Πόλοι φανταστικοί Είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση των μιγαδικών πόλων με συντελεστή απόσβεσης ξ=0. jω 3 σ F P Q P 3 n 3 3
Πόλοι φανταστικοί 3 3 3 P Q P F n j j e e e n n 3 3 j j n n n n e 3 3 n φ=τόξο του Α +90 ο Στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνουμε εάν στην περίπτωση των μιγαδικών πόλων θέσουμε ξ=0.
F Παράδειγμα υπολογισμού 00 3 5 5 j 5 j 00,86 58, j5 j5 00 3 5 3,45 3,7n 5 68, 3,45e
Παραδείγματα Αντίστροφου Μετασχηματισμού PE ο 3 3 3 3 3 Q P F 3 3 3 3 3 3 3 3 3 F x 3 3 3 3 x F
3 3 3 F F x y 3 y F Παραδείγματα Αντίστροφου Μετασχηματισμού PE ο
Παραδείγματα Αντίστροφου Μετασχηματισμού PE ο 5 6 5 6 0 B F F 5 6 5 6 5 6 5 6 0 5 6 0 F x 5 6 5 6 5 5 6 5 B B 5
Παραδείγματα Αντίστροφου Μετασχηματισμού PE ο F 0 5 6 5 6 5 Από τους πίνακες μετασχηματισμών (3) e,e 3 n 4 63, 4
Κανόνες των (Hzony-ley) Στην συνέχεια θα δώσουμε δύο κανόνες, των (Hzοny-ley), για την ανάπτυξη σε άθροισμα κλασμάτων των συναρτήσεων: Εάν ο παρανομαστής είναι έναν βαθμό μεγαλύτερος του αριθμητή, το άθροισμα των συντελεστών Α θα είναι. Εάν ο παρανομαστής είναι δύο η περισσότερους βαθμούς μεγαλύτερος του αριθμητή, το άθροισμα των συντελεστών Α θα είναι 0.
Είδη πόλων και ευστάθεια jω =-b+jc 4 =jd 6 =+jg =- 3 =0 =e 5 σ =-b-jc * 4 * 6 * =-jd =-jg
Είδη πόλων και ευστάθεια Θέση πόλου Μορφή απόκρισης Χαρακτηριστικά Εκθετικά αποσβούμενη, * b Ημιτονικά εκθετικά e n c αποσβούμενη 3 Σταθερά 4,4 * Σταθερά ημιτονική 5 e n e d Εκθετικά αυξανόμενη (Αστάθεια) Ημιτονικά εκθετικά 6,6 * e ng αυξανόμενη (Αστάθεια)
Συνάρτηση μεταφοράς Γραμμικού συστήματος
() d d plce Κύκλωμα,
plce Κύκλωμα, c () d 0
Κύκλωμα,
Κύκλωμα,, c () d d d 0
Κύκλωμα,, Tης γνωστής μορφής ου βαθμού
Επιταχυνσιόμετρο X M X X Χ Μ Μ Χ εισ Κ Β Χ εξ F : συνολική δύναμη επενέργειας. M : μάζα στην οποία ενεργεί η δύναμη. Χ εισ : μετατόπιση του περιβλήματος. Χ εξ : μετατόπιση του σώματος μάζας Μ ως προς το περίβλημα. Χ Μ : μετατόπιση του σώματος Μ ως προς το σύστημα αναφοράς.
Επιταχυνσιόμετρο Ισχύει ο νόμος του Νεύτωνα: Οι δυνάμεις που επενεργούν πάνω στο σώμα μάζας Μ όταν υπάρξει μία κίνηση της επιφάνειας στήριξής του, με μετατόπιση Χ εξ είναι: F B dx d F M d d αντίδραση του αποσβεστήρα X F X αντίδραση του ελατηρίου
Επιταχυνσιόμετρο Η συνισταμένη των δύο δυνάμεων προσδίδει μία επιτάχυνση στο σώμα μάζας Μ, σύμφωνα με την σχέση: F M X B M dx d d X d M M d X d M X M X X X B dx d M d d X d d X
Επιταχυνσιόμετρο B M M X X M X B M X X M X M X B X X M X M X B X Μετασχηματίζοντας κατά plce: d X d d X d M d dx B X
Υδραυλικό μοτέρ Επειδή η συμπεριφορά του συστήματος είναι μη γραμμική, χρησιμοποιούμε γραμμικοποίηση με σειρές Tylor και έχουμε από την διαφορική ογκομετρική ταχύτητα ροής dq:
Υδραυλικό μοτέρ dp p q dx x q dq P x p x x P P x q x P P x P p q x x q q o o o o Για ένα σταθερό σημείο λειτουργίας (x o, P o ) θα είναι: Η δύναμη που εξασκείται από το έμβολο θα ισούται με την δύναμη που εξασκείται στην μάζα: d dy d y d M P
Υδραυλικό μοτέρ P d y M d x q dy d x P M d d y dy d Η ογκομετρική ροή του υγρού συνδέεται με την κίνηση του εμβόλου με την σχέση: q dy d P x x P dy d M d d y dy d P x x M d d y P dy d
Υδραυλικό μοτέρ d dy d y d M x P P x B M M X Y M Y X Y Y M X P P x P P x P P x P x P B
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Ρότορας (rure,οπλισμός) Στάτορας (eld, πεδίο)
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Η μαγνητική ροή που αναπτύσσεται είναι ανάλογη του ρεύματος πεδίου: Η ροπή που αναπτύσσεται από το μοτέρ, είναι ανάλογη της μαγνητικής ροής και του ρεύματος οπλισμού: T
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Διέγερση από το πεδίο I I I T plce: V I I V T T T d J J T T T T d T
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Διέγερση από το πεδίο I T T V I Για T d =0 J V T J V
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. J J J J V V G J Διέγερση από το πεδίο J
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Διέγερση από το πεδίο V () Πεδίο I () Διατάραξη T d () T () + - T () Φορτίο Ταχύτητα J ω() Θέση Θ() Μπλοκ διάγραμμα του μοτέρ σε διέγερση πεδίου
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Διέγερση από τον οπλισμό I I I T V I V b V b b V I b T T J T d Για Td()=0 θα έχουμε:
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Διέγερση από τον οπλισμό J V J V I T b b J V b b b J J V G
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Διέγερση από τον οπλισμό n n b b J J V G Της γενικής μορφής:
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Διέγερση από τον οπλισμό 0 Για b b J J V G J b b b J b
Ηλεκτρικό μοτέρ D.. Διέγερση από τον οπλισμό Διατάραξη V α () + - Οπλισμός I () T d () T () + Ταχύτητα Φορτίο Θέση - ω() Θ() T () J Α.Η.Δ b Μπλόκ διάγραμμα του μοτέρ σε διέγερση οπλισμού
Τα μοτέρ και οι χρήσεις τους
Σύστημα θέρμανσης Δοχείο Αέρας θ α Μόνωση θ Υγρό θ Έξοδος υγρού Αντίσταση θ ι Είσοδος υγρού
Σύστημα θέρμανσης (μεγέθη) q : ταχύτητα θερμικής ροής του στοιχείου θέρμανσης. q : ταχύτητα θερμικής ροής στο υγρό του δοχείου. q o : ταχύτητα θερμικής ροής του ζεστού νερού πού εξέρχεται. q : ταχύτητα θερμικής ροής του κρύου νερού πού εισέρχεται. q e : ταχύτητα θερμικής ροής δια μέσου της μόνωσης. θ : θερμοκρασία του υγρού στο δοχείο. θ : θερμοκρασία του υγρού πού εισέρχεται στο δοχείο. θ : θερμοκρασία του αέρα που περιβάλει το δοχείο. : θερμική χωρητικότητα υγρού στο δοχείο. : θερμική αντίσταση του μονωτικού. n: ροή του υγρού από το δοχείο. Α : ειδική θερμοκρασία υγρού.
Σύστημα θέρμανσης e o q q q q q Η θερμική ισορροπία για την ταχύτητα θερμικής ροής θα είναι: d d q n q o n q q e q n d d q n d d Για θ α =θ ι :
Σύστημα θέρμανσης q n d d n n Q Q n Q n plce
Σύστημα θέρμανσης G Q n n n n
Στάθμη υγρού σε δοχείο h () q () d p h p q p q d q () Στην κατάσταση ισορροπίας, η ροή εισόδου q (), στο δοχείο, θα ισούται με την ροή εξόδου q (), από το δοχείο. Αυτό συνεπάγεται την ακόλουθη σχέση ισορροπίας στις μάζες: p = πυκνότητα υγρού q () = ροή εισόδου υγρού στο δοχείο q () = ροή εξόδου υγρού από το δοχείο = διατομή δοχείου h () = στάθμη υγρού στο δοχείο = αντίσταση ροής του σωλήνα Θεωρώντας ότι το υγρό φεύγει από το δοχείο δια μέσου σωλήνα με αντίσταση ροής και ότι αυτή η ροή εξόδου μεταβάλλεται γραμμικά ανάλογα με την στάθμη του υγρού h, τότε η ροή εξόδου q (), θα είναι: q h
Στάθμη υγρού σε δοχείο h () q () q q q () q h Την στιγμή =0, εφαρμόζεται μία βηματική αλλαγή στην ροή εισόδου q (). Η στάθμη h () τότε του δοχείου θα γίνει: q q 0 h d h d q h h 0 q 0 0 0 dh d Στην κατάσταση ισορροπίας, σε ένα αρχικό σημείο λειτουργίας την χρονική στιγμή =0, η στάθμη h είναι σταθερή, ώστε η σχέση γίνεται: h 0 d h h 0 d
0 0 h h H q q Q h () q () q () Θέτοντας: Q H H H H Q H H Q plce ά d dh H Q d h h d h h q q 0 0 0 : όπου: = έχει διάσταση ενίσχυσης τ =Α =σταθερά χρόνου Στάθμη υγρού σε δοχείο
Στάθμη υγρού σε δοχείο q () H Q h () q () Η Συνάρτηση Μεταφοράς του δοχείου μοιάζει με αυτήν που υπολογίστηκε για το κύκλωμα. Το δοχείο αναλογεί στον πυκνωτή και ο σωλήνας εξόδου στην αντίσταση. Και οι δύο Συναρτήσεις είναι ου βαθμού.
Συνάρτηση Μεταφοράς ου βαθμού. Δύο δοχεία σε σειρά h () q () q () H Q q ό plce : Q Q Q h H h () q 3 () Κατ ανάλογο τρόπο, η Συνάρτηση Μεταφοράς του ου δοχείου θα είναι: H Q
Συνάρτηση Μεταφοράς ου βαθμού. Δύο δοχεία σε σειρά q () Q Q H Q Η συνολική Συνάρτηση Μεταφοράς των δύο δοχείων σε σειρά θα είναι: H Q h () q () Είναι απλά το γινόμενο των δύο επί μέρους συναρτήσεων. h () q 3 ()
Συνάρτηση Μεταφοράς ου βαθμού. Επικοινωνούντα δοχεία q () h () q () h () q 3 () q = h h dh q q = d Με plce: q 3 = h q q 3 = dh d Q = H H Q Q = H Q 3 = H Q Q 3 = H
Συνάρτηση Μεταφοράς ου βαθμού. Επικοινωνούντα δοχεία τ = = τ τ = Q = H + Q = τ H + Q = τ H + H H = τ H + H H Q = H + τ H H = Q Q 3 = H H H H = H H H τ H + H + H = H
Συνάρτηση Μεταφοράς ου βαθμού. Επικοινωνούντα δοχεία τ H + H + H = H H τ + + = H H τ + + + τ = + τ H H τ + + + τ + τ H = 0 Επίσης βρήκαμε: Q = H + τ H H + τ H = Q H + τ H = Q
Συνάρτηση Μεταφοράς ου βαθμού. Επικοινωνούντα δοχεία Προσθέτουμε κατά μέλη: H τ + + + τ + τ H = 0 H + τ H = Q H τ + + + τ H = Q H τ τ + τ + τ + τ + = Q H τ τ + τ + τ + + + = Q H τ τ + τ + τ + + = Q H Q = τ τ + τ + τ + +
Q H Q H Η Σ.Μ στις δύο περιπτώσεις είναι: Μη επικοινωνούντα δοχεία Επικοινωνούντα δοχεία
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Το τυπικό ΣΑΕ ου βαθμού είναι της γενικής μορφής: E + ε + τ S Η ΣΜΚΒ είναι: Η ΣΜΑΒ είναι: G = +τ = + τ + + τ F = = S E = + + τ = G + G H = + Κ + τ + Κ = + τ = + Κ τ = τ + Κ
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Η απόκριση του ΣΑΕ σε μια βηματική είσοδο θα είναι: S = E F = + τ = S S = τ τ τ + τ e τ = e Από την σχέση 9 του πίνακα μετασχηματισμών plce: + α S = e = τ τ = e τ S 0 = e 0 τ = 0 = τ + τ S = e τ = S τ = e τ τ = 0,63 τ
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Βηματική απόκριση ΣΑΕΚΒ ου βαθμού για διάφορα Κ
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ S = + Κ e τ 0,63 +Κ + Κ τ + Κ Υπολογισμός Κ, τ του ΣΑΕ ου βαθμού από την βηματική απόκριση
Το σφάλμα θα ισούται: ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ε = E S = ε 0 = e 0 τ = e τ = + Κ τ = τ + Κ ε = e τ = = + Κ = + + Κ + Κ = + Κ Από την μορφή της βηματικής απόκρισης του ΣΑΕ ου βαθμού φαίνεται πως το ΣΑΕ έχει καλύτερες επιδόσεις (μικρότερο σφάλμα, μεγαλύτερη ταχύτητα) όσο το Κ είναι πιο μεγάλο και το τ πιο μικρό.
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Το τυπικό ΣΑΕ ου βαθμού είναι της γενικής μορφής: E + ε + τ S = Η ΣΜΚΒ είναι: F = S E = G + G H = τ + + = τ Κ + = Κ + Η ΣΜΑΒ είναι: G = + τ + + τ ω + ξ + n ω n +τ τ Κ = Κ = ξ ω n ω n
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Η ΣΜΚΒ είναι: Με: F = S E = ω + ξ + n ω n τ Κ = ω ω n = n τ Κ = ξ ξ = ω n τ Η απόκριση του ΣΑΕ σε βηματική είσοδο θα είναι: S = E ω + ξ + n ω n = ω + ξ + n ω n
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ S S = ξ e ξω n n ω n ξ + φ Με: = S = e ξω n n ω p + φ ξ ω p = ω n ξ φ = co ξ Το σφάλμα θα είναι: ε = S = e ξω n n ω p + φ ω p : συχνότητα ταλαντώσεων
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Βηματική απόκριση ΣΑΕΚΒ ου βαθμού για διάφορα ξ
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ξ = 0, M p p 0 p M p = + e ξπ ξ p = Βηματική απόκριση ΣΑΕΚΒ ου βαθμού π ω n ξ
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Το σήμα του σφάλματος σε βηματική απόκριση ΣΑΕΚΒ ου 0 0,05 r n 0,05 n+ p T T + p 0 : Χρόνος ου μηδενισμού του σφάλματος r : Χρόνος αποκατάστασης ± 5% τελικής τιμής n : η υπερύψωση n+ : η υπερύψωση p : Χρόνος ης υπερύψωσης T: Περίοδος ταλαντώσεων
ω p = ω n ξ T = π ω p = ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ π Λογαριθμική απόσβεση: ω n ξ δ = ln Α n Α n+ Μεταξύ δύο συνεχόμενων υπερυψώσεων μεσολαβεί μία περίοδος: Α n Α n+ =. e ξω n p. n ω p p + φ. e ξω n p +T. n ω p p + T + φ = = e ξω np e ξω np.e ξω nt = eξω nt δ = ln Α n Α n+ = ln e ξω nt = ξω n T = ξω n δ = ln Α n Α n+ = πξ ξ ω n e ξωnp e ξω n p +T = π ξ
ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ δ = πξ ξ δ = 4π ξ ξ δ δ ξ = 4π ξ δ = 4π ξ + δ ξ δ = ξ 4π + δ ξ = ξ = δ 4π + δ δ 4π + δ ω p = ω n ξ ω n = ω p ξ Δηλαδή από την μορφή της απόκρισης (ή σφάλματος) μπορούμε να υπολογίσουμε τα μεγέθη: T, ω p, ξ, ω n. Στην συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε τα Κ και τ του ΣΑΕ ανοιχτού βρόχου.