Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ Σύνοψη Στο δωδέκατο ετούτο κεφάλαιο περιγράφεται το εναλλασσομένο ρεύμα και ορίζονται οι έννοιες της ενεργούς τιμής τάσεως και ρεύματος. Μελετώνται τα. κυκλώματα πυκνωτή και επαγωγέα, ενώ καθορίζοντε οι φυσικές ποσότητες της χωρητικής και επαγωγικής αντίστασης. Επίσης μελετάται το κύκλωμα αντίστασης-πυκνωτή-επαγωγέα (κύκλωμα R) και ορίζονται η σύνθετη αντίσταση και η γωνία φάσης κυκλώματος. Τέλος περιγράφοντε οι μετασχηματιστές και η λειτουργία τους στην μεταφορά ηλεκτρικής ισχύος.. Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο 0 περιγράψαμε την αρχή λειτουργίας της ηλεκτρογεννήτριας εναλλασσομένου ρεύματος, με την δημιουργία μιας αρμονικά μεταβαλλόμενης τάσης εξ επαγωγής. Όταν το μέτρο και η πολικότητα της τάσης μεταβάλλεται περιοδικά με τον χρόνο, η τάση ονομάζεται εναλλασσόμενη τάση και το αντίστοιχο ρεύμα που παράγεται εναλλασσόμενο ρεύμα, διότι η φορά του ρεύματος στο κύκλωμα αλλάζει με περιοδικό τρόπο. Έτσι λοιπόν, εάν περιστρέφουμε με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ένα κλειστό αγώγιμο πλαίσιο ή πηνίο μέσα σ ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο, στα άκρα του πηνίου αναπτύσσεται μια εναλλασσόμενη τάση ίση με sinωt (.) όπου είναι η μέγιστη τιμή της τάσης και ονομάζεται πλάτος και ω η γωνιακή συχνότητα η οποία ορίζει την περίοδο Τ μεταβολής της τάσης. Το αντίστοιχο εναλλασσόμενο ρεύμα που δημιουργεί η εναλλασσόμενη τάση είναι sinωt (.) όπου είναι η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος ή αλλιώς πλάτος του ρεύματος. Η συχνότητα f της τάσης είναι
Κεφάλαιο ω f (.3) Σήμερα για την διανομή της ηλεκτρικής ενέργειας από τον τόπο παραγωγής στον τόπο κατανάλωσης, χρησιμοποιείται αποκλειστικώς εναλλασσόμενη τάση με συνήθη συχνότητα f=50 Hz (50 κύκλοι), η οποία συχνότητα αντιστοιχεί σε κυκλική συχνότητα ω=34 rad/s. Στην οικία μας, το ρεύμα που χρησιμοποιούμε για την λειτουργία των ηλεκτρικών συσκευών, όπως το ραδιόφωνο, η τηλεόραση, το ψυγείο, κ.α) είναι εναλλασσόμενο. Γιατί όμως αυτή η προτίμησή μας στο εναλλασσόμενο έναντι του συνεχούς; Η απάντηση ευρίσκεται στο ζήτημα της μεταφοράς της ηλεκτρικής ισχύος από τον τόπο παραγωγής, πχ. υδροηλεκτρικό ή άλλου είδους εργοστάσιο, στον τόπο κατανάλωσης όπως οικίες, βιομηχανίες κλπ. Όταν πρόκειται να μεταφέρουμε ηλεκτρική ενέργεια σε μεγάλες αποστάσεις (χιλιάδες χιλιόμετρα), θεμελιώδες ζήτημα είναι η ελαχιστοποίηση των Nikola Tesla (856-943) απωλειών ενέργειας. Έτσι είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε εναλλασσόμενο ρεύμα αντί του συνεχούς, διότι α) συμβαίνει μικρότερη απώλεια ενέργειας στις γραμμές μεταφοράς, και β) μπορούμε να ανυψώνουμε ή να υποβιβάζουμε την έντασή του πιο εύκολα. Παραδείγματος χάριν, για ενέργεια δεδομένης ισχύος, η μεταφορά είναι οικονομικότερη όταν γίνεται με υψηλή τάση διότι τότε το ρεύμα είναι χαμηλό όπως και οι απώλειες στις γραμμές μεταφοράς (εξ..6). Για αυτόν τον λόγο χρησιμοποιούνται γραμμές μεταφοράς 350 k, ενώ τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται και 765 k. Όμως στην καθημερινή χρήση του ηλεκτρικού ρεύματος για την χρήση των οικιακών συσκευών, οι καταναλωτές χρειάζονται χαμηλές τάσεις (για λόγους ασφαλείας) και συνεπώς σχετικά υψηλό ρεύμα. Ο υποβιβασμός της τάσης γίνεται εύκολα για το εναλλασσόμενο ρεύμα με ειδικές ηλεκτρικές διατάξεις τους μετασχηματιστές, την λειτουργία των οποίων θα μελετήσουμε παρακάτω. Η διαμάχη για το ποιο ρεύμα είναι καλύτερο στην μεταφορά της ηλεκτρικής ενέργειας, άρχισε την δεκαετία του 880 στην Αμερική. Συγκεκριμένα ο
Κεφάλαιο 3 αυτοδίδακτος εφευρέτης Thoas Edison (847-83) υποστήριζε την χρήση του συνεχούς ρεύματος, σε αντίθεση με τον Σερβοαμερικανό φυσικό και εφευρέτη Nikola Tesla (856-943), ο οποίος υποστήριζε την χρήση του εναλλασσομένου. Τελικά στην διαμάχη μεταξύ Edison και Tesla, ή αλλιώς συνεχούς και εναλλασσομένου ρεύματος επικράτησε για πρακτικούς λόγους το δεύτερο.. Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με ωμική αντίσταση Θεωρούμε τώρα ένα απλό κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος που αποτελείται από μια αντίσταση και μια γεννήτρια εναλλασσομένου ρεύματος που συμβολίζεται ως ~ όπως φαίνεται στο σχ..α. Το στιγμιαίο ρεύμα θα ισούται με (.4) R R sint sint Δηλαδή η στιγμιαία πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης είναι (α) R, - - Rsint (.5) T/ T 3T/ Σχήμα. (a) Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με πηγή τάσης και αντίσταση R. (β) Μεταβολή της τάσης και του ρεύματος στα άκρα της αντίστασης συναρτήσει του χρόνου. Οι ποσότητες Ι και είναι ανάλογες sinωt του και παίρνουν ταυτόχρονα την μέγιστη και την ελάχιστη τους. τιμή Αυτό σημαίνει ότι τα Ι και είναι σε φάση ή αλλιώς η διαφορά φάσης τους είναι μηδέν. Στο σχήμα.β απεικονίζονται τα μεγέθη Ι και συναρτήσει του χρόνου. Παρατηρούμε ότι η μέση τιμή (β) T t Ο Thoas Edison υπήρξε από τους σημαντικότερους εφευρέτες της εποχής μας, με εκατοντάδες εφευρέσεις μεταξύ των οποίων ο ηλεκτρικός λαμπτήρας, το μικρόφωνο, ο φωνόγραφος κ.α. Εδημιούργησε το πρώτο εργοστάσιο ηλεκτρικής ενέργειας στον κόσμο, και το οποίο μετεξελίχθηκε στον σημερικό ενεργειακό κολοσσό της General Electric.
Κεφάλαιο 4 του ρεύματος σε μια περίοδο είναι μηδενική. Τούτο συμβαίνει γιατί όσο χρονικό διάστημα το ρεύμα έχει την θετική κατεύθυνση έχει και την αρνητική. Η λειτουργία όμως της ωμικής αντίστασης δεν επηρεάζεται από την φορά του ρεύματος και ο ρυθμός μετατροπής της ηλεκτρικής ενεργείας σε θερμότητα δίνεται από την ισχύ ως P R (.6) όπου Ι είναι η στιγμιαία ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα. Αν και η θερμική απώλεια είναι ανάλογη του τετραγώνου του ρεύματος, εντούτοις το θερμικό αποτέλεσμα που προκαλεί το εναλλασσόμενο ρεύμα μεγίστης τιμής, είναι διαφορετικό από το θερμικό αποτέλεσμα που προκαλεί ένα συνεχές ρεύμα της ιδίας εντάσεως. Αυτό συμβαίνει διότι το εναλλασσόμενο ρεύμα διατηρεί για μικρό χρονικό διάστημα την μέγιστη τιμή του. Βάσει των εξ..4 και 6 παίρνουμε για την ισχύ κατανάλωσης ενέργειας στην αντίσταση R P, P / P T/ T 3T/ T t Σχήμα. Η μεταβολή της ισχύς κατανάλωσης ενέργειας σε αντίσταση κυκλώματος εναλλασσομένου ρεύματος συναρτήσει του χρόνου. ή αλλιώς P R t sin (.7) P P t sin (.8) Η ισχύς συναρτήσει του χρόνου σχεδιάζεται γραφικώς στο σχ... Η μέση ισχύς σε ένα πλήρη κύκλο (χρόνο ίσο με την περίοδο Τ) είναι P P sin t P sin t P P (.9) διότι η μέση τιμή του τετραγώνου του ημιτόνου (και του συνημιτόνου) είναι /. Από την εξ..9 παίρνουμε R R (.0) Έτσι λοιπόν σ ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος, η μέση ισχύς που καταναλώνεται στην αντίστασή του, ισοδυναμεί με την ισχύ που θα κατανάλωνε η ίδια αντίσταση εάν αυτή διαρρέονταν από συνεχές ρεύμα σταθερής έντασης και ίσης με την τετραγωνική ρίζα της
Κεφάλαιο 5 μέσης τιμής του τετραγώνου του εναλλασσόμενου ρεύματος,. Η τιμή της έντασης του συνεχούς ρεύματος που παράγει την ίδια ισχύ με το εναλλασσόμενο πάνω στην ίδια αντίσταση, ονομάζεται ενεργός ένταση του εναλλασσομένου ρεύματος Ι εν, και είναι ίση με Η εξ.. από την.0 δίνει εν (.) εν εν 0.707 (.) Προσέξτε ότι ενώ η μέση τιμή του εναλλασσομένου ρεύματος, όπως προαναφέραμε είναι μηδέν, η μέση τιμή του τετραγώνου της εντάσεως του ρεύματος δεν είναι μηδέν. Τούτο είναι εμφανές στο σχ.., όπου παριστάνεται η ισχύς Ρ συναρτήσει του χρόνου, η οποία όμως είναι ανάλογη του Ι. Αντιστοίχως με το ενεργό ρεύμα Ι εν μπορούμε να ορίσουμε και την ενεργό τάση εν, για την οποία σχύει (.) R 0.707 R 0.707 (.3) εν εν εν εν Εναλλασσόμενη τάση είναι και η τάση που μετράμε σε μια οικιακή πρίζα ίση περίπου με 30. Η τιμή της τάσης την οποία μετράμε είναι η ενεργός τάση, δηλαδή η μέση τιμή του τετραγώνου της εναλλασσομένης τάσης. Από την εξ..3 παίρνουμε ότι το πλάτος της οικιακής τάσης, δηλαδή η μέγιστη τιμή της είναι 35. Ο λόγος που χρησιμοποιούμε τις ενεργές τιμές είναι πρώτον για να υπάρχει μια αναλογία με τα συνεχή ρεύματα και τάσεις, και δεύτερον επειδή τα όργανα μέτρησης (αμπερόμετρα, βολτόμετρα, κλπ) είναι ρυθμισμένα να μετρούν τις ενεργές τιμές και σε συχνότητες όχι μεγαλύτερες των 50 Hz. Από τις ενεργές τιμές του ρεύματος και της τάσης ενός κυκλώματος, μπορεί να υπολογισθεί η μέση ισχύς ως P (.4) εν εν Παράδειγμα. Λειτουργία ηλεκτρονικού υπολογιστή Σε κάποιες άγγλοσαξωνικές χώρες (ΗΠΑ, Καναδάς κ.α), η οικιακή τάση είναι 0 στα 60 Hz και όχι 30 στα 50 Hz, οπότε εκεί και το πλάτος της εναλλασσομένης τάσης διαφέρει.
Κεφάλαιο 6 Στο πίσω μέρος ενός προσωπικού υπολογιστή είναι γραμμένο ότι αντλεί.7 Α από ρευματοδότη 30 των 50 Ηz. α) Ποιο είναι το μέσο ρεύμα τροφοδοσίας του; β) Ποια είναι η μέγιστη τιμή του ρεύματος; γ) Ποια είναι η έκφραση για το εναλλασσόμενο ρεύμα που δίνει ο ρευματοδότης στον υπολογιστή; δ) Ποια είναι η μέση ισχύς που καταναλώνει ο υπολογιστής; Λύση α) Το εναλλασσόμενο ρεύμα είναι της μορφής sint () Η μέση τιμή του ρεύματος είναι μηδέν, γιατί μηδέν είναι η μέση τιμή του ημιτόνου σε έναν πλήρη κύκλο. β) Οι αναγραφόμενες τιμές.7 Α και 30, είναι οι ενεργές τιμές του ρεύματος και της τάσης αντιστοίχως. Επομένως για το πλάτος του ρεύματος Ι έχουμε εν εν.7 3.8 γ) Εφόσον η συχνότητα είναι f=50 Hz, η γωνιακή συχνότητα είναι f 3.4 50Ηz 34s Άρα η εξ. γράφεται δ) Η μέση ισχύς του υπολογιστή είναι 3.8 sin(34 s t) P εν εν P 30.7A P 6W.3 Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με πυκνωτή Ας θεωρήσουμε τώρα ένα απλό κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος που αποτελείται από έναν πυκνωτή με χωρητικότητα και μηδενική αντίσταση όπως δείχνει το σχ..3α. Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι και δίνεται ως όπου Η εξ..5 γίνεται από την 6 sinωt (.5) q (.6)
Κεφάλαιο 7 q sinωt q sinωt (.7) Το ρεύμα στο κύκλωμα είναι όπου dq d ( sin ωt) ω cosωt cosωt (.8) dt dt ω είναι η μέγιστη τιμή ρεύματος. ρεύμα βλέπουμε μεταβάλλεται (.9) του συνημιτονοειδ ώς Το ότι και επομένως έχει μια διαφορά φάσης από την εναλλασσόμενη τάση. Όταν το ρεύμα παίρνει την μέγιστη τιμή του, η τάση παίρνει την ελάχιστη, δηλαδή το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά φάση π/ ή αλλιώς χρόνο Τ/4, όπως φαίνεται στο σχ..3β. Από την εξ..9 παίρνουμε (.0) ω Εάν αντιπαραθέσουμε αυτή την εξίσωση με τον νόμο του Oh που ισχύει για το κύκλωμα του σχήματος., =RΙ, έχουμε την αναλογία μεταξύ της ωμικής αντίστασης R και της ποσότητας /ω. Ως εκ τούτου, ορίζεται η χωρητική αντίσταση ή αλλιώς χωρητική εμπέδηση Χ ως και άρα η εξ..0 γίνεται (α) X Σχήμα.3 (a) Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με πηγή τάσης και χωρητικότητα. (β) Μεταβολή της τάσης και του ρεύματος στα άκρα της χωρητικότητας συναρτήσει του χρόνου. (.) ω X (.), - - T/ T 3T/ (β) T t
Κεφάλαιο 8 Η χωρητική αντίσταση Χ αυξάνεται με την χωρητικότητα του πυκνωτή ενώ ελαττώνεται με την συχνότητα της εναλλασσομένης τάσεως και ρεύματος. Η μονάδα μέτρησης της χωρητικής αντίστασης στο Διεθνές Σύστημα μονάδων είναι το Oh όπως ακριβώς συμβαίνει και για την ωμική αντίσταση R. Εντούτοις, παρότι τα δύο μεγέθη χρησιμοποιούν τις ίδιες μονάδες, η χωρητική αντίσταση είναι διαφορετική φυσική ποσότητα από την ωμική αντίσταση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο νόμος του Oh δεν ισχύει για την χωρητική αντίσταση διότι η τάση και το ρεύμα δεν είναι σε φάση και επομένως δεν είναι ανάλογα μεγέθη. Δηλαδή η εξ.. ισχύει μόνο αριθμητικά και αποκλειστικώς για τα πλάτη της τάσεως και του ρεύματος, και όχι για τις στιγμιαίες τιμές τους. Από την εξ.. για δεδομένη τάση το ρεύμα Ι είναι τόσο μικρότερο όσο μεγαλύτερη είναι η χωρητική αντίσταση Χ. Για παράδειγμα εάν η συχνότητα ω είναι πολύ μικρή, η Χ μεγαλώνει, με αποτέλεσμα το πλάτος του ρεύματος Ι να γίνεται μικρό και να μην διαδίδονται εύκολα σήματα χαμηλής συχνότητας στο κύκλωμα. Τότε το κύκλωμα με τον πυκνωτή στο σχ..3α αποτελεί ένα φίλτρο αποκοπής χαμηλών συχνοτήτων. Αντίθετα τα υψηλής συχνότητας σήματα διέρχονται από ένα τέτοιο κύκλωμα, που ονομάζεται φίλτρο διέλευσης υψηλών συχνοτήτων ή υψιπερατό φίλτρο. Παράδειγμα. Σε ένα κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος όπως αυτό του σχήματος.4 είναι συνδεδεμένα μια αντίσταση 300 Ω και ένας πυκνωτής με χωρητικότητα 0 μf. Η τάση στα άκρα της αντίστασης δίδεται από την σχέση R 3.50sin( 0 rad/s) t. α) Προσδιορίστε την έκφραση για την ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα. β) Υπολογίστε την χωρητική εμπέδηση του κυκλώματος, και γ) προσδιορίστε την σχέση για την τάση στα άκρα του πυκνωτή. Λύση α) Από τον νόμο του Oh ευρίσκουμε το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση και επομένως αυτό του κυκλώματος, άρα R Σχήμα.4 Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με πηγή τάσης, αντίσταση R και χωρητικότητα συνδεδεμένα εν σειρά (παράδειγμα.).
Κεφάλαιο 9 3 R.50sin(0 rad/s) t 3 50 R 300 β) Η χωρητική εμπέδηση δίνεται ως sin(000rad/s) t X X X 50 3 6 ω ( 0 rad/s) 00 F γ) Η τάση στα άκρα του πυκνωτή παρουσιάζει, σύμφωνα με την θεωρία που αναπτύξαμε πιο πάνω, μια καθυστέρηση φάσης ίση με π/ σε σχέση με το ρεύμα, επομένως ισχύει ωt 0 rad/s) t 3 sin( ) sin[( rad] Υπολογίζουμε το πλάτος της τάσης από την σχέση X 50 50 A 0.5 3 Τελικά για την τάση του πυκνωτή στο κύκλωμα του εναλλασσομένου ρεύματος στο σχ..4 ισχύει 3 0.5sin[( 0 rad/s) t rad].4 Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με επαγωγέα Ας μελετήσουμε τώρα ένα απλό κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος το οποίο αποτελείται από ένα επαγωγέα με μηδενική αντίσταση και μια γεννήτρια εναλλασσομένης τάσης, όπως δείχνει το σχ..5α. Η γεννήτρια δίνει τάση και ρεύμα αρμονικής μορφής των εξισώσεων. και αντίστοιχα. Στα άκρα επαγωγέα αναπτύσσεται επαγωγική του (α) τάση που σύμφωνα με τον νόμο του Faraday είναι, - T/ T 3T/ T t - (β) Σχήμα.5 (a) Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με πηγή τάσης και επαγωγέα. (β) Μεταβολή του ρεύματος και της τάσης στα άκρα του επαγωγέα συναρτήσει του χρόνου.
Κεφάλαιο 0 d d ( sin ωt) ω cos ωt dt dt (.3) Όσο αυξάνεται το ρεύμα στο κύκλωμα, μία αντίθετης πολικότητας τάση αναπτύσσεται στα άκρα του επαγωγέα, έτσι ώστε να δώσει ρεύμα αντιθέτου φοράς και να αντιταχθεί στην αύξηση του ρεύματος από την πηγή, σύμφωνα με τον νόμο της επαγωγής. Το αντίθετο συμβαίνει όταν το ρεύμα ελαττώνεται. Από την εξ..3 βλέπουμε ότι η επαγωγική τάση στα άκρα του επαγωγέα είναι αρμονική συνάρτηση με διαφορά φάσης π/ από το ρεύμα Ι, μιας και το συνημίτονο διαφέρει από το ημίτονο 90 ο μοίρες ή αλλιώς π/ ακτίνια. Πράγματι όπως φαίνεται στο σχ..5β η επαγωγική τάση μεγιστοποιείται όταν το ρεύμα μηδενίζεται. Έτσι μπορούμε να ειπούμε ότι στο κύκλωμα εναλλασσομένης τάσεως, η τάση προηγείται του ρεύματος κατά φάση π/ ή χρόνο Τ/4 (σχ..4β). Το πλάτος της επαγωγικής τάσης είναι η μέγιστη τιμή της, και για το μέτρο της ισχύει από την εξ..3 ω (.4) Βάσει της σχέσης μεταξύ τάσεως και ρεύματος στο νόμο του Oh, οδηγούμαστε σε αντιστοίχηση της επαγωγικής τάσης και του ρεύματος μέσω της σχέσης X (.5) όπου Χ ορίζεται η επαγωγική αντίσταση ή επαγωγική εμπέδηση του κυκλώματος εναλλασσομένου ρεύματος. Ισχύει λοιπόν X ω (.6) Η επαγωγική αντίσταση αυξάνεται με την σταθερά αυτεπαγωγής του επαγωγέα αλλά και με την συχνότητα της εναλλασσομένης τάσης και ρεύματος. Οι μονάδες μέτρησης της επαγωγικής αντίστασης στο Διεθνές Σύστημα μονάδων είναι το Oh όπως ακριβώς και η ωμική αντίσταση αλλά και η χωρητική εμπέδηση. Ωστόσο η επαγωγική αντίσταση είναι διαφορετική φυσική ποσότητα από την ωμική αντίσταση. Για παράδειγμα ενώ ισχύει =R, δεν ισχύει = Χ μιας και τα και δεν είναι σε φάση. Η εξ..6 απλώς συνδέει αριθμητικώς τα πλάτη και Ι, χωρίς αυτά ποτέ να παίρνουν ταυτόχρονα τις τιμές αυτές. Στο ίδιο ακριβώς συμπέρασμα καταλήξαμε και για την χωρητική αντίσταση Χ (βλέπε προηγούμενο εδάφιο). Όσο πιο απότομα αλλάζει το ρεύμα (μεγάλο ω), τόσο μεγαλύτερη είναι η Χ, δηλαδή τόσο μεγαλύτερη η αντίσταση του πηνίου στην αύξηση του
Κεφάλαιο ρεύματος στο κύκλωμα. Από την εξ..5, για δεδομένη τάση, το ρεύμα Ι είναι τόσο μικρότερο, όσο μεγαλύτερη είναι η επαγωγική αντίσταση Χ. Για παράδειγμα εάν η συχνότητα ω είναι πολύ μεγάλη, μεγαλώνει και η Χ, με αποτέλεσμα το πλάτος του ρεύματος Ι να γίνεται πολύ μικρό και να μην διαδίδονται εύκολα σήματα υψηλής συχνότητας στο κύκλωμα. Τότε το κύκλωμα με τον επαγωγέα στο σχ..5α αποτελεί ένα φίλτρο αποκοπής υψηλών συχνοτήτων. Τέτοια φίλτρα χρησιμοποιούνται σε διάφορα τροφοδοτικά ή σε συσκευές συμβολής ραδιοκυμάτων όπου η διέλευση υψηλών συχνοτήτων είναι ανεπιθύμητη. Αντίθετα τα χαμηλής συχνότητας σήματα διέρχονται από ένα τέτοιο κύκλωμα που ονομάζεται φίλτρο διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων ή βαθυπερατό φίλτρο. Υψιπερατά και βαθυπερατά φίλτρα χρησιμοποιούνται στα ηχεία μεγαφώνων, όπου στα μεγάφωνα υψηλών συχνοτήτων (τουίτερς), ένας πυκνωτής λειτουργεί ως υψηπερατό φίλτρο, ενώ στα μεγάφωνα χαμηλών συχνοτήτων (γούφερς), ένα πηνίο λειτουργεί ως βαθυπερατό φίλτρο. Έτσι τα τουίτερς δίνουν μόνο ήχους υψηλών συχνοτήτων (πρίμα) ενώ τα γούφερς δίνουν μόνο ήχους χαμηλών (μπάσα)..5 Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με αντίσταση, επαγωγέα και πυκνωτή (κύκλωμα R) Ένα πιο σύνθετο κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος, είναι αυτό που περιέχει και τα τρία διαφορετικά στοιχεία, αντίσταση, επαγωγέα και πυκνωτή. Το κύκλωμα αυτό ονομάζεται κύκλωμα R, και φαίνεται στο σχ..6α. Για την διαφορά δυναμικού στα άκρα της πηγής εναλλασσομένου ρεύματος ad ισχύει ad (.7) ab bc Όμως ισχύει = X, = X και R = R. Το ρεύμα Ι μεταβάλλεται ημιτονοειδώς ως cd ad R sin ωt. Οι τάσεις στα άκρα της αντίστασης, του πυκνωτή και του επαγωγέα διαφέρουν μεταξύ τους ανά δύο κατά φάση π/ όπως δείχνει το σχ..6β. Δηλαδή ισχύει sin( ωt π / ). Αποδεικνύεται γεωμετρικά ότι η τάση ad είναι ίση με ad R ( X X ) (.8) R R sin ωt, sin( ωt π / ) και
Κεφάλαιο όπου η ποσότητα Z R ( X X ) (.9) ονομάζεται σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος R. Βάσει των σχέσεων. και.6 η Ζ εξαρτάται a b R R - R T/ T 3T/ T t d R c - - (α) (β) Σχήμα.6 (a) Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος R. (β) Μεταβολή των τάσεων στα άκρα κάθε στοιχείου του κυκλώματος συναρτήσει του χρόνου. Προσέξτε την διαφορά φάσης μεταξύ των τάσεων R, και. από την συχνότητα ω του εναλλασσομένου ρεύματος και γράφεται Z R ω ω ( ) (.3) Για τις ενεργές τιμές της τάσης και του ρεύματος ισχύει και συνεπώς εν εν Z (.3) εν Z εν ενz (.33) Προσέξτε ότι δεν ισχύει εν Z για τις στιγμιαίες τιμές των και Ι μιας και αυτές διαφέρουν σε φάση. Η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και του ρεύματος στο κύκλωμα R, ονομάζεται γωνία φάσης φ του κυκλώματος και ορίζεται ως ( ω ) ( X X ) X X tanφ tan φ ω (.34) R R R R
Κεφάλαιο 3 Εάν δηλαδή το ρεύμα δίνεται ως sin ωt, η τάση θα δίνεται ως sin( ωt φ). Εάν η επαγωγική εμπέδηση X είναι μεγαλύτερη από την χωρητική εμπέδηση X, δηλαδή ισχύει X >X τότε η γωνία φ είναι θετική και η τάση προηγείται του ρεύματος Ι. Αντίθετα εάν ισχύει X <X τότε η γωνία φ είναι αρνητική και η τάση έπεται του ρεύματος. Η σχέση.3 για την Ζ ισχύει και όταν απουσιάζει κάποιο από τα τρία στοιχεία του κυκλώματος. Όταν λείπει η αντίσταση έχουμε R=0, όταν λείπει ο επαγωγέας έχουμε =0, ενώ όταν λείπει ο πυκνωτής έχουμε, οπότε X =0. Παράδειγμα.3 Σ ένα κύκλωμα R όπως αυτό του σχήματος.6α υπάρχουν τα στοιχεία R=300 Ω, =60 H και =0.50 μf. Η μέγιστη εναλλασσόμενη τάση που επιτυγχάνεται είναι =50 ενώ η γωνιακή συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος είναι ω=0 4 rad/s. Να εύρετε τα X, X, Ζ, το μέγιστο ρεύμα Ι και τη γωνία φάσεως φ του κυκλώματος. Επίσης υπολογίστε τις μέγιστες τάσεις στα άκρα του κάθε στοιχείου δηλαδή τα, και R. Λύση Η επαγωγική εμπέδηση X είναι X ω X 3 4 4 60 0 0 0 rad/s 600 Η χωρητική εμπέδηση X είναι X X 00 6 4 ω 0.50 F0 rad/s H σύνθετη αντίσταση Ζ του κυκλώματος είναι Z R 50 ( X 4 X ) Ζ 500 ( 300 ) 50 Ισχύει Z 0. Z 500 ( 600 00 ) Για την γωνία φάσεως του κυκλώματος ισχύει 90 X X 600 00 tanφ tan φ.33 φ arctan.33 φ 53 R 300 4 60 Επειδή X >X, η γωνία φ είναι θετική και η τάση προηγείται του ρεύματος Ι. Εάν δηλαδή ο 4
Κεφάλαιο 4 sin ωt τότε sin( ωt φ). Για την μέγιστη τάση στα άκρα του πηνίου ισχύει X 600 0. 60 Για την μέγιστη τάση στα άκρα του πυκνωτή ισχύει X 00 0. 0 Για την μέγιστη τάση στα άκρα της αντίστασης ισχύει R 300 0. 30 R R.6 Μετασχηματιστές και μεταφορά ηλεκτρικής ισχύος Όπως προαναφέραμε, το οικιακό ρεύμα που χρησιμοποιούμε για την λειτουργία των ηλεκτρικών συσκευών είναι εναλλασσόμενο. Ενώ στις γραμμές μεταφοράς υπάρχει υψηλή τάση για εξοικονόμηση ενέργειας, στην καθημερινή χρήση του ηλεκτρικού ρεύματος χρειαζόμαστε χαμηλές σχετικά τάσεις. Θα πρέπει λοιπόν η υψηλή τάση του εναλλασσομένου ρεύματος με κάποιο τρόπο να υποβιβάζεται σε χαμηλή, αντιστοίχως να ανυψώνεται το ρεύμα, έτσι ώστε να διατηρείται σταθερή η ισχύς. Γενικά η υποβίβαση ή ανύψωση του ρεύματος ή της τάσης του εναλλασσομένου ρεύματος, επιτυγχάνεται με την R Σχήμα.7 Ιδανικός μετασχηματιστής ανύψωσης εναλλασσόμενης τάσης με Ν >Ν. χρήση ειδικών διατάξεων οι οποίες ονομάζονται μετασχηματιστές. Συνήθως ένας μετασχηματιστής αποτελείται από δυο πηνία τυλιγμένα σε έναν πυρήνα από μαλακό σίδηρο όπως φαίνεται γραφικώς στο σχ..7. Ο σιδερένιος πυρήνας αυξάνει την μαγνητική ροή των πηνίων και είναι σε μορφή μεταλλικών φύλλων για να μην αναπτύσσονται μεγάλα δινορεύματα και για να ελαχιστοποιείται η μαγνητική υστέρηση. Το πηνίο που είναι συνδεδεμένο με την πηγή εναλλασσομένου ρεύματος ονομάζεται πρωτεύον πηνίο και έστω ότι έχει Ν σπείρες. Το πηνίο που είναι συνδεδεμένο με την αντίσταση δηλαδή με την κατανάλωση ονομάζεται δευτερεύον πηνίο και έστω ότι έχει Ν σπείρες. N N S
Κεφάλαιο 5 Όταν ο διακόπτης του κυκλώματος του δευτερεύοντος πηνίου είναι ανοικτός, τότε ρεύμα υπάρχει μόνο στο κύκλωμα του πρωτεύοντος και επειδή το ρεύμα μεταβάλλεται με τον χρόνο θα μεταβάλλεται και το μαγνητικό πεδίο μέσα στο πηνίο και επομένως και η μαγνητική του ροή. Από τον νόμο του Faraday στα άκρα του πρωτεύοντος θα αναπτύσσεται επαγωγική τάση dφ Β (.35) N dt όπου Φ Β είναι η μαγνητική ροή που περνά από κάθε σπείρα του πρωτεύοντος πηνίου. Η μεταβολή της μαγνητικής ροής θα είναι η ίδια και για κάθε σπείρα του δευτερεύοντος πηνίου εφόσον έχουν την ίδια διατομή με αυτές του πρωτεύοντος και επομένως λόγω αμοιβαίας επαγωγής θα αναπτύσσεται στα άκρα του δευτερεύοντος πηνίου τάση dφ Β (.36) N dt Από τις εξισώσεις.35 και 36 παίρνουμε ή αλλιώς N (.37) N N (.38) N Όταν ισχύει Ν >Ν, τότε η επαγωγική τάση είναι μεγαλύτερη της, δηλαδή η τάση εξόδου του μετασχηματιστή είναι μεγαλύτερη της τάσης εισόδου και επομένως έχουμε μετασχηματιστή ανύψωσης τάσεως. Αντίθετα για Ν <Ν, παίρνουμε μικρότερη του, και επομένως έχουμε μετασχηματιστή υποβιβασμού τάσεως. Από την εξ..38 είναι φανερό ότι με κατάλληλη επιλογή των N και Ν μπορούμε να έχουμε οποιαδήποτε τάση εξόδου από μια τάση εισόδου. Όταν «κλείσει» ο διακόπτης S του δευτερεύοντος πηνίου (σχ..7), δημιουργείται σ αυτό ένα ρεύμα εξ επαγωγής Ι. Θεωρώντας έναν ιδανικό μετασχηματιστή χωρίς απώλειες ενέργειας στις σπείρες και στον πυρήνα, η ισχύς που παρέχει το πρωτεύον είναι ίδια με την ισχύ που καταναλώνει η αντίσταση στο δευτερεύον. Δηλαδή ισχύει (.39)
Κεφάλαιο 6 Στην γενική περίπτωση εάν το πρωτεύον πηνίο έχει αντίσταση R, ισχύει ότι από τον νόμο του Oh, R (.40α) και R (.40β) όπου R η αντίσταση του δευτερεύοντος πηνίου του μετασχηματιστή. Τότε από την εξ..39 παίρνουμε R R R (.4) Όμως από την εξ..39 παίρνουμε (.4) Η εξ..4 στην.4 δίνει (.37) N N R R R R (.43) όπου R η αντίσταση στο πρωτεύον πηνίο, η οποία σχετίζεται άμεσα με την αντίσταση R του δευτερεύοντος κυκλώματος μέσω του πηλίκου των σπειρών του. Συμπεραίνουμε δηλαδή ότι ο μετασχηματιστής εκτός από ρεύματα και τάσεις μετασχηματίζει και αντιστάσεις. Επειδή η εξ..43 είναι απόρροια της εξ..39, ισχύει για μεταφορά της μεγίστης ισχύος από την πηγή εναλλασσομένου ρεύματος στην αντίσταση R. Στην πραγματικότητα οι μετασχηματιστές παρουσιάζουν απώλειες ισχύος, λόγω μαγνητικής υστέρησης στον πυρήνα τους αλλά και λόγω θερμικών απωλειών στα σύρματα των σπειρών. Έτσι ένας μετασχηματιστής μπορεί να προσφέρει στο δευτερεύον κύκλωμα από 90 έως 99% της ισχύος της πηγής του. Οι μετασχηματιστές είναι πολύ χρήσιμοι για την μεταφορά ισχύος σε πολύ μεγάλες αποστάσεις. Όπως προείπαμε η μεταφορά πρέπει να γίνεται σε υψηλή τάση για να κρατείται το ρεύμα χαμηλό, ώστε οι απώλειες ισχύος σε θερμότητα στις γραμμές μεταρφοράς να είναι χαμηλές. Έτσι ενώ στον τόπο παραγωγής του ρεύματος, η τάση είναι εκατοντάδες χιλιάδες ή και εκατομμύρια olts, στους σταθμούς διανομής της ηλεκτρικής ενέργειας η τάση υποβιβάζεται σε μερικές δεκάδες χιλιάδες olts μέσω ειδικών
Κεφάλαιο 7 μετασχηματιστών. Στη συνέχεια η ενέργεια μεταφέρεται στις πόλεις και τα χωριά και τελικά στους στύλους έξω από τις οικίες. Εκεί η τάση πρέπει να υποβιβασθεί εκ νέου στα 30, με την χρήση νέων μετασχηματιστών 3. Υποβιβάζοντας την τάση μεγαλώνουμε το ρεύμα που είναι χρήσιμο για τις διάφορες οικιακές χρήσεις. Οι περισσότερες συσκευές λειτουργούν με 30 από το δίκτυο μέσω των πριζών που έχουν δυο εισόδους, μια με τάση 30 και μια ουδέτερη με δυναμικό αυτό της Γης (μηδέν). Παράδειγμα.4 Ένας μετασχηματιστής έχει Ν =350 σπείρες στο πρωτεύον πηνίο, και Ν =000 σπείρες στο δευτερεύον. Εάν η τάση εισόδου είναι (t)=70cosωt, ποια είναι η ενεργός τάση που αναπτύσσεται στους ακροδέκτες του δευτερεύοντος πηνίου; Λύση Στο πρωτεύον πηνίο η ενεργός τάση είναι 70 εν εν εν 0. Θεωρώντας ότι δεν έχουμε απώλειες ενέργειας από το πρωτεύον στο δευτερεύον πηνίο γράφουμε N N N N N N εν εν εν εν Αντικαθιστώντας τις τιμές παίρνουμε εν 000 70 687 εν 350 3 Η εναλλασόμενη τάση είναι 0 στην Αμερική και στον Καναδά.
Κεφάλαιο 8 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π. Ένα ψυγείο περιέχει πυκνωτή για την εκκίνηση της λειτουργίας του. Για να δημιουργηθεί ρεύμα εντάσεως 0.950 Α, στα άκρα του πυκνωτή εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση πλάτους 30 και συχνότητας 50 Hz. Να ευρεθεί η χωρητικότητα του πυκνωτή. Απάντηση: 3. μf. Π. Σ ένα κύκλωμα R όπως αυτό του σχήματος.6, η ωμική αντίσταση είναι 50 Ω, η χωρητικότητα του πυκνωτή 5 μf και η αυτεπαγωγή 0.8 Η. Το κύκλωμα συνδέεται με πηγή εναλλοσσομένου ρεύματος συχνότητας 0 rad/s, η οποία δίνει ρεύμα πλάτους 0.50 Α. Να εύρετε α) την σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος, β) το πλάτος της εναλλασσομένης τάσης, γ) τη γωνία φάσεως φ του κυκλώματος, και δ) τις μέγιστες τάσεις στα άκρα του κάθε στοιχείου του κυκλώματος, δηλαδή τα R, και τα.
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς opyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός). ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ». Έκδοση:.0. Ιωάννινα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης reative oons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μεταγενέστερη. [] https://creativecoons.org/licenses/by-sa/4.0/.