Координатни системи у физици и ОЕТ-у

Материјал Студентске организације Електрон ТРЕЋА ГЛАВА Координатни системи у физици и ОЕТ-у Припремио Милош Петровић 1 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

1.ДЕКАРТОВ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ Декартов координанти систем се користи у математици за једнозначно дефинисање положаја тачака у простору. Карактеристика овог система је да су његове координатне осе међусобно нормалне. Декартов координатни систем у равни Дводимензиони Декартов координатни систем се користи да једнозначно одреди сваку тачку у равни помоћу два броја, који се обично означавају са x и y. Декартов координатни систем је дефинисан са две осе (x-оса или апсциса и y-оса или ордината). Избором мере за сваку осу и означавањем јединица мере дуж оса формира се скала. Слика 1. Пример координата неких тачака Коришћењем Декартовог координатног система геометријске фигуре (као што су криве) се могу исказати алгебарским једначинама, тј. једначинама које задовољавају координате на тачкама које леже на фигури. На пример, круг полупречника 2 се може приказати формулом x 2 + y 2 = 4. Слика 2. Круг 2 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Декартов координатни систем у простору Декартов координатни систем се може користити у простору (где се користе три координате: x, y и z) и у вишедимензионалним системима. Слика 3. Пример одређивања координата у тродимензионално м Декартовом координатном систему Ортови код Декартовог координатног система Декартов координатни систем има за сваку своју координатну осу по један ортвектор. Свакој оси x, y и z, одговара по један орт-вектро еx, еy и еz, редом. Интензитети тих вектора су 1. Векторски производ свака два орта, даје онај трећи. Па је тако еx x ey = ez, ey x ez = ex и ez x ex =ey. У једначинама све физичке величине чији се смер вектора поклапа се смером ортвектора неке координатне осе пише са знаком +, а све физичке величине чији је смер вектора супротан од смера орт-вектора неке координатне осе пише са знаком -. Може се ставити и обрнуто. То је као да смо једначину помножили са -1. 3 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Углови код Декартовиг координатно система М1 N М2 Слика 4. Рачунање углова код ДКС Када рачунамо под којим углом се види нека тачка на координатној оси (М1 и М2) из тачке А, тада важи следећа правила. Повуче се нормала из тачке од које рачунамо угао (А) на координатну осу (N). Угао рачунамо од нормале ка датој тачки. Ако је смер раста угла у смеру координатне осе (орт-вектора те осе) тада је угао позитиван. Ако је смер угла у супротном смеру осе тада је угао негативан. А 4 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

2.ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ Када имамо ф-ју y=f(x) и када рачинамо њен извод, извод рачунамо по променљивој x јер нам је то једина променљива. Али када имамо више променљивих како ћемо знати по којој променљивој рачунамо извод? Пример: y=x 2 a 2 +xa+5x+5a+5 Да бисмо знали по којој променљивој рачунамо извод уводимо следећа правила: извод по променљивој x: извод по променљивој а: dy dx = 2xa2 +a+5 dy da = 2ax2 +x+5 3.ПАРАМЕТАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ У математици, параметарска једначина је у неку руку слична функцији: оне омогућавају да се користе произвољне вредности, које се називају параметрима, уместо независних променљивих, које дају вредности за зависне променљиве. Једначина облика y=f(x) има свој параметарски облик y=f1(t) и x=f2(t), где је t нова променљива. Пример: y=x 2 се може параметарски написати као x=t и y=t 2. 5 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

4.ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ У ФИЗИЦИ Пример 1. Вертикални хитац наниже. Нека је тело бачено вертикално наниже брзином v 0. Циљ нам је да одредимо како се мења брзина са временом и положај тачке. Убрзање које делује на тачку је g и усмерено је наниже као и x оса па дифернцијална једначина кретања постаје, d 2 x dt 2 = g Како је брзина извод положаја, dx = v, имамо да је d2 x = dv = g. Ово што смо сада dt dt 2 dt добили је диференцијална једначина (знамо извод функције а не знамо функцију). dv = g dt v(t) dv v 0 t = g dt 0 v(t) = v 0 + gt v(t) v 0 = gt Сада када знамо брзину, лако долазимо до x(t) јер је dx = v(t) dx = v(t)dt dx = (v 0 + gt)dt x(t) dx 0 x(t) = v 0 t + gt2 2 dt t = (v 0 + gt)dt 0 Ако нас занима колико телу треба времена до земље, ако је бачено са висине h, то можемо лако израчунати из претходне једнакости. Нека тело пада време τ. У тренутку кад је t = τ, x = h, односно x(t = τ) = h h = v 0 τ + gτ2, одакле лако налазимо τ. Ако је у питању слободни пад (v 0 = 0) τ = 2h g Напомена: Дате једнакости су изведене за дати смер x осе. Често се тражи да се нађе зависност брзине од положаја. Ми имамо x(t) и v(t) а хоћемо v(x). Значи једначину x(t) треба решити по t и заменити у v(t) и добијамо v(x). Међутим то понекад може да одузме пунo времена, па се користи чињеница да је dv dt dt = dv dx dx (правило о сложеној функцији) 2 6 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

dv dt = g dv dx = g v vdv = gdx vdv = gdx v v 0 v 2 = v 0 2 + 2gx Пример 2. Примена Декартовог координатног система 0 x v2 v 0 2 2 = gx Дате су параметарске једначине кретања: x=bcoskt, y=csinkt. Одредити једначину трајекторије, векторе и интензитете врзине и убрзања. x=bcoskt x b = coskt y=csinkt y c = sinkt x 2 b 2 + y2 c 2 = 1 Vx = x = -bksinkt = - bk y c Vy = y = ckcoskt = ck x b V= Vx 2 + Vy 2 ax = V x = - ck 2 sinkt = - k 2 x ay = V y = - bk 2 sinkt = - k 2 y a = k 2 x 2 + y 2 = k 2 r, где је r растојање од координатног почетка 7 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Пример 3. Коси хитац на стрмој равни Са стрме равни избачени је тело као косс хитац, почетном бзином V0, под углом φ у односу на нормалу на стрму раван. Нагиб стрме равни према хориѕонтали је α. На ком месту, од места избацивања, ће тело ударити о стрму раван, мерено дуж стрме равни. Занемарити отпор ваздуха. Решење: Идеја је поставити координатни систем поставити тако да једна оца буде паралелна са стрмом равни, а друга нормална на њу!!! Убрзање које тело има је а=g : gx= gsinα, gy= - gcosα,, odakle je gsinα = d2 x dt 2, - gcosα=d2 y dt 2. Ако се стави да су у тренутку времена t=0 познате вредности x(0)=0, y(0)=0, Vx (0) = V0 sinφ i Vy (0)=V0 cosφ, параметарске једначине кретања косог хитца су: gsinα = d2 x = dvx dt 2 dt gsinαdt=dvx Слика 5. Слика уз пример 3. t t=0 gsinαdt Vx = dvx Vx0 gsinαdt=vx Vx(0) dx dt =Vx=gsinαt+Vx(0) x x=0 t t=0 dx= gsinαtdt x=v0sinφt + 1 2 gsinαt2 t + Vosinφdt t=0 На сличан начин се добија и параметарка једначина по y. Време лета тела се добија из постедње једначине стављајући услов да када је t=τ (где је τ време лета), тада је y(τ)=0, односно τ = 2Vоcosφ gcosα. Заменом последње једначине у параметарску једначину по џ, добија се домен 8 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

D=x(τ)= 2V02 gcosα (tgαcos2 φ + sinφcosφ). 5.Цилиндрични координанти систем Поларни координатни систем Поларни координатни систем је дводимензионални координатни систем, па служи за описивање положаја тачака у равни. Положај тачке у равни је описан уређеним паром координата (ρ, φ) (слика 1). Слика 4. Поларни координатни систем На слици 4 је приказан Декартов правоугли координатни систем са координатним почетком и координатним осама. Тачка М има координате (x,y) у том координатном систему. Међутим, положај тачке М је одређен и растојањем од координатног почетка ρ (интензитет вектора ρ) и углом φ који вектор ρ заклапа са 9 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

позитивним смером x-ose. Управо ова два параметра представљају поларне координате тачке М: М(ρ,φ). X-оса овде представља поларну осу у односу на коју се мери поларни угао φ. То је могао да буде било који други правац у равни који пролази кроз координатни почетак. Поларном углу φ можемо приписати одређени знак по следећој конвенцији: ако је смер угла φ такав да је супротан од смера кретања казаљке на сату, онда је φ>0 (као што је случај на слици 1), а ако је смер угла φ у смеру кретања казаљки на сату, онда је φ<0. Како би сваком пару (ρ,φ) одговарала само једна тачка и обрнуто, свакој тачки у простору одговарао само један уређен пар (ρ,φ), уведена је следећа конвенција о распону вредности за поларне координате: 0 ρ< и ако је ρ=0 тада је и φ=0 180 0 <φ 180 0 Са слике 1 могу се одредити Декартове координате, ако су познате поларне : x=ρ cosφ (1.1) y=ρ sinφ (1.2) Инверзне трансформације (x,y) (ρ,φ) изгледају овако: ρ= x 2 + y 2 (1.3) tgφ = y x (1.4) Свакој координатној линији може се придружити одговарајући јединични вектор (орт) такав да смер тог вектора показује смер раста одговарајуће координате. У Декартовом координатном систему ти ортови су ex и ey са смером који се поклапа са смером раста одговарајућих координата. Када су у питању поларне координате, локално свакој тачки могу се придружити два орта дуж координатних линија које пролазе кроз ту тачку. Ти ортови eρ и eφ су за тачку М приказани на слици 1. Правац орта eφ је у правцу тангенте на кружницу која представља једну кружну линију. Смерови ортова су смерови раста одговарајућих координата. 10 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Цилиндрични координатни систем Цилиндрични координатни систем је тродимензионални координатни систем који описује положај тачке у простору. То је, у ствари, поларни координатни систем са додатом z-осом нормалном на поларни координатни систем. Дакле, положај тачака у простору у цилиндричном координатном систему одређен је уређеном тројком (ρ,φ,z). 11 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Слика 5. Цилиндрични координатни систем са одговарајућим ортовима (кликни за увећану слику) На слици 3 је приказана тачка М чији положај у цилиндричним координатама је описан као тројка (ρ,φ,z). Пројекција тачке М на поларну раван (а такође xy раван одговарајућег Декартовог правоуглог система) је тачка М'. Поларне координате тачке М' су истовремено прве две цилиндричне координате тачке М. Цилиндрична координата z је истовремено и Декартова правоугла координата z. Релације 1.1-1.4 важе и за цилиндричне координате. На слици 3 приказан је и међусобни положај ортова цилиндричног координатног система. Веза између ортова дуж цилиндричних и Декартових координатних линија је дата релацијама: e ρ=e x cosφ+e y sinφ (1.9) e φ= e x sinφ+e y cosφ (1.10) e z=e z (1.11) 12 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Пример 4. Примена поларног координатног система Параметарске једначине кретања тачке М у поларном координатном систему су: ρ=2ρ0sinkt, φ=kt, при чему су ρ0 и k позитивна константе. Одредити: а) Временски интервал у коме је кретање физички реално, ако је почетни тренутак t=0, б) Једначину трајекторије, в) Интензитет брзине и убрзања. а) За радијалну координату важи да мора бити ρ 0, тако да следи да је временски интервал у коме је кретањњ физички могуће ρ 0 2ρ0sinкт 0, како је ρ0 const, мора бити sinкт 0, а то је за: б) Једначина трајекторије тачке М је: ρ= 2ρ0sinφ. 0 t π k, в) Брзина се добија као први, изод коодрината по времену: r(t)= ρ(t) * eρ(t) v (t)= dr = d dρ [ρ(t)*eρ(t) ]= dt dt dt eρ+ρdeρ = ρ eρ+ρφ eρ dt deρ dt =φ eφ добија се vρ=2ρ0kcoskt, и vφ=2ρ0ksinkt, па је интензитет врзине v=2kρ0. Убрзање се добија као први извод брзине по времену: а = dv = d dρ (ρ eρ+ρφ eφ) = eρ+ρ deρ dt dt dt dt a=( ρ ρφ 2 )eρ+(2ρ φ +ρφ )eφ + dρ φ eρ + ρdφ dt dt eφ +ρφ deφ dt deρ dt = - φeφ добија се aρ=-4ρ0k 2 sinkt, и aφ =4ρ0k 2 coskt, па је интензитет убрзања a=4k 2 ρ0 (брзина и убрзање су константни). 13 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Пример 5. Примена поларног координатног система Брод почиње да се креће са једне обале (тачка А) тако да је брзина брода Vb према води увек константна и управљена нормално на правац који спаја брод и непокретну тачку на насправној обали (тачку B која је насправна тачки А). Вода у реци тече константном брзином Vr у односу на обалу. Растојање између тачака А и B у t=0 је ρ0 =АB. Одредити једначину кретања брода у односу на непокретну тачку B. Решење: Брзина реке је преносна брзина. Кретање брода брнином је релативно кретање. Апсолутно кретање се добија као геометријски збир преносне и релативне брзине. Разлагањем по координатним осама добија се: Vρ = ρ = - Vr sinφ, Vφ = ρφ = Vb Vr cosφ, дељењем ових једначина добија се: dρ ρ = - Vr sinφ Vb Vr cosφ dφ Vr dρ ρ sinφ + InC = dφ cosφ Vb Vr C је интеграциона константа Vb In(ρC) = - In(cosφ - Vb Vr ) На основу почетних услова (када је φ=0, тада је ρ=ρ0) следи да је ρ φ φ Vr C = једначина 1 ρ0 (1 Vb Vr ), па је B A апсолутне трајекторије брода ρ(φ) = ρ0 1 Vr Vb 1 Vr Vb cosφ. 14 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

6.СФЕРНИ КООРДИНАТНИ СИСТЕМ Слика уз пример 5. У математици, сферни координатни систем је координатни систем за представљање тела у три димензије коришћењем три координате: удаљеност тачке од фиксиране нулте тачке координатног система, зенит, угао који права која спаја тачку са координатним почетком заклапа са позитивним делом z-осе, и азимут, угао исте праве са позитивним делом x-осе. Три координате (ρ, φ, θ) су дефинисане као: ρ 0 је раздаљина од нулте тачке до дате тачке P. 0 φ 180 угао који заклапа позитивни део z-осе са правом која пролази кроз нулту тачку и P. 0 θ 360 је угао који заклапа позитивни део x-осе са правом која пролази кроз нулту тачку и тачку P пројектовану на xy-раван. φ се назива зенитом, а θ се назива азимутом. φ и θ нису од значаја када је ρ = 0, а θ није од значаја када је sin(φ) = 0 (у φ = 0 и φ = 180 ). Како би се нацртала тачка ако су познате њене сферне координате, потребно је прећи ρ јединица од почетка координатног почетка дуж позитивног дела z-осе, заротирати за угао φ око y-осе у правцу позитивне x-осе, и заротирати за угао θ око z-осе у правцу позитивне y-осе. Слика 3.1 Пример одређивања координата тачака у цилиндричним координатном систему 15 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Три сферне координате се из правоуглих координата добијају на следећи начин: Обратно, правоугле координате се из сферних добијају овим једначинама: 16 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

ЛИТЕРАТУРА: (1)Др Предраг Маринковић ФИЗИКА 1 Скрипта (2) Др Константин Николић, Др Предраг Маринковић, Др Јован Цветић Збирка решених задатака из физике (3) Антоније Р. Ђорђевић Основи електротехнике 3. део Електромагнетизам (4) https://sh.wikipedia.org (5) http://fizika.edu.rs/polarni-cilindricni-i-sferni-koordinatni-sistem/ Из главе, Бајо мој. Све је то из главе!!! 17 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-