ιατεταγµένα σώµατα - ΙΙ. (Άλγεβρα)

ιατεταγµέα σώµατα - ΙΙ (Άλγεβρα) Χρησιµοποιούµε σα κείµεο αφετηρίας το κείµεο του Kaplansky, που ααφέραµε στη Σηµείωση 3 της Εότητας ιατεταγµέα Σώµατα Ι Γράφει ο Kaplansky: «Προχωρούµε, τώρα, στη εξέταση αλγεβρικώ επεκτάσεω τυπικά πραγµατικώ (= διαταξίµω) σωµάτω Θεώρηµα 3 Ας είαι το Α τυπικά πραγµατικό σώµα και το α έα στοιχείο του Α που δε είαι τετράγωο στοιχείου του Ας υποθέσουµε ότι το - είαι άθροισµα τετραγώω στοιχείω του σώµατος Α( α ) Τότε, το -α είαι άθροισµα τετραγώω στοιχείω του Α» ιατυπώουµε λίγο ααλυτικώτερα τη απόδειξη του κειµέου Υπεθυµίζουµε ότι το Α( α ) είαι το σύολο τω στοιχείω της µορφής u+v α, όπου τα u και τα v είαι στοιχεία του Α Αφού το πολυώυµο x -α είαι αάγωγο στο Α, το υπ όψη σύολο αποτελεί σώµα {ισόµορφο µε το δακτύλιο - πηλίκο Α[x]/(x -a)} (Σχόλιο Η απόδειξη ότι το σύολο αυτό αποτελεί σώµα αποτελεί, στη ειδική περίπτωση όπου Α = Q, κλασική σχολική άσκηση Η σχολική απόδειξη µπορεί α µεταφερθή, όπως είαι και βρίσκεται, στη περίπτωση του τυχότος σώµατος Α) Από τη υπόθεση, υπάρχου στοιχεία u και v του Α, µε - = ( u + α ) = v - = u + + α v = = = α Ούτε τα u ούτε τα v είαι όλα µηδεικά Εποµέως, + u + α = = = = = u v α Άρα, α u v 0, = u v v και, εποµέως, α Α, σε ατίφαση µε τη υπόθεση ότι το α δε είαι τετράγωο στοιχείου του Α Άρα, u v = 0 Εποµέως, - = u + αv Άρα, + u = u v = + = = v = α = = = Αφού το S A \{0} είαι πολλαπλασιαστική οµάδα, ο δεύτερος παράγω είαι κι αυτός άθροισµα τετραγώω (Βλ το 3 της Προτάσεως 4 του Πρώτου µέρους της Εότητας ιατεταγµέα Σώµατα Ι) Άρα, το δεξιό µέλος της τελευταίας ισότητας είαι άθροισµα τετραγώω Εποµέως, το -α είαι άθροισµα τετραγώω στοιχείω του Α Μ άλλα λόγια, - α S A οεδ» Από το κείµεο του Kaplansky: Θεώρηµα 4 Ας υποθέσουµε ότι το Α είαι έα τυπικά πραγµατικό σώµα και ότι το σ είαι έα πολυώυµο περιττού βαθµού αάγωγου στο Α Έστω ότι η θ είαι µία ρίζα του σ Τότε, το σώµα Α(θ) είαι τυπικά πραγµατικό ηλαδή, µ αυτές τις υποθέσεις, ότα το Α είαι διατάξιµο, και το Α(θ) είαι διατάξιµο Συµβολισµός Γράφουµε, αδιάφορα, σ ή σ(x)

ιατυπώουµε πολύ ααλυτικά τη συοπτική απόδειξη του κειµέου Ας είαι βαθµού το υπ όψη πολυώυµο σ(x) Το σώµα Α(θ) είαι, βέβαια, µιά απλή αλγεβρική επέκταση του Α, ισόµορφη µε το δακτύλιο - πηλίκο A(x)/(σ(x)) µε διάσταση Τα στοιχεία του είαι της µορφής α 0 +α θ+ +α - θ -, µε τα α 0,,α - στοιχεία του Α Γιά α µπορούµε α κάουµε επαγωγή στο, ααδιατυπώουµε έτσι τη υπόθεση του θεωρήµατος γιά το σ: Το σ είαι έα πολυώυµο περιττού βαθµού, που, α >, είαι αάγωγο Γιά =, θ Α Εποµέως, Α(θ) = Α και το συµπέρασµα ισχύει, τετριµµέα Έστω, λοιπό, ότι > περιττός (άρα 3) και ότι το συµπέρασµα ισχύει γιά κάθε πολυώυµο βαθµού <, µε τη επί πλέο υπόθεση ότι, α ο βαθµός αυτός είαι >, το πολυώυµο είαι αάγωγο Σκοπός µας, α αποδείξουµε ότι ισχύει και γιά το αάγωγο πολυώυµο βαθµού Κάουµε εις άτοπο απαγωγή Έστω ότι θ ρίζα του σ(x) και ότι το Α(θ) δε είαι τυπικά πραγµατικό, δηλαδή ότι - S A(θ) Υπάρχου, τότε, στοιχεία του γραµµικού χώρου που θεωρήσαµε, που α έχου άθροισµα τετραγώω ίσο µε - Μ άλλα λόγια, υπάρχου πολυώυµα φ (x), ( =,,), µε συτελεστές από το Α, βαθµού <, µε τη ιδιότητα () = [ φ ( θ)] = Ας µεταφερθούµε, τώρα, στο ισόµορφο µε το Α(θ) δακτύλιο - πηλίκο A(x)/(σ(x)) Τι σηµαίει, σ αυτό, η ισότητα (); Ότι υπάρχου πολυώυµα, µε συτελεστές από το Α (δηλαδή, αυτά, στοιχεία του δακτυλίου A[x]) f(x), f (x) ( =,,λ) και g(x), γιά τα οποία ισχύει η ισότητα (ταυτότητα, ως προς το x και το Α) + f (x) σ(x) = [ φ (x) + f (x) σ(x)] + g(x) σ(x) = Η ισότητα αυτή, µετά από προφαείς στοιχειώδεις πράξεις, αάγεται σε ισότητα, µε τη µορφή: () = [ φ (x)] + h(x) σ(x), = όπου το h(x) πολυώυµο µε συτελεστές από το Α Ας ασχοληθούµε, τώρα, µε το [ φ (x)] της () Αποκλείεται α είαι όλα τα φ (x) = σταθερά πολυώυµα δηλαδή, στοιχεία του Α γιατί, αφού, από υπόθεση, σ(θ) = 0, η ατικατάσταση του x µε το θ, θα έδιε, τότε, το αποτέλεσµα - S A αδύατο, αφού το Α είαι, από υπόθεση, τυπικά πραγµατικό σώµα Εποµέως, στο της () υπάρχει έα, τουλάχιστο, φ (x) στο οποίο εµφαίζεται, κατά µη τετριµµέο τρόπο, δύαµη του x Η δύαµη αυτή είαι, ααγκαία, - άρα, στο [φ (x)] είαι - και, ααγκαία, άρτια Ας ασχοληθούµε, τώρα, µε το h(x) Αφού η () είαι, στο Α, ταυτότητα ως προς το x, θα πρέπει το h(x)σ(x) α µη έχη βαθµό > από το βαθµό του [ φ (x)], άρα, > - Εποµέως, το h(x)σ(x) έχει βαθµό - Τώρα, από υπόθεση, το σ(x) έχει βαθµό, περιττό Άρα, το h(x) πρέπει α έχη βαθµό περιττό και - Αφού το h(x) έχη βαθµό περιττό, δύο πράγµατα µπορεί α συµβαίου: Είτε α έχη ρίζα α από το Α είτε α έχη αάγωγο παράγοτα περιττό Στη πρώτη περίπτωση, η ατικατάσταση του x από το α δίει ισότητα - = [ φ ( α)], που συεπάγεται ότι - S A, δηλαδή, άτοπο = Άρα, το h(x) δε έχει ρίζα από το Α Εποµέως, βρισκόµαστε στη δεύτερη περίπτωση = =

3 Τώρα, αφού το h(x) δε έχη ρίζα από το Α, ααλύεται σε αάγωγους, στο Α, παράγοτες, από τους οποίους, ααγκαία, έας, τουλάχιστο, είαι περιττού βαθµού φυσικά, < Ας καλέσουµε h (x) έα τέτοιο παράγοτα Η ταυτότητα () γράφεται, τώρα, ( ) = [ φ (x)] + h (x)h (x) σ(x) = Αεξάρτητα από το πώς φτάσαµε σ αυτή τη ταυτότητα, ατιπροσωπεύοται ισότιµα, σ αυτή, τα αάγωγα πολυώυµα h (x) και σ(x) δηλαδή, µπορούµε α τη διαβάζουµε µε το h (x) στη θέση του σ(x) Γιά το h (x), όµως, περιττού βαθµού <, ισχύει η υπόθεση της επαγωγής δηλαδή, ότι το Α[x]/(h (x)) είαι τυπικά πραγµατικό σώµα Έχουµε, όµως, τότε, στο σώµα αυτό, από τη ( ), τη ισότητα - = [ φ (x)], που είαι αδύατη Άτοπο Εποµέως, γιά κάθε αάγωγο πολυώυµο σ(x) περιττού βαθµού, ότα το Α είαι τυπικά πραγµατικό (= διατάξιµο) και το Α[x]/(σ(x)) είαι τυπικά πραγµατικό (= διατάξιµο) οεδ Θα έρθουµε, τώρα, σε µία θεµελιώδη έοια, γιά τη οποία οι διεθείς όροι είαι corps ordonné maximal (= διατεταγµέο σώµα αξεπέραστο), του Bourbaki, και real closed field (= κλειστό πραγµατικό σώµα), που χρησιµοποιείται, συχά, στη αγγλόφωη βιβλιογραφία Εδώ, θα εισαγάγουµε έα όρο, που το θεωρούµε ατικειµεικά πιό σωστό: Σώµα διατακτικά - αλγεβρικά αξεπέραστο Τώρα, επειδή είαι µακρός, θα χρησιµοποιούµε τη συτοµογραφία: Σώµα δαα Ορισµός Έα διατεταγµέο σώµα καλείται διατακτικά - αλγεβρικά αξεπέραστο (σώµα δαα) ότα δε υπάρχη γήσια αλγεβρική επέκτασή του στη οποία α µπορή α επεκταθή η διάταξή του δηλαδή, α γίεται και η επέκταση αυτή, µε τη υπ όψη διάταξη, διατεταγµέο σώµα Παράδειγµα Το R Απόδειξη Στη Αάλυση, αποδεικύεται ότι κάθε πολυώυµο σ(x) βαθµού, µε συτελεστές από το R, έχει µία, τουλάχιστο, ρίζα, µιγαδική ή πραγµατική Έστω, τώρα, ο µιγαδικός αριθµός γ+iδ, µε δ 0 Τότε, ο γεικός όρος α µ x -µ δίει, γιά x = γ+iδ, το µιγαδικό αριθµό (γ+iδ) -µ Εξετάζουµε, τώρα, τις διάφορες δυατές περιπτώσεις Γιά µ =, έχουµε το πραγµατικό αριθµό α Γιά µ = -, το µιγαδικό γ+iδ Γιά µ < - (και βέβαια 0), το αάπτυγµα του διωύµου (γ+iδ) -µ επί α µ Στο αάπτυγµα αυτό, εµφαίζοται, σα πολλαπλασιαστές πραγµατικώ αριθµώ, αεξαρτήτω από τις δυάµεις του i, οι τέσσερεις δυατές τιµές δυάµεω του i:, -, i, -i Ας θεωρήσουµε, τώρα, και το σ(γ-iδ) Το α µ µέει, βέβαια, ααλλοί-ωτο, το α - (γ+iδ) γίεται α - (γ-iδ) και το αάπτυγµα του (γ-iδ) -µ γιά µ < -, παρουσιάζει τις εξής µεταβολές: Το = i υψωµέο σε δύαµη της µορφής 4λ (λ 0), παραµέει ααλλοίωτο, γιατί (-i) 4λ = Το - = το i υψωµέο σε δύαµη που είαι πολλαπλάσιο του αλλά όχι του 4, παραµέει ααλλοίωτο, γιατί - = (i ) λ+ = ((-) i ) λ+ = 9(-i) ) l+ Τα i και -i, παίρου το έα τη θέση του άλλου, καθώς δείχου οι ισότητες: Γιά λ > 0, i λ+ (µε το λ περιττό) = i λ i = (i ) λ i = -i, εώ (-i) λ+ (µε το λ περιττό) = ((-i) ) λ (-i) = (-i)(-i) = i κλπ Συµπέρασµα Α, µετά τη ααγωγή τω οµοίω όρω, το σ(γ+iδ) έχη τη µορφή Γ+i, όπου τα γ και δ πραγµατικοί αριθµοί, το σ(γ-iδ) θα έχη τη µορφή Γ-i Έτσι, το γ+iδ είαι ρίζα της εξισώσεως σ(x) = 0 α, και µόο α, η γ-iδ είαι ρίζα της Αυτό είαι το κλασικό θεώρηµα ότι οι µιγαδικές και µη πραγµατικές ρίζες αλγεβρικής εξισώσεως µε πραγµατικούς συτελεστές είαι, αά δύο, συζυγείς (η απόδειξη, που κάαµε, είαι, ουσιαστικά, σχολική) Έτσι, οι καθαρά µιγαδικοί παράγοτες του σ(x), ότα υπάρχου, παίρου τη µορφή α[x-(γ+iδ)][x-( γ-iδ)] = α[(x-γ) +δ ], όπου τα α, γ και δ πραγµατικοί αριθµοί Ξααρχίζοτας απ τη αρχή και χρησιµοποιώτας το αποτέλεσµα της Ααλύσεως, που ααφέραµε, ξεκιώτας, καθώς και τη διαίρεση πολυωύµου διά =

4 πολυωύµου, στο R, διαπιστώουµε ότι το σ(x) ααλύεται σε κ (0 κ ) παράγοτες (x-ρ ) κ (0 κ), σε δευτεροβάθµιους παράγοτες της µορφής (x-γ) +δ και στο συτελεστή α 0 του µεγιστοβαθµίου όρου του Τα ρ είαι, βέβαια, στοιχεία του R Έτσι, δε υπάρχει πολυώυµο µε πραγµατική ρίζα αάγωγο στο R Εποµέως, δε υπάρχει πεπερασµέη αλγεβρική επέκταση του R στη οποία α µπορή α επεκταθή η διάταξή τουεπίσης, δε υπάρχει αλγεβρική επέκταση του R στη οποία α µπορή α επεκταθή η διάταξή του οεδ Συµπληρωµατική παρατήρηση Οι µόες γήσιες πεπερασµέες αλγεβρικές επεκτάσεις που έχει το R είαι της µορφής R[x]/((x-γ) +δ Τώρα, µιά τέτοια επέκταση που έχει στοιχείο της το γ+δi, έχει και το -γ+(γ+iδ) = iδ άρα, και το δ δ i εποµέως, και το i Άρα, η επέκταση αυτή περιέχει το R(i), δηλαδή, το C Όµως, καθώς αποδεικύεται στη Αάλυση, κάθε αλγεβρική εξίσωση µε συτελεστές από το C έχει ρίζα µέσα στο C και, εποµέως, ααλύεται σ αυτό σε πρωτοβάθµιους παράγοτες Άρα, το C είαι αλγεβρικά κλειστό Εποµέως, συµπίπτει µ αυτή του τη επέκταση Συεπώς, όλες οι γήσιες αλγεβρικές επεκτάσεις του R συµπίπτου µε τη R(i) = C Η συµπληρωµατική παρατήρηση µας προετοιµάζει γιά το σηµατικό θεώρηµα: Ότα το Α είαι σώµα δαα, το Α(i) όπου i ρίζα της x + = 0 είαι αλγεβρικά κλειστό Γράφει, γιά δαα σώµατα, ο Kaplansky: «Τη έοια του τυπικά πραγµατικού σώµατος, τη εέπευσε η εξέταση τω διατε-ταγµέω σωµάτω Με το ίδιο τρόπο, τη έοια του σώµατος δαα (real closed), τη εέπευσε το παράδειγµα του σώµατος τω πραγµατικώ αριθµώ Ορισµός Έα σώµα Α είαι δαα α το Α είαι τυπικά πραγµα-τικό και δε υπάρχη γήσια επέκτασή του µε διάσταση πεπερασµέ-η, που α είαι τυπικά πραγµατική» Μ άλλα λόγια: Έα σώµα Α είαι δαα α το Α είαι διατάξιµο και δε υπάρχη γήσια αλγεβρική επέκτασή του, στη οποία α µπορεί α επεκταθή η διάταξή του Βλέπουµε, έτσι, ότι ο ορισµός είαι ταυτόσηµος µε το ορισµό που ααφέραµε πιό πρί Συεχίζει ο Kaplansky: Ισοδύαµα µπορούµε α πούµε ότι το Α, είαι, µέσα στη αλγεβρική κλειστότητά του, ως προς το µεταξύ τυπικά πραγµατικώ υποσωµάτω της, αξεπέραστο προς τα επάω Εφαρµόζοτας το λήµµα Zorn µέσα σε µιά αλγεβρική κλειστότητα του Α, λαβαίουµε: Θεώρηµα 5 Κάθε τυπικά πραγµατικό σώµα έχει αλγεβρική επέκταση που α είαι σώµα δαα Ας ααλύσουµε λίγο τη παραπάω συοπτική απόδειξη του κειµέου του Kaplansky Ας είαι το Α έα τυπικά πραγµατικό ( = διατάξιµο) σώµα Ξέρουµε ότι, γιά κάθε σώµα, άρα, και γιά το Α, υπάρχει αλγεβρική κλειστότητά του Ας καλέσουµε Β µιά τέτοια κλειστότητα του Α Θεωρούµε, τώρα, το σύολο τω υποσωµάτω της που περιέχου το Α και που είαι τυπικά πραγµατικά Το σύολο αυτό δε είαι κεό, αφού, από υπόθεση, το Α αήκει σ αυτό Εξ άλλου, είαι, φαερά, επαγωγικό γιατί, α το - δε είαι άθροισµα τετραγώω στοιχείω καεός µέλους ολικώς διατεταγµέης, µε το οικογεείας από τέτοια σώµατα, δε µπορεί α είαι και άθροισµα τετραγώω στοιχείω της εώσεώς τους (Αφού κάθε πεπερασµέο πλήθος τετραγώω στοιχείω της εώσεως, ααγκαία, βρίσκεται σε κάποιο µέλος της) Τώρα, µε συλλογισµούς που έχουµε κάει στη Πέµπτη Εότητα αποδεικύεται ότι και η έωση αυτή αποτελεί σώµα άρα, σώµα τυπικά πραγµατικό Εποµέως, εφαρµόζεται το λήµµα του Zorn Υπάρχει έα, τουλάχιστο, τυπικά πραγµατικό σώµα Α, µε Α Α Β, που είαι, ως προς το µεταξύ τυπικά πραγµατικώ σωµάτω Γ που α ικαοποιού τις

5 σχέσεις Α Γ Β, αξεπέραστο προς τα επάω Αυτό το Α είαι, φαερά, σώµα δαα οεδ Σχόλιό µας Αποδεικύεται ότι κάθε δυό αλγεβρικές επεκτάσεις εός τυπικά πραγµατικού (= διατάξιµου) σώµατος, οι οποίες είαι δαα, είαι ισόµορφες Συεχίζει, ο Kaplansky: Εξάγουµε, τώρα, µερικές συέπειες τω θεωρηµάτω 3 και 4 Θεώρηµα 6 Έα σώµα δαα Α δε έχει γήσιες επεκτάσεις περιττού βαθµού Κάθε στοιχείο του Α είαι είτε τετράγωο στοι-χείου του Α είτε το ατίθετο τετραγώου στοιχείου του Α (αλλά όχι και τα δύο, α είαι µη µηδεικό) Το Α επιδέχεται µιά και µοαδική διάταξη» Το κλασικό αυτό θεώρηµα είαι, βέβαια, σωστό, η απόδειξη του Kaplansky, όµως, είαι αεπαρκής Γιατί θεωρεί το ότι το Α δε έχει γήσιες επεκτάσεις περιττού βαθµού, προφαή συέπεια του θεωρήµατος 4 Το οποίο, όµως, ααφέρεται µόο σε απλές αλγεβρικές επεκτάσεις περιττού βαθµού Ας δείξουµε, λεπτοµερώς, πού βρίσκεται το πρόβληµα Έστω ότι το Β Α είαι γήσια επέκταση του Α, περιττού βαθµού Τότε, το Β έχει, ααγκαία, προέλθει από µιά πεπερασµέη διαδοχή απλώ αλγεβρικώ επεκτάσεω του Α Α Β Β = Β Από το θεώρηµα 4 και τη υπόθεση ότι το Α είαι δαα και το Β γήσια επέκτασή του, έπεται ότι το Β δε µπορεί α είαι επέκταση περιττού βαθµού Άρα, α υπάρχη γήσια αλγεβρική επέκταση του Α, θα είαι αρτίου βαθµού Έτσι, η επέκταση Β α υπάρχη, θα είαι αρτίου βαθµού Τώρα, αφού το Α είαι δαα, το Β δε θα είαι διατάξιµο [Παράδειγµα Α = R, Β = R(i), όπου το i ρίζα της x + = 0] Τώρα, δε έχουµε, ως τώρα, αποδείξει ότι το γεικό Β είαι κλειστό, Εποµέως, δε αποκλείεται, από πρώτα, α υπάρχη γήσια επέκτασή του περιττού βαθµού Στη πραγµατικότητα, µας χρειάζεται, εδώ, έα ισχυρό θεώρηµα, που βρίσκεται στο πέµπτο κεφάλαιο Ατιµεταθετικά σώµατα της Άλγεβρας τω Bourbaki και που, στη περίπτωσή µας, λέει ότι: Κάθε πεπερασµέη επέκταση σώµατος µε χαρακτηριστική 0, µπορεί α ληφθή σα απλή αλγεβρική επέκταση (Καθώς η απόδειξή του χρειάζεται θεωρία Galois, δε τη δίουµε, εδώ) Με χρήση του θεωρήµατος αυτού, το συµπέρασµα γίεται προφαής συέπεια του θεωρήµατος 4 Σηµειώουµε, όµως, ότι σ αυτό το θεώρηµα ααφερότουσα οι Birkhoff και MacLane, κάτω από το Πόρισµα στο Θεώρηµα 9 Ερχόµαστε, τώρα, στο υπόλοιπο µέρος του θεωρήµατος, που πρέπει α αποδείξουµε Θα αποδείξουµε ότι κάθε άθροισµα τετραγώω στοιχείω του Α είαι τετράγωο στοιχείου του Α δηλαδή, ότι S A A Το κάουµε µε εις άτοπο απαγωγή Έστω ότι α = i= βi, µε α 0 και ότι το α δε είαι τετράγωο στοιχείου του Α Τότε, το Α( α ) είαι γήσια αλγεβρική επέκταση του Α Τώρα, αφού το Α είαι, από υπόθεση, σώµα δαα, το Α( α ) δε είαι τυπικά πραγµατικό Άρα, το - είαι, σ αυτό, άθροισµα τετραγώω στοιχείω του Εποµέως, σύµφωα µε το θεώρηµα 3, στο Α, το -α είαι άθροισµα τετραγώω στοιχείω του δηλαδή, υπάρχου στοιχεία c ( =,,µ) του Α, µε Τώρα, α προσθέσουµε, κατά µέλη, τις ισότητες i= β µ i + = α = i= µ α = µ = c βi και α = c, λαβαίουµε ότι c = 0 δηλαδή, στο Α, έα άθροισµα τετραγώω στοιχείω του όχι όλω µηδέ είαι ίσο µε µηδέ Άτοπο Άρα, κάθε τετράγωο στοιχείω του Α είαι τετράγωο στοιχείου του Α Ααφέρει, τώρα, χωρίς απόδειξη (γι αποδείξεις παραπέµπει αλλού), ο Kaplansky, το κλασικό =

6 Θεώρηµα 7 Α το σώµα Α είαι δαα, τότε, το Α(i), όπου i = -, είαι αλγεβρικά κλειστό Θ ακολουθήσουµε γιά τη απόδειξη αυτού του θεωρήµατος σε µιά πληρέστερη µορφή τη πορεία του Bourbaki ( Άλγεβρα, Κεφάλαιο VI, ιατεταγµέες οµάδες και διατεταγµέα σώµατα Παρίσι, 96, σελ 39-4) Θα διατυπώσουµε, βέβαια, τα πράγµατα πιό ααλυτικά Θεώρηµα (Euler - Lagrange) Ας είαι το Α έα διατεταγµέο σώµα Οι επόµεες τρείς ιδιότητες είαι ισοδύαµες: ) Το σώµα Α(i) είαι αλγεβρικά κλειστό (το i = ) ) Το σώµα Α είαι δαα 3) Κάθε θετικό στοιχείο του Α είαι τετράγωο στοιχείω του και κάθε πολυώυµο περιττού βαθµού, στο Α, έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο Α Ορολογία Οι Bourbaki, όπως και οι Birkhoff και MacLane, λέε περιττού βαθµού επάω στο Α ατί περιττού βαθµού στο Α, που γράψαµε Χρησιµοποιήσαµε και τις δύο διατυπώσεις, χωρίς διάκριση Απόδειξη Θ αποδείξουµε, πρώτα, ότι το ) συεπάγεται το ) Αφού, στο Α(i), - = i, το Α(i) δε είαι διατάξιµο Τώρα, αφού το A(i) είαι αλγεβρικά κλειστό, κάθε αλγεβρική επέκταση L του Α είαι, ααγκαία, υπόσωµα του A(i) Έτσι, α το L είαι διατάξιµη αλγεβρική επέκταση του Α, θα έχουµε: Α L Α(i) Άρα, σε βαθµούς: [A(i):A] = [A(i):L][L:A] Όµως, το A(i) είαι, φαερά, επέκταση βαθµού του Α Άρα, [A(i):L][L:A] = Τώρα, αφού L A(i), θα είαι, ααγκαία, [A(i):L] = Άρα, [L:A] = Εποµέως, L = A Άρα, δε πρέπει α υπάρχη γήσια επέκταση του Α Εποµέως, το Α είαι δαα Αποδείχθηκε, έτσι, ότι η ) συεπάγεται τη ) Τώρα, το ότι η ) συεπάγεται τη 3), είαι το ίδιο το παραπάω Θεώρηµα 6 Στ αλήθεια, το α πούµε ότι έα σώµα δαα δε έχει γήσιες αλγεβρικές επεκτάσεις περιττού βαθµού και ότι σ έα σώµα δαα, κάθε πολυώυµο περιττού βαθµού έχει, µία τουλάχιστο, ρίζα είαι, ακριβώς, το ίδιο πράγµα Γιατί, σύµφωα µε το ισχυρό θεώρηµα, που χρησιµοποιήσαµε χωρίς α το αποδείξουµε (ακόµα), κάθε πεπερασµέη επέκταση διατεταγµέου σώµατος µπορεί α ληφθή ως απλή αλγεβρική επέκτασή του Έτσι, µπορούµε α περιοριστούµε, εδώ, σε πολυώυµα αάγωγα στο Α και σε απλές αλγεβρικές επεκτάσεις Τώρα, και οι δύο διατυπώσεις λέε: Σε σώµα δαα δε υπάρχου αάγωγα πολυώυµα περιττού βαθµού Αποµέει, λοιπό, αποδείξουµε ότι το 3) συεπάγεται το ) (Τα άλλα, θα έπωται κυκλικά) Η συεπαγωγή αυτή θα εξαχθή ως πόρισµα τω εποµέω δύο προτάσεω και Πρόταση Ας είαι το Α έα διατεταγµέο σώµα, που κάθε θετικό στοιχείο του είαι τετράγωο στοιχείω του Τότε, κάθε στοιχείο του Α(i) είαι τετράγωο στοιχείω του και κάθε πολυώυµο δευτέρου βαθµού ( = τριώυµο) στο Α(i) έχει ρίζα στο A(i) Απόδειξη Θα αποδείξουµε ότι το τυχό στοιχείο α+βi (τα α και β στοιχεία του Α) είαι τετράγωο Ψάχουµε, λοιπό, γιά έα στοιχείο x+iy µε (x+iy) = α+βi Γιά α συµβαίη αυτό, πρέπει α έχουµε: x -y = α και ax = β ( ηλαδή, στο αυσµατικό χώρο επάω στο Α, µε µοάδιαία, αεξάρτητα στοιχεία, το στο Α και το i στο Ai, α είαι ίσες οι συτεταγµέες στο Α και ίσες οι συτεταγµέες στο Αi) Απ αυτές λαβαίουµε: (x -y ) = α 4x y = β Εποµέως, x 4 -x y +y 4 = α και 4x y = β Άρα, x 4 +x y +y 4 = α +β Εποµέως, (x +y ) = α +β Ας συµβολίσουµε µε c τη θετική ρίζα του α +β Φαερά, α c και β c, εώ x +y = c Εποµέως: x -y = α x +y = c

7 c α Από το σύστηµα αυτό λαβαίουµε, x = Καθώς c α, οι δύο αυτές εξισώσεις έχου λύση µέσα στο Α Ας καλέσουµε x 0 και y 0 δύο τέτοιες λύσεις Τότε, x 0 -y 0 = α, x 0 y 0 = ±β β Α πάρουµε y 0 =, έχουµε, µ αυτό το ζεύγος (x0,y 0 ), λύση της εξισώσεως x 0 (x+iy) = α+βi Θεωρούµε, τώρα, το τριώυµο αx +βx+γ, µε τα α, β και γ, στοιχεία του Α(i) Είαι, 4 αx β β 4αγ +βx+γ = α x + α 4α β 4αγ Σύµφωα µε τα προηγούµεα το β -4αγ είαι τετράγωο Εποµέως, και το είαι 4α β τετράγωο Ας καλέσουµε d µία τετραγωική ρίζα του Τότε, το d α + είαι ρίζα του τριωύµου = Πρόταση 8 Ας είαι το Α άπειρο σώµα ατιµεταθετικό (οποι-ασδήποτε χαρακτηριστικής) Ας υποθέσουµε ότι το Α και Α = Α (i) είαι τέτοια ώστε: α) Κάθε πολυώυµο στο Α, µε περιττό βαθµό, έχει ρίζα στο Α β) Κάθε δευτεροβάθµιο τριώυµο στο Α έχει ρίζα στο Α Τότε, το Α είαι αλγεβρικά κλειστό Απόδειξη Θα παριστάουµε µε α το στοιχείο το συζυγές στο α δηλαδή, τη εικόα του α στο αυτοµορφισµό του Α, που διατηρεί άθικτα τα στοιχεία του Α και ατιστοιχίζει στο i το -i Γιά κάθε πολυώυµο f στο Α, θα παριστάουµε µε f το πολυώυµο που οι συτελεστές του είαι συζυγείς τω ατιστοίχω συτελεστώ του f Αρκεί α δείξουµε ότι κάθε πολυώυµο στο Α έχει ρίζα στο Α Στ αλήθεια, α το f είαι πολυώυµο στο Α, το g = f o f είαι πολυώυµο στο Α (Απόδειξη Ο παραπάω αυτοµορφισµός εαλλάσσει τα f και f και, εποµέως, αφήει το g άθικτο Άρα, οι συτελεστές του g αήκου στο Α) Τώρα, ότα το g έχη ρίζα στο Α, αυτή θα είαι ρίζα είτε του f είτε του f Α είαι ρίζα, τελειώσαµε Α είαι ρίζα του f, η συζυγής της θα είαι ρίζα του f [Απόδειξη Εφαρµόζουµε το παραπάω αυτοµορφισµό στο Α Η f (α+βi) = 0 πηγαίει, έτσι, στη f(α-βi) = 0] Έτσι, τελειώσαµε και πάλι Ας είαι, τώρα, το f έα πολυώυµο στο Α, βαθµού n p, όπου ο p περιττός Από τη υπόθεση α), η πρόταση αληθεύει γιά n = 0 Θα εφαρµόσουµε, τώρα, τελεία επαγωγή Ας είαι το σώµα Ε µιά επέκταση του Α, στη οποία το f ααλύεται σε πρωτοβάθµιους παράγοτες f(x) = ( x α i) Παίρουµε, τώρα, έα, οποιοδήποτε, i στοιχείο b του Α και σχηµατίζουµε το πολυώυµο h, που έχει σα ρίζες του τις y i = α i +α +bα i α ( < i) Το πολυώυµο αυτό έχει σα συτελεστές του συµµετρικές συαρτήσεις τω α i, µε συτελεστές (προερχοµέους από το b) απ το Α Εποµέως, οι συτελεστές του h αήκου στο Α (Χρησιµοποιούµε, εδώ, έα βασικό θεώρηµα, που αποδεικυόταε κλασικά µε αλγοριθµικές µεθόδους, που έχουε και πάλι έρθει στη µόδα και αποδεικύεται εύκολα µε θεωρία Galois Λέγεται θεώρηµα τω συµµετρικώ συαρτήσεω) Το πολυώυµο αυτό, στο Α, έχει, σα βαθµό του, το πλήθος τω συδυασµώ τω n p γραµµάτω, αά δύο δηλαδή, n n p( p ) = n- p( n p-) = n- p, όπου p περιττός Γι αυτό, ισχύει η υπόθεση της επαγωγής Εποµέως, έχει µιά ρίζα y i στο Α Τώρα, αυτό ισχύει γιά κάθε b A και το Α είαι άπειρο ηλαδή, υπάρχου άπειρες, στο πλήθος, σχέσεις της µορφής α i +α +bα i α Α Τώρα, αφού τα α λ είαι πεπερασµέα, στο πλήθος, δύο, τουλάχιστο, τέτοιες σχέσεις µε διαφορετικά b θα έχου το ίδιο ζεύγος (α i,α ) Έτσι,

8 αi + α + bαiα A αi + α + b αiα A Φαερά, αυτό είαι πρωτοβάθµιο σύστηµα, µε αγώστους x = α i +α και y = α i α Άρα, τα α i +α και α i α εκφράζοται ρητώς συαρτήσει τω b, b και στοιχείω του Α Άρα, α i +α Α και α i α Α Έτσι, έχουµε, στο Α, τη εξίσωση z -(α i +α )z+ α i α = 0, µε ρίζες τις α i και α Καθώς τα α i και α είαι ρίζες της f, η απόδειξη τελείωσε = Καθώς είπαµε, τη παραπάω απόδειξη τη πήραµε, ουσιαστικά, από το Bourbaki Τώρα, είαι φαερό γιά το κάθε σκεπτόµεο µαθηµατικό, ότι αυτή η µε συγκλοιστικά πρωτότυπες ιδέες απόδειξη υπήρξε έργο µεγάλω µαθηµατικώ Γιά το λόγο αυτό, µεταφέρουµε, εδώ, το ιστορικό σηµείωµα του Bourbaki (Άλγεβρα, Κεφάλαιο VI, σελ 63-64) «Από τα µέσα του 8ου αιώα, η ααζήτηση µιάς αποδείξεως του θεµελιώδους θεωρήµατος της Αλγέβρας (δηλαδή, ότι κάθε αλγεβρική εξίσωση µε µιγαδικούς συτελεστές έχει µιά, τουλάχιστο, ρίζα) βρίσκεται στη ηµερησία διάταξη ε είαι αάγκη α υπεθυµίσουµε, εδώ, τη προσπάθεια του d Alembert, µε το οποίο ξεκίησε η σειρά τω αποδείξεω, που χρησιµοποιού το Απειροστικό Λογισµό Αλλά, το 749, ο Euler κάει µιά ετελώς διαφορετική προσπέλαση στο θέµα: Γιά κάθε πολυώυµο f µε πραγµατικούς συτελεστές, προσπαθεί α αποδείξη τη ύπαρξη µιάς ααλύσεώς του f = f f σε δύο µη σταθερά πολυώυµα f, f µε πραγµατικούς συτελεστές Μιά τέτοια αάλυση (α υπήρχε, πάτα) θα του έδιε τη δυατότητα α αποδείξη το θεµελιώδες θεώρηµα, µε ααδροµή στο βαθµό του f (δηλαδή, επαγωγικά) Αρκεί, µάλιστα, όπως παρατηρεί ο Euler, α σταµατήση στο πρώτο παράγοτα περιττού βαθµού (Γιατί, γιά κάθε τέτοιο πραγµατικό πολυώυµο, αποδεικύεται, µε Αάλυση, ότι έχει ρίζα ε εξετάζουµε, τώρα, το ότι, αυστηρά, το θεώρηµα αυτό αποδείχθηκε µόλις το 9ο αιώα Στµ) Έτσι, η δυσκολία ετοπίζεται στη περί-πτωση, όπου ο βαθµός n του f είαι άρτιος Ο Euler αρκείται, τότε, στη περίπτωση, όπου οι ζητούµεοι παράγοτες f, f είαι, και οι δύο, βαθµού n και δείχει πώς, µε µία κατάλληλη διαδικασία απαλοιφής, µπορούµε α εκφράσουµε τους αγώστους µας συτελεστές του f και του f ρητά, συαρτήσει µιάς ρίζας µιάς εξισώσεως µε πραγµατικούς συτελεστές, που οι ακραίοι όροι της έχου ατίθετα πρόσηµα και η οποία, εποµέως, έχει µιά, τουλάχιστο, πραγµατική ρίζα Όµως, η απόδειξη του Euler δε είαι παρά έα σκίτσο, όπου σε πολλά ουσιώδη σηµεία µέει σιωπηλός Μόο ο Lagrange, το 77, κατορθώει α κάη πέρα όλες τις δυσκολίες το κατορθώει αυτό µε µιά πολύ µακρά και πολύ λεπτοµερειακή αάλυση (δηλαδή, λογική αάλυση), στη οποία δείχει α είαι αριστοτέχης στη χρήση τω µεθόδω Galois που µόλις ο ίδιος είχε δηµιουργήσει (Στµ τα εισαγωγικά, επειδή ο Galois ήρθε µετά το Lagrange) Όµως, ο Lagrange, όπως και ο Euler και όλοι οι σύγχροοί του, δε διστάζει α κάη συλλογισµούς φορµαλιστικούς µέσα σε έα σώµα ριζώ εός πολυωύµου (δηλαδή, στη γλώσσα του, α θεωρή φαταστικές ρίζες του πολυωύµου αυτού) Η Μαθηµατική (Επιστήµη) της εποχής του δε του παρείχε καµµιά δικαιολογία γι αυτό το τρόπο σκέψης Έτσι, ο Gauss από το ξεκίηµά του αοικτά εχθρικός στο τρελό φορµαλισµό του 8ου αιώα, διαµαρτύρεται έτοα, στη διδακτορική διατριβή του, κατά αυτής της καταχρήσεως ε θα ήτα, όµως, ο Gauss, α δε είχε ιώσει ότι επρόκειτο, σ αυτή τη περίπτωση, γιά µιά εξωτερικά ελλατωµατική παρουσίαση εός συλλογισµού, κατά βάθος, σωστού Το βλέπουµε, έτσι, µερικά χρόια αργότερα, α παίρη µιά απλούστερη παραλλαγή της αποδείξεως του Euler, που τη είχε αποδείξει, το 759, ο de Fontenex (αλλά που δε είχε µπορέσει, ο ίδιος, α τη ολοκληρώση, αποδεικτικά) και α βγάζη απ αυτή µιά καιούργια απόδειξη του θεµελιώδους θεωρήµατος, όπου, επιµελώς, αποφεύγει κάθε χρήση φαταστικώ ριζώ Έχει ατικαταστήσει αυτή τη χρήση µε έξυπες (habiles) εισαγωγές (adunctions) και εξειδικεύσεις (specialisations) απροσδιορίστω Αυτή τη απόδειξη του Gauss, ουσιαστικά, εκθέσαµε πιό πάω, µε τς απλοποιήσεις

9 που φέρει η χρήση τω αλγεβρικώ επεκτάσεω Ο ρόλος της Τοπολογίας στο θεµελιώδες θεώρηµα έχει, έτσι, ααχθή στο µοαδικό θεώρηµα, σύµφωα µε το οποίο έα πολυώυµο µε πραγµατικούς συτελεστές δε µπορεί αλλάξη πρόσηµο σ έα διάστηµα, χωρίς, προηγουµέως, α µηδειστή Το θεώρηµα αυτό βρίσκεται, επίσης, στη βάση όλω τω κριτηρίω διαχωρισµού τω πραγµατικώ ριζώ εός πολυωύµου (µε πραγµατικούς συτελεστές), που είαι έα από τα προτιµηµέα θέµατα της αλγέβρας στο 9ο αιώα Στη διάρκεια αυτώ τω ερευώ, δε µπορούσα α µη διαπιστώσου ότι η δοµή διατάξεως (ολικής) του R, πολύ περισσότερο από τη τοπολογία του R, παίζει το ουσιαστικό ρόλο Πχ το θεώρηµα του Bolzano γιά τα πολυώυµα ισχύει και στη περίπτωση, όπου, ατί γιά το R, έχουµε το σώµα, όλω τω πραγµατικώ αλγεβρικώ αριθµώ Το ρεύµα αυτό ιδεώ βρήκε τη κατάληξή του στη αφηρηµέη θεωρία τω διατεταγµέω σωµάτω που δηµιούργησα ο Emil Artin και ο Otto Schreier Έα από τα πιό αξιοσηµείωτα αποτελέσµατα, είαι, ααµφισβήτως, η αακάλυψη ότι η ύπαρξη (συµβιβαστή µε το + και το > ) σχέσης διατάξεως σε έα σώµα συδέεται µε καθαρά αλγεβρικές ιδιότητές του» Ααγκαστήκαµε, πιό πάω, µερικές φορές, α δεχθούµε σηµατικά θεωρήµατα χωρίς απόδειξη, γιατί αυτή χρειαζότα θεωρία Galois, που δε τη έχουµε κάει Γιά α µη εµφαίζωται αυτά τα κεά, θα καλύψουµε, στη επόµεη Εότητα το πυρήα της θεωρίας Galois Θα ακολουθήσουµε, σ αυτό, τη γεική πορεία του Emil Artin, γιατί είαι, σε ό,τι αφορά το θεωρητικό µέρος της θεωρίας, πολύ επιχειρησιακή