fysikoblog.blogspot.com

Σχετικά έγγραφα
Καμπυλόγραμμα Συστήματα Συντεγμένων

fysikoblog.blogspot.com

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ. Το δέλτα του Kronecker. Το σύµβολο µετάθεσης. Χρήσιµες σχέσεις ΟΡΙΣΜΟΙ (3.133) = 1 =+1. εijk. αν ijk = 123 ή 231 ή 312 (3.

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή

Η άλγεβρα της στροφορμής

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.

Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

Διανύσματα. ! Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις. ! Διανύσματα περιγράφουν μέτρο αλλά και κατεύθυνση

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

, και τις ονομάζουμε γενικευμένες συντεταγμένες. Μία δεδομένη συντεταγμένη, q k. , μπορεί να είναι είτε γωνία, είτε απόσταση.

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Παράδειγμα/πρόβλημα ( ) = y 1. O x. V = y 2. Να βρεθούν οι συντεταγμένες (x,y) συναρτήσει των ( x, y ) του περιστρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων Y

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

( ) ) V(x, y, z) Παραδείγματα. dt + "z ˆk + z d ˆk. v 2 =!x 2 +!y 2 +!z 2. F =! "p. T = 1 2 m (!x2 +!y 2 +!z 2

Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας»

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

T p =. (1) p = m q. (2)

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΛΥΣΗ (α) Το οδόστρωμα στη στροφή είναι οριζόντιο: N. Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι:

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

3. ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 59

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις

Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε.

Η κατανόηση και ο χειρισµός ποσοτικών ή µορφολογικών αλλαγών, εντός του πεδίου βαρύτητας, µπορούν να αντιµετωπιστούν συνδυάζοντας έννοιες

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

Υπενθύμιση (από τη Μηχανική) /Εισαγωγή:

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

ds ds ds = τ b k t (3)

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ )

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Μηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x)

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

Σύντομη μαθηματική εισαγωγή

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1

website:

Για τη συνέχεια σήμερα...

Φυσική για Μηχανικούς

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις

( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Φυσική για Μηχανικούς

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι) η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Ν. Τράκας, Ι. Ράπτης 2/4/2018

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής. Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Φυσική για Μηχανικούς

x y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

Transcript:

fysoblog.blogspot.com Πανεπιστήμιο Αηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙ: Αλλαγή Συστήματος Συντεταγμένων Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των τελεστών και σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων. Εξετάζονται οι περιπτώσεις πολικών συντεταγμένων, σφαιρικών συντεταγμένων και κυλινδρικών συντεταγμένων. Ο Γενικός μετασχηματισμός Για να μελετήσουμε (σε ένα μετρικό χώρο τη μετάβαση από ένα καρτεσιανό σε ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων ξεκινάμε από μια ποσότητα η οποία δεν αλλάζει αν αλλάξουμε το σύστημα συντεταγμένων: το μήκος του στοιχειώδους ανύσματος ds. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων το μήκος αυτό καορίζεται από το Πυαγόρειο Θεώρημα : ds ( dx + ( dx + ( dx +... (. Στη σχέση αυτή χρησιμοποιήσαμε τον (πολύ βολικό συμβολισμό x x, y x, x,... ενώ τα αποσιωπητικά δηλώνουν ότι δεν δουλεύουμε κατ ανάγκη στις διαστάσεις. Έστω τώρα ότι κάνουμε την αλλαγή x x( q, q, q,..., x x( q, q, q,...,... (. που σημαίνει ότι τα στοιχειώδη μήκη στην ( μπορούν να γραφούν x dx dq,,,,... q (. Βέβαια, εωρούμε ότι η αλλαγή (. είναι αντιστρεπτή, δηλ. Ότι μπορούμε να γράψουμε: q q( x, x, x,..., q q( x, x, x,...,... (.4 και επομένως q dq dx,,,,... x (.5 Αντικαιστώντας τη σχ. (. στη σχ. (. παίρνομε x x ds dxdx dqdq g( q dqdq, q q (.6, Η ποσότητα x x g ( q g ( q q q (.7 λέγεται μετρικός τανυστής και παίζει ρόλο κλειδί στη μετάβαση από ένα σύστημα συντεταγμένων σε άλλο. Σε ότι ακολουεί α εωρούμε τον μετρικό τανυστή διαγώνιο: g ( q 0 όταν. Αυτό, όπως α διαπιστώσουμε, σημαίνει ότι α εωρούμε το νέο σύστημα ορογώνιο όπως και το καρτεσιανό. Με άλλα λόγια α εωρούμε ότι οι οικογένειες επιφανειών q( x, x, x,... c;,,,... (όπου c σταερές τέμνονται κάετα μεταξύ τους. Ο περιορισμός αυτός, με τη βοήεια της σχ. (.7 μεταφράζεται στην

fysoblog.blogspot.com x g ( q h ( q δ όπου h ( q g ( q q (.8 Μετά από τη σχέση αυτή το στοιχειώδες μήκος (.6 γράφεται : ds h dqdq ( hdq + ( hdq +... (.9 Στο αποτέλεσμα αυτό μπορούμε να διαβάσουμε πολλά πράγματα. Το πρώτο είναι ότι οι συνιστώσες του στοιχειώδους ανύσματος ds έχουν μέγεος : ds h( q dq,,... (.0 γεγονός που μας επιτρέπει να ονομάσουμε τις συναρτήσεις h παράγοντες βάμισης. Το δεύτερο είναι ότι και στο νέο σύστημα συντεταγμένων μετράμε αποστάσεις όπως και στο καρτεσιανό: μέσω το Πυαγορείου εωρήματος. Αυτή η διαπίστωση δεν είναι παρά ένας άλλος τρόπος να πούμε ότι και το νέο σύστημα είναι ένα ορογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Μετά την παραπάνω ανάλυση είναι λογικό να εισάγουμε μια οροκανονική βάση ανυσμάτων του νέου συστήματος eˆ ( ˆ q e( q δ,,,,,... (. μέσω των οποίων να γράψουμε ds ( h ˆ ˆ ˆ dq e+ ( hdq e +... ( hdq e (. έτσι ώστε η σχέση (.9 να προκύπτει ως άμεση (και προφανής συνέπεια. Έχει ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον να βρούμε τη σχέση ανάμεσα στη βάση (. και στην αντίστοιχη βάση του καρτεσιανού συστήματος : xˆ ˆ x δ. Η σχέση αυτή μπορεί να βρεεί αν συγκρίνουμε την αναπαράσταση του στοιχειώδους ανύσματος ds στα δύο συστήματα συντεταγμένων : ds dxxˆ + dx ˆ ˆ ˆ x +... hdqe + hdqe +... (. Παίρνοντας τα εσωτερικά γινόμενα με x ˆ και e παίρνομε: xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ds dx hdqe x + hdqe x +... hdqe x (.4 eˆ ds h dq dx xˆ eˆ + dx xˆ eˆ +... dx xˆ eˆ Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις με τις (. και (.5 α δούμε ότι x x dx ˆ ˆ ˆ( ˆ hdqe x dq e q x γ ( q q h( q q (.5 q q hdq ˆ ˆ ˆ( ˆ dxx e h dx e q x γ ( q h( q x x Οι ποσότητες eˆ( ˆ q x γ ( q λέγονται (για ευνόητους λόγους συνημίτονα κατεύυνσης και συνδέουν τις δύο βάσεις μεταξύ τους: eˆ( q γ ( q xˆ, xˆ γ ( q eˆ ( q (.6 Ένα πρώτο συμπέρασμα που α μας είναι χρήσιμο είναι τα στοιχείο όγκου στα δύο συστήματα συντεταγμένων. Όπως μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε α είναι : D dv d s ds ds ds... dx dx dx... h dq h dq h dq... (.7 Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε και μέσω της σχέσης :

fysoblog.blogspot.com ( x, x, x,... dx dx dx... dq dq dq... (.8 ( q, q, q,... ( x, x, x,... Το σύμβολο ( q, q, q,... (Jacoban στην προηγούμενη σχέση είναι η ορίζουσα : x x x q q q ( x, x, x,... x x x ( q, q, q,... q q q......... (.9 Από τις σχέσεις στις οποίες έχουμε καταλήξει μπορούμε να βρούμε τώρα την κλίση (gad μιας (βαμωτής συνάρτησης : f q f f f f xˆ ˆ ( ˆ ( ( ˆ x x γ γ x x x q hq hq και επομένως f eˆ ( q f (.0 h ( q q Η Laplacan βρίσκεται αμέσως από την τελευταία σχέση : ˆ ˆ e( q e( q h( q q h( q q eˆ ( q + eˆ ( q h q q h q q q h q h q q ( (, ( ( (. ( Για το τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε την ορογωνιότητα (. των e ˆ. Πολικές συντεταγμένες Σαν ένα πρώτο παράδειγμα α εφαρμόσουμε τα παραπάνω συμπεράσματα για την περίπτωση πολικών συντεταγμένων x cos, y sn (. Εδώ είμαστε σε δύο διαστάσεις και για να βρούμε την αντιστοιχία με τον προηγούμενο συμβολισμό ά γράψουμε q, q. Οι ποσότητες που μας χρειάζονται μπορούν να βρεούν αμέσως :

fysoblog.blogspot.com x y x y +, + h h h h x y e x+ y cosx+ sny h x y e x+ y snx+ cosy h (. γ cos, γ sn, γ sn, γ cos Επομένως : cos sn γ + γ x h h (.4 sn cos γ + γ + y h h eˆ ˆ ˆ ˆ + e e + e h h (.5 (.6 Για την Laplacan αυτό που χρειάζεται να παρατηρήσουμε είναι ότι και έτσι eˆ eˆ eˆ ˆ ˆ ˆ 0 και ότι ˆ, ˆ e e e e e q q + + (.7 (.8 Το αντίστοιχο παράδειγμα στις διαστάσεις αφορά στις σφαιρικές συντεταγμένες : x cos sn, y snsn, cos (.9 ( εδώ q, q, q Εύκολα μπορούμε να βρούμε ότι : x y x y + +, + + h h h x y + + sn 4

fysoblog.blogspot.com x eˆ ˆ cos sn ˆ sn cos ˆ cos ˆ x x+ y+ h x eˆ xˆ cos cos ˆ sn cos ˆ sn ˆ x+ y h x eˆ xˆ sn ˆ cos ˆ x+ y h γ cossn, γ snsn, γ cos γ coscos, γ sncos, γ sn γ sn, γ cos, γ 0 (.0 Κι έτσι : sn γ cossn + coscos x h q sn cos γ snsn + sncos + y h q sn γ cos sn h q (. Η κλίση έχει τη μορφή eˆ ˆ ˆ + e + e sn Για να βρούμε τη Laplacan α παρατηρήσουμε πρώτα ότι eˆ eˆ eˆ ˆ eˆ, 0, cos eˆ, e 0 και α εφαρμόσουμε τη γενική έκφραση για να πάρουμε: + + cot + + sn (. (.. Κυλινδρικές συντεταγμένες Δίδονται από τις σχέσεις x cos, y sn, είναι προφανώς ισοδύναμο με ένα διδιάστατο σύστημα πολικών συντεταγμένων το οποίο μπορεί να κινηεί στον άξονα. Η περιγραφή, επομένως, μπορεί να διαβαστεί από τα αποτελέσματα που ήδη βρήκαμε: h h, h h, h h x y e x+ y cosx+ sny h x y e x+ y snx+ cos y h eˆ eˆ ˆ 5

fysoblog.blogspot.com γ cos, γ sn, γ sn, γ cos γ γ 0, γ γ 0, γ γ + γ cos sn x h h γ + γ sn + cos y h h eˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + e e + e + e h h (.4 + + + 4. Τελεστές της στροφορμής Γυρνάμε τώρα στην αναπαράσταση των τελεστών L ˆ, καρτεσιανές και σφαιρικές συντεταγμένες. Μετά από τα προηγούμενα αποτελέσματα είναι εύκολο να δούμε ότι: ˆ L ˆˆ ˆ ˆ x yp py y δ ( y Lˆ ˆ ˆ ˆˆ y px xp x δ ( x Lˆ ˆˆ ˆˆ xpy ypx x y δ ( y x ˆ L και ˆL ± στον χώρο των έσεων σε (.5 και ˆ ˆ ˆ L + Lx + Ly ( + ( x+ y ( x y δ Lˆ Lˆ ˆ x Ly ( ( x y δ ( x y (.6 Αν χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (. α βρούμε : ˆ Lx ( sn coscot δ( ˆ Ly ( cos sncot δ( Lˆ δ ( ˆ L+ e ( cot δ( ˆ L e ( cot δ( (.7 6

fysoblog.blogspot.com Στις παραπάνω σχέσεις τη συνάρτηση δ α πρέπει να τη διαβάζουμε σε σφαιρικές συντεταγμένες : δ ( δ( δ( δ( (.8 sn Η σχέση αυτή μπορεί να παραχεί από τις ιδιότητες της συνάρτησης δ αλλά και από τον ορισμό της. Πράγματι. σε καρτεσιανές συντεταγμένες α έχουμε D d f( δ ( f(. Αν πάμε σε ένα καμπυλόγραμμο (ορογώνιο σύστημα η παραπάνω σχέση α πάρει τη μορφή D (... ( (, d q h h ( D f q δ q q f q όπου με δ ( qq, σημειώσαμε την αναζητούμενη έκφραση της συνάρτησης δ. Το συμπέρασμα τώρα είναι άμεσο: δ( qq, δ( q q... δ( qd q D δ( q q (.9 h... hd h... hd Μπορούμε επίσης να βρούμε από τις σχ.(.7 ˆ ˆ ˆ ˆ Lx + Ly + L L + cot + δ( (.40 sn και ο τελεστής κινητικής ενέργειας α είναι : pˆ + L δ ( (.4 m m όπου γράψαμε L + cot + (.4 sn 5. Σημείωση Η σχέση (.4 μπορεί να γραφεί και με τη μορφή pˆ pˆ + L δ ( (.4 m m όπου pˆ + (.44 ο λεγόμενος τελεστής της ακτινικής ορμής. Το αποτέλεσμα (.4 μπορούμε να το ελέγξουμε αμέσως από το εξής: f f ( + ( + f ( + ( f + f + (.45 Την ονομασία του τελεστή την καταλάβενομε αν πάμε στη σχέση d m m [ H, ] p (.46 dt oρσ Αμέσως βλέπομε ότι m p ( +,, +, + m και έτσι p ( + (.47 7