Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις: Μαθηματικά Στ Δημοτικού Επιμέλεια έκδοσης: Χαρά Σταυροπούλου Επιμέλεια - Διόρθωση: Γιάννης Τσατσαρός Εικονογράφηση εξωφύλλου: Σπύρος Γούσης Εικόνες εσωτερικού: Κατερίνα Βερούτσου Δημιουργική Επιμέλεια: Αρχέτυπο Γραφικές Τέχνες 2008, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης Ζαχαρόπουλος ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ, Καποδιστρίου 9, 144 52, Μεταμόρφωση Αττικής, τηλ.: 2816134, fax: 2 2817127 BIBΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: Μασσαλίας 14, 680 Αθήνα, τηλ.: 2 3615334 http://www.picturebooks.gr E-mail: info@picturebooks.gr ΙSBN 978-960-412-858-7 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Περιεχόμενα 1η Θεματική ενότητα Αριθμοί και πράξεις 1. Φυσικοί αριθμοί... 9 2. Δεκαδικοί αριθμοί... 12 3. Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα... 15 4. Σύγκριση φυσικών ή δεκαδικών αριθμών... 18 5. Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών... 21 6. Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών... 24 7. Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών... 28 8. Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις... 31 9. Λύνω σύνθετα προβλήματα των 4 πράξεων... 34. Η χρήση του υπολογιστή τσέπης... 37 11. Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών... 40 12. Διαιρέτες ενός αριθμού Μ.Κ.Δ. αριθμών... 43 13. Κριτήρια διαιρετότητας... 46 14. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί... 48 15. Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών... 51 16. Πολλαπλάσια ενός αριθμού Ε.Κ.Π.... 54 17. Δυνάμεις... 57 18. Δυνάμεις του... 60 19. Κλάσματα ομώνυμα και ετερώνυμα... 63 20. Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο διαίρεσης... 66 21. Ισοδύναμα κλάσματα... 69 22. Σύγκριση Διάταξη κλασμάτων... 72 23. Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων... 76 24. Προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων... 79 Ανακεφαλαίωση... 82 2η Θεματική ενότητα Εξισώσεις 25. Η έννοια της μεταβλητής... 83 26. Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος... 85 27. Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος... 87 28. Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου... 90 29. Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι διαιρετέος ή διαιρέτης... 93 Ανακεφαλαίωση... 95 5

Περιεχόμενα Περιεχόμενα 3η Θεματική ενότητα Λόγοι Αναλογίες 6η Θεματική ενότητα Γεωμετρία 30. Λόγος δύο μεγεθών... 96 31. Από τους λόγους στις αναλογίες... 99 32. Αναλογίες... 1 33. Σταθερά και μεταβλητά ποσά... 3 34. Ανάλογα ποσά... 5 35. Λύνω προβλήματα με ανάλογα ποσά... 7 36. Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά... 1 37. Λύνω προβλήματα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά... 113 38. Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά... 115 39. Η απλή μέθοδος των τριών στα αντίστροφα ποσά... 119 40. Εκτιμώ το ποσοστό... 122 41. Βρίσκω το ποσοστό... 125 42. Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω την τελική τιμή... 128 43. Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω την αρχική τιμή... 131 44. Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό... 134 Ανακεφαλαίωση... 137 56. Γεωμετρικά σχήματα Πολύγωνα... 169 57. Γωνίες... 172 58. Σχεδιάζω γωνίες... 174 59. Μεγεθύνω Μικραίνω σχήματα... 177 60. Αξονική συμμετρία... 179 61. Μετρώ επιφάνειες... 183 62. Βρίσκω το εμβαδό παραλληλογράμμου... 185 63. Βρίσκω το εμβαδό τριγώνου... 188 64. Βρίσκω το εμβαδό τραπεζίου... 191 65. Βρίσκω το εμβαδό κυκλικού δίσκου... 194 66. Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: έδρες και αναπτύγματα... 197 67. Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: ακμές και κορυφές... 200 68. Κύλινδρος... 203 69. Όγκος Χωρητικότητα... 206 70. Όγκος κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου... 208 71. Όγκος κυλίνδρου... 211 Ανακεφαλαίωση... 213 4η Θεματική ενότητα Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων 45. Απεικονίζω δεδομένα με ραβδόγραμμα ή εικονόγραμμα... 138 46. Ταξινομώ δεδομένα Εξάγω συμπεράσματα... 140 47. Άλλοι τύποι γραφημάτων... 144 48. Βρίσκω το μέσο όρο... 146 5η Θεματική ενότητα Μετρήσεις Μοτίβα 49. Μετρώ το μήκος... 148 50. Μετρώ και λογαριάζω βάρη... 151 51. Μετρώ το χρόνο... 154 52. Μετρώ την αξία με χρήματα... 157 53. Γεωμετρικά μοτίβα... 160 54. Αριθμητικά μοτίβα... 162 55. Σύνθετα μοτίβα... 165 Ανακεφαλαίωση... 168 Απαντήσεις στα Κριτήρια αξιολόγησης του βιβλίου του δασκάλου 1ο Κριτήριο αξιολόγησης: Eνότητα 1: Αριθμοί και πράξεις... 214 2ο Κριτήριο αξιολόγησης: Eνότητα 2: Εξισώσεις... 216 3ο Κριτήριο αξιολόγησης: Eνότητα 3: Λόγοι Αναλογίες... 218 4ο Κριτήριο αξιολόγησης: Eνότητες 4-5: Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων Μετρήσεις Μοτίβα... 220 5ο Κριτήριο αξιολόγησης: Eνότητα 6: Γεωμετρία... 222 6 7

1η Ενότητα: Αριθμοί και πράξεις Κεφάλαιο 1ο Φυσικοί αριθμοί Δραστηριότητα 1η Ταξινομήστε τους αριθμούς του πίνακα σε ομάδες, ανάλογα με το πλήθος των ψηφίων τους. (2 ψηφία): 30, 32, 58, 41 (3 ψηφία): 679, 556, 273, 664, 199, 448, 397 (4 ψηφία): 3.053, 8.857, 8.074, 1.766, 3.654, 4.384, 4.816 (5 ψηφία): 22.798, 16.470, 16.373, 83.989 Σε ποιον από τους αριθμούς το ψηφίο 2 έχει τη μεγαλύτερη αξία; Στον αριθμό 22.798. Πόσα παιδιά μικρότερα από 15 ετών εργάζονταν στην Ελλάδα το 1996; 4.816 παιδιά. Πόσοι έφηβοι 15-18 ετών εργάζονταν σε βιομηχανίες; 16.470 έφηβοι. Σε ποιον κλάδο εργάζονταν οι περισσότεροι ανήλικοι; Οι περισσότεροι ανήλικοι εργάζονταν στη γεωργία και την κτηνοτροφία: 3.053 + 22.798 = 25.851 ανήλικοι. Συζητήστε στην τάξη για τη σημασία των αριθμών στην εξαγωγή συμπερασμάτων. Με τους αριθμούς μπορούμε να βγάζουμε εύκολα και ασφαλή συμπεράσματα. Δραστηριότητα 2η Α: 1896 Β: 1912 Γ: 1914 (αρχή) Γ: 1918 (τέλος) 1890 1900 Δ: 1911 Εφαρμογή 1η Να γραφεί με ψηφία ο αριθμός επτά εκατομμύρια δεκαπέντε χιλιάδες εννιακόσια δύο. 7.015.902 Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση α) Σ, β) Λ (Το ψηφίο 3 εμφανίζεται 13 φορές: 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39), γ) Λ (Οι μονοψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι μαζί με το μηδέν). 9

1η Θεματική Ενότητα Αριθμοί και πράξεις Τετράδιο Εργασιών Άσκηση 1: Να γράψεις με ψηφία τους παρακάτω αριθμούς: α) διακόσια πέντε: 205 δ) πεντακόσια τριάντα δύο: 532 β) τρεις χιλιάδες δύο: 3.002 ε) τριακόσια εννιά: 309 γ) χίλια πενήντα: 1.050 στ) χίλια εκατόν ένα: 1.1 Άσκηση 2: Να σχηματίσεις όσο περισσότερους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς μπορείς με τα ψηφία 2, 7 και 9. Σε κάθε αριθμό να χρησιμοποιήσεις κάθε ψηφίο μία φορά. Οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί που σχηματίζονται είναι: 279, 297, 729, 792, 927, 972. Πόσοι αριθμοί σχηματίστηκαν; Σχηματίστηκαν έξι αριθμοί. Πρόβλημα 2ο Πόσα χρόνια έζησε καθένας από τους παρακάτω διάσημους επιστήμονες; Rene Descartes (Καρτέσιος) 1596-1650 (1650 1596) 54 έτη Sir Isaac Newton (Νεύτωνας) 1643-1727 (1727 1643) 84 έτη Etienne Pascal (Πασκάλ) 1588-1651 (1651 1588) 63 έτη Nicolaus Copernicus (Κοπέρνικος) 1473-1543 (1543 1473) 70 έτη Pierre-Simon Laplace (Λαπλάς) 1749-1827 (1827 1749) 78 έτη Διόφαντος της Αλεξανδρείας 200-284 (284 200) 84 έτη Ποιοι από αυτούς δεν είχαν τη δυνατότητα να γνωριστούν προσωπικά; Ο Διόφαντος (200-284), ο Κοπέρνικος (1473-1543) και ο Λαπλάς (1749-1827). Άσκηση 3: Στον υπολογιστή τσέπης οι αριθμοί εμφανίζονται χωρίς διαχωριστικό στις χιλιάδες και στα εκατομμύρια. Να χωρίσεις τους παρακάτω αριθμούς με τελείες. 1.428.571 218.506 32.157 Δραστηριότητα με προεκτάσεις: «Ιστορικές επέτειοι» Υπολογίστε πόσα χρόνια έχουν περάσει από: α) την Επανάσταση του 1821, β) το ιστορικό ΟΧΙ του 1940, γ) την εξέγερση των φοιτητών στο Πολυτεχνείο το 1973. Άσκηση 4: «Σταυράριθμο» Πρόβλημα 1ο Α Β Γ Δ Ε 1 2 3 4 5 2 1 5 3 2 3 0 6 0 7 7 7 7 1 2 8 4 9 9 8 4 Αφαιρούμε καθεμιά από τις παραπάνω χρονολογίες από το έτος που έχουμε σήμερα, για παράδειγμα από το έτος 2008, και βρίσκουμε ότι: α) από την Επανάσταση του 1821 έχουν περάσει (2008 1821) 187 έτη. β) από το ιστορικό ΟΧΙ του 1940 έχουν περάσει (2008 1940) 68 έτη. γ) από την εξέγερση των φοιτητών στο Πολυτεχνείο το 1973 (2008 1973) 35 έτη. Θέματα για διερεύνηση και συζήτηση Σε ποιες ημερομηνίες τιμούνται αυτές οι επέτειοι κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους; α) Η Επανάσταση του 1821 τιμάται στις 25 Μαρτίου. β) Το ιστορικό ΟΧΙ του 1940 τιμάται στις 28 Οκτωβρίου. γ) Η εξέγερση των φοιτητών στο Πολυτεχνείο το 1973 τιμάται στις 17 Νοεμβρίου. α) Βρίσκουμε το διπλάσιο του 88, του αριθμού που μας δείχνει πόσα είναι τα ντολμαδάκια: 2 88 = 176. β) Βρίσκουμε τον αριθμό που μας δείχνει τις ημέρες δύο εβδομάδων: 2 7 = 14. γ) Κάνουμε την αφαίρεση και βρίσκουμε ότι το βιβλίο έχει: 176 14 = 162 σελίδες. 11

1η Θεματική Ενότητα Αριθμοί και πράξεις Τετράδιο Εργασιών Κεφάλαιο 2ο Δραστηριότητα 1η ΥΨΟΣ ΣΕ ΜΕΤΡΑ 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΑΙΔΙΩΝ 1 1 1 1 0 2 2 4 3 3 2 2 0 1 ΥΨΟΣ ΣΕ ΕΚΑΤΟΣΤΑ Τι αριθμούς χρησιμοποίησαν για να καταγράψουν τις μετρήσεις τους; Χρησιμοποίησαν φυσικούς αριθμούς. Επαρκούν οι φυσικοί αριθμοί για να εκφράσουμε μετρήσεις; Όχι, δεν επαρκούν. Μπορείς να συμπληρώσεις την τελευταία σειρά του πίνακα; Ναι. Τι αριθμούς χρησιμοποίησες; Γιατί; Χρησιμοποιήσαμε ακέραιους αριθμούς, γιατί 1 μέτρο = 0 εκατοστά. Δραστηριότητα 2η Δεκαδικοί αριθμοί 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 Άσκηση 1: Να γράψεις με δεκαδικό αριθμό τα παρακάτω: α) τέσσερα εκατοστά: 0,04 β) εξήντα πέντε χιλιοστά: 0,065 γ) τριακόσια εβδομήντα εννιά χιλιοστά: 0,379 δ) σαράντα κόμμα δύο: 40,2 ε) ένα κόμμα ογδόντα ένα: 1,81 Άσκηση 2: Να γράψεις την αξία του ψηφίου 3 στους παρακάτω αριθμούς: 123,041: 3 μονάδες 3000,09: 3 μονάδες χιλιάδων 0,36: 3 δέκατα 18,293: 3 χιλιοστά 169,93: 3 εκατοστά 20,3: 3 δέκατα Άσκηση 3: Να γράψεις τους παρακάτω αριθμούς καταργώντας το μηδέν εκεί που δεν επηρεάζει την αξία του αριθμού: 1,650 μέτρα: 1,65 μέτρα 2800,50 : 2800,5 18,300 : 18,3 06,900 κιλά: 6,9 κιλά 2,080 κιλά: 2,08 κιλά 30,090 χιλιόμετρα: 30,09 χιλιόμετρα Άσκηση 4: Παρατηρώντας την αριθμογραμμή να αντιστοιχίσεις τον κατάλληλο αριθμό στο κατάλληλο γράμμα. Α: 0,8 Β: 2,2 Γ: 4,3 Δ: 6,8 Συμπλήρωσε στο σχήμα τι δηλώνουν οι αριθμοί 0, 6 και 5 στο δεκαδικό μέρος. Πρόβλημα 1ο Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες δέκατα εκατοστά χιλιοστά 8 4, 0 6 5 α) Οι 5 χάρακες έχουν μήκος: 5 30 = 150 εκατοστά. β) Το ύψος του Άλκη είναι: 150 + 11 = 161 εκατοστά. Αν το εκφράσουμε με δεκαδικό αριθμό, το ύψος του είναι 1,61 μέτρα. Προσπαθήστε τώρα να εκφράσετε το αποτέλεσμα της ζύγισης με λόγια. Το αποτέλεσμα της ζύγισης είναι: Oγδόντα τέσσερα κιλά και εξήντα πέντε γραμμάρια. Πρόβλημα 2ο α) Ο ταμίας εισέπραξε από την πώληση των ημερολογίων 25 3,2 = 80. β) Το ποσό είναι δυνατό να αποτελείται μόνο από χαρτονομίσματα. Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση α) Λ, β) Σ, γ) Λ (Το 1 δέκατο είναι 0,1. Τα χιλιοστά είναι 0,0.) 12 13

1η Θεματική Ενότητα Αριθμοί και πράξεις Δραστηριότητα με προεκτάσεις: «Μέγεθος και αξία χαρτονομισμάτων» Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο μέγεθος και την αξία των χαρτονομισμάτων; Ναι. Όσο μεγαλύτερη είναι η αξία ενός χαρτονομίσματος τόσο μεγαλύτερο είναι και το σχήμα του. Κεφάλαιο 3ο Δραστηριότητα 1η Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα Θέματα για διερεύνηση και συζήτηση Γνήσια και πλαστά προϊόντα στην οικονομία, τη μουσική, τις καλές τέχνες. Στην οικονομία: Πλαστά νομίσματα, χαρτονομίσματα, πλαστές επιταγές κ.ά. Στη μουσική: «πειρατικά» CD και DVD. Στις καλές τέχνες: πιστά αντίγραφα έργων τέχνης κ.ά. Όλα αυτά έχουν ως σκοπό τους το παράνομο κέρδος και την εξαπάτηση. Υπήρχαν στην αρχαιότητα πλαστά νομίσματα; Γιατί; Αν και στην αρχαιότητα ήταν πιο δύσκολο να κατασκευαστούν πλαστά νομίσματα, το φαινόμενο αυτό δεν έπαυε να υπάρχει. Τέτοια «κίβδηλα» νομίσματα είχαν όπως και σήμερα σκοπό το κέρδος. Τι σημαίνει «προστασία πνευματικών δικαιωμάτων»; Τι δηλώνει το σήμα ; «Προστασία πνευματικών δικαιωμάτων» σημαίνει ότι οι νόμοι και οι αρμόδιες αρχές διασφαλίζουν τα δικαιώματα των δημιουργών προστατεύοντάς τους από την παράνομη αντιγραφή των έργων τους. Το σήμα δηλώνει τη γνησιότητα ενός προϊόντος. Αφού τα αριθμητικά δεδομένα είναι διαφορετικής μορφής, τι πρέπει να κάνουν τα παιδιά για να υπολογίσουν πόσο απέχει το Δίον από το σχολείο τους; Τα παιδιά πρέπει να μετατρέψουν τα αριθμητικά δεδομένα στην ίδια μορφή: 3 = 0,3 χμ. Επομένως το Δίον απέχει από το σχολείο τους: 253,5 + 0,3 = 253,8 χμ. Δραστηριότητα 2η Τοποθετήστε τα κλάσματα των ενδείξεων του δοσομετρητή στην παρακάτω αριθμογραμμή. 2 4 6 8 0 0,2 0,5 0,7 1 Διατυπώστε έναν κανόνα για τη μετατροπή δεκαδικών αριθμών σε δεκαδικά κλάσματα. Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα, γράφουμε: α) στη θέση του αριθμητή το δεκαδικό αριθμό ολόκληρο χωρίς την υποδιαστολή και β) στη θέση του παρoνομαστή το 1 με τόσα μηδενικά όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία του συγκεκριμένου αριθμού. Εφαρμογή 1η 245 Πώς θα γραφεί ως κλάσμα ο δεκαδικός αριθμός δύο και σαράντα πέντε εκατοστά;. 0 Εφαρμογή 2η 25 = 0,25. Επομένως, θα προκύψει ο αριθμός: 55,70 0,25 = 55,45. 0 Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο και συζήτηση α) Σ, β) Λ (Αν είναι εκατοστά, θα βάλουμε παρονομαστή το 0, αν είναι χιλιοστά, το 00 κ.ο.κ.) 14 15