Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές

ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως η διαφορική εξίσωση γίνεται: θ = g θ sinθ = θ θ 3 3! + θ 5 5! + θ Δ.Ε. αρµονικού ταλαντωτή Άρα η λύση είναι: θ ( t) = Acos( ω t + ϕ) όπου: ω = g Προσοχή στην ορολογία: To ω δεν είναι η γωνιακή ταχύτητα, αλλά η γωνιακή συχνότητα: ω = πν = π Τ Τ = π ω Τ = π g Ανεξάρτητο της µάζας

ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 3 Απλό εκκρεµές Με το νόµο του Newton -y y θ x T ĵ mg î Η δύναµη του νήµατος Τ στη µάζα m γράφεται: Τ = ( T sinθ )î + ( T cosθ) ĵ ( ) ĵ Το βάρος είναι: w = mg Εποµένως στον y-άξονα η συνισταµένη δύναµη είναι: F y Αλλά γεωµετρικά: cosθ = y ( ) mg + T cosθ = m d y = ma y = mg + T cosθ y mg + T = d y m dt Στη x-διεύθυνση: F x = ma x = T sinθ T sinθ = m d x dt T x = m d x dt Για µικρές γωνίες εκτροπής θ, η κατακόρυφη κίνηση είναι αµελητέα συγκριτικά µε την οριζόντια και µπορούµε να αγνοήσουµε την d y dt Ακόµα για µικρές γωνίες y << και εποµένως: cosθ = y Η εξίσωση στην y-διεύθυνση γίνεται: mg + T T mg Στη x-διεύθυνση έχουµε: mg x = m d x dt d x dt 1 dt + g x = Δ.Ε. αρµονικού ταλαντωτή

ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 4 Εκκρεµή - Φυσικό εκκρεµές θ CM mg τ = mg sinθ = Ι d θ dt = I θ θ = mg sinθ I για µικρό θ: sinθ~θ è θ = mg θ I Εποµένως εξίσωση αρµονικού ταλαντωτή. Η λύση γνωστή Η γωνιακή συχνότητα, ω, στην περίπτωση αυτή είναι: ω = mg I ενώ πριν είχαµε βρει µόνο: ω = g Εποµένως η περίοδος είναι διαφορετική µεταξύ απλού και φυσικού. Πόσο? Για ένα µέτρο µήκος εκκρεµούς αλλάζει σε σχέση µε το φυσικό κατά ~% Τα περισσότερα ρολόγια έχουν περίοδο sec.

ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 5 Ενέργεια εκκρεµούς Θεωρήστε την ενέργεια του εκκρεµούς: cosθ θ v b m h=-cosθ H δυναµική ενέργεια θεωρώντας σαν επίπεδο µηδενικού δυναµικού (U=) το χαµηλότερο σηµείο: U = mgh = mg( 1 cosθ) Παίρνοντας και πάλι το ανάπτυγµα Tayor έχουµε: cosθ 1 1! θ + 1 4! θ 4 + Εποµένως το δυναµικό γράφεται: U = 1 mgθ H εξίσωση της τροχιάς είναι θ ( t) = θ max cos( ωt + ϕ) Άρα U = 1 mgθ max Κινητική ενέργεια? cos ( ωt + ϕ) Ποιο το ω? ω = g ω = g ταχύτητα? υ b = dθ dt E κιν = 1 m ω θ max sin ( ωt + ϕ) = 1 mgθ max sin ( ωt + ϕ) Ολική Ενέργεια: E = U + E κιν E = 1 mgθ max

ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 6 Παράδειγµα Ένα εκκρεµές µήκους 15m ξεκινά µε ταχύτητα υ =3.9m/s, θ=1 ο Ποιο το πλάτος της ταλάντωσης; Λύση θ=1 ο επομένως μικρό E 1 mυ + 1 mgθ = 1 mgθ max θ max = E mg = υ g + θ Απλή αντικατάσταση: ( 3.9) = 9.8 θ max ( )( 15) + ( 1π /18 ) θ max =.13 θ max =.37ακτινια

Παράδειγµα φυσικού εκκρεµούς Ένα στεφάνι ακτίνας 3cm κρέµεται από ένα καρφί. Ποια η συχνότητα των ταλαντώσεών του καρφί R CM mg Το στεφάνι καθώς ταλαντώνεται γύρω από το καρφί αποτελεί ένα φυσικό εκκρεµές. Ξέρουµε ότι η γωνιακή συχνότητα του φυσικού εκκρεµούς δίνεται από ω = Mgd I καρϕι, d = R I καρϕι = I CM + MR I καρϕι = MR + MR I καρϕι = MR Οπότε ω = MgR MR ω = g R ω = 9.8.3 ω = 4.4 f = ω π f =.64Hz

ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 8 Φθίνουσες ταλαντώσεις q Οι περισσότερες ταλαντώσεις στη φύση εξασθενούν (φθίνουν) γιατί χάνεται ενέργεια. q Φανταστείτε ένα σύστημα κάτω από μια δύναμη αντίστασης της μορφής F = bυ b x Αυτή η δύναμη δρα επιπλέον της δύναμης επαναφοράς του ελατηρίου q Κοιτάμε τέτοιες δυνάμεις επειδή: Ø Είναι λογικό να χουμε τέτοια συμπεριφορά δύναμης Ø Μπορούμε να λύσουμε ακριβώς την εξίσωση για x(t) F = ma Kx b x = m x x + γ x + ω x = (1) όπου γ b m και ω Κ m φυσική συχνότητα συστήματος q Μαντεύουμε μια λύση της μορφής x(t) = Ae at και αντικαθιστούμε: (1) a Ae at + γ aae at + ω Ae at = a + γ a + ω = a = γ ± γ ω Τρεις περιπτώσεις ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας

ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 9 Φθίνουσες ταλαντώσεις Μικρή απόσβεση (γ<ω ) Ορίζουμε Ω ω γ επομένως a γ ± iω γ t +iω Έχουμε έτσι δύο λύσεις: x(t) = Ae και γ t iω x(t) = Ae Ø Από τη στιγμή που η εξίσωση είναι γραμμική ως προς x το άθροισμα των παραπάνω λύσεων θα είναι επίσης λύση. Ø Μια και λέμε ότι κάνουμε φυσική, η εξίσωση θέσης, x(t), πρέπει να ναι πραγματική και όχι μιγαδική. Άρα οι λύσεις πρέπει να ναι συζυγείς μιγαδικοί: x(t) = Ce γ t i Ωt +ϕ e ( ) + e ( i( Ωt +ϕ) ) = De γ t cos Ωt + ϕ ( ) A = B Ce iϕt H x(t) μοιάζει με μια συνημιτονοειδή συνάρτηση ταλάντωσης μέσα σε μια e -γt εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση H συχνότητα ταλάντωσης είναι: Ω ω γ = K m b m παράδειγμα Tα D και φ της x(t) καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες

ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 1 Φθίνουσες ταλαντώσεις Μεγάλη απόσβεση (γ>ω ) Ορίζουμε Ω γ ω επομένως a γ ± Ω Η γενική λύση στην περίπτωση αυτή είναι και προφανώς πραγματική. x(t) = Αe (γ +Ω) t (γ Ω)t + Βe Αρνητικό εκθετικό Δεν υπάρχει κίνηση ταλάντωσης στην περίπτωση αυτή. x(t) μοιάζει όπως τα παρακάτω σχήματα x x t ή t (γ Ω)t Σημειώστε ότι γ + Ω > γ Ω για μεγάλα t, x(t) μοιάζει με x(t) Be αφού ο πρώτος όρος Για μεγάλα γ, γ Ω (γ +Ω) t x(t) = Αe είναι ακόμα πιο μικρός είναι πολύ μικρό και το x πηγαίνει στο αργά γιατί γ Ω = γ γ 1 ω γ γ γ 1 ω γ = ω γ = μικρό

Φθίνουσες ταλαντώσεις Κριτική απόσβεση (γ=ω ) q Στην περίπτωση αυτή, a = γ ±, και επομένως έχουμε μόνο μια λύση της Δ.Ε Ø Είναι η περίπτωση που η στρατηγική του να δοκιμάζουμε μια εκθετική λύση για την επίλυση Δ.Ε. δεν δουλεύει. q Μια άλλη λύση βγαίνει τελικά ότι είναι της μορφής q Προσθέτοντάς την στην προηγούμενη γενική λύση έχουμε: O όρος e γt ( ) = Ae γ t + Bte γ t x( t) = e γ t ( A + Bt) x t x( t) = Bte γ t υπερισχύει του όρου Βt και για μεγάλα t το x κατά e γt ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 11 q Η κριτική απόσβεση επαναφέρει το x στο μηδέν γρηγορότερα απ όλες τις διεργασίες απόσβεσης. Ø Για πολύ μεγάλα γ, η μεγάλη απόσβεση πηγαίνει στο x= πολύ αργά (καμπύλη c) Ø Για πολύ μικρά γ, η μικρή απόσβεση πηγαίνει στο x= πολύ αργά (καμπύλη α) t Ø Για γ=ω, κριτική απόσβεση πηγαίνει στο x= γρηγορότερα (καμπύλη b)