Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών

Λύση Εξίσωσης Laplace: Χωρισμός Μεταβλητών

Δομή Διάλεξης Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών σε καρτεσιανές συν/νες (οριακές συνθήκες σε επίπεδο). Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών σε σφαιρικές συν/νες (οριακές συνθήκες σε σφαιρικές επιφάνειες). Σύνοψη

Επίπεδες αγώγιμες πλάκες Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Εξίσωση Laplace (συμμετρία μετατόπισης στην z διεύθυνση): Οριακές συνθήκες:

Χωρισμός μεταβλητών Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Δοκιμαστική λύση:

Γενική Λύση Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Γενική λύση (χωρίς οριακές συνθήκες)

Οριακές Συνθήκες Ι Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Οριακές συνθήκες: Γενική λύση (χωρίς οριακές συνθήκες)

Οριακές Συνθήκες ΙΙ Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Οριακές συνθήκες: Γενική λύση (με οριακές συνθήκες i, iv) H γενική λύση είναι γραμμικός συνδυασμός λύσεων για κάθε n: Απόδειξη:

Οριακές Συνθήκες ΙΙΙ Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Οριακές συνθήκες:

Οριακές Συνθήκες ΙΙΙ Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Υπολογισμός σταθερών C n : Να το αποδείξετε Oρθογωνιότητα ημιτόνων:

Οριακές Συνθήκες ΙΙΙ Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): V 0 (y)=v 0 n άρτιο n περιττό

Τελική Λύση (V 0 (y)=v 0 =σταθ) Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): V 0 (y)=v 0 n άρτιο Μονοτονική λύση (χωρίς ακρότατα) n περιττό n=1

Τελική Λύση (V 0 (y)=v 0 =σταθ) Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): V 0 (y)=v 0 Άθροισμα n όρων n=1 n=100 n=1

Ορθογώνιος άπειρος αγώγιμος σωλήνας Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Εξίσωση Laplace (συμμετρία μετατόπισης στην z διεύθυνση): Οριακές συνθήκες:

Γενική Λύση Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Γενική λύση:

Γενική Λύση Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Λύση: Οριακή συνθήκη V 0 :

Προσδιορισμός συντελεστών Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Λύση: Οριακή συνθήκη V 0 : n άρτιο n περιττό

Τελική λύση με οριακές συνθήκες Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Λύση: n άρτιο n περιττό Τελική λύση που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες

Ορθογώνιος ημι-άπειρος αγώγιμος σωλήνας Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Εξίσωση Laplace (3διάστατο πρόβλημα): Οριακές συνθήκες:

Χωρισμός Μεταβλητών Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Δοκιμαστική λύση:

Χωρισμός Μεταβλητών Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Δοκιμαστική λύση: Άρα η λύση γράφεται: Η γενική λύση είναι γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω:

Οριακές Συνθήκες Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Η γενική λύση είναι γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω: Η τελευταία οριακή συνθήκη είναι: Χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα ημιτόνων:

Οριακές Συνθήκες Γεωμετρία προβλήματος (οριακές συνθήκες): Η γενική λύση είναι γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω: Ειδική περίπτωση: V 0 (y,z)=v 0 =σταθ n ή m άρτιο n και m περιττό Τελική λύση:

Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 3.12, 3.13, 3.15

Σφαιρικές Συντεταγμένες Εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συν/νες: Για προβλήματα με αζιμουθιακή συμμετρία (ανεξαρτησία από το φ): Δοκιμαστική λύση:

Χωρισμός Μεταβλητών Για το ακτινικό μέρος έχουμε: Για το γωνιακό μέρος έχουμε: Μία λύση είναι τα πολυώνυνμα Legendre: (η δεύτερη λύση απειρίζεται για θ=0, π):

Πολυώνυμα Legendre Γενική Λύση Σχέση Rodrigues: Γενική λύση εξίσωσης Laplace:

Δυναμικό στο εσωτερικό σφαιρικού φλοιού Έστω σφαιρικός φλοιός σε δυναμικό V 0 (θ). Η γενική λύση στο εσωτερικό είναι: Οι άλλοι όροι απειρίζονται για r=0. Οριακή συνθήκη: Για εύρεση σταθερών A l χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα πολυωνύμων Legendre:

Προσδιορισμός σταθερών A l Πολλαπλασιάζουμε την σχέση οριακών συνθηκών με P l (cosθ) και ολοκληρώνουμε: Γενικά δύσκολο ολοκλήρωμα Εναλλακτικά αναπτύσσουμε απευθείας την V 0 (θ) σε πολυώνυμα Legendre. πχ

Προσδιορισμός σταθερών A l Πολλαπλασιάζουμε την σχέση οριακών συνθηκών με P l (cosθ) και ολοκληρώνουμε: Εναλλακτικά αναπτύσσουμε απευθείας την V 0 (θ) σε πολυώνυμα Legendre. πχ

Δυναμικό στο εξωτερικό σφαιρικού φλοιού Έστω σφαιρικός φλοιός σε δυναμικό V 0 (θ). Η γενική λύση στο εξωτερικό είναι: Οι άλλοι όροι απειρίζονται για r=. Οριακή συνθήκη: Για εύρεση σταθερών A l χρησιμοποιούμε ορθογωνιότητα πολυωνύμων Legendre:

Προσδιορισμός σταθερών Β l Πολλαπλασιάζουμε την σχέση οριακών συνθηκών με P l (cosθ) και ολοκληρώνουμε: Γενικά δύσκολο ολοκλήρωμα Εναλλακτικά αναπτύσσουμε απευθείας την V 0 (θ) σε πολυώνυμα Legendre.

Γειωμένη Αγώγιμη Σφαίρα σε Ομογενές Ηλεκτρικό Πεδίο Οριακή συνθήκη στο άπειρο: Απαιτούμε V=0 για z=0. Άρα C=0. Οριακές συνθήκες:

Αγώγιμη Σφαίρα σε Ομογενές Ηλεκτρικό Πεδίο Οριακές συνθήκες: Οι υπόλοιπες σταθερές μηδενίζονται Τελική λύση:

Επαγόμενα φορτία Οριακές συνθήκες: Τελική λύση: Ηλεκτρικό δυναμικό επαγόμενου φορτίου: Επιφανειακή πυκνότητα επαγόμενου φορτίου:

Σφαιρικός φλοιός με φορτία Εύρεση δυναμικού από οριακή συνθήκη με φορτία (όχι δυναμικά): σ(r,θ)=σ 0 (θ). Μέθοδος 1: Αρχή υπέρθεσης υπολογισμός ολοκληρώματος Μέθοδος 2: Χρήση γενικής λύσης εξίσωσης Laplace r<r: r>r: To δυναμικό είναι παντού συνεχής συνάρτηση. Άρα και στο R.

Σφαιρικός φλοιός με φορτία Εύρεση δυναμικού από οριακή συνθήκη με φορτία (όχι δυναμικά): σ(r,θ)=σ 0 (θ). To δυναμικό είναι παντού συνεχής συνάρτηση. Άρα και στο R. Χρήση ορθογωνιότητας ή πληρότητας To ηλεκτρικό πεδίο έχει ασυνέχεια σε φορτισμένη επιφάνεια.

Σφαιρικός φλοιός με φορτία Εύρεση δυναμικού από οριακή συνθήκη με φορτία (όχι δυναμικά): σ(r,θ)=σ 0 (θ). Ειδική περίπτωση: Διπολικός φλοιός

Σφαιρικός φλοιός με φορτία Ειδική περίπτωση: Διπολικός φλοιός

Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 3.17, 3.18, 3.20, 3.22, 3.23, 3.25

Σύνοψη Η μέθοδος των χωριζόμενων μεταβλητών για την λύση της εξίσωσης Laplace μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε προβλήματα όπου οι συνοριακές συνθήκες δίνονται σε σφαιρικές, επίπεδες ή κυλινδρικές επιφάνειες χωρίς απαραίτητα να υπάρχει η αντίστοιχη συμμετρία. Σε προβλήματα όπου οι συνοριακές συνθήκες δίνονται σε επίπεδες επιφάνειες χρησιμοποιούμε χωρισμό μεταβλητών σε καρτεσιανές συν/νες και η γενική λύση της εξίσωσης Laplace περιλαμβάνει άθροισμα γινομένων εκθετικών και αρμονικών συναρτήσεων (συνήθως ημίτονα). Επι αυτής της γενικής λύσης εφαρμόζουμε τις οριακές συνθήκες για τον προσδιορισμό των σταθερών συντελεστών και τη εύρεση του δυναμικού. Σε προβλήματα όπου οι συνοριακές συνθήκες δίνονται σε σφαιρικές επιφάνειες χρησιμοποιούμε χωρισμό μεταβλητών σε σφαιρικές συν/νες και η γενική λύση της εξίσωσης Laplace περιλαμβάνει άθροισμα γινομένων πολυωνύμων Legendre επί δυνάμεις του r. Επι αυτής της γενικής λύσης εφαρμόζουμε τις οριακές συνθήκες για τον προσδιορισμό των σταθερών συντελεστών και την εύρεση του δυναμικού.