Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 /4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z 0 () z Παραγωγίζουμε την () ως προς z 6z z () ( z ) Αντικαθιστούμε την () στην () και παίρνουμε τελικά: z 6z z 6z z z z z ( z ) ( z ) ( z ) Άσκηση (Μονάδες ) Εξετάστε αν το σημείο (, /) αποτελεί κρίσιμο σημείο της συνάρτησης f (, ) 4 και αν ναι σε τι τοπικό ακρότατο αντιστοιχεί. Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους: f (, ) f (, ) 4 Για να είναι το (, /) κρίσιμο σημείο θα πρέπει σε αυτό το σημείο οι f, f να δίνουν 0. Πράγματι:

2 f (, ) 0 f (, ) 0 Υπολογίζουμε τις παραγώγους δεύτερης τάξης: f (, ) 6, f (, ), f (, ) Στο σημείο (, /) θα είναι: f (, ), f (, ), f (, ) Επομένως η Εσσιανή στο σημείο (, /) γίνεται f f f ( ) 0 0 Άρα το σημείο (, /) αντιστοιχεί σε Σαγματικό σημείο. Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα I dd αφού προηγουμένως πραγματοποιήσετε αλλαγή στη σειρά ολοκλήρωσης. Τα άκρα ολοκλήρωσης δηλώνουν το ακόλουθο χωρίο: Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης το χωρίο πρέπει να σπάσει σε δύο υποχωρία. Έτσι θα έχουμε: 6 8 I I I dd dd 0 Για το πρώτο ολοκλήρωμα έχουμε:

3 I dd 4 d d Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε: I dd 8 8 ( 8) 6 d d Τελικά: I. 0 Άσκηση 4 (Μονάδες.5) Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I 4 d c όπου c το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία P(,0), Q(6,0) και R(4,)

4 Παραμετροποιούμε το κάθε ευθύγραμμο τμήμα: c : toq( t) OP t 6,0 ( t),06t( t),0t,0, 0t '( t) 0 c : tor ( t) OQ t 4, ( t) 6,0 4t 6( t),t t 6, t, 0 t '( t) c : top ( t) OR t,0 ( t) 4, t 4( t), ( t) t 4, t, 0 t '(t) Θα είναι I II I 4 d 4 d 4 d c c c Θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο για κάθε ένα ευθύγραμμο τμήμα C t f ( d, ) f t ( ), t ( ) '( tdt ) C t I 4 d 4 t (0) 0dt 0 C I 4 d 46t( t) dt 48t8t dt 4t4t t 4 44 ( ) ( ) C t t t 0 Έτσι παίρνουμε: 6 I II I I d t t dt t t dt 0 Άσκηση 5 (Μονάδες.5) Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα e dd για T (, ) :, 0, 0 T κάνοντας χρήση του μετασχηματισμού: u, v Το χωρίο Τ είναι το ακόλουθο:

5 Επιλύουμε τις σχέσεις του μετασχηματισμού ως προς και u v, u v Οι συνθήκες του χωρίου Τ εκφραζόμενες σε u και v δίνουν: u u v u v u v u v Επομένως το χωρίο ολοκλήρωσης μετασχηματίζεται στο: Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι η: (, ) u v Juv (, ) ( uv, ) u v Θα εφαρμόσουμε ολοκλήρωση πρώτα ως προς v και μετά ως προς u:

6 u v u v u u e dd e dvdu e dv du T u u v u u ue du u e e du e e udu u u 4 e e e e Άσκηση 6 (Μονάδες.5) Δίνεται το πεδίο F,. Χρησιμοποιείστε το θεώρημα Green, αφού προηγουμένως δείξετε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του, για να υπολογίσετε την κυκλοφορία ˆ FTds κατά μήκος του κύκλου c: 4 με κίνηση κατά την ορθή C φορά. Είναι: P Q, Q P, Το θεώρημα Green μπορεί να εφαρμοσθεί καθώς το χωρίο R είναι απλά συνεκτικό και η καμπύλη C είναι απλή, κλειστή, λεία και διαγράφεται κατά την ορθή φορά. Επίσης η F και οι παράγωγοι της είναι συνεχείς στο R Το θεώρημα Green δίνει: ˆ Q P F T ds da da da C R R R Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα σε πολικές συντεταγμένες: 4 r rrdrd d r dr Άσκηση 7 (Μονάδες ) Βρείτε το έργο της μετατόπισης ενός σώματος μεταξύ των σημείων Α( π,) και Β(π/, ) κατά μήκος της καμπύλης c του σχήματος μέσα στο πεδίο: F(, ) cos, sin A c B

7 Είναι: P cos, Qsin P Q cos Άρα το πεδίο είναι συντηρητικό. Θα υπολογίσουμε τη συνάρτηση δυναμικού. Έχουμε: f cos () f sin () Ολοκληρώνοντας την () παίρνουμε: f (, ) cos d sin g ( ) () Παραγωγίζουμε την () ως προς και συγκρίνουμε με την (): g f sin g g( ) c f sin Η συνάρτηση δυναμικού είναι τελικά η: f (, ) sin c Έτσι από το θεμελιώδες θεώρημα των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων παίρνουμε: 9 W F ds f( B) f( A) f( /, ) f(,) c Ερωτήσεις Mathematica (Bonus Μονάδες.5). Δώστε τις εντολές Mathematica που είναι απαραίτητες για την ολοκλήρωση των ακόλουθων ενεργειών: Δημιουργήστε τη συνάρτηση: f (, ) 4 cos Απάντηση: f[_,_]:=4 Cos[] Κάντε τη γραφική παράστασή της. Απάντηση: PlotD,,,,,,, Υπολογίστε την μερική παράγωγο: f (, ) Απάντηση:,,/.,. Περιγράψτε τι σημαίνει η ακόλουθη N Απάντηση: Υπολογισμός της αριθμητικής τιμής του ου αποτελέσματος

8 . Χρησιμοποιείστε την εντολή Table για να δημιουργήσετε έναν πίνακα Α 55, όπου κάθε στοιχείο του ισούται με το άθροισμα των δεικτών της θέσης του. Στη συνέχεια εμφανίστε τον Α σε μορφή πίνακα. Απάντηση: Table,,,5,,,5 4. Αν στην εντολή Plot διαπιστώσουμε ότι ένας κύκλος εμφανίζεται ως έλλειψη, πώς μπορούμε να το διορθώσουμε; Απάντηση: Χρησιμοποιούμε το option: AspectRatio >Automatic 5. Κάντε την γραφική παράσταση της καμπύλης με εξίσωση: Απάντηση: ContourPlot 4,, 0, 0,, 0, 0 6. Έστω ότι η μεταβλητή b ισούται με ( 4) ln Με ποιόν τρόπο μπορώ να απομονώσω τον παρονομαστή +7 και να τον αποδώσω σε μια νέα μεταβλητή; Απάντηση: H πραγματική εντολή είναι η,,,,,, αλλά επειδή δεν είναι εύκολο να βρεθεί χωρίς υπολογιστή, η δεκτή απάντηση για την πρόοδο είναι η,,,