ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α κ Θέµα Στις ερωτήσεις έως και 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση:. Σε µία φθίνυσα µηχανική ταλάντωση, όπυ F αντ = b υ: α) τ πλάτς µεταβάλλεται γραµµικά µε τ χρόν β) όσ η σταθερά απόσβεσης b αυξάνεται, η συχνότητα της ταλάντωσης αυξάνεται γ) λόγς των διαδχικών µεγίστων θετικών απµακρύνσεων µειώνεται δ) τ % πσστό µείωσης της ενέργειας ανά περίδ, παραµένει σταθερό (Μνάδες 5). Σε µία εξαναγκασµένη µηχανική ταλάντωση µάζας ελατηρίυ πυ η δύναµη τυ διεγέρτη είναι της µρφής F= F0 ηµπt (SI), τ σύστηµα απρρφά ενέργεια κατά τ βέλτιστ τρόπ. Αν αυξήσυµε τη µάζα τυ ταλαντωτή χωρίς να αλλάξυµε τη διεγείρυσα δύναµη: α) Τ σύστηµα θα ταλαντώνεται µε συχνότητα µικρότερη των 0,5 Hz β) Τ σύστηµα θα εξακλυθεί να απρρφά ενέργεια κατά τ βέλτιστ τρόπ γ) Τ σύστηµα θα ταλαντώνεται µε πλάτς ταλάντωσης µικρότερ από τ αρχικό δ) Τ σύστηµα θα ταλαντώνεται µε συχνότητα µεγαλύτερη των 0,5 Hz (Μνάδες 5) 3. Μία πηγή (s) ηχητικών κυµάτων και ένας παρατηρητής (Α) απµακρύννται µε ίσα µέτρα ταχυτήτων υ = υ. υ Εάν παρατηρητής αντιλαµβάνεται τ 50% υ = υ της συχνότητας των κυµάτων πυ εκπέµπει η πηγή, τότε τα µέτρα των ταχυτήτων είναι: υ ηχυ & στν αερα & α) 0 m s β) 330 m s = 330 m s ( A ) ( S) Πρώτ ζητύμεν: η κατανόηση /3
γ) 55 m s δ) 65 m s (Μνάδες 5) 4. Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασµένες τις παρακάτω πρτάσεις: α) Τα φαινόµενα της ανάκλασης και της διάθλασης παρατηρύνται µόν στα ηλεκτρµαγνητικά κύµατα. Σ Λ β) Τ φαινόµεν Doppler δεν παρατηρείται στα ηλεκτρµαγνητικά κύµατα. Σ Λ γ) Στις ανελαστικές κρύσεις η ενέργεια τυ συστήµατς µειώνεται. Σ Λ δ) Σε έναν αρχικά ακίνητ τρχό ασκείται εφαπτµενικά δύναµη σταθερύ µέτρυ F. Αν τρχός στρέφεται γύρω από άξνα πυ διέρχεται από τ κέντρ τυ Κ και είναι κάθετς στ επίπεδ τυ τρχύ, τότε σε διπλάσι χρόν, η δύναµη θα πρσφέρει τετραπλάσια ενέργεια στν τρχό. Σ Λ ε) Η Γη έχει σταθερό σπίν γιατί ι δυνάµεις πυ δέχεται από τα διάφρα υράνια σώµατα διέρχνται από τν άξνα περιστρφής της. Σ Λ (Μνάδες 5) 5. Σε ένα ιδανικό κύκλωµα LC πυ πυκνωτής έχει χωρητικότητα µf,τ φρτί τυ πυκνωτή µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε τ χρόν, όπως δείχνει τ διάγραµµα: q ( µc) R K F 0 t( ms) Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασµένες τις παρακάτω πρτάσεις: 3 α) Η ένταση τυ ρεύµατς έχει εξίσωση: i = 0 ηµ000πt (SI) Σ Λ β) Στ χρνικό διάστηµα από 0,5 ms έως ms πυκνωτής εκφρτίζεται. Σ Λ 54 /3
γ) Τη στιγµή t = 0,5 ms η ενέργεια τυ µαγνητικύ πεδίυ τυ πηνίυ 6 θα είναι 0 J. Σ Λ δ) Αν τετραπλασιάσυµε τη χωρητικότητα τυ πυκνωτή, τ χρνικό διάστηµα της εκφόρτισής τυ θα διπλασιαστεί. Σ Λ ε) Τη χρνική στιγµή t = ms ρυθµός µεταβλής της ενέργειας τυ ηλεκτρικύ πεσδίυ τυ πυκνωτή θα είναι µέγιστς. Σ Λ (Μνάδες 5) Θέµα. Οµγενής ράβδς ΟΓ είναι αρχικά ριζόντια και µπρεί να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από άξνα πυ είναι κάθετς στη ράβδ και διέρχεται από τ άκρ της Ο. Ο l Γ Η ραβδς έχει Icm = ml,όπυ m η µάζα της ράβδυ και l τ µήκς της. Αφήνυµε τη ράβδ και µόλις διέλθει από την κατακόρυφη θέση στ άκρ της Γ συγκρύεται µε σώµα µικρών διαστάσεων, m ίσης µάζας m. Αν αµέσως µετά την κρύση η ράβδς ακινητπιείται τότε η ταχύτητα πυ απκτά τ σώµα είναι: 3g α) l g β) 3 Αιτιλγήστε την επιλγή σας. (Μνάδες + 4). Σώµα µάζας 00g είναι δεµέν στ άκρ ριζόντιν αβαρύς και µη ελαστικύ νήµατς µήκυς l=0,5m. Τ σώµα αρχίζει να κινείται κυκλικά σε λεί ριζόντι δάπεδ, δεµέν στ άκρ τεντωµένυ νήµατς m l l µε γραµµική επιτάχυνση α=.τόρι s θραύσεως τυ νήµατς είναι Tθρ = 5 Ν.Τη υ στιγµή πυ τ νήµα σπάει, τ νήµα έχει διαγράψει επίκεντρη γωνία: υ 3/3
α) 6, 5 rad β),5 rad Αιτιλγήστε την επιλγή σας. (Μνάδες + 4) 3. ύ όµια πρίσµατα ΑΒΓ και Γ Ε όπυ τπθετύνται µε τις πλευρές ΑΒ και Γ να είναι παράλληλες. Στ µέσ Μ της πλευράς ΑΓ ρίχνυµε κάθετα πρς την ΑΓ µνχρωµατική ακτίνα. Η ακτίνα παθαίνει λικές ανακλάσεις, και ακλυθώντας την πρεία πυ περιγράφεται στ σχήµα βγαίνει από τ µέσ Ρ της πλευράς Ε. Αν χρόνς πυ απαιτείται για να διανύσει η ακτίνα τη διαδρµή ΜΖΦΡ είναι 30 n sec τότε η κρίσιµη (ριακή) γωνία είναι: α) 30 β) 45 γ) 5 Aˆ ˆ 90 = = = µε ΑΒ m m Γ Μ 45 Γ 45 Φ Ζ Β αέρας Ρ Ε 8 ( ίνεται: c= 3 0 m s) Αιτιλγήστε την επιλγή σας. (Μνάδες + 4) 4. Σώµα Σ κινείται σε λεί ριζόντι δάπετ µε ταχύτητα υ r. Κάπια στιγµή συγκρύεται κεντρικά και ελαστικά µε υ ακίνητ σώµα Σ. Αν κατά την κρύση τ Σ χάσει τ 99% της κινητικής τυ ενέργειας χωρίς να αλλάξει την κατεύθυνση της () ( ) m ταχύτητάς τυ, τότε λόγς των µαζών m 4/3 56
είναι: α) 9 β) 9 γ) 5. Στ σηµεί Σ συναντώνται τα κύµατα πυ ακλύθησαν τις διαδρµές ΠΣ και ΠΑΣ και εκπέµφθηκαν από την πηγή Π, έχντας µήκς κύµατς λ = m. Εάν τα κύµατα ακλυθήσυν τις διαδρµές ΠΣ και ΠΓΣ τυ σχήµατς, τότε τ σηµεί Σ ταλαντώνεται µε τ ίδι πλάτς. Τότε η ελάχιστη απόσταση AΓ= h είναι: α) m β) m γ) m 9 Γ h A 6m Π (Μνάδες 5) 8m Σ (Μνάδες 5) Θέµα 3 Τ άκρ Ο µιας χρδής αρχίζει τη στιγµή t = 0 να κάνει αατ µε απµάκρυνση y= A ηµωt.τηστιγµή t = 0 sec πυ µόλις τ κύµα φτάνει στ ακλόνητ άκρ Ζ της χρδής τ στιγµιότυπ τυ κύµατς απεικνίζεται στ y t διάγραµµα Ι. Στν χρόν t τ σηµεί Ο ( x = 0) έχει διανύσει απόσταση ίση µε, 5 m. α) Γράψτε την εξίσωση τυ κύµατς. β) Τη στιγµή t πια απότα σηµεία Ο, Β, Γ,, Ε και Ζ i. Είναι στιγµιαία ακίνητα; ii. Έχυν θετική ταχύτητα; iii. Βρίσκνται σε αντίθεση φάσης; γ) Γράψτε την εξίσωση τυ ανακλώµενυ κύµατς πυ συµβάλλει µε τ πρηγύµεν δηµιυργώντας στάσιµ κύµα σε αυτήν τη χρδή, ώστε τ σηµεί B Γ Ε Ζ 3 4 5 x( m ) (διάγραµµα Ι) 5/3
x = 0 να είναι κιλία. Γράψτε επίσης και την εξίσωση τυ στάσιµυ κύµατς πυ θα πρκύψει. δ) Βρείτε τη µέγιστη ταχύτητα κατά µέτρ, τυ σηµείυ Γ όταν στη χρδή δηµιυργηθεί στάσιµ κύµα. ε) Βρείτε τη συχνότητα πυ θα έπρεπε να έχυν τα αρχικά κύµατα ώστε στη χρδή ΟΖ η συµβλή τυς να µας δώσει ένα στάσιµ κύµα, µε δύ ακίνητα σηµεία παραπάνω. (Μνάδες 5) Θέµα 4 Σώµα Σ, µάζας m ιδανικύ ελατηρίυ σταθεράς κ µη ελαστικό νήµα πυ µέσω τρχαλίας τ συνδέει µε σφαίρα Σ µάζας m = 8 kg πυ έχει ρπή αδράνειας I = m R και = kg, ισρρπεί δεµέν στ πάνω άκρ κατακόρυφυ Σ = 00 N m, ενώ σε αυτό είναι δεµέν αβαρές και 00 m = h 7 cm 5 Γ ακτίνα R = 0, m. Ο συντελεστής τριβής τυ Σ µε τ δάπεδ τυ κεκλιµένυ 3 είναι µ =. 6 Τη στιγµή t = 0 κόβυµε τ νήµα. Βρείτε: α) Σε πόσ χρόν µηδενίζεται για πρώτη φρά η ταχύτητα τυ Σ και πόση απόσταση θα έχει διανύσει µέχρι τότε. β) Βρείτε την επιτάχυνση τυ κέντρυ µάζας τυ Σ, εφόσν κυλίεται χωρίς να λισθαίνει. γ) Βρείτε τ µέτρ της στρφρµής τυ Σ τη στιγµή πυ φτάνει στη βάση Γ τυ επιπέδυ. δ) Βρείτε τ ρυθµό µεταβλής της κινητικής ενέργειας τυ Σ εξαιτίας της περιστρφικής τυ κίνησης, τη στιγµή πυ φτάνει στη βάση Γ. ίνεται: g = 0 m s (Μνάδες 5) Σ 30 = φ 58 6/3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα. δ.. ω π γ, (γιατί f f 0 0,5 Hz π π k f 0 π m Εάν αυξήσυµε τη µάζα τυ συστήµατς, η ιδισυχνότητα ' µειώνεται, πότε: f f 0 και δεν είµαστε πλέν σε κατάσταση συντνισµύ.) 3. υ υ υ υ α, (γιατί: fa = fs fs = f s υ+ υ υ + υ 4. α Λάθς β Λάθς γ Λάθς W τ δ Σωστό (γιατί: W = θ τ θ ε Λάθς 5. α Λάθς ( γιατί: υ υ υ = υ + υ 3υ = υ υ = = 0 m s ) 3 αγt t = = = αγt ( t) 4 π π ω = = Τ = 000π rad s 3 0 6 3 I ω Q 000π 0 = = = π 0 Α 3 άρα: i Iηµωt i π 0 ηµ00πt = = ) β Λάθς (γιατί: φρτίζεται) γ Σωστό (γιατί: τη στιγµή t = 0,5 ms q = 0άρα η ενέργεια τυ κυκλώµατς έχει τη µρφή της µαγνητικής δυναµικής ενέργειας. ηλαδή, SI Q 6 UB E 0 J max 6 ) 6 ( ) ( 0 ) = = = = ) C 0 7/3
δ Σωστό (γιατί: η εκφόρτιση τυ πυκνωτή διαρκεί χρόν T 4,όπυη περίδς T= π LC, διπλασιάζεται). due q ε Λάθς (γιατί: = Vi = i= 0γιατί τη στιγµή t = ms είναι i = 0 ) dt c Θέµα. ΘΜΚΕ για τη ράβδ από την ριζόντια στην κατακόρυφη θέση: l Κτελ Κ αρχ =ΣW Ιω 0=+ m g m l ω = mg l 3 Α..Σ. συστ. συστ. αρχ. τελ. ω = 3g l ur ur L = L Ι ω+ 0= m υ l + 0 l 3g 3 m 3 l 3 l l = mul u = l g Θεώρηµα Steiner: I ( 0) I m l = cm + = = ml + ml = 4 4 = ml = ml 3 3g g υ = = ( β) 9 l 3. Η τάση τυ νήµατς παίζει τ ρόλ της κεντρµόλυ δύναµης, δηλαδή: mυ T l T= υ= l m Τ ( ) θρ. l SI 50,5 Τη στιγµή πυ σπάει τ νήµα υ= = = 5 m s m 0, Η γωνιακή ταχύτητα είναι ω= αγ t ωr = αγ R t υ= αt ή 8/3
υ 5 t = = s=,5 sec α ( SI ) α Επµένως θ= αγt = t =,5 =,5 rad ( β) R 0,5 3. Η διαδρµή πυ ακλυθεί η ακτίνα στ καθένα πρίσµα έχει µήκς m και η ταχύτητα διάδσής της σε αυτό είναι υ. 9 t + t + t = 30 0 SI στ πρισµα & στ πρισµα & στν αερα ( ) 8 + + = 30 υ c υ 4 8 8 + = 30.Άρα υ =,5 0 m s υ c 8 c 30 ms Ο δείκτης διάθλασης τυ πρίσµατς είναι: n = = = 8 υ,5 0 m s o Επµένως ηµθ crit = = θcrit = 30 ( α) n ' 4. Είναι m ' ' r' r Κ = Κ = υ = mυ υ = υ υ υ 00 00 ( ) 0 ' m m m m Στην κεντρική και ελαστική κρύση: υ = υ υ = υ m+m 0 m+m m + = = = m m 0m 0m 9m m α m 9 5. Πυθαγόρει θεώρηµα στ Α ' Σ ( ) ΠΑΣ : ( ) ( ) ( ) π( r r) = Α συν,όπυ ( ) ( ) ( ) r = ΠΣ = 8 m Επµένως, Α ' Σ λ ΑΣ = 6 + 8 SI ΑΣ = 0 m r = ΠΑ + ΑΣ = 6 m και π8 = Α συν Α συν4π Α = = σηµεί ενίσχυσης, άρα r r = Νλ 8= Ν Ν= 4 Όταν τα κύµατα πυ συµβάλλυν στ σηµεί Σ ακλυθήσυν τις διαδρµές ΠΓΣ και ΠΣ, τ σηµεί θα είναι πάλι σηµεί ενίσχυσης,πότε: ' ' r r = 5λ,όπυ 9/3
Π.Θ. ' = + = + + + + = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r ΠΓ ΓΣ 6 h 6 h 8 6 h 00 h h ' r = ΠΣ = 8 m Άρα: 6+ h+ 00+ h+ h 8= 0 00 + h + h = h ( ) 00 h h h + + = 00 + h + h = 44 4h + h 36h = 44 h = m ( γ) 4 Θέµα 3 α) Παρατηρύµε ότι λ = 4 m Στ χρόν t τ σώµα έχει διανύσει απόσταση 5λ 4, επµένως 5Τ 0 sec T 8 s 4 = = ( αφυ& υ = σταθερη& ) Τ σηµεί Ο( x 0) = στν χρόν t έχει διανύσει απόσταση ίση µε 5A =,5 m A = 0,3 m Τ αφυ& σε χρν & διανυει & απσταση & Α 4 t x Εξίσωση κύµατς: y = Aηµπ T λ t x y = 0,3ηµπ 8 4 β) i. υ= 0 έχυν όσα βρίσκνται στις ακραίες θέσεις, δηλαδή τα σηµεία Ο, Γ και Ε. ii. υ> 0 έχυν τα σηµεία Β και Ζ. Ο, Γ, Β,, Γ, Ε,, Ζ iii.τα ζεύγη των σηµείων ( ) ( ) ( ) ( ) t x γ) y = 0,3ηµπ + 8 4 Εξίσωση στάσιµυ κύµατς: πx πt πx πt y= Α συν ηµ y= 0,6 συν ηµ SI λ Τ 4 ( ) 0/3
δ) Τ σηµεί Γ είναι κιλία, επµένως: ε) Τ µήκς L τυ σχινιύ ΟΖ είναι L = 5m.Αν ' π υmax = ω Α = 0,6= 0,5π m s 4 λ είναι τ νέ µήκς κύµατς ' ' λ λ τότε L = ( N ) +, όπυ Ν τ πλήθς των ακίνητων σηµείων (δεσµί). 4 Θέλυµε: Ν = 3+ = 5 ' ' ' λ λ 9λ ' 0 Επµένως L = 4 + 5= λ = 4 4 9 m Η ταχύτητα διάδσης των αρχικών κυµάτων δεν αλλάζει, 4 ' ' ' ' ' λf 9 επµένως: υ= λf λf = λf f = = 8 = ' λ 0 40 Hz η& 0,5 Hz 9 Θέµα 4 α) T N ΣF = 0 T + T = Bx T F ελ T φ Β x T = mgηµφ µ Ν Β Β y φ Γ Τ = mg ηµφ µ mgσυνφ () ΣF = 0 Τ = F + Β Τ = Κ l + m g () ελ () και () K l + m g = m g ηµφ µ m g συνφ 3 3 80 80 0 l 6 = 00 40 0 0 l = ή l = 0, m 00 /3
Στη Θ.Ι.: ( SI mg ) K Αφύ l = l συµπεραίνυµε ότι αρχικά τ ελατήρι βρισκόταν στη ΘΦΜ πυ απτελεί και ακραία θέση για ταλάντωση (αφύ εκεί υ= 0). Επµένως τ πλάτς της ταλάντωσης είναι: A= l= 0, m ΣF = 0 mg = K l l = = 0, m l ΘΦΜ ΘΙ ( x = 0) Ο ζητύµενς χρόνς είναι T και η απόσταση Α. T m π = = = κ 00 0 A = 0, m π π sec Στ = Ι Τ R = m R T = m α () 5 5 ΣF = m α m gηµφ T = m α (3) β) αγων cm x cm cm Από τις () και (3) mgηµφ mα cm = mα 7 cm mα cm = mgηµφ 5 5 50 5g ηµφ α 5 cm = αcm = ή αcm = m s 7 7 7 γ) Εάν x είναι η απόσταση πυ διανύει τ c.m. µέχρι τ σηµεί Γ, τότε: 00 h h 7 00 ηµφ = x = = = m x ηµφ 7 00 x 7 400 0 x = αcmt t = = = = = 4sec α 5 cm 5 5 7 (SI) 5 00 υcm = αcmt = 4= m s 7 7 /3
δ) 00 3 L= Iω= mr ω= mrυcm = 8 0, = kg m s 5 5 5 7 7 dκ = Στ ω = Ι α ω = m α υ dt 5 στρ. Επµένως στρ. dκ = dt 5 γων cm cm 8 5 5 00 8000 = Js 7 7 49 Επιµέλεια: Γκιώνη Βασιλική 3/3