3 Τυρβώδη Διάχυση Στα προηγούμενα κεφάλαια εξετάσαμε το φαινόμενο της συναγωγής και της διάχυσης και είδαμε μερικά παραδείγματα όπου αναφέρθηκε επιγραμματικά ο όρος συντελεστής τυρβώδους διάχυσης. Στις περιπτώσεις αυτές απλά χρησιμοποιήθηκαν οι ίδιες εξισώσεις και μόνον η τιμή του συντελεστή διάχυσης ήταν κατά πολύ μεγαλύτερη. Γενικά σε πολλές περιπτώσεις μια σειρά διεργασιών μπορεί να οδηγήσει σε μη ομοιόμορφα πεδία ταχυτήτων, τα οποία επιτρέπουν πολύ πιο γρήγορη ανάμιξη από αυτή που προκαλείται από την απλή διάχυση. Αυτά τα μηομοιόμορφα πεδία ταχυτήτων θα μελετηθούν διεξοδικά σ αυτό το κεφάλαιο, με σκοπό να φανεί η επίδρασή τους στην ανάμιξη. Θα αρχίσουμε με μία περιγραφή της τυρβώδους ροής και της επίδρασής της στη μεταφορά ρυπαντών. Στη συνέχεια θα εξαχθεί μια νέα εξίσωση διάχυσης με συναγωγή για τυρβώδη ροή, και θα δειχθεί γιατί οι εξισώσεις που προκύπτουν διατηρούν την προηγούμενη μορφή τους, αλλά οι συντελεστές ανάμιξης είναι τάξεις μεγέθους μεγαλύτεροι από τους συντελεστές μοριακής διάχυσης. Θα εξεταστεί επίσης η επίδραση της κατανομής της διατμητικής ταχύτητας στη μεταφορά ρυπαντών και θα αποδειχθεί η εξίσωση της μονοδιάστατης διάχυσης. 3.1. Τυρβώδη Ροή και Ανάμιξη Στο τέλος του 1800, ο Reynolds εκτέλεσε μια σειρά πειραμάτων πάνω στη μεταφορά χρωστικών γραμμών σε ροή μέσα σε σωλήνα. Οι παρατηρήσεις του Reynolds θεωρήθηκαν πρωτοπόρες στην τυρβώδη ροή και η ανάλυσή του είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία του γνωστού αριθμού Reynolds, Re. Είναι ενδιαφέρον να συνειδητοποιήσει κανείς ότι οι πρώτες συνεισφορές στην έρευνα της τυρβώδους ροής, ήταν στην περιοχή της μεταφοράς ρυπαντών (συμπεριφορά χρωστικών ουσιών).
58 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Σχήμα 3.1. Πειράματα ροής του Reynolds (Reynolds 1883). Στη δημοσίευσή του ο Reynolds (Reynolds 1883) - δείτε Σχήμα 3.1 - έγραψε: Τα πειράματα έγιναν σε τρεις σωλήνες. Όλοι είχαν μήκος 4 ft και 6 (1.37 m), με κωνική είσοδο ώστε το νερό να εισέρχεται χωρίς διαταράξεις στη ροή του. Το νερό προερχόταν από ένα μεγάλο γυάλινο δοχείο σε επαφή με τους σωλήνες, ενώ η όλη διάταξη επέτρεπε την είσοδο χρωστικών ουσιών μαζί με το διάφανο νερό. Τα αποτελέσματα σε γενικές γραμμές ήτα τα ακόλουθα: 1. Όταν οι ταχύτητες ήταν αρκετά χαμηλές, η χρωστική επεκτείνονταν μέσα στο σωλήνα ως μια ωραία ευθεία γραμμή. 2. Αν το νερό στο δοχείο δεν είχε ηρεμήσει, σε αρκετά χαμηλές ταχύτητες, η βαφή μετακινιόταν μέσα στο σωλήνα, χωρίς όμως την εμφάνιση συστροφών (ελικοειδών μορφών) 3. Καθώς όμως αύξανε η ταχύτητα, σε κάποιο σημείο στο σωλήνα, πάντα σε αρκετή απόσταση από το στόμιό του, η χρωστική ξαφνικά αναμιγνυόταν πλήρως με το γύρω νερό, με αποτέλεσμα να γεμίζει τον υπόλοιπο σωλήνα με μια μάζα χρωματισμένου νερού. Αύξηση της ταχύτητας είχε ως αποτέλεσμα να εμφανίζεται πιο κοντά στο στόμιο το σημείο που χρωματιζόταν πλήρως η μάζα του νερού. Με καμία τιμή της ταχύτητας όμως που δοκιμάστηκε, δεν έφτασε ποτέ το στόμιο του σωλήνα. Εξετάζοντας το σωλήνα κάτω από το φως ηλεκτρικής εκκένωσης, η χρωματισμένη μάζα του νερού, διαχωριζόταν ως μια μάζα, λίγο πολύ, καθορισμένων περιστροφών, ως δίνες. Η πρώτη περίπτωση, αυτή με τις χαμηλές ταχύτητες, αντιστοιχεί στη στρωτή ροή: το ρευστό/νερό μετακινείται σε παράλληλα στρώματα κατά μήκος απόλυτα ευθειών γραμμών, ενώ τυχόν διαταράξεις αποσβένονται λόγω του ιξώδους. Ο μόνος τρόπος για το στρώμα βαφής να απλωθεί κάθετα προς τη μεταφορά, είναι λόγω μοριακής
Τυρβώδη Διάχυση 59 διάχυσης. Σ αυτήν την περίπτωση θα χρειαζόταν ένας πάρα πολύ μακρύτερος σωλήνας ώστε να μπορέσει το χρώμα να απλωθεί ομοιόμορφα σε όλη τη διατομή του σωλήνα. Η τελευταία περίπτωση, σε υψηλότερες ταχύτητες, αναφέρεται σε τυρβώδη ροή: το ρευστό γίνεται ξαφνικά ασταθές και εμφανίζει μια πληθώρα δινών, οι οποίες αυξάνονται λόγω της αστάθειας του ρευστού. Η χρωστική, η οποία ουσιαστικά ακολουθεί παθητικά το ρευστό, αναμιγνύεται γρήγορα κατά μήκος της διατομής καθώς οι δίνες επεκτείνονται και γεμίζουν όλο το σωλήνα με τυρβώδη ροή. Παρατηρήσεις υπό ηλεκτρική εκκένωση δείχνουν ότι η χρωστική ακολουθεί το σχήμα των δινών. Μετά από κάποιο χρόνο όμως, οι δίνες θα έχουν μεγαλώσει και διαχωριστεί αρκετές φορές ώστε η βαφή δεν θα παρουσιάζει έντονες διακυμάνσεις συγκέντρωσης ικανές να σκιαγραφήσουν τις δίνες. Σ αυτό το σημείο, η χρωστική έχει αναμιχθεί ομοιόμορφα ενώ η ίδια η ανάμιξη έχει γίνει ουσιαστικά με τυχαίο τρόπο. Ο Reynolds συνόψισε τα αποτελέσματά του δείχνοντας ότι αυτά τα χαρακτηριστικά της ροής εξαρτιόνται από τον αδιάστατο αριθμό Reynolds, που δίνεται ως Re = ul/ν, όπου u συμβολίζει τη μέση ταχύτητα στο σωλήνα, L τη διάμετρο του σωλήνα και ν το κινηματικό ιξώδες, και ότι η τυρβώδης ροή εμφανίζεται σε υψηλούς αριθμούς Re. Το κύριο αποτέλεσμα της τυρβώδους ροής είναι ότι επαυξάνει τη μεταφορά ορμής και μάζας. 3.1.1. Μαθηματικές Εκφράσεις της Τυρβώδους Ροής Η περιοχή της τυρβώδους ροής έχει απασχολήσει, και απασχολεί, πολλούς ερευνητές. Οι έννοιες που θα αναπτυχθούν στις επόμενες ενότητες, μπορούν να βρεθούν με περισσότερη λεπτομέρεια στην αντίστοιχη βιβλιογραφία (Lumley & Panofsky 1964, Pope 2000, Mathieu & Scott 2000). Στην ενότητα αυτή, θα εξετάσουμε έναν ειδικό τύπο τυρβώδους ροής, την ομοιογενή τυρβώδη ροή. Ο όρος ομοιογενή εννοεί ότι οι στατιστικά μέσες ιδιότητες της ροής είναι σταθερές (δεν αλλάζουν) - η ίδια η ροή μπορεί να είναι ακόμα πολύ ακανόνιστη. Αυτές οι ομοιογενείς στατιστικά μέσες ιδιότητες συνήθως περιγράφονται μέσω των ιδιοτήτων που αντιλαμβάνεται η ταχύτητα σε ένα συγκεκριμένο σημείο στο χώρο στην τυρβώδη ροή (αυτή είναι μία περιγραφή κατά Euler). Για να κατανοήσει κανείς τις κατά Euler ιδιότητες της τυρβώδους ροής, είναι χρήσιμο να εξεταστεί πρώτα το πλαίσιο αναφοράς Lagrange και να ακολουθήσουμε ένα σωματίδιο του ρευστού.
60 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Σε μια τυρβώδη ροή, σχηματίζονται συνέχεια μεγάλες δίνες, οι οποίες στη συνέχεια διαχωρίζονται σε μικρότερες, και έτσι υπάρχει πάντα μέσα σε μια ροή ένα μεγάλο φάσμα από μεγέθη δινών. Καθώς μια μεγάλη δίνη διαχωρίζεται (σπάει) σε πολλαπλές μικρότερες, πολύ λίγη κινητική ενέργεια χάνεται, και μπορούμε να πούμε ότι η κινητική ενέργεια μεταφέρεται πολύ αποδοτικά μέσω μιας σειράς δινών διαφορετικών μεγεθών. Στο τέλος οι δίνες γίνονται τόσο μικρές ώστε το ιξώδες υπερισχύει, και η ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα. Αυτή η μετατροπή της κινητικής ενέργειας σε θερμότητα σε χαμηλές κλίμακες ονομάζεται απόσβεση και ορίζεται από τη σχέση αποσβενόμενη κινητική ενέργεια (3.1) χρόνος με μονάδες [L 2 /T 3 ]. Εφόσον όλη η κινητική ενέργεια μεταφέρεται σ αυτές τις μικρές κλίμακες, η αποσβενόμενη κινητική ενέργεια θα πρέπει να είναι ίση με τη συνολική τυρβώδη κινητική ενέργεια της ροής. Αυτό σημαίνει ότι μέσα σε μία ομοιογενή τυρβώδη ροή υπάρχει ισορροπία μεταξύ της παραγωγής και απορρόφησης/κατανάλωσης της κινητικής ενέργειας. Το χαρακτηριστικό μήκος των δινών όπου η τυρβώδη κινητική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα, καλείται, μήκος Kolmogorov, η L κ. Πόσο μεγάλο είναι το μήκος L κ ; Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διαστατική ανάλυση για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση, αναγνωρίζοντας ότι το L κ εξαρτάται από το ρυθμό της απόσβεσης (ή, αντίστοιχα, παραγωγής) της ενέργειας, ε, και από το κινηματικό ιξώδες, ν (μονάδες [L 2 /T]), καθότι η τριβή μετατρέπει την κινητική ενέργεια σε θερμότητα. Εφαρμόζοντας τη διαστατική ανάλυση, έχουμε L 1/4 3 Αυτό είναι ένα σημαντικό μήκος στην τυρβώδη ροή.. (3.2) Συνοψίζοντας τη θεώρηση Lagrange, αν ακολουθήσουμε ένα σωματίδιο του ρευστού, στην αρχή μετακινείται μέσα σε μια μεγάλη δίνη, και στη συνέχεια από δίνη σε δίνη καθώς οι δίνες διαχωρίζονται σε μικρότερες διατηρώντας την κινητική ενέργειά τους. Τελικά, το σωματίδιο βρίσκεται σε μία αρκετά μικρή δίνη (μία της τάξης του L κ ), όπου το ιξώδες μετατρέπει την κινητική ενέργεια σε θερμότητα. Αυτή η μικρή δίνη είναι επίσης μέρος μιας μεγαλύτερης, και επομένως όλα τα μεγέθη δινών είναι παρόντα πάντα στη ροή.
Τυρβώδη Διάχυση 61 Σχήμα 3.2. Μετρήσεις τυρβώδους ταχύτητας σε σημείο: δείχνεται η στιγμιαία μεταβολή της ταχύτητας, u () t, και η στατιστικά μέση ταχύτητα u (Socolofsky & Jirka 2002). Επειδή είναι πολύ δύσκολο να ακολουθούμε ένα σωματίδιο ρευστού με έναν αισθητήρα ταχύτητας (αυτό προσπαθούμε να κάνουμε με ένα όργανο που καλείται Particle Tracking Velocimetry, PTV), οι μετρήσεις ταχύτητας σε τυρβώδη ροή γίνονται συνήθως σε ένα σημείο, ενώ η τυρβώδης ροή περιγράφεται από το πλαίσιο αναφοράς του Euler. Το ευρύ φάσμα διαφορετικών δινών περνούν από τον αισθητήρα ταχύτητας καθώς μετακινούνται με μία χρονικά μέση ταχύτητα. Οι μεγάλες δίνες δημιουργούν στη μέτρηση της ταχύτητας, διακυμάνσεις μεγάλης περιόδου ενώ οι μικρές δίνες δημιουργούν αντίστοιχα διακυμάνσεις ταχύτητας μικρότερης περιόδου. Όλα αυτά τα μεγέθη δινών βρίσκονται συγχρόνως μέσα στη ροή. Στο Σχήμα 3.2 παρουσιάζεται ένα παράδειγμα μέτρησης τυρβώδους ταχύτητας σε μία διεύθυνση σε ένα σημείο. Αν θεωρήσουμε ένα μικρό τμήμα των μετρήσεων, οι ταχύτητες φαίνονται να είναι καθορισμένες και να συσχετίζονται. Αν όμως εξετάσουμε τμήματα μεγαλύτερης χρονικής διάρκειας, οι ταχύτητες φαίνονται τυχαίες και σίγουρα μη-συσχετιζόμενες. Η χρονική κλίμακα μέσα στην οποία οι στιγμιαίες ταχύτητες αρχίζουν να φαίνονται ως μη-συσχετιζόμενες, καλείται χρονική κλίμακα t I. Στο πλαίσιο αναφοράς Langrange, αυτός είναι ο χρόνος που απαιτείται για ένα πακέτο ρευστού να ξεχάσει την αρχική του ταχύτητα. Αυτή η χρονική κλίμακα μπορεί να γραφεί και ως χαρακτηριστικό μήκος l I, και χαρακτηριστική ταχύτητα, u I. O Reynolds πρότεινε ότι σε κάποιο χρόνο μεγαλύτερο του t I, η ταχύτητα στο σημείο x i, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο συνεισφορών, της χρονικά μέσης ταχύτητας u, και της στιγμιαίας μεταβολής της ταχύτητας, u () t, ως ui ui( xi) ui ( xi, t). (3.3) Αυτή η αντιμετώπιση είναι γνωστή ως διαχωρισμός Reynolds, και ο χρόνος t I είναι αντίστοιχος του χρόνου που απαιτείται ώστε η μέση ταχύτητα u i να γίνει σταθερή.
62 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Μία ακόμη σημαντική μεταβλητή στην τυρβώδη ροή, είναι η ταχύτητα rms (root-mean-square ή ρίζα μέσου τετραγώνου), που ορίζεται ως urms uu, (3.4) όπου, εφόσον η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, είναι ένα μέτρο της τυρβώδους κινητικής ενέργειας της ροής (δηλαδή, η μέση κινητική ενέργεια της ροής έχει αφαιρεθεί, καθότι u συμβολίζει τη διακύμανση από τη χρονικά μέση τιμή). 3.1.2. Εξίσωση Τυρβώδους Συναγωγής και Διάχυσης Για να εξάγουμε μία εξίσωση συναγωγής και διάχυσης για τυρβώδη ροή, θα αντικαταστήσουμε τη σχέση διαχωρισμού Reynolds μέσα στην κανονική εξίσωση συναγωγής και διάχυσης - Εξ.(2.8) -, και θα αναλύσουμε το αποτέλεσμα. Πριν να το κάνουμε αυτό όμως, χρειαζόμαστε μια αντίστοιχη σχέση διαχωρισμού Reynolds για τη συγκέντρωση, δηλαδή Cx ( i, t) Cx ( i) C( xi, t). (3.5) Εφόσον ενδιαφερόμαστε μόνο για τη μακροχρόνια (μεγαλύτερο χρόνο σε σχέση με το t I ) μέση συμπεριφορά ενός νέφους ρυπαντή, αφού αντικαταστήσουμε τη σχέση διαχωρισμού Reynolds, θα πάρουμε και μια μέση χρονική τιμή. Ως παράδειγμα, ας εξετάσουμε τη χρονικά μέση ροή μάζας στην x-διεύθυνση, στον αισθητήρα ταχύτητας μας, uc, ως ( J x / A) uc ( ui ui )( CC) uicuicuic uic. (3.6) όπου η άνω μπάρα δηλώνει το χρονικό μέσο, δηλαδή tt I 1 uc ucd t. (3.7) I Στην περίπτωση της ομοιογενούς τυρβώδους ροής, ο χρονικός μέσος της στιγμιαίας διακύμανσης της ταχύτητας θα πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, ui C 0, και επομένως uc uc i uc i uc i uc i t. (3.8)
Τυρβώδη Διάχυση 63 Στην Εξ.(3.8) απλοποιήσαμε το συμβολισμό της διπλής μπάρας καθότι ο μέσος όρος ενός μέσου όρου, είναι ό ίδιος ο μέσος όρος! Σημειώστε ότι για το δεύτερο όρο της εξίσωσης, δε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο μέσος όρος του γινομένου είναι μηδέν. Έχοντας ολοκληρώσει αυτά τα προκαταρκτικά, μπορούμε τώρα να αντικαταστήσουμε στην Εξ.(2.8) της συναγωγής και διάχυσης (μη θεωρώντας σταθερό το συντελεστή διάχυσης) που είναι ως C ( uc i ) C D. (3.9) t xi xi xi ( CC) ( ui ui)( CC) ( CC) D. (3.10) t xi xi xi Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε ως προς το χρόνο t I, t 1 t I ( C C ) ( ui ui)( C C ) ( C C ) D d t. (3.11) I xi xi xi t Χρησιμοποιώντας την Εξ.(3.7), στην ανωτέρω σχέση έχουμε ( CC) uc i uc i uc i uc i ( CC) D. (3.12) t xi xi xi Τελικά αναγνωρίζουμε ότι οι όροι uc i, uc i και Cείναι ίσοι με μηδέν, και αφού μετακινήσουμε τον όρο uc στη δεξιά μεριά της εξίσωσης, C C uc i C ui D. (3.13) t xi xi xi xi Για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ανωτέρω εξίσωση χρειάζεται ένα μοντέλο για τον όρο uc i, καθότι ο όρος είναι της μορφής uc, εκφράζει δηλαδή τη ροή μάζας. Επειδή και οι δύο όροι του υπόκεινται σε διακυμάνσεις, θα πρέπει το μοντέλο να αναφέρεται σε μια ροή μάζας άμεσα συνδεδεμένη με την τυρβώδη ροή.
64 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Ο Reynolds περιγράφει αυτή την τυρβώδη συνεισφορά ως μια μορφή πολύ γρήγορης ανάμιξης, και επομένως μπορούμε να δούμε μια αναλογία με τη μοριακή διάχυση. Ο Taylor (Taylor 1921) εξήγαγε μέρος αυτής της αναλογίας, ακολουθώντας αναλυτικά ένα νέφος σωματιδίων μέσα στην τυρβώδη ροή και υπολογίζοντας την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Lagrange. Τα αποτελέσματά του δείχνουν ότι για χρόνους μεγαλύτερους του t I, το νέφος των σωματιδίων αυξάνεται αναλογικά με το χρόνο. Ο Rutherford (Rutherford 1994) και ο Fisher και οι συνεργάτες του (Fisher et al. 1979) χρησιμοποίησαν αυτό το αποτέλεσμα για να δικαιολογήσουν μια αναλογία με τη μοριακή διάχυση. Για το μοντέλο της αναλογίας με μοριακή διάχυση, το μέσο χρονικό διάστημα τυρβώδους διάχυσης είναι Δt = t I, και το μέσο μήκος τυρβώδους διάχυσης είναι Δx =u I t I =l I. Επομένως το μοντέλο ισχύει μόνον για χρόνους μεγαλύτερους του t I. Χρησιμοποιώντας μία σχέση ανάλογη του νόμου του Fick για την τυρβώδη διάχυση, προκύπτει ότι όπου C uc i Dt x i 2 ( x) Dt t uili, (3.14). (3.15) Χρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο για τη μέση τυρβώδη διάχυση στην Εξ.(3.13), και παραλείποντας το συμβολισμό της άνω-μπάρας προκύπτει η σχέση C C C C ui Dt Dm. (3.16) t xi xi xi xi xi Όπως θα δούμε στις επόμενες ενότητες, ο συντελεστής D t είναι πολύ μεγαλύτερος του D m, και για το λόγο αυτό, ο τελευταίος όρος συνήθως αγνοείται. Τυρβώδη μεταφορά μάζας με συναγωγή και διάχυση C C C Ισοζύγιο Μάζας ui Dt t xi xi xi
Τυρβώδη Διάχυση 65 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.1 Διάχυση αρώματος σε χώρο. Ως παράδειγμα επίδειξης τυρβώδους διάχυσης, ένας καθηγητής ψέκασε ένα άρωμα στο μπροστινό μέρος της αίθουσας διδασκαλίας. Η αίθουσα είχε διαστάσεις 10 10 5 m, και υπήρχαν μέσα 50 άτομα. Πόση ώρα θα κάνει να διαχυθεί το άρωμα στην αίθουσα με τυρβώδη διάχυση; Για να απαντήσουμε αυτήν την ερώτηση, θα πρέπει να εκτιμήσουμε τις ταχύτητες του αέρα στην αίθουσα. Υποθέτοντας ότι η αίθουσα συμπεριφέρεται ως ένας μεμονωμένος χώρος τότε το μόνο αίτιο κίνησης του αέρα είναι η ύπαρξη φυσικής συναγωγής λόγω της θερμότητας που εκπέμπουν οι θαμώνες τις αίθουσας. Κάθε άτομο μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει μια πηγή θέρμανσης 60 W. Η κατακόρυφη ταχύτητα άνωσης, w*, δίνεται από διαστατική ανάλυση ως 1/3 w* ( BL ), όπου Β είναι η ροή άνωσης ανά μονάδα επιφανείας [L 2 /T 3 ], και L είναι η κατακόρυφη διάσταση της αίθουσας (5 m). Η άνωση του αέρα αυξάνεται με την θερμοκρασία λόγω διαστολής. Η καθαρή ροή άνωσης ανά μονάδα επιφανείας δίνεται από τη σχέση H B g. C Στην ανωτέρω σχέση, β είναι ο συντελεστής θερμικής διαστολής (0.00024 Κ -1 για αέρα), g η επιτάχυνση της βαρύτητας (9.81 m/s 2 ), Η συμβολίζει τη ροή θερμότητας ανά μονάδα επιφανείας (= (50 άτομα 60 W/άτομο)/100 m 2 ), ρ την πυκνότητα (1.25 kg/m 3 για αέρα), και C v την ειδική θερμοχωρητικότητα σε σταθερό όγκο (1,004 J kg -1 K -1 για αέρα). Συνεπώς B = 5.6 10-5 m 2 /s 3 και η κατακόρυφη ταχύτητα, w = 0.07 m/s. Από την Εξ.(3.15), και θεωρώντας ότι u I w*, τότε D t = w* L = 0.07 5 = 0.35 m 2 /s (το οποίο είναι πολύ υψηλό σε σχέση με συντελεστές μοριακής διάχυσης - στον αέρα D m = 10-5 m 2 /s). Ο χρόνος ανάμιξης, t mix, δίνεται από την επόμενη εξίσωση (βλ. Υποενότητα 2.1.3), ως 2L 2 tmix 4D. t v
66 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες Συνεπώς, για κατακόρυφη ανάμιξη, L = 5 m, και t mix = 1 min. Για οριζόντια ανάμιξη, L = 10 m, και t mix = 5 min. Επομένως θα πάρει μερικά λεπτά (όχι δευτερόλεπτα, ούτε ώρες) ώσπου οι φοιτητές να αρχίσουν να μυρίζουν το άρωμα. 3.1.3. Συντελεστές Τυρβώδους Διάχυσης Πόσο μεγάλοι είναι οι συντελεστές τυρβώδους διάχυσης; Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση πρέπει να καθορίσουμε από ποιές μεταβλητές εξαρτώνται οι συντελεστές, και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε διαστατική ανάλυση. Σχήμα 3.3. Κανάλι υγρού. Για το σκοπό αυτόν, ας θεωρήσουμε ένα κανάλι όπου ρέει υγρό (όπως θα αναφερθεί στο τέλος, οι εξισώσεις και τα αποτελέσματα θα ισχύουν και για αέριο, π.χ. οδικό κανάλι), βάθους d και πλάτους W >>d. Μια σημαντική ιδιότητα της τυρβώδους ροής σε τρεις διαστάσεις, είναι ότι οι μεγαλύτερες δίνες συνήθως περιορίζονται από τις μικρότερες χωρικές διαστάσεις, και στην προκειμένη περίπτωση, από το βάθος του καναλιού. Αυτό σημαίνει ότι οι ιδιότητες σε έναν πολύ πλατύ κανάλι δε θα εξαρτώνται από το ίδιο το πλάτος αλλά κυρίως από το βάθος του καναλιού. Επίσης, η τυρβώδη ροή θεωρείται ότι δημιουργείται σε ζώνες/ περιοχές υψηλών διατμητικών τάσεων, οι οποίες σε ένα κανάλι βρίσκονται κοντά στον πυθμένα. Μία παράμετρος που εμπεριέχει την ένταση των διατμητικών τάσεων και της τριβής (και επίσης είναι γνωστό ότι είναι ανάλογη πολλών ιδιοτήτων της τύρβης) είναι η διατμητική ταχύτητα ή ταχύτητα τριβής, u*, που ορίζεται ως ο u*, (3.17)
Τυρβώδη Διάχυση 67 όπου, τ ο, συμβολίζει την διατμητική τάση στα κάτω στρώματα και ρ την πυκνότητα του ρευστού (π.χ. αέρα). Για ροή σε ένα ανοικτό κανάλι, η τριβή εξισορροπείται από τη βαρύτητα.. Αν η κλίση του καναλιού είναι S = sinθ, όπου θ είναι η κλίση του καναλιού με την οριζόντιο, τότε θεωρώντας ένα στοιχειώδες μήκος του καναλιού ίσο με dx η εξισορρόπηση της βαρύτητας από την τριβή δίνει g( Wd dx) S ow dx. (3.18) Αντικαθιστώντας την ανωτέρω σχέση στην Εξ.(3.17), προκύπτει η σχέση για τον υπολογισμό της ταχύτητας τριβής ως u* gsd. (3.19) Σημειώνουμε επίσης ότι κατ αναλογία με την Εξ.(3.15), - και την αντίστοιχη διαστατική ανάλυση, θα ισχύει για το συντελεστή τυρβώδους διάχυσης, ότι Dt du* (3.20) Επειδή η κατανομή της ταχύτητας είναι πολύ διαφορετική στην κατακόρυφη z- διεύθυνση σε σχέση με αυτή στην εγκάρσια y-διεύθυνση, ο συντελεστής D t δεν θα είναι ο ίδιος σε όλες τις διευθύνσεις, δηλαδή θα έχουμε ανισοτροπική διάχυση. α) Κατακόρυφη ανάμιξη. Ο κατακόρυφος συντελεστής τυρβώδους διάχυσης μπορεί να υπολογιστεί από την κατανομή της ταχύτητας (Fischer et al. 1979). Για πλήρως διαμορφωμένη τυρβώδη ροή σε ανοικτό κανάλι, μπορεί να δειχθεί ότι η μέση λογαριθμική κατανομή της ταχύτητας δίνεται από τη σχέση u * ut ( z) u 1 ln( z/ d), (3.21) όπου κ συμβολίζει τη σταθερά von Karman. Πειραματικές μετρήσεις για την κατανομή ταχύτητας σε αγωγούς, δείχνουν πολύ καλή συμφωνία με την ανωτέρω εξίσωση όταν κ = 0.4. Αντίστοιχα, πειραματικές μετρήσεις σε ποταμούς και ατμοσφαιρικά οριακά στρώματα έχουν δείξει ότι ο συντελεστής τυρβώδους διάχυσης μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια ±25%, από την εμπειρική σχέση Dtz, 0.067 du* (3.22)
68 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.2 Κατακόρυφη ανάμιξη σε ποταμό. Υγρά απόβλητα μονάδας εισρέουν από τον πυθμένα ποταμού όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.4. Σε ποιά απόσταση κατά μήκος του ποταμού, η εισροή μπορεί να θεωρηθεί πλήρως αναμιγμένη στην κατακόρυφη διεύθυνση; Σχήμα 3.4. Εισροή υγρών αποβλήτων από τον πυθμένα ποταμού. Η υπόθεση της πλήρους ανάμιξης μπορεί να καθορισθεί ως η κατάσταση κατά την οποία οι διακυμάνσεις στη συγκέντρωση σε όλη την κατακόρυφη διατομή είναι μικρότερες από μία οριακή τιμή. Εφόσον το κατακόρυφο πεδίο έχει δύο όρια (πυθμένας και ελεύθερη επιφάνεια), για τον υπολογισμό της συγκέντρωσης, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μία αντίστοιχη λύση, όπως αυτή της Εξ.(2.51). Τα αποτελέσματα μπορούν να συνοψισθούν στον καθορισμό της παραμέτρου α στη σχέση, d όπου d συμβολίζει το βάθος του ποταμού (δείτε Σχήμα 3.4) και σ τη τυπική απόκλιση της κατανομής της συγκέντρωσης. Ο Fischer (Fischer et al. 1979) πρότεινε τη χρήση της τιμής α = 2.5 για την επίτευξη πλήρους κατακόρυφης ανάμιξης μέσα σε κανάλι. Στην κατακόρυφη ανάμιξη, ενδιαφερόμαστε για τον κατακόρυφο συντελεστή τυρβώδους διάχυσης. Έτσι, αν t είναι ο απαιτούμενος χρόνος για κατακόρυφη ανάμιξη, αντικαθιστώντας την τυπική απόκλιση, σ, στην παραπάνω εξίσωση μπορούμε να γράψουμε d D t. 2.5 2 tz, Κατά τη διάρκεια του χρόνου t, τα απόβλητα μετακινούνται επίσης κατά μήκος του ποταμού κατά μία απόσταση L ut, όπου u συμβολίζει τη μέση ταχύτητα ροής.
Τυρβώδη Διάχυση 69 Μια συνήθη προσέγγιση για τη ροή σε ποταμούς (Graf & Altinakar 1998) είναι u* 0.1u. Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση, αλλά και την Εξ.(3.22), στην ανωτέρω σχέση προκύπτει ότι d 2.5 2(0.067 d)(0.1 u)( L/ u). Επιλύοντας την ανωτέρω σχέση ως προς το μήκος L προκύπτει ότι L = 12 h. Επομένως μία εισροή στον πυθμένα ενός ποταμού, μπορεί προσεγγιστικά να θεωρηθεί πλήρως αναμιγμένη στην κατακόρυφη διεύθυνση, σε μια απόσταση ίση με 12 φορές το βάθος του ποταμού. β) Κάθετη στη ροή ανάμιξη Γενικά δεν είναι εύκολο να προσδιοριστεί η κατανομή της κάθετης στη ροή συνιστώσας της ταχύτητας. Γι αυτόν το λόγο οι συντελεστές τυρβώδης διάχυσης υπολογίζονται εμπειρικά από πειραματικές μετρήσεις. Για μια πληθώρα πειραματικών και εργαστηριακών μετρήσεων που αναφέρονται στη βιβλιογραφία (Fischer et al. 1979), o μέσος κάθετος στη ροή συντελεστής τυρβώδους διάχυσης, σε ένα ομοιόμορφο ίσιο κανάλι, μπορεί να υπολογισθεί από την εμπειρική σχέση Dty, 0.15 du*. (3.23) Οι πειραματικές παρατηρήσεις δείχνουν ότι το πλάτος του καναλιού επηρεάζει σε κάποιο βαθμό την κάθετη στη ροή ανάμιξη. Παρόλα αυτά δεν είναι ξεκάθαρο πως μπορεί αυτή η επίδραση να ληφθεί υπόψη στις εξισώσεις (Fischer et al. 1979). Η κάθετη στη ροή ανάμιξη αποκλίνει από την Εξ.(3.23) κυρίως λόγω μεγάλων πλευρικών κινήσεων, οι οποίες ουσιαστικά δεν είναι καν μέρος της τυρβώδους κίνησης. Με βάση τις πειραματικές μετρήσεις, η Εξ.(3.23) μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει τις μετρήσεις με μια ακρίβεια που δεν είναι καλύτερη του ±50%. Σε φυσικά ποτάμια, η διατομή είναι πολύ σπάνια ομοιόμορφη και οι ροϊκές γραμμές τείνουν να ακολουθούν δαιδαλώδη πορεία, με αποτέλεσμα την ενίσχυση της κάθετης στη ροή ανάμιξης. Ειδικά στις περιπτώσεις αυτές προτείνεται (Fischer et al. 1979) αντί της Εξ.(3.23), η χρήση της σχέσης
70 Μεταφορά Μάζας σε Περιβαλλοντικές Διεργασίες D, 0.6 du*. (3.24) ty Ανάλογα των ανωμαλιών και ανομορφιών της ροής του ποταμιού, ο συντελεστής στην Εξ.(3.24), μπορεί να πάρει τιμές μεταξύ 0.4 και 0.8. γ) Κατά μήκος στη ροή ανάμιξη Εφόσον προϋποθέτουμε ότι τα σύνορα/ όρια δεν προκαλούν σημαντικές επιδράσεις στην κάθετη ή στην κατά μήκος στη ροή ανάμιξη, τότε ο συντελεστής για την κάθετη στη ροή διάχυση θα πρέπει να είναι ίσος με το συντελεστή της διάχυση κατά μήκος της ροής, δηλαδή. (3.25) Dtx, Dty,