο, η εµπέδωση του αναλλοίωτου του σχήµατος µιας καµπύλης, κάτω από τη δράση µετασχηµατισµών κατοπτρικής συµµετρίας, επιτυγχάνεται µε την αξιοποίηση των αντίστοιχων γραφηµάτων και µεγεθών που µετράµε επί αυτών. Οι µαθητές, κατά τη διεκπεραίωση του σεναρίου στην τάξη, λειτουργούν κατά οµάδες, όπως στο εργαστήριο. Ο διδάσκων πρέπει να ελέγχει την πορεία της εργασίας κάθε οµάδας χωριστά. Για το ξεπέρασµα ενδιάµεσων δυσκολιών µεταφέρει σε κάθε οµάδα την απολύτως αναγκαία πληροφορία (και µόνο), µε σκοπό τη διεκπεραίωση του σεναρίου από το σύνολο των µαθητών. Επέκταση ή διαφοροποίηση της δραστηριότητας: Η επέκταση της δραστηριότητας µπορεί να γίνει στο σπίτι µε την επεξεργασία ερωτήσεων, όπως οι 5 και 6 του φύλλου εργασίας. Η επέκταση αφορά στη διερεύνηση του αναλλοίωτου ελλειπτικών, ευθύγραµµων ή άλλων τροχιών, κάτω από τη δράση των µετασχηµατισµών κατοπτρικής συµµετρίας. Μια διαφοροποίηση της δραστηριότητας, που απευθύνεται σε µαθητές µε αρκετή εξοικείωση µε τα µαθηµατικά, αλλά και µε το MODELLUS, θα µπορούσε να είναι η εξής: ίνεται σταθερό σηµείο Α=(x 0,y 0 ) του επιπέδου. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των συµµετρικών του σηµείου Α ως προς κάτοπτρο που περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από την αρχή των αξόνων. ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 10