ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Καθ. Η. Ν. Γλύτσης, Tηλ.: 210-7722479 - e-mail: egltsis@central.ntua.gr - www: http://users.ntua.gr/egltsis/ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Β (2017-2018) ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Νο. 1 Ασκήσεις για εξάσκηση: No. 1,2,3,4,5 Άσκησεις για παράδοση: No. 6, 7 Ημερομηνία Παράδοσης: 31 Οκτωβρίου 2017 Άσκηση 1: Δίδονται δύο γραμμικές κατανομές ηλεκτρικού φορτίου μήκους L 1 (a b) και L 2 (-b -a) με ομοιόμορφη γραμμική πυκνότητα φορτίου ίση με λ όπως φαίνεται στο σχήμα. Η επιτρεπτότητα παντού στο χώρο είναι ε 0. b L 1 a -a -b L 2 (α) Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναμικό και η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου για τα σημεία του άξονα των όταν οι δύο πυκνότητες φορτίου είναι ομόσημες (π.χ. θετικές). (β) Να βρεθεί το ηλεκτρικό δυναμικό και η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου για τα σημεία του άξονα των όταν οι δύο πυκνότητες φορτίου είναι ετερόσημες [+λ για το L 1 (a b) και λ για το L 2 ( - b -a)]. Άσκηση 2: Να βρεθεί το δυναμικό, και η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στα σημεία του άξονα, καθώς και η ροπή του ηλεκτρικού δίπολου από την φορτισμένη σφαίρα ακτίνας a του σχήματος. Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνεια της σφαίρας με θετική πυκνότητα φορτίου σ στο άνω ημισφαίριο και αρνητική πυκνότητα φορτίου -σ στο κάτω.
σ + + + + + + + - - - - - - - - σ Άσκηση 3: Επιφανειακή κατανομή ηλεκτρικού φορτίου βρίσκεται πάνω σε μια διάταξη ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας a (ομοιόμορφης επιφανειακής πυκνότητας σ 1 ) και κυκλικού δακτυλίου εσωτερικής ακτίνας b και εξωτερικής c (ομοιόμορφης επιφανειακής πυκνότητας σ 2 ). Το σύστημα του δίσκου και του δακτυλίου είναι αμελητέου πάχους και βρίσκε-ται πάνω στο επίπεδο (σχήματα (α) και (β)). Η επιτρεπτότητα είναι παντού ε 0. (α) Να εκφρασθεί το δυναμικό στο τυχαίο σημείο ( 0, 0, 0 ) του χώρου (με σημείο αναφοράς το άπειρο) υπό μορφή ολοκληρώματος. Να ορισθούν όσο καλύτερα γίνεται οι όροι του ολοκληρώματος. (β) Να υπολογισθεί το δυναμικό για το τυχαίο σημείο (0,0, 0 ) του άξονος. (γ) Να βρεθεί ο λόγος μεταξύ των ολικών φορτίων του δίσκου και του δακτυλίου ώστε το δυναμικό στο κέντρο του συστήματος συντεταγμένων να είναι μηδενικό. (δ) Εάν ο δίσκος μετακινηθεί κατά μήκος του άξονος των κατά απόσταση s και οι πυκνότητες φορτίου σ 1 και σ 2 είναι τέτοιες ώστε τα ολικά φορτία του δίσκου και του δακτυλίου να είναι ίσα και αντίθετα να προσδιορισθεί (δείχνοντας σαφώς όλα τα επιμέρους βήματα) η διπολική ροπή του συστήματος των δύο αυτών ηλεκτρικών κατανομών (σχήμα (γ)). σ 1 σ 2 σ 1 a b s (α) σ 2 (β) c (γ)
Άσκηση 4: Ένα ηλεκτρικό δίπολο με διπολική ροπή p τοποθετείται σε απόσταση h πάνω από γειωμένο απέραντο αγώγιμο επίπεδο όπως φαίνεται στο κάτωθι σχήμα. Το ηλεκτρικό δίπολο σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα των. Η επιτρεπτότητα του χώρου είναι ε 0. Όλες οι αποστάσεις θεωρούνται μεγάλες σε σύγκριση με το μέγεθος του δίπολου. (α) Να βρεθεί το ηλεκτροστατικό δυναμικό στο τυχαίο σημείο ( 0, 0 ) του επιπέδου όπου 0 >0. Να προσδιορίσετε το δυναμικό σαν συνάρτηση των συντεταγμένων του τυχαίου σημείου, των συντεταγμένων του δίπολου, του μέτρου της διπολικής ροπής, και της γωνίας θ. (β) Να βρεθεί η επαγόμενη επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ πάνω στο γειωμένο επίπεδο. (γ) Να βρεθεί η στρεπτική ροπή που ασκείται πάνω στο ηλεκτρικό δίπολο από το γειωμένο επίπεδο. p h Φ = 0 σ = Άσκηση 5: Γραμμική κατανομή ηλεκτρικού φορτίου λ() και μήκους 2L βρίσκεται σε ύψος h (στο επίπεδο ) πάνω από γειωμένο επίπεδο που συμπίπτει με το επίπεδο όπως φαίνεται στο κάτωθι σχήμα. Ο χώρος έχει παντού επιτρεπτότητα ε 0. (α) Να βρεθεί το ηλεκτροστατικό δυναμικό στο τυχαίο σημείο (,, ) του χώρου αν λ() = λ 0 (σταθερό). (β) Να βρεθεί το ηλεκτρικό πεδίο στο τυχαίο σημείο του άξονα (εξαιρουμένου του = h όπου απειρίζεται λόγω του γραμμικού φορτίου. Και πάλι να υποθέσετε ότι λ() = λ 0 (σταθερό). (γ) Τώρα υποθέσετε ότι η γραμμική κατανομή φορτίου λ() βρίσκεται πάνω σε νηματοειδή αγωγό όπου είναι μόνο γνωστό ότι το συνολικό φορτίο του είναι Q. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο των ροπών περιγράψετε όσο πιο λεπτομερώς μπορείτε πως μπορεί να βρεθεί η κατανομή φορτίου λ() και μετά πως μπορεί να βρεθεί το δυναμικό στο τυχαίο σημείο (,, ) του χώρου. Τι μορφή περιμένετε να έχει η λ();
Άσκηση 6: (Aυτή η άσκηση είναι προς παράδοση) [50%] Δίδεται κλειστό αγώγιμο γειωμένο τμήμα σφαιρικού κελύφους. Το τμήμα αποτελεί το 1/4 σφαιρικού κελύφους ακτίνας a. Οι πλευρές του τμήματος που είναι παράλληλες στα επίπεδα και "κλείνουν" το σφαιρικό αυτό αγώγιμο τμήμα. Η διατομή του φαίνεται στο σχήμα. Στο εσωτερικό του κελύφους βρίσκεται σημειακό ηλεκτρικό φορτίο q. Το φορτίο βρίσκεται στο επίπεδο = 0 και έχει συντεταγμένες (σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το κέντρο Ο του σφαιρικού κελύφους) (r 0,θ 0 = π/2,φ 0 ) με r 0 < a και 0 < φ 0 < π/2. Η επιτρεπτότητα είναι παντού ε 0. (α) [10%] Να βρεθεί το ηλεκτροστατικό δυναμικό παντού στο χώρο στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. (β) [5%] Να βρεθεί το ηλεκτρικό πεδίο στο τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του κλειστού αγώγιμου κελύφους στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. (γ) [5%] Να βρεθεί η επαγόμενη επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στο σφαιρικό κομμάτι του κλειστού κελύφους. Να γίνει η γραφική παράσταση της επαγόμενης επιφανειακής πυκνότητας φορτίου σαν συνάρτηση της γωνίας φ για θ = π/2. Θεωρήστε a = 1cm (όλες οι αποστάσεις σε cm) και V 0 = q/(4πε 0 ) = 1 (σε V cm). Εξετάσετε 3 περιπτώσεις (r 0,θ 0 = π/2,φ 0 ) = (0.5a, π/2, 45deg), (0.25, π/2, 30deg), και (0.75a, π/2, 60deg). (δ) [15%] Να βρεθεί η ηλεκτροστατική ενέργεια του συστήματος. Να γίνει η γραφική παράσταση της ηλεκτροστατικής ενέργειας του συστήματος σαν συνάρτηση της θέσης του σημειακού φορτίου, δηλαδή των παραμέτρων r 0, και φ 0, με θ 0 = π/2. Να βρεθεί για ποια θέση του σημειακού φορτίου η ηλεκτροστατική ενέργεια μεγιστοποιείται. (ε) [15%] Να γίνει (με την βοήθεια της MatLab ή ισοδυνάμου υπολογιστικού πακέτου) γραφική απεικόνιση του ηλεκτροστατικού δυναμικού. Να χρησιμοποιήσετε την συνάρτηση IMAGESC (ή ισοδύναμη) για την χρωματική απεικόνιση του ηλεκτροστατικού δυναμικού στο επίπεδο. Επίσης να βρεθούν οι ισοδυναμικές επιφάνειες (γραμμές) στο επίπεδο με την βοήθεια της συνάρτησης CONTOUR. Να κανονικοποιήσετε το δυναμικό θεωρώντας ότι V 0 = q/(4πε 0 ) = 1 (σε V cm). Οι ισoδυναμικές γραμμές να βρεθούν για κανονικοποιημένα δυναμικά 0.001, 0.005, 0.01, 0.025, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.5, 2, 3, και 5. Θεωρήστε a = 1cm (όλες οι αποστάσεις σε cm). Εξετάσετε 3 περιπτώσεις (r 0,θ 0 = π/2,φ 0 ) = (0.5a, π/2, 45deg), (0.25, π/2, 30deg), και (0.75a, π/2, 60deg).
Άσκηση 7: (Aυτή η άσκηση είναι προς παράδοση) [50%] Κυκλικός δακτύλιος ακτίνας a φέρει ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο γραμμικής πυκνότητας λ. (α) [10%] Να βρεθεί το δυναμικό στο τυχαίο σημείο του χώρου. Για την επίλυση θα χρειαστείτε να χρησιμοποιήσετε κατάλληλα το ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους Κ(k) (όπως δίδεται κατωτέρω). (β) [20%] Τώρα θα πρέπει να γίνει εφαρμογή του (α) με αριθμητικές τιμές. Υποθέσετε ότι a = 1m και ότι λ/2ε 0 =V 0 =1.0Volt. Να βρεθούν οι ισοδυναμικές επιφάνειες για Φ = 0.10V 0, 0.20V 0, 0.30V 0, 0.40V 0, 0.50V 0, 0.60V 0, 0.70V 0, 0.80V 0, 0.90V 0, 1.0V 0, 1.1V 0, και 1.2V 0. Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε κάποιο λογισμικό. Μια επιλογή είναι η MatLab με τις ρουτίνες EZPLOT και EZCONTOUR (πληροφορίες σχετικά με αυτές τις ρουτίνες μπορούν να βρεθούν στο διαδίκτυο). Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ισοδυναμικών επιφανειών στο επίπεδο r T, καθόσον οι τρισδιάστατες ισοδυναμικές επιφάνειες λόγω της κυλινδρικής συμμετρίας παράγονται από απλή περιστροφή των δισδιάστατων επιφανειών γύρω από τον άξονα. (γ) [10%] Να βρεθεί το ηλεκτρικό πεδίο στο τυχαίο σημείο του χώρου. Για την επίλυση θα χρειαστείτε να χρησιμοποιήσετε κατάλληλα τα ελλειπτικά ολοκληρώματα πρώτου και δευτέρου είδους Κ(k), Ε(k) (όπως δίδoνται κατωτέρω). (δ) [10%] Να γίνει μια γραφική απεικόνιση του ηλεκτρικού πεδίου στο επίπεδο για =0. Θεωρείστε τις αριθμητικές τιμές που δίδονται στο ερώτημα (β). Εάν κάνετε χρήση του λογισμικού MatLab προτείνω την χρήση της συνάρτησης QUIVER. Επειδή το ηλεκτρικό πεδίο απειρίζεται πάνω στον δακτύλιο (όπως και το δυναμικό) κανονικοποιείστε το ηλεκτρικό πεδίο ώστε όλα τα διανύσματα να έχουν το ίδιο μήκος και να αναπαριστάται μόνο η διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου.