Σχολή Εφαροσένων Μαθηατικών και Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Κεφάλαιο 9: Ελεύθερα Ηλεκτρόνια σε Μαγνητικό Πεδίο Λιαροκάπης Ευθύιος
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cea%ve Cmms. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.
Ελεύθερα ηλεκτρόνια σε αγνητικό πεδίο Ας θεωρήσουε ότι έχουε ελεύθερα ηλεκτρόνια, που βρίσκονται σε εξωτερικό αγνητικό πεδίο. Έστω ότι τι αγνητικό πεδίο είναι της ορφής 0,0, και ας διαλέξουε το διανυσατικό δυναικό A 0, x,0. Θα πορούε να είχαε διαλέξει άλλα δυναικά, όπως π.χ. το,0,0 ή το, x,0, κλπ. Η χαιλτονιανή για τα ηλεκτρόνια θα προκύψει από την αντικατάσταση ~ p ~ ~ p qa p ea m m m Εποένως, η εξίσωση του Scdie στην όνιη κατάσταση λαβάνει την ορφή i ex ψ ψ m x Μετά από πράξεις προκύπτει η εξίσωση ie x ex ψ ψ m m m Για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια και ε απουσία αγνητικού πεδίου, η λύση είναι επίπεδα ψ C exp i C exp x. Ας ψάξουε για λύσεις κύατα της ορφής [ ] [ ] της ορφής ψ ϕ x exp[ ] x. Με αντικατάσταση προκύπτει ότι ω d m c x ϕ ϕ m dx e m e Όπου ω c είναι η συχνότητα κύκλοτρου. m Η εξίσωση είναι ανάλογη εκείνης ενός αρονικού ταλαντωτή ιδιοσυχνότητας ω c, που το κέντρο του έχει ετατοπιστεί κατά x. e Είναι προφανές ότι η ποσότητα ορίζει ένα ήκος l που e e mωc εξαρτάται από το αγνητικό πεδίο. Για Β Τ το l 6 m. Η λύση της εξίσωσης θα δώσει ενεργειακές στάθες απλού αρονικού ταλαντωτή, δηλαδή ε ω c Που είναι ανεξάρτητες από τον κυαταριθό. Η συνολική ενέργεια θα είναι ωc m Και οι ιδιοσυναρτήσεις θα είναι της ορφής ΙΧ-
x x x x ϕ x H exp l l Όπου Η είναι τα πολυώνυα του Hemite. Έχουε ια σειρά από διακριτές ενεργειακές καταστάσεις αντί για ια συνεχή κατανοή όταν δεν υπάρχει αγνητικό πεδίο, που δεν εξαρτώνται από το x είναι ενεργειακά εκφυλισένες. Δηιουργείται η απορία, πώς είναι δυνατόν να έχουε ιδιοσυναρτήσεις αυτής της ορφής, αφού θα πορούσαε να πάρουε άλλη επιλογή της βαθίδας π.χ. ία από τις παραπάνω δύο που αναφέρθηκαν στην αρχή της ενότητας. Η απάντηση είναι ότι αν είχαε επιλέξει άλλη βαθίδα, οι νέες ιδιοσυναρτήσεις πορούν να αναλυθούν στην πλήρη βάση των αρχικών ιδιοσυναρτήσεων. Εποένως, η αλλαγή βαθίδας ισοδυναεί ε αλλαγή της βάσης του απειροδιάστατου διανυσατικού χώρου των συναρτήσεων χώρος Hilbet. Έστω L L, L x, οι διαστάσεις του κρυσταλλικού υλικού, όπου κινούνται ελεύθερα τα ηλεκτρόνια. Λαβάνοντας κατά τα γνωστά περιοδικές οριακές συνθήκες, θα πρέπει να ισχύει ότι exp i L exp i L Από όπου συνεπάγεται ότι θα πρέπει π π και L L Όπου ε, θεωρούε ακέραιους αριθούς. Για την x συνιστώσα γνωρίζουε ότι θα πρέπει Lx Lx xc Από όπου συνεπάγεται ότι L x Lx Lx π Lx e el mωc e e L L L L L L L L mωc x x x Ο συνολικός αριθός καταστάσεων θα δίνεται από την σχέση e Δ, max, mi Lx L Και η πυκνότητα καταστάσεων ανά ονάδα επιφάνειας θα είναι Δ e L L Φ x Όπου ορίσαε το κβάντο της αγνητικής ροής Φ που για τους υπεραγωγούς e έχει την τιή, γιατί οι φορείς αποτελούνται από ζεύγη ηλεκτρονίων. e Τελικά, ο αριθός των εκφυλισένων καταστάσεων θα είναι Δ S Φ Που εκφράζει πόσα κβάντα αγνητικής ροής αποτελούν την ροή Φ που διαπερνά την επιφάνεια S L x L του αγωγού των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Φ Φ x ΙΧ-
Σε έναν διδιάστατο αγωγό η πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων θα m είναι σταθερή και ίση προς D. π Αν λάβουε υπόψη ας και το σπιν, που αγνοήσαε έχρι τώρα στους υπολογισούς ας, τότε οι συνολικές καταστάσεις ανά ονάδα επιφάνειας θα είναι e m ωc D ωc π Που πρακτικά σηαίνει ότι όλες οι καταστάσεις πλάτους ωc εκφυλίζονται ενεργειακά εξ αιτίας του αγνητικού πεδίου. Αυτό γίνεται εξ αιτίας της κβάντισης των τροχιών τους, όπως συβαίνει και στα ηλεκτρόνια στις τροχιές τους γύρω από τον πυρήνα ενός ατόου. Το παρακάτω σχήα από J. H. Davies, e Psics f Lw Dimesial Semicducts δείχνει παραστατικά τον εκφυλισό αυτό, όπου όλες οι εκφυλισένες καταστάσεις έχουν αζευτεί σε ία, δηιουργώντας ια δ-συνάρτηση κατανοής. Επειδή όως υπάρχουν ενεργειακές απώλειες, οι δ-συναρτήσεις είναι διευρυένες όπως δείχνει το προηγούενο σχήα από το ίδιο βιβλίο. Ανάλογα ε το έγεθος της αλληλεπίδρασης, την θεροκρασία και τις ατέλειες του υλικού, οι ζώνες επικαλύπτονται ή απέχουν και είναι διακριτές. Με την αλλαγή του αγνητικού πεδίου και ε σταθερό αριθό φορέων και εποένως σταθερή επιφανειακή πυκνότητα φορέων, η επιφάνεια emi θα κινείται ανάεσα σε έγιστα και ελάχιστα, ε αποτέλεσα την δηιουργία πλατώ στην ειδική αντίσταση, που οδηγεί στο κβαντικό φαινόενο Hall. Κβάντωση τροχιών σε αγνητικό πεδίο Για να γίνει κατανοητό το φαινόενο της κβάντωσης των τροχιών ελεύθερων φορέων ε την ύπαρξη εξωτερικού αγνητικού πεδίου, ας εξετάσουε ένα φορτίο q σε τροχιά γύρω από σωληνοειδές. Θεωρούε ότι το φορτισένο σωατίδιο είναι αρχικά ακίνητο εκτός του σωληνοειδούς που διαρρέεται από σταθερά αγνητική ροή Φ και σε απόσταση από τον άξονά του. Αν αλλάξουε την ροή διά έσω του σωληνοειδούς π.χ. αλλάζοντας το ρεύα που το διαρρέει, θα δηιουργηθεί ια δύναη στο φορτίο εξ αιτίας της επαγόενου ηλεκτρικού πεδίου Ε, που θα είναι κάθετη στον άξονα του σωληνοειδούς. Κατά τα γνωστά dφ π dt Και η ώθηση της δύναης θα δώσει στο φορτίο ια ορή ΙΧ-
τελ q q mv q dt Φ π d π Έστω ότι Φ αρχ 0 και Φ τελ Φ, οπότε Όως Όπου Εποένως, Φ aρχ q mv Φ. π A dl πa A Φ Φ mv qa Αν ορίσουε ε P την συνολική ορή, τότε mv P qa Σύφωνα ε την αρχή των -Smmefeld η τροχιά θα είναι κβαντισένη, δηλαδή P d γ Όπου γ είναι ια ικρή διόρθωση φάσης, που για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια έχει τιή ½. Οπότε θα έχουε ότι P d qa d d q A d γ Όως, ένα φορτισένο σωατίδιο σε αγνητικό πεδίο θα έχει εξίσωση κίνησης d qv dt Που από ολοκλήρωση δίνει ότι q Όως, d q d q d qφ Επίσης q A d q A ds q ds q Τελικά aρχ τελ Φ q Φ γ Φ γ Που εκφράζει την κβάντιση της ροής έσα στη τροχιά στον χώρο Από την σχέση q Φ Φ d qv έπεται ότι δ δ και ότι το εβαδόν dt q S στον αντίστροφο χώρο, δηλαδή ότι A θα είναι ανάλογο του εβαδού A S q Εποένως, η αγνητική ροή θα είναι S πq Φ A γ S γ q q q Αν αυξήσουε το πεδίο ώστε οι τροχιές και να έχουν το ίδιο εβαδόν, τότε q ΙΧ-4
πq S Που οδηγεί στο φαινόενο dehaas-va Alpe: η αγνητική ροπή ενός ετάλλου εταβάλλεται περιοδικά ε την ένταση του αγνητικού πεδίου. Με βάση αυτήν την ιδιότητα, η ελέτη ε εταβλητό αγνητικό πεδίο δίνει πληροφορίες για τις επιφάνειες S δηλαδή για την επιφάνεια emi. Παρααγνητισός ελεύθερων ηλεκτρονίων Στην γενική περίπτωση, για να υπολογίσουε την αγνήτιση ενός συστήατος, θα πρέπει να βρούε την εξάρτηση της ενέργειάς του από ένα εξωτερικό αγνητικό πεδίο. Αν είναι οι ενεργειακές στάθες του συστήατος, η ελεύθερη ενέργεια του συστήατος θα είναι l exp[ β ] Η αγνήτιση θα προκύψει από την σχέση M Τότε η αγνητική επιδεκτικότητα θα οριστεί ως η ποσότητα M χ H Είδαε ότι όταν τοποθετηθούν ελεύθερα ηλεκτρόνια σε αγνητικό πεδίο θα εκτελούν περιοδικές κινήσεις ε ιδιοσυχνότητα εκείνη του κύκλοτρου ω c e. m Εξ αιτίας της κβάντισης των τροχιών, η ενέργεια των ηλεκτρονίων λαβάνει τιές ωc m Οι καταστάσεις στιβάδες Ladau οδηγούν στην δηιουργία ιας διααγνητικής απόκρισης του συστήατος των ελεύθερων ηλεκτρονίων διααγνητισός Ladau. Αν όως λάβουε υπόψη ας και την εσωτερική στροφορή, η ενέργεια θα εταβληθεί σε ± ωc ± m Όπου το για τα ελεύθερα ηλεκτρόνια έχει ε καλή προσέγγιση την τιή. Εποένως, ε καλή προσέγγιση ± m ω c ± Η επίδραση του τελευταίου όρου δηλώνει ότι τα ηλεκτρόνια ε σπιν αντιπαράλληλο του αγνητικού πεδίου θα κινηθούν προς εγαλύτερες ενέργειες, ενώ εκείνα ε παράλληλο σπιν σε χαηλότερες. Όπως δείχνει και το παρακάτω σχήα από C. Kittel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, έκδοση Γ. Πνευατικού, η εξίσωση της επιφάνειας emi θα οδηγήσει σε ια άνιση κατανοή των σπιν, ε περισσότερα δεξιά στην εικόνα το πλεόνασα εκείνα που είναι παράλληλα στο ΙΧ-5
ΙΧ-6 εξωτερικό αγνητικό πεδίο, που οδηγεί σε ια παρααγνητική συπεριφορά παρααγνητισός του Pauli. Θα περίενε κανείς ο παρααγνητισός από τα σπιν να ακολουθεί τον νόο του Cuie. Όως προκύπτει ότι είναι ανεξάρτητος της θεροκρασίας. Η αιτία είναι ότι όνο ια λεπτή ενεργειακή περιοχή κοντά στην επιφάνεια emi πορεί να αλλάξει φορά του σπιν γιατί οι πιο κάτω στιβάδες είναι κατειληένες και ισχύει η απαγορευτική αρχή του Pauli. Με τον τρόπο αυτό, αντί για αγνήτιση J J M που δίνει η εξίσωση του Cuie, θα έχουε ένα ποσοστό αυτού, η οποία οδηγεί στην σχέση M Προκύπτει έτσι ια αγνήτιση ανεξάρτητη της θεροκρασίας. Ένας απλός υπολογισός του παρααγνητισού Pauli δίνει την συγκέντρωση ηλεκτρονίων ε σπιν παράλληλο στο αγνητικό πεδίο, για θεροκρασίες Τ << Τ. Θεωρώντας ότι η θεροκρασία είναι πολύ ικρή ώστε να πορούε να θέσουε τον στατιστικό παράγοντα emi-diac, f D ο αριθός των σπιν που είναι παράλληλα στο αγνητικό πεδίο θα είναι ίσος προς d d d 0 Αντίστοιχα για τα αντιπαράλληλα σπιν θα έχουε ότι d d d 0 Όπου ε το Ν ορίσαε την πυκνότητα καταστάσεων. Αναπτύσσοντας τις δύο συναρτήσεις αφού << αρκούν οι δύο πρώτοι όροι προσέγγισης,
ΙΧ-7 ± d d προκύπτει η αγνήτιση d d M ] [ Όως d d, οπότε M Και P H M χ Επειδή 4 4 θα έχουε τελικά P χ Ένας πιο λεπτοερειακός υπολογισός αποδεικνύει ότι η αγνήτιση έχει την ορφή si 4 si M π π π π Στην παραπάνω σχέση, ο πρώτος όρος P χ προέρχεται από τα σπιν παρααγνητισός Pauli, ο δεύτερος όρος L χ που είναι αντίθετος ε τον πρώτο και ίσος προς το / αυτού / P L χ χ ορίζει τον διααγνητισό Ladau. Αν λάβουε υπόψη και την επίδραση του πλέγατος, τότε υπεισέρχεται η ενεργός άζα των ηλεκτρονίων και παύει να ισχύει επ ακριβώς ότι ο δεύτερος όρος είναι ίσος ε το / του πρώτου όρου. Ο τελευταίος όρος είναι και αυτός διααγνητικός και γίνεται σηαντικός σε πολύ ισχυρά αγνητικά πεδία. Εξ αιτίας του παρανοαστή si, συνήθως ο πρώτος όρος είναι αρκετός. Είναι φανερό ότι η αγνήτιση είναι ια περιοδική συνάρτηση της ποσότητας φαινόενο de Haas-va Alpe.
Χρηατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικόυ έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδηαϊκά Μαθήατα Ε.Μ.Π.» έχει χρηατοδοτήσει όνο την αναδιαόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράατος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταείο και από εθνικού πόρους.