Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.

1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen printzipioa 9. Uhin-fenomenoak. Islapena, errefrakzioa, (muga angelua,islapen osoa), difrakzioa, polarizazioa 10. Uhin elektromagnetikoak. Espektro elektromagnetikoa 11. Argia eta haren propietateak. Mikel Lizeaga 1

0. Sarrera Bibrazio edo oszilazio bat joan etorri bat da denboran zehar. Denboran eta espazioan gertatzen den joan etorri bat uhina da. Uhin bat leku batetik bestera hedatzen da. Argia eta soinua uhin moduan espazioan zehar hedatzen diren bibrazioak dira. Baina arrunt desberdinak dira. Soinua, ingurune material batean (solido, likido edo gasa izan daiteke), bibrazioen hedapena da. Euskarri materialik gabe soinua ezin da hedatu. Beraz, ezin da hutsean hedatu. Aitzitik, argia bidaia daiteke hutsean. Argia eremu elektriko eta magnetiko baten bibrazio baten propagazioa da, energia huts baten bibrazioaren propagazioa. Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da. Uhin higidura foku izeneko puntu batean sortzen den perturbazioaren hedapena da ingurune elastiko batean. 1. Uhin elastikoak Ingurune elastiko edo deformagarri bateko puntu jakin bat (fokua) bibratzera behartzen dugunean, fokuan sortutako perturbazioa inguruko beste puntuetara hedatzen da, uhin bidaiarien bitartez. Horri uhin-higidura deitzen diogu (ingurunea material edo ez-materiala izan daiteke). Uhin motak. Uhinak sailkatzeko orduan, hiru irizpide nagusi hartuko ditugu kontuan: a) Hedapen-dimentsioen (norabideen) kopuruaren arabera: Dimentsio bakarrekoak: Soka edo malguki batean zehar hedatzen direnak. Bi dimentsiokoak: Plano lau batean hedatzen direnak, adibidez urazalean Hiru dimentsiokoak: Espazioaren hiru norabideetan hedatzen dira. Soinua, esaterako, uhin esferikoen bitartez hedatzen da. b) Energia hedatzeko moduaren arabera. Uhin mekanikoak. Hedatu ahal izateko ingurune material bat behar dutenak. Hau da, energia hedatzeko ingurune materiala behar dutenak. Uhin ez-mekanikoak. Hedatzeko ingurune material baten beharrik ez dutenak. Adibidez, argia (uhin elektromagnetikoak). Mikel Lizeaga Huts hodian tinbrearen hotsa ez da entzuten baina bonbilaren argia ikusi egiten da.

c) Bibratze moduaren arabera. Luzetarako uhinak. Bibrazioaren norabidea eta uhinaren hedapen-norabidea koinziditzen dute. Honelakoak dira gas batean hedatzen diren presio-uhinak, adibidez soinua. Horrelakoetan ingurunearen parte bat konprimatu egiten da, eta konpresio-uhin hau zabaldu egiten da. Hurrengo konpresioen artean, presio baxuko arrarifikazioak daude. Konpresioak eta arrarifikazioak hedapenaren norabide berean hedatzen dira. Soinu-uhinak luzetarako uhinak dira. Zeharkako uhinak. Bibrazioaren norabidea perpendikularra da, uhinaren hedapen-norabidearekiko. Adibidez, musika-tresnen korden uhinak, likidoen azal gainekoak edo elektromagnetikoak zeharkakoak dira. Applet honetan luzetarako uhinak eta zeharkako uhinak ikus ditzakegu: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaarmonica/ondasarmonicas.html #Ondas%0longitudinales%0en%0una%0barra%0el%E1stica a) Luzetarako uhina; b) Zeharkako uhina. Diapasona kolpatzerakoan, (soinuaren fokua) berarekin ukipenean dauden aire molekulei higidura bibrakor harmoniko bat eragiten die eta bibrazio hori aldameneko molekuletara hedatzen da luzetarako uhin moduan. Mikel Lizeaga 3

Hemen aurrean esandakoaren froga burutuko dugu. Diapason baten inguru hurbilean elkar ukipenean dauden ping-pongeko bi pilota ditugu. Diapasona kolpatzerakoan ping-pong pilotak bibratu egiten dutela konproba dezakegu. Hemen konprobatzen dugu soinua uhin mekanikoa dela (hutsean ez lirateke pilotak mugituko) eta gainetik luzetarazkoa dela. Mikel Lizeaga 4

Perturbazioa gertatzen den puntuari fokua deitzen diogu. Adibidez, soinua foku batetik abiatuta uhin esferikoen bitartez hedatzen da. Fokutik urruntzen goazen neurrian makurdura (kurbatura) txikiagotzen doa, eta uhin esferikoak uhin lau bihurtzen dira. Gauza bera gertatzen da argiarekin. Horrela, eguzkiko argia uhin lau moduan iristen da Lurrera. Bibrazio-egoera berdina duten inguruneko puntuek uhin-frontea osatzen dute. Hau da, uhin-fronte berean dauden puntuek fasean bibratzen dute. Adibidez, ur-azaleko uhinen uhin-fronteak: kandorra sabela Uhin esferikoetan uhin-fronteak esferak dira. Uhin-fronteekiko perpendikularrak diren lerroak izpiak dira. Izpiek uhinaren aurrerapen-norabidea markatzen dute.. Uhin-higidura Suposa dezagun tenkatutako soka bat. Mutur librean eta gorantz kolpe bertikala ematen badiogu, pultsu bat sortuko dugu. Iraupen txikiko uhina sortu dugu. Sokaren partikula oro geldiunean dago pultsua iritsi arte. Une horretan denbora labur batez mugitzen da eta, ondoren, gelditasunera itzultzen da. Pultsua soka batean Mikel Lizeaga 5

Sokari kolpe bakar bat eman beharrean etengabe gora eta behera mugitzen badugu, pultsu segida bat sortzen ariko gara, edo uhin-tren bat. Kasu horretan sokako puntu guztiak mugitzen ariko dira. Hemendik aurrera uhinez hitz egiten dugunean, uhin-trenez ariko gara. Sokaren puntu bakoitzak bibrazio bertikala egiten duen bitartean, bibrazioa bera horizontalean hedatzen da. Hau da, uhin-higidura batean ez dago materia-garraiorik, energia-garraioa baizik. Uhin batean perturbazioari lotua dagoen energia transmititzen da. Horra hor, beraz, perturbazioaren eragina jasaten duten partikulek zergatik bibratzen duten oreka posizioaren inguruan fokuaren bibrazioa errepikatuz. Uhin-higidura baten adibiderik ezagunena uretan hedatzen den uhinarena da. Bare dagoen urmael batean harri bat erortzen uzten badugu, uhinek kanporantz bidaiatuko dute, zentroa perturbazioan duten eta gero eta handiagoak diren zirkuluak eratuz. Ematen du uhinak ura garraiatzen duela baina ur-azalean dagoen hostoa gora eta behera egingo du uhina pasatzerakoan, eta azkenean leku berean geldituko da. Hau da, perturbazioa igaro ondoren ingurunea, hasierako egoerara itzuliko da. Uhin-higiduraren magnitudeak. A: anplitudea. Inguruko puntuek bibratzean duten elongazio maximoa da. Edo uhinaren puntu baten eta oreka-posizioaren artean dagoen distantzia maximoa. T: periodoa. Puntu batek oszilazio oso bat emateko behar duen denbora. Edo uhinak uhin-luzera distantzia aurreratzeko behar duen denbora. f: maiztasuna: Segundo bakoitzean puntu bakoitzak ematen dituen bibrazio kopurua. Edo segundo bakoitzean pasatzen den uhin kopurua. Periodoaren alderantzizkoa da noski. Mikel Lizeaga 6

T = 1/f Nazioarteko Sisteman herzetan ematen da (s -1 ). Adibidez FM-ko irrati-estazio batek 101, 7 Mhz-ko maiztasuna duela esango dugu; hau da, 101. 700. 000 hztan emititzen du. Horrek esan nahi du, emititzen ari den dorre baten antenako elektroiek maiztasun horrekin bibratzen dutela. Bibratzen duten elektroien maiztasuna eta elektroi horiek sortzen dituzten uhinena berdina da. : uhin-luzera: Fasean bibratzen duten bi puntu hurbilenen arteko distantzia. Edo periodo batean uhinak aurreratu duen distantzia. Metrotan neurtzen da. Aurreko definiziotik honako hau ondorioztatzen da: = v T edo = v/f v: hedapen-abiadura. Uhina zeinen azkar edo motel hedatzen den adierazten digu. Horretarako, bi gandor arteko distantzia neurtzen badugu(uhin-luzera) eta zenbat denbora behar duen pasatzeko ere(periodoa), bien arteko zatidura eginez hedapen-abiadura lortuko dugu. V = /T Uhin baten hedapen-abiadura, ingurunearen izaerari lotua dago;adibidez, dentsitateari, elastikotasunari, zurruntasunari, eta abarri. k: Uhin-zenbakia. m-ko luzeran sartuta dauden uhin-luzeren kopurua. k eta elkarren artean alderantziz proportzionalak dira. K = / (m -1 ) 3. Uhin-higiduraren ekuazioa. Lehen esan bezala, suposa dezagun mutur batetik finkatua dagoen soka baten mutur librean, bibrazio bat, hhs bat, sortzen dugula. Puntu horri fokua deitu diogu (beheko irudian, 1 puntua). Bibrazio hori sokako beste puntuetara hedatzen da. Uhina v abiaduraz hedatzen da Azter dezagun zer gertatzen den sokako puntuekin, 1 puntuak bibrazio oso bat egiten duen T denboran: t = T/4 s denean puntua bibratzen hasiko da, eta atzean daudenak geldirik jarraituko dute (B). t = T/ s denean 3 puntua bibratzen hasiko da, eta atzean daudenak geldirik jarraituko dute (C). t = 3T/4 s denean 4 puntua bibratzen hasiko da, eta atzekoak geldirik jarraituko dute (D). t = T denean 5 puntua bibratzen hasiko da, eta atzekoak geldirik jarraituko dute (E). Ikusten denez 1 eta 5 puntuek fasean bibratuko dute. Mikel Lizeaga 7

1 puntua(fokua) bibratzen hasten denean hhs batekin, sokako gainontzeko puntuak gelditasunean daude. Haren ekuazioa y (0,t) = A sin t da. puntua T/4 s geroago hasten da bibratzen. Haren desfasea fokuarekiko / rad da. Fokua y = - A posizioan dagoenean puntua 0 posizioan egongo da. 3 puntua T/s geroago hasten da bibratzen. Haren desfasea fokuarekiko rad da. 1 puntua +A-n dagoenean bera A-n dago. Hau da, faseoposizioan bibratzen dute. 4 puntua 3 T/4 s geroago hasten da bibratzen. Bere fokuarekiko desfasea 3/ rad da. 5 puntua T s geroago hasten da bibratzen. Bere desfasea fokuarekiko rad da. Biek fasean bibratzen dute. Mikel Lizeaga 8

dute. Sokako bi punturen arteko x distantzia n bada fasean bibratzen x = n (n = 1,,3..) Sokako bi punturen arteko x distantzia (n+1) / bada faseoposizioan bibratuko dute. x = (n+1) / (n = 1,,3..) Adibide bat jartze arren, irudiak sokaren egoera irudikatzen du, bi eta erdi periodo pasa direnean. 6 eta puntuek, edo 1 eta 9,( zeinak, distantziatara dauden) fasean bibratzen dute. 3 eta 1 edo 7 eta 1 puntuek, berriz, fase-oposizioan(beraien arteko distantziak / eta 3/ izanik). Mikel Lizeaga 9

Fokuaren ekuazioa hau da: fokuaren posizioa x = 0 m da. (A) y (0, t) = A sin t Orokorrean, x distantziara dagoen puntuaren elongazioa hau da: y (x, t) = A sin [ (t-t 0 ) ] x : fokutik inguruneko puntu jakin bateraino dagoen distantzia da. t 0 : uhinak x=0 posiziotik x = x-ra iristeko behar duen. denbora da. Aurreratze-abiadura v bada: v = x/t 0 t 0 = x/v Eta = /T denez y (x, t) = A sin [ /T(t x/v) ] y (x, t) = A sin [ (t/t x/vt) ] baina = v T dela gogoratuz: y (x,t) = A sin [ (t/t- x/) ] edo y(x,t) = A sin [ (ft x/) ] Uhina eskuinetik ezkerrera hedatuko balitz: y(x, t) = A sin [ (t/t + x/) ] Uhinaren ekuazioa maiztasun angeluarra eta k uhin-zenbakiaren funtzioan ere adieraz daiteke. y(x,t) = A sin ( t -kx) Eta hasierako desfasea 0 bada: y(x, t) = A sin ( t +/- kx + 0 ) y (x, t) ekuazio horren bitartez fokutik x distantziara dagoen puntu baten y elongazioa kalkula dezakegu edozein unetan. Ekuazio horretan x posizioa finkatzen badugu, ekuazioak puntu horren elongazioa denboraren funtzioan emango digu. Mikel Lizeaga 10

Uhinaren ekuazioan t denbora finkatzen badugu, ekuazioak puntu guztien elongazioaren balorea, une konkretu horretan, emango digu. Uhinaren ekuazioan ez dira nahastu behar uhinaren hedapen-abiadura eta puntuen zeharkako (edo bibrazio) abiadura. Hedapen-abiadura : v = /T = f Puntu baten bibrazio-abiadura lortzeko uhinaren ekuazioa denborarekiko deribatuko dugu: Eta azelerazioa v = dy/dt a = dv/dt 1. adibidea Soka batean zehar doan uhin baten ekuaziotik datu hauek dakizkigu: Anplitudea = 3 cm;hedapen abiadura = 5 m/s eta maiztasuna, 0 hz. Datu horietan oinarrituta, kalkulatu: a) Maiztasun angeluarra, b) Uhin-luzera. c) Uhin-zenbakia. d) Uhinaren ekuazioaren adierazpenak. e) Irudikatu uhina t = 0,1 s denean. f) x = 0,5 m puntuaren ekuazioa. 4. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran. Ikus dezagun nola aldatzen den energiaren hedapena distantziarekiko. Urmael batean hedatzen den uhinaren anplitudea txikiagotzen doa. Badirudi energia askatu egiten dela. Baina hori ez da egia. Uhin batek osziladore harmoniko baten energia transmititzen du. Suposa dezagun m masa duen partikula fokuan dagoela eta hhs batez mugitzen dela. Hari lotutako energia hau da: E= ½ ka = ½ m A = ½ m 4 f A = m f A (1) Beraz, uhinari lotutako energia maiztasunaren eta anplitudearen karratuekiko zuzenki proportzionala da. Suposa dezagun energia hori uhin esferiko baten moduan hedatzen dela v abiaduran. Orduan, energia hori zentroa fokuan duten esfera zentrukidetan banatzen joango da. Mikel Lizeaga 11

Handik t 1 denborara, energia r 1 = v t 1 erradioa duen uhin-frontea osatzen duten partikulen artean banatua izango da. Gauza bera gertatuko da r =vt erradioa duen uhin-fronteko puntuekin t denbora pasa eta gero. Marruskadurarik ez dagoela onartzen badugu, energia konstante mantenduko da. Hau da: de 1 = de de 1 =r 1 erradioa eta dr lodiera duen azal esferiko baten barruan dauden puntuek duten energia. de =r erradioa eta dr lodiera duen azal esferiko baten barruan dauden puntuek duten energia. (1) formula aplikatuz: de 1 = dm 1 f A 1 de = dm f A dm 1, A 1 = 1 fronteko puntuen masa eta anplitudea dm, A = fronteko puntuen masa eta anplitudea. m 1 eta m aurkitzeko ingurunearen dentsitatea dela onartuko dugu. dm 1 =s 1 dr = 4r 1 dr dm =s dr = 4r dr Hortik: de 1 = 4r 1 dr f A 1 de = 4r dr f A Biak berdinduz: de 1 = de r 1 A 1 = r A r 1 A 1 = r A r A =kte. A = kte/r Beraz, uhin baten anplitudea puntu batean, puntu horren fokuarekiko distantziaren alderantziz proportzionala da. Hau da, zentro igorletik urruntzen doan neurrian, uhina indargabetzen doa. Anplitudea txikiagotzen da eta, ondorioz, partikulen energia ere. Fokuaren energia, gero eta partikula gehiagoren artean banatzen delako gertatzen da. Fenomeno horri indargabetzea deitzen zaio. Uhin baten intentsitatea puntu batean, puntu horretan perpendikularki jarritako azalera-unitatea denbora-unitatean, zeharkatzen duen energia dela esango dugu. J/(s m ) -tan edo w/m -tan neurtzen da. I = E / S t = P/S 1 Uhin-frontearen intentsitatea: I 1 = de 1 /s 1 dt = Modu berean: I = A dt drf f 8 r1 A1 dr A1 drf = 4r dt dt 1 Mikel Lizeaga 1

Biak zatituz: I 1 /I = A 1 /A = r /r 1 I = kte/r Intentsitatea distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da. Intentsitatea gero eta handiagoa den azalera batean banatu behar da; eta azalera distantziaren karratuarekiko proportzionala delako gertatzen da hori. Uhinen indargabetzea berezko fenomeno naturala da. Esferaren azaleraren balioa 4r denez, foku igorlearen r distantziara uhin esferikoaren intentsitateak honako balio hau izango du: I = P / 4r. Uhinaren intentsitatea distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da. Adibidez, fokuarekiko distantzia bikoizten bada, intentsitatea lau bider txikiagoa izango da. 5. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa. Suposa dezagun bi fokuk sortutako bi uhin ingurune berean bidaiatzen ari direla eta puntu berean gainjartzen direla. Bi uhin puntu berean gainjartzen direnean, interferentzia gertatu dela esango dugu. Ingurune berean hedatzen ari diren bi uhin gainjartzen ba dira une eta puntu berean, puntuaren bibrazioa, uhin bakoitzak bere aldetik izango lukeen bibrazioen batura da. Interferentziaren ondoren uhin bakoitzak berdin jarraitzen du, ezer gertatu izan ez balitz bezala. Interferentzia Uhin-fenomeno tipikoa da; izan ere, partikulek talka egiten dutenean desbideratu egiten dira. Kasurik garrantzitsuena bi foku koherenteena da. Hau da, fasean edo fase-diferentzia konstantea duten fokuena; gainera, A, f eta bereko uhinak emititzen dituztela suposatuko dugu. Bi uhinen interferentzia gertatzen denean muturreko kasuak bi dira: interferentzia eraikitzailea eta suntsitzailea. Interferentzia eraikitzailean bi uhinen gandorrak (eta sabelak) puntu berean eta une berean koinziditzen dute. 1 Mikel Lizeaga 13

1 Interferentzia eraikitzailea gertatzen den puntuan: A = A 1 + A Eta anplitudeak berdinak badira: A = A http://newton.cnice.mec.es/bach/ondas/ondas-interferencia.html?&0 Goiko appletatik hartutako irudiak, norabide eta noranzko berean hedatzen diren bi uhin koherenteen interferentzia erakusten digu. A 1 laukitxoan zapalduta zer egin behar den galdetzen da. Ikusten denez anplitudea bikoitza da. Puntu konkretu batean interferentzia eraikitzailea gerta dadin honako baldintza hau bete behar da: x x 1 = n non: n = 0, 1,, 3 den x : uhinak fokutik puntura bete duen distantzia x 1 : uhinak 1 fokutik puntura bete duen distantzia. x x 1 = 0 bada, = 0 eta t = 0. Bi uhinak aldi berean iristen dira puntura. Mikel Lizeaga 14

x x 1 = bada, = izango da eta t = Ts. Urrutiago dagoen fokutik datorren uhina T s geroago iristen da puntura. x x 1 = n bada, = n izango da eta t = n T s. Puntu batean interferentzia eraikitzailea gertatuko da, uhinek betetako distantzien diferentzia uhin-luzeraren multiplo osoa bada. Interferentzia suntsitzailea uhin baten gandorra beste baten sabelarekin une eta leku berean koinziditzen dutenean gertatzen da. Hau da, uhinak faseoposizoan iristen dira puntu berera. 1 1 Interferentzia gertatzen den puntuan: A = A 1 A Eta anplitudeak berdinak badira: A = 0 http://newton.cnice.mec.es/bach/ondas/ondasinterferencia.html?&0 Irudiak norabide eta noranzko berdina duten baina uhin erdi baten ( rad) desfasea duten bi uhinen interferentzia erakusten digu. Ikusten denez, anplitudea nulua da puntu guztietan. Mikel Lizeaga 15

Puntu jakin batean interferentzia suntsitzailea gerta dadin honako hau bete behar da: x x 1 = (n + 1) / Non n = 0, 1,.... den x x 1 = / bada, = izango da eta t = T/. Urrutiago dagoen fokutik datorren uhina T/ s geroago iritsiko da. x x 1 = n / bada, = n izango da eta t = n T/. Puntu batean interferentzia suntsitzailea gertatuko da uhinek ibilitako distantzien diferentzia uhin-luzera erdiaren multiplo bakoitia bada. Aurreko guztia ulertzen laguntzeko azter ditzagun honoko irudi hauek: http://www.walter-fendt.de/ph14s/interference_s.htm Uhinak fasean bibratzen duten bi iturritatik hedatzen dira (foku koherenteak). Puntu konkretu batean, bi fokuekiko distantzia-diferentzia(x edo s) Uhin-luzeraren multiplo oso bat (edo zero) bada, orduan uhinak fasean iristen dira. Horrek esan nahi du maximoak edo gandorrak(zirkulu beltzak) eta minimoak edo sabelak(zirkulu grisak) beti aldi berean iristen direla: interferentzia eraikitzailea da. Propietate hori duten puntuek gorriz marraztutako azaleretan daude. Interferentzia eraikitzaileko hiperbolak dira. A irudiko puntu arrosa bi fokutatik distantzia berera dago. Horregatik, bi uhinak aldi berean iristen dira, gandorra gandorrarekin edo sabela sabelarekin koinziditzen duten moduan. (A) Bigarren irudian puntu arrosa gertuago dago ezkerreko fokutik eskuinekotik baino. Distantziadiferentzia Uhin-luzera bat da. Beraz, eskuinetik datorren uhina T periodo bat beranduago iristen da, baina goian bezala bi uhinak fasean iristen dira. Irudian bi zirkulu gris (hau da, bi sabel) iristen dira aldi berean. Mikel Lizeaga 16

Distantzia-diferentzia uhin luzeraren erdiaren multiplo bakoiti bat den puntuetan, uhinak fase-oposizoan iristen dira. Horrek esan nahi du uhin baten maximoak beste uhinaren minimoekin batera iristen direla, honela interferentzia suntsitzailea da. Irudian puntu arrosaren fokuen arteko distantzia-diferentzia uhin luzera eta erdi bat da. Honela ezkerretik datorren sabel bat (zirkulu grisa) eskuinetik datorren gandor batekin (zirkulu beltza) elkartuko da eta alderantziz. Eskuinetik datorren uhina periodo eta erdi geroago iritsiko da. Propietate hori duten puntuak urdinez margotuak daude eta interferentzia suntsitzaileko hiperbolak eratzen dituzte.. adibidea 45 hz-eko maiztasuna duen soinua emititzen dute bi fokuk. Soinuak airean duen abiadura 340 m/s-koa bada, zer soinu jasoko luke fokuetatik 100m eta 101, m-ra dagoen puntuan jarritako mikrofonoak? Fokuek fasean emititzen dute. 6. Uhin geldikorrak. Suposa dezagun ingurune elastiko batean ezkerretik eskuinera hedatzen ari den uhin bat, eta muturrera iristerakoan islatu egiten dela, eskuinetik ezkerrera hedatzen den beste uhin bat sortuz. Bi uhin hauen arteko interferentziari uhin geldikorra deitzen diogu. Uhin geldikorrak sortzen dira, ingurune elastiko batean, izaera, maiztasun eta anplitude berdineko baina aurkako noranzkoko bi uhin armonikok interferentzia egiten dutenean. Hori gertatzen da, adibidez, soka batean (gitarra baten kordan;muturra nodoa da) edo haize-tresna baten hodian (kasu horretan ingurune elastikoa airea da, muturra harana da). Eskuinetik ezkerrera hedatzen den uhina: y 1 = A sin (t + kx) Ezkerretik eskuinera hedatzen dena : y = A sin(t - kx) Bi uhinen interferentzia : y = y 1 + y Ekuazio horretan, baloreak ordezkatuz; uhin geldikorraren ekuazioa emango digu. y = A sin (t + kx) + A sin (t - kx) a b Mikel Lizeaga 17

eta, sin a + sin b = sin a b cos a b dela kontuan hartuta: y = A sin t kx t kx t kx t kx cos Hortik, uhin geldikorraren ekuazioa honela gelditzen zaigu. y = A cos kx sin t. Eta A cos kx = A`(x) egiten badugu.. y = A`(x) sin t Uhin geldikorra harmonikoa da, osagaien maiztasun berekoa, eta beraren anplitudea, A (x), denborarekiko independientea da, baina sinusoidalki aldatzen da x abszisaren funtzioan. Hau da; x -ren balio jakin batzuetan coskx = 1 izango da. Puntu horietan antinodoak ditugu. y = A sin t Beste puntu batzuetan cos k x = 0 da. Puntu horietan nodoak ditugu. y = 0 m. Interferentzia eraikitzailea den puntuetan antinodoak sortzen dira eta uhinek elkar anulatzen duten puntuetan, nodoak (y = 0). Antinodoak diren puntuen ekuazioa hau da: y = A sin t Uhin geldikorrak ezin dira nodoetatik pasatu eta horregatik ez dago energia garraiorik. Ez dira uhin bidaiariak. cos k x = 0 den puntuetan y = 0 izango da eta nodo bat izango dugu. k x = (n + 1) / x = ( n 1) (n = 0,1, ) x = (n+1) /4 (/4; 3 /4; 5 /4 ) Baldintza hori betetzen duten puntuetan nodoak izango ditugu. Mikel Lizeaga 18

Bi aldameneko sabel edo antinodoen arteko distantzia uhin-luzera erdi bat da (edo, bi uhin-luzera laurden). cos k x = (+/-) 1 den puntuetan y = A sin t, antinodo bat izango dugu. K x = n x = x = n / n (n = 0,1,..) (edo x = n /4) Baldintza hori betetzen duten puntuetan antinodoa izango dugu. ( /4; 4 /4; 6 /4 ) Beraz, muturrean sabel bat izango dugu. Anplitude nuluko puntuetan (nodoak) izan ezik beste puntuek harmonikoki eta OX ardatzarekiko perpendikularki oszilatzen dute, eta aldiune beretan pasatzen dira orekaposizioetatik. Nodoak geldi daudenez, uhin geldikorrak ez du bidaiatzen, eta beraz, ez du energiarik garraiatzen. Beraz, esanahi hertsian hartuta, uhin geldikorrak benetako uhinak ez direla esan beharko genuke. X = 0 puntuan sabela dugu: y = A sin wt Uhin geldikorra muturrera iritsitakoan libreki mugi badaiteke, sabel edo antitodo bat izango dugu, uhin erasotzailea islatuarekin indartzen delako. Mikel Lizeaga 19

http://www.walter-fendt.de/ph14s/stwaverefl.htm Irudi hauetan ezkerretik eskuinera hedatzen den uhina ikus dezakegu (gorriz). Mutur finkora iristerakoan, islatu egiten da eta, eskuinetik ezkerrera hedatzen da (urdinez). Bien arteko interferentziaz sortzen da uhin geldikorra (beltzez). Muturra finko dagoenez, nodo bat izango da. Hurrengo nodoa uhin-luzera erdi batera dago. Irudi honetan maiztasun sorgailu bati lotuatako hari malgu bat erakusten zaigu. Maiztasuna eta sokaren aldatuz, bertan uhin geldikorrak lortuko ditugu. Mikel Lizeaga 0

Uhin geldikorrak bi muturrak finko dituen hari batean. Korda duten musika tresnen kasua da hori. Hariaren luzera L dela suposatuko dugu. Bi muturrak(0 eta L) nodoak izango dira. Uhin geldikorretan ondoz ondoko bi nodoren arteko distantzia / denez, sokan uhin geldikorrak eduki ahal izateko baldintza hau bete beharko da: L = n / Hortik = L/n n = 1,, 3. Uhin-luzera bakoitzari dagokion bibrazioari bibrazio-modu normala deitzen diogu, eta bakoitzari maiztasun karakteristiko bat dagokio. 1 = L, = L, 3 = L/3... baloreak har ditzake. = v T denez, = v/f eta f = v/ da v/f = L/n izango da, eta hortik f= n v/l Maiztasunmodu normalak, uhinaren hedapen abiadurari lotuak daude. Maiztasun txikienari oinarrizko maiztasuna edo lehenengo harmonikoa deitzen zaio. f 1 = v / l f = v / l f 3 = 3 v / l f 4 = v / l 0, /4,/4,3/4,4/4 Gainontzekoei bigarren, hirugarren... harmonikoak esaten zaie. f 1 = v /L, f = v/l, f 3 = 3v /L. Kasu horretan uhin geldikorraren ekuazioa horrela idatziko dugu. y = A sin kx cos wt Mikel Lizeaga 1

sin k x = 0 den puntuetan nodoak izango ditugu: x = n π x = n λ / 4 Beraz, x = 0, λ / 4, 4 λ / 4, puntuetan nodoak izango ditugu. sin k x = 1 den puntuetan antinodoak izango ditugu: x = (n + 1) π / x = (n + 1) λ / 4 Beraz, x = λ / 4, 3 λ / 4, 5 λ / 4 puntuetan nodoak izango ditugu. 7. Huyghens-Fresnelen printzipioa. Huyghens-en printzipioaren bitartez bai uhinen hedapena nola errefrakzioa, islapena, eta horrelako uhin-fenomenoak azal daitezke. Printzipio hori, uhin guztien kasurako baliagarria da, eta uhin-fronte batetik hurrengora nola pasatzen den erakusten digu. Uhin-fronte bateko puntu guztiak uhin elementalen iturri dira. Uhin elemental horien inguratzailea uhin-fronte berria da. Ikus dezagun nola azaldu uhin lauen hedapena Huyghens-Fresnelen printzipioa aplikatuz. Suposa dezagun une jakin batean 1 uhin-frontea dugula. Orduan, a, b, c...puntuak, uhin elementalen iturri bihurtzen dira. Hau da; fasean dauden uhinak emititzen dituzte. Uhin elemental horien inguratzailea uhin-fronte berria da eta a, b, c puntuak uhin elemental berriak emititzen dituzte. Izpiak uhin fronteekiko perpendikularrak diren geziak dira. Hemen izpiak paraleloak dira elkarren artean. Ikus dezagun nola azaldu uhin esferikoen hedapena Huyghens-Fresnelen printzipioa aplikatuz. P 1, P eta P 3 uhin-fronteko puntu guztiak uhin elementalen iturri bihurtzen Mikel Lizeaga

dira. Horrela P 1, P eta P 3 puntuek uhinak emititzen dituzte. Uhin horien inguratzailea uhin-fronte berria da. Izpiak uhin fronteekiko perpendikularrak diren geziak dira. Uhinaren hedapen-norabidea markatzen dute. Hemen izpiak erradialak dira. Bi uhin-fronteen arteko distantzia da, noski. Modu berean, uhin fronte batetik hurrengora pasatzeko behar den denbora T da. Uhin-fenomenoak Islapena Uhin-fenomenoen artean, beharbada ezagunena edo gutxienez ohikoena izango da. Soinuaren oihartzuna, argiaren islapena ispilu batean, edo uraren atzerakako uhinak horman jo ondoren (erreponpa), uhinen islapenaz sortuak dira. Islapena da uhin bat bi ingurune bereizten dituen azalera edo oztopo batera iristerakoan, ingurune berean jasaten duen norabide-aldaketa. Islapenaren legeak, edo Snellen lehen legeak, honela dio: Uhin baten islapenean eraso-angelua eta islapen-angelua berdinak dira. Halaber, izpi erasotzailea, izpi islatua eta normala plano berean daude. Ikus dezagun nola gertatzen den islapena, eta zer lege betetzen duen. Irudian oztopo lau bat C eta F puntuetan erasotzen duten bi izpi erasotzaile erakusten dira. CD: Uhin-fronte erasotzailea da. HF: Uhin-fronte islatua da. N: normala. Uhin erasotzaileak azalera jotzen duen puntuarekiko lerro perpendikularra. î: Uhin erasotzailea eta normalaren arteko angelua. r: Uhin islatua eta normalaren arteko angelua. Uhin-fronte islatuen abiadura uhin-fronte erasotzaileen berdina da, ingurune berean bidaiatzen dutelako. Mikel Lizeaga 3

Egoera horretan honakoa betetzen da: CHF = CDF. Hau da, CHF eta CDF triangeluak berdinak dira: CF hipotenusa berdina dutelako CH = DF = direlako. Bestela honela arrazona dezakegu: Uhin-fronte islatuaren abiadura uhin-fronte erasotzailearen berdina da, ingurune berean bidaiatzen dutelako. ^ ^ Beraz: HCF = DFC. Gainera: HCF+r = 90º î = r. DFC+i = 90º. î = 0º i N N r = 0º r Eraso angelua nulua denean islapen angelua ere nulua da. Ez dago desbideraketarik. Bi argazki hauetan banko optiko batean egindako saiakuntza erakusten digu. Izpi erasotzailea azalerarekiko perpendikularki erasotzen duenean ez da islatzen (ez eta errefraktatzen). Bigarrenean eraso-angelua eta islapen-angelua berdinak direla ikusten dugu. Errefrakzio angelua normalera hurbiltzen da. Mikel Lizeaga 4

Errefrakzioa. Errefrakzioa honela definitzen da, uhin bat hedatze-abiadura desberdina duten bi ingurune bereizten dituen azalera batera iristerakoan gertatzen den uhin horren hedatze-norabidearen aldaketa. Islapenean egin bezala, ikus dezagun zein lege betetzen den errefrakzioan. Horretarako, azalpen geometrikoa erabiliko dugu. CD: uhin erasotzailearen uhinfrontea da. v 1: Argiaren abiadura 1 ingurunean. EF: uhin errefraktatuaren uhinfrontea da. V : Argiaren abiadura du ingurunean. Uhin-frontea D puntutik F-ra iristen den bitartean (DF = v 1 T = λ 1 betez), C puntutik emititzen den uhin-fronteak CE distantzia beteko du ingurunean (CE = v T = λ betez). C puntuak v t erradioa duen uhin esferikoa emititu du, beraz. CDF eta CFE triangeluetan hauxe betetzen da: DF sin DCF = DF (λ1 ) = CF sin DCF CF sin CFE = CE/CF CE (λ ) = CF sin CFE Gainera: DCF = i eta CFE = r ; Beraz: v 1 T = CF sin i 1 v T = CF sin r ½ eginez : v v 1 sini sinr Mikel Lizeaga 5

Edo gauza bera dena: v 1 sin r = v sin i Hori da, hain zuzen ere, errefrakziorako Snellen legea. Adierazpen hori beste modu honetara jar dezakegu: sin r = sin i v /v 1 v < v 1 bada, r < î izango da eta uhin errefraktatua normalera hurbilduko da. v > v 1 bada, r > î izango da eta uhin errefraktatua normaletik urrunduko da. Errefrakzio-legea sarritan n errefrakzio-indizea izeneko paramatroaren bitartez adierazten da. Argiak material gardenetan duen abiadura materialaren propietate fisikoen araberakoa da. Argiak edozein materialetan duen abiadura, beti ere, hutsean (edo airean) duena baino txikiagoa da. Material baten n errefrakzio-indizea honela definitzen da: n = c / v c : argiaren abiadura hutsean edo airean: 310 8 m/s v : argiaren abiadura material jakin horretan. v beti c baina txikiagoa denez, n 1 da beti. Hori horrela bada: n 1 = c / v 1 v 1 = c / n 1 v 1 / v = n / n 1 n = c / v v = c / n Snell-en errefrakzioarn legea, beraz, honela geratuko zaigu: n / n 1 = sin i / sin r n 1 sin i = n sin r Mikel Lizeaga 6

Edo : sin r = sin i (n 1 / n ) n > n 1 sin r < sin i eta n < n 1 sin r > sin i http://www.walter-fendt.de/ph14s/refraction_s.htm Irudi honetan n > n 1. Ondorioz, r < i Irudi honetan n < n 1. Ondorioz, r< i. Mikel Lizeaga 7

http://www.walter-fendt.de/ph14s/huygenspr_s.htm Ikus dezagun irudi sorta honetan nola azaltzen diren islapena eta errefrakzioa Huyghens-en printzipioa erabiliz. Irudiak uhin-fronte lau bat irudikatzen du. Uhin-fronte horrek 30º-ko angelua osatzen du normalarekiko. inguruan mantsoago bidaiatzen duela onartuko dugu. Uhin-frontea azalerara iristerakoan, bertako puntuak Huyghens-en printzipioari jarraituz, uhin esferiko elementalen iturri bezala jokatzen dute. Uhin hauek inguruan polikiago bidaiatzen dute. Uhin esferiko elemental horien guztien gainezarmenak uhin lau berri bat ematen du, zeinaren frontea uhin esferikoen inguratzailea den. Ohartu zaitez, uhin erasotzailearen hedapen-norabidea aldatu egiten dela, ingurura pasatzerakoan. Mikel Lizeaga 8

Irudiak uhin-frontea eta izpi erasotzaileak erakusten dizkigu. Izpi erasotzaileak uhin-frontearen aurrerapen-norabidea markatzen digu eta perpendikularra da harekiko. Izpi erasotzaileak normalarekin osatzen duen angelua, eraso angelua, 30º da. Ondorioz, islapen-angelua ere 30º-koa da. Hori horrela da uhin islatua ingurune berean hedatzerakoan abiadura berdina duelako. Errefrakzio-angelua, erasotze-angelua baina txikiagoa da, bigarren inguruan argiaren abiadura txikiagoa delako. Irudia konplikatua da baina informazio ugari ematen digu. Aurreko irudietako informazioaz gain Uhin-fronte islatua eta errefraktatua nola eratzen diren erakusten digu. Saiakera sinple honetan argiaren errefrakzioa ura-airea sisteman nola gertatzen den ikus dezakegu. Arragoaren hondean dagoen txanpona ikusi egiten dugu bertan ura isuritzerakoan. Mikel Lizeaga 9

Difrakzioa. Difrakzioa uhin baten norabidean gertatzen den norabide-aldaketa da, uhin-luzeraren antzeko neurria duen zirrikitu batekin topo egiterakoan. Adibidez, ezkereskuin hedatzen den uhin lau bat zirrikitu bat duen oztopo batekin topatzen bada, zirrikitutik pasatzen ez den uhinfronte zatia, edo islatua edo zurgatua gertatzen da. Baina zirrikituko puntuak uhin elemental berrien iturri bihurtzen dira (Huyghens). Ondorioz, uhin lerro lauak uhin lerro esferiko bihurtzen dira. Uhinaren hedapenaren noranzkoa λ λ λ λ Uhin laua Zirrikituaren tamaina < λ Uhinaren hedapenaren noranzkoa λ λ λ λ Zirrikituaren zabalera uhin-luzera baino handiagoa bada, uhinak ez du desbideraketarik jasaten. Hau da, difrakzioa gerta dadin zirrikituaren zabalera uhin-luzera baino txikiagoa izan behar da. Uhin laua Zirrikituaren tamaina > λ Mikel Lizeaga 30

Polarizazioa. Polarizazio laua : Soka batean hedatzen den uhin batean puntu guztiek plano berean bibratzen dute. Hori horrela, uhin hori plano jakin batean polarizatua dagoela esango dugu. Polarizazio-planoa, hedatze-abiadurak eta bibrazio-norabideak osatzen duten planoa da. Uhin hau y-z planoan polarizatua dago Uhinaren hedapen-norabidea. y ardatza Bibrazio-norabidea z ardatza. Uhinaren ibilbidean zirrikitu bertikala jartzen badugu, uhinak zirrikitua zeharkatuko du baldin eta bertikalean polarizatua badago, baina ez du zeharkatuko horizontalean polarizatua badago. Horrelako plano bertikalean polarizatua dagoen uhina zirrikitu bertikal batetik pasako da. Aitzitik, zirrikitu horizontala jarriko bagenio, uhinak ez luke pasatzerik izango. Uhin bat polarizatzea hedatze-norabidea eta bibratze-norabidea plano berean jartzea da. Horrela, luzetarako uhinak ezin dira polarizatu, hedatze eta bibrazionorabideak koinziditzen dutelako. Adibidez, soinua ezin da polarizatu. Izan ere, hedatze eta bibrazio norabideak zuzen berean daude. Polarizazioak garrantzi handia du argiaren kasuan. Argia plano guztietan bibratzen duen uhina da (polarizatu gabeko argia). Argia plano bakar batean bibratzera behartzen denean, argia polarizatzen dela esaten da. Beste fenomeno batzuekin batera, horrek argiak uhin izaera duela demostratzen du. Mikel Lizeaga 31

Irudiak uhin elektromagnetiko bat erakusten digu, hau da, x ardatzean hedatzen den uhin lau polarizatua. Eremu elektrikoaren bektoreak y ardatzarekiko paralelo dira, eta eremu magnetikoarenak z ardatzarekiko.. http://www.walter-fendt.de/ph14s/emwave_s.htm Bi iragazi polarizatzaile ditugu hemen. Atzekoa biratzen dugunean argia ez da pasatzen. 9. Uhin elektromagnetikoak. Espektro elektromagnetikoa. Karga elektriko azeleratuak dira uhin elektromagnetikoak sortzen dituztenak. Hau da; erradiazio elektromagnetikoaren jatorria karga elektriko azeleratuak dira. http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/fisica/document/apple ts/hwang/ntnujava/emwave/emwave_s.htm Irudian puntu berdea bibratzen ari den karga elektrikoa erakusten digu. Karga elektriko azeleratu horrek uhin elektromagnetiko bat sortzen du. Mikel Lizeaga 3

Espektro elektromagnetikoa existitzen diren uhin elektromagnetiko guztien multzoa da. Denak abiadura berdinez hedatzen dira hutsean : c = 310 8 m/s. Beraz, c = f formulatik, edo f ezagutu dezakegu f edo ezagututa. = c/f edo f = c/ Uhin elektromagnetikoen energia eta sarkortasuna f-ren funtzioan aldatzen dira: f bada E handitzen da (eta sarkortasuna ere) Uhin elektromagnetikoek gorputzetan duten eragina f-ri lotua dago. Horregatik f-ren funtzioan sailkatzen dira. Gogoratu f eta alderantziz proportzionalak direla. Uhin motak Maiztasuna Uhin-luzera Uhin luzeak - 30000 Hz. + 1000 m. Uhin Irrati 30000 10 6 Hz. 650 180 m. ertainak uhinak Uhin 10 6 Hz. 180 10 m. laburrak VHF Telebista 10 6 10 7 Hz. 10 1 m. UHF uhinak 10 7 10 8 Hz. 1 0.3 m. Mikrouhinak 10 9 10 11 Hz. 0.3 0.01 m. Erradiazio infragorria 10 11 10 14 Hz. 10-3 10-6 m. Argi ikusgaia 10 14 10 15 Hz. 10-6 10-7 m. Erradiazio ultramorea 10 15 10 17 Hz. 10-7 10-9 m. X izpiak 10 17 10 19 Hz. 10-9 10-11 m. γ izpiak + 10 19 Hz. - 10-11 λ handitu f handitu 3. adibidea. Gure begiek (6. 000-7. 500) A tarteko espektro ikusgaiaren Uhin-luzerak kolore gorritzat hartzen dituzte. Kalkulatu aurreko uhinluzerei dagokien maiztasun-tartea. 1 A = 1 armstrong = 10-10 m Mikel Lizeaga 33

10. Argia eta bere propietateak Argia uhin elektromagnetiko bat da, baina argiaren ezaugarri asko haren izaera elektromagnetikoa kontuan hartu gabe uler daitezke. Izan ere, argia izpi deitzen diogun lerro zuzenaren norabidean hedatzen da. Gogoratu izpiak uhinfronteekiko perpendikularrak direla, eta uhinaren hedapenabiaduraren noranzkoa markatzen digutela. Optika geometrikoak argiaren portaera aztertzen du, izpi-kontzeptua aplikatuz. Objektuen itzalak nola formatzen diren azaldu dezakegu, argia zuzen hedatzen dela kontuan hartuta. Mikel Lizeaga 34

Argiaren sakabanatzea prisma optikoan Eguzkiaren argi zuria edo ikusgaia uhin-luzera, maiztasun eta, ondorioz, kolore guztietako argien nahastea da. λ txikiagoa GORRIA, LARANJA, HORIA, BERDEA, URDINA, MOREA f handiagoa Argi guztiak abiadura berdinez hedatzen dira hutsean edo airean (c=310 8 m/s). Ez da gauza bera gertatzen beste edozein ingurune materialetan, adibidez uretan edo beiran. Beste ingurunetan f ez da aldatzen baina bai. Horregatik aldatzen da argiaren hedapen-abiadura: V = f denez, aldatzerakoan v aldatzen da. Argi baten uhin-luzera hutsean 0 bada, orduan, 0 = c/f Beste ingurune batean = v/f Baina ingurune baten errefrakzio-indizearen definizioa gogora ekartzen badugu: n = c/v eta v = c /n Orduan : = c/f n ; eta hemendik: = 0 /n λ gorria = 700 nm = 7 10-7 m. λ morea = 400 nm = 4 10-7 m. f gorria = 4,9 10 14 s -1 f morea = 7,5 10 14 s -1 Eta n > 1 denez < 0 ingurune baten beste 1 ingurune batekiko errefrakzio-indizea, honela definituko dugu: c v v1 n, 1 = n /n 1 = = c v v 1 4. adibidea Kalkulatu argi horiko izpi baten v eta, uretan eta beiran 0 =5890 A bada. Zein da beiraren errefrakzio-indizea urarekiko? n ura = 1, 33 Aurrekoa ikusi ondoren argiaren sakabanatzea zertan den ulertu dezakegu: Argi zuriaren sakabanatzea sinpleagoak diren beste argi batzuetan sakabanatzea da. Uhin-luzera guztien nahastea den argi zuriaren banaketa uhin-luzera desberdinetan. Fenomeno hori prisma optiko bat erabiliz lortu daiteke. (Prisma optiko bat bi azalera leun eta ez paraleloz mugatutako ingurune garden bat da). Mikel Lizeaga 35

Argi zuria prisman zehar pasatzerakoan, argi desberdinek desbideraketa desberdinak jasaten dituzte, beiran abiadura desberdinak izateagatik. Argi gorria abiadura handiagoz hedatzen denez gutxien desbideratzen dena da, beste muturrean argi morea gehien desbideratzen da abiadura txikiena duelako. Muga-angelua edo angelu-limitea. Islapen osoa. Errefrakzioaren kasu garrantzitsu bat da, eta gehienbat argiarekin gertatzen da. Uhin baten izpiak, eta, ondorioz, argi izpiak, errefrakzio handiagoa duen ingurune batetik, txikiagoa duen beste ingurune batera pasatzerakoan, normaletik urruntzen direla ikusi dugu. Suposa dezagun 1 ingurune batean (ura edo beira...) F argi iturri bat dugula. Foku horrek emititzen dituen izpien ibilbidea aztertuko dugu. ingurune batera pasatzerakoan(adibidez, airea) 1) Argi-izpiak normaletik urrunduz errefraktatzen dira. ) Eraso-angelua handitzerakoan errefrakzioangelua ere. 3) Eraso-angelu jakin batean(muga-angelua) errefrakzio-angelua r= 90º izango da. 4) Eraso-angeluak hori baino handiagoak badira,argi guztia islatu egiten da. Fenomeno horri islapen osoa deitzen zaio. 5) Azalerarekiko perpendikularrak diren izpiak ez dira errefraktatzen. 6) Fokua izpi errefraktatuak biltzen diren puntuan ikusten da. Irudia birtuala da. Mikel Lizeaga 36

(n 1 >n ) v 1 <v Snellen errefrakzioaren legea: n 1 sin i = n sin r Edo sin r = sin i n 1 /n (n 1 > n denez, n u > n a ) Beraz, sin r > sin i r > i Horrela angelu jakin batetara iristerakoan r = 90º da eta argi izpiak ez dira airera pasatzen. sin i = sin r n /n 1 ;bainan i = i m denean r = 90º sin r = sin 90º = 1 sin i muga = n /n 1 i muga = ark sin n /n 1 i > i muga bada argiak islapen osoa jasaten du. Gainetik begiratuta zirkulu argitsu bat antzemango genuke. http://www.walter-fendt.de/ph14s/refraction_s.htm 5. adibidea Kalkulatu argi izpi baten errefrakzioaren muga-angelua ur-masa bat eta gainean duen airean banatzen dituen gainazalean, baldin eta airearen errefrakzioindizea 1 bada eta urarena, 4/3 Em: 48,6º Marrazkian ura da gainean dagoena (argi izpia goitik eta ezkerretik dator). Mikel Lizeaga 37

Airearen ordez diamantea bagenu, zein izango litzateke muga-angelua. Mikel Lizeaga 38