Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις

14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B (μονοδιάστατη) κίνηση Brown. Οταν σ, η (14.1) είναι η γενική μορφή της συνήθους διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης. Θεωρούμε τη διήθηση (F ) που παράγεται από την κίνηση Brown. Δηλαδή F := σ({b s : s [, ]}) για κάθε. Λύση της (14.1) λέμε κάθε ανέλιξη (X ) που έχει συνεχή μονοπάτια είναι προσαρμοσμένη στην (F ) για κάθε >, με πιθανότητα 1, ισχύει με πιθανότητα 1 ισχύει X = x + µ(s, X s ) ds <, µ(s, X s ) ds + σ 2 (s, X s ) ds < σ(s, X s ) db s για κάθε >. (14.2) Θα σχολιάσουμε τώρα τη σημασία των συναρτήσεων µ, σ. Ας υποθέσουμε ότι είναι και οι δύο τους φραγμένες και συνεχείς συναρτήσεις. Με χρήση της (14.2), παίρνουμε E(X +h X F ) = +h E(µ(s, X s ) F ) ds hµ(, X ), δηλαδή η µ(, x) δίνει το ρυθμό της μέσης μεταβολής της X τον χρόνο δεδομένου του παρελθόντος F αν X = x. Για την ερμηνεία της σ, υπολογίζουμε Var(X +h X F ) = E ( {X +h X E(X +h X F )} 2 ) F { +h +h } 2 = E {µ(s, X s ) E(µ(s, X s ) F )} ds + σ(s, X s ) db s F { +h } 2 ( +h ) = o(h) + E σ(s, X s ) db s F = E σ 2 (s, X s ) ds F + o(h) hσ 2 (, X ). Με o(h) συμβολίζουμε μια συνάρτηση g(h) που έχει την ιδιότητα lim h g(h)/h =. Αρα, ξέροντας ότι X = x, για μικρό h, η διασπορά της μεταβολής X +h X δεδομένου του παρελθόντος F είναι ανάλογη του h και η σ 2 (, x) είναι η σταθερά αναλογίας. 12

14.2 Χρήση στη μοντελοποίηση 13 14.2 Χρήση στη μοντελοποίηση Οι στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις συνήθως προκύπτουν στις εφαρμογές όταν σε ένα φαινόμενο που μοντελοποιείται από μια συνήθη διαφορική εξίσωση θέλουμε να συνυπολογίσουμε την επίδραση παραγόντων τυχαιότητας/αβεβαιότητας. Για παράδειγμα, αν «εκτοξεύσουμε» μέσα σε ένα δοχείο με υγρό σε ηρεμία (π.χ. νερό) ένα μικρό σωματίδιο μάζας m με δεδομένη ταχύτητα v, πειραματικές μετρήσεις έχουν δείξει ότι πάνω του ασκείται δύναμη αντίστασης από το υγρό, η οποία έχει φορά αντίθετη από αυτή της ταχύτητας και μέτρο ανάλογο της ταχύτητας. Και η βαρυτική δύναμη έχει αμελητέα επίδραση. Ετσι, μένοντας σε αυτό το επίπεδο λεπτομέρειας, παίρνουμε από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα την εξής εξίσωση για την ταχύτητα του σωματιδίου m dv d = Cv. Η σταθερά C > εξαρτάται από το ιξώδες του υγρού και το μέγεθος του σωματιδίου. Δηλαδή, σε μικρό χρονικό διάστημα d, για τη μεταβολή στην ορμή του σωματιδίου έχουμε mdv = Cv d. Κοιτώντας το φαινόμενο πιο προσεκτικά, βλέπουμε ότι πολλά μόρια νερού, που κινούνται τυχαία, προσκρούουν στο σωματίδιο από όλες τις κατευθύνσεις. Κάθε χρονική στιγμή η επίδρασή τους στην ορμή του σωματιδίου είναι αυξητική ή μειωτική και αλλάζει από στιγμή σε στιγμή. Αυτό το συνυπολογίζουμε συμπληρώνοντας την πιο πάνω διαφορική εξίσωση ως εξής mdv = Cv d + σdb. Το σ είναι μια θετική σταθερά και ο νέος όρος, σdb, έχει μέση τιμή και διασπορά σd. Η εξίσωση στην οποία καταλήξαμε λέγεται εξίσωση Ornsein-Uhlenbeck και θα την λύσουμε πιο κάτω. Αν θα την κρατήσουμε τελικά για τη μοντελοποίηση του φαινομένου εξαρτάται από το πόσο συμφωνούν οι συνέπειές της με πειραματικές μετρήσεις. 14.3 Παραδείγματα Οπως συμβαίνει με τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, έτσι και με τις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ στο εξής), υπάρχουν μέθοδοι επίλυσης μόνο για μερικές από αυτές, που έχουν ειδική μορφή. Περισσότερα θα πούμε στο επόμενο κεφάλαιο. Για τώρα, θα λύσουμε τρείς απλές ΣΔΕ και στο τέλος του κεφαλαίου θα αναφέρουμε ένα θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης. Πολύ χρήσιμος στη διαδικασία επίλυσης είναι ο τύπος του Iô. Παράδειγμα 14.1 (Η γεωμετρική κίνηση Brown). Η πρώτη εξίσωση που θα δούμε είναι αυτή που ορίζει τη γεωμετρική κίνηση Brown και είναι η dx = µx d + σx db, X = x, όπου x >, µ R, σ >, και B είναι μια τυπική κίνηση Brown. Θέτουμε Y := log X. Ο τύπος του Iô (έκδοση IV) δίνει dy = 1 dx 1 1 (dx X 2 X 2 ) 2 = µ d + σ db 1 X 2 2X 2 σ 2 d = (µ 12 ) σ2 d + σ db.

14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις Επομένως Y Y = (µ 12 σ2 ) + σb, και άρα X = x e (µ 1 2 σ2 )+σb (14.3) για κάθε >. Πιο πάνω, κάποια βήματά μας δεν τα δικαιολογήσαμε. Για παράδειγμα, δεν είναι σαφές αν η X είναι πάντοτε θετική ώστε να ορίζεται η Y. Τώρα που μαντέψαμε μια λύση, επιστρέφουμε και με τη χρήση του τύπου του Iô επιβεβαιώνουμε ότι πράγματι είναι λύση. Αυτή τη φορά, όλα τα βήματα μπορούν να δικαιολογηθούν. Για την ασυμπτωτική συμπεριφορά της X έχουμε τα εξής: (i). Αν µ < σ 2 /2, τότε lim X =. (ii). Αν µ > σ 2 /2, τότε lim X =. (iii). Αν µ = σ 2 /2, τότε lim X =, lim X =. Αυτοί οι ισχυρισμοί προκύπτουν από τον τύπο (14.3) για τη X και το νόμο επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου [σχέσεις (5.5). Για τις (i), (ii) αρκεί η (5.2)]. Είναι αξιοπρόσεκτο ότι για µ (, σ 2 /2), το οποίο είναι θετικό και επομένως προκαλεί σταθερή ντετερμινιστική σχετική αύξηση στη X, η X συγκλίνει στο. Οι διακυμάνσεις της κίνησης Brown είναι αρκετά ισχυρές (λόγω του μεγάλου σ) ώστε συνεχώς να οδηγούν τη X σε μικρές τιμές. Παράδειγμα 14.2 (Η ανέλιξη Ornsein-Uhlenbeck). Θεωρούμε τώρα τη στοχαστική διαφορική εξίσωση dx = ax d + σ db, X = x, όπου x R, a, σ >, και B είναι μια τυπική κίνηση Brown. Για c R υπολογίζουμε το διαφορικό της e c X χρησιμοποιώντας την Πρόταση 12.12. d(e c X ) = d(e c )X + e c dx + d(e c )(dx ) = ce c X d ae c X d + σe c db = (c a)e c X d + σe c db. Αρα επιλέγοντας c = a, έχουμε d(e a X ) = σe a db, δηλαδή e a X X = σ eas db s και άρα X = x e a + σe a e as db s (14.4) για κάθε. Αυτή είναι η ανέλιξη Ornsein-Uhlenbeck και, μιας και τη συναντήσαμε, να παρατηρήσουμε κάποιες ιδιότητές της. Το στοχαστικό ολοκλήρωμα στην (14.4) είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή N(, s()) ( Ασκηση 9.7) όπου ( ) s() = σ 2 e 2a E e 2as ds = σ 2 1 e 2a. 2a Και από αυτή την παρατήρηση προκύπτουν τα εξής: Α. Η X συγκλίνει κατά κατανομή σε τυχαία μεταβλητή Y N(, σ 2 /2a). Αυτό προκύπτει από το ότι lim σ() = σ 2 /2a και από την Πρόταση Αʹ.1. Β. Αν η αρχική τιμή της X δεν είναι σταθερή αλλά είναι μια τυχαία μεταβλητή X N(, σ 2 /2a) ανεξάρτητη από την κίνηση Brown, τότε για κάθε > ισχύει επίσης X N(, σ 2 /2a).

14.4 Υπαρξη και μοναδικότητα λύσης 15 Αυτό γιατί η X ως άθροισμα δύο ανεξάρτητων κανονικών είναι και αυτή κανονική με μέση τιμή και διασπορά σ 2 2a e 2a + σ 2 1 e 2a 2a = σ2 2a. Η X είναι μια διαδικασία Markov (δεν το δικαιολογούμε αυτό) και η κατανομή N(, σ 2 /2a) είναι η στάσιμη κατανομή της. Τα A, B θυμίζουν αποτελέσματα που ενδεχομένως ο αναγνώστης έχει δει σε μάθημα αλυσίδων Markov σε διακριτό χώρο και χρόνο. Οι πιο πάνω εξισώσεις έχουν λύσεις που ορίζονται σε όλο τον χρονικό ορίζοντα [, ). Τώρα θα δούμε και μια εξίσωση για την οποία αυτό δεν συμβαίνει. Παράδειγμα 14.3. Θεωρούμε τη ΣΔΕ dx = X 3 d + X 2 db, X = a, με a R \ {} και B μια τυπική κίνηση Brown. Αντίστοιχα με το προηγούμενο παράδειγμα, πειραματιζόμαστε υπολογίζοντας το d( f (X )) για συνάρτηση f της μορφής f (x) = x r. Προκύπτει ότι το κατάλληλο r είναι το r = 1. Υπολογίζουμε λοιπόν το διαφορικό της Y = 1/X. Αρα Y Y = B, δηλαδή X 1 dy = 1 dx X 2 + 1 2 (dx ) 2 = X d db + (X ) 3 X 4 d = db. 2 X 3 a 1 = B και άρα X = 1 a 1 B. Τώρα, σε πεπερασμένο χρόνο, η κίνηση Brown θα χτυπήσει το a 1 (Πρόταση 7.3) και λύση δεν μπορεί να υπάρχει από εκείνο το χρόνο και μετά. 14.4 Υπαρξη και μοναδικότητα λύσης Αναφέρουμε χωρίς απόδειξη το εξής θεώρημα σχετικά με την ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης της ΣΔΕ (14.1). Θεώρημα 14.4. Εστω T >. Υποθέτουμε ότι υπάρχει K > ώστε µ(, x) µ(, y) + σ(, x) σ(, y) K x y, (14.5) µ(, x) + σ(, x) K(1 + x ), (14.6) για κάθε x, y R, [, T]. Τότε υπάρχει λύση της (14.1) στο διάστημα [, T] και οποιεσδήποτε δύο λύσεις X, Y είναι μη διακρινόμενες στο [, T]. Δηλαδή P(X = Y για κάθε [, T]) = 1. Η απόδειξη του θεωρήματος δίνεται, για παράδειγμα, στην Παράγραφο 5.2 του Øksendal (23). Η (14.5) λέει ότι για κάθε σταθερό οι µ(, ), σ(, ) είναι Lipschiz σε όλο το R. Η (14.6) λέει ότι οι µ, σ αυξάνουν το πολύ γραμμικά ως προς x και επιπλέον έχουν γραμμικό άνω φράγμα το οποίο δεν εξαρτάται από το [, T]. Το θεώρημα έχει την εξής άμεση συνέπεια που αφορά ύπαρξη και μοναδικότητα στον άπειρο χρονικό ορίζοντα [, ).

16 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις Πόρισμα 14.5. Υποθέτουμε ότι για κάθε T > υπάρχει K T > ώστε µ(, x) µ(, y) + σ(, x) σ(, y) K T x y, (14.7) µ(, x) + σ(, x) K T (1 + x ) (14.8) για κάθε x, y R, [, T]. Τότε υπάρχει λύση της (14.1) στο διάστημα [, ) και οποιεσδήποτε δύο λύσεις X, Y είναι μη διακρινόμενες στο [, ). Δηλαδή P(X = Y για κάθε [, )) = 1. Απόδειξη. Εφαρμόζουμε το προηγούμενο θεώρημα για T = n N + και έχουμε ότι υπάρχει λύση X (n) της (14.1) στο [, n]. Για j, k N + με j < k θέτουμε A j,k := {ω Ω : X ( j) X (k) για κάποιο [, j]}, το οποίο λόγω του προηγούμενου θεωρήματος έχει πιθανότητα. Τότε και το A := 1 j<k A j,k έχει πιθανότητα. Θέτουμε X := X (n) για κάθε [n 1, n) και n N +. Για ω Ω\A ισχύει X = X (n) για κάθε [, n], οπότε η X είναι λύση της (14.1) στο [, n]. Και επειδή το n είναι αυθαίρετο και P(A) =, έχουμε ότι η X είναι λύση της (14.1) στο [, ). Αν X, Y είναι δύο λύσεις, τότε, με βάση το προηγούμενο θεώρημα, για κάθε n N + το σύνολο C n := {ω Ω : X Y για κάποιο [, n]} έχει πιθανότητα. Αρα και το {ω Ω : X Y για κάποιο [, )} έχει πιθανότητα ως υποσύνολο του n=1 C n. Επιστρέφοντας στα Παραδείγματα 14.1, 14.2, παρατηρούμε ότι οι ΣΔΕ που μελετήσαμε εκεί ι- κανοποιούν τις υποθέσεις του Πορίσματος 14.7. Αρα οι λύσεις που βρήκαμε είναι και μοναδικές. Αντίθετα, η ΣΔΕ του Παραδείγματος (14.3) δεν ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήματος 14.4 σε κανένα πεπερασμένο υποδιάστημα [, T]. Ετσι δεν είναι περίεργο ότι δεν έχει λύση που να ορίζεται σε όλο το [, ). Στην Ασκηση 14.2 συναντούμε μια ΣΔΕ η οποία έχει πάνω από μία λύση. Ασκήσεις Στις ασκήσεις πιο κάτω, B είναι μια τυπική κίνηση Brown. 14.1 Να λυθεί στο [, 1) η ΣΔΕ dx = X 1 d + db, X =. [Υπόδειξη: Υπολογίστε πρώτα το διαφορικό της ανέλιξης Y := X /(1 ).] 14.2 Για a > δεδομένο, θέτουμε f (x) = (x a) 3 1 x a και θεωρούμε την ανέλιξη X := f (B ). Να δειχθεί ότι η X λύνει τη ΣΔΕ dx = 3X 1/3 d + 3X 2/3 db, X =. Παρατήρηση: Κάθε a δίνει και άλλη λύση. Επομένως αυτή η ΣΔΕ έχει άπειρες λύσεις. 14.3 Να βρεθεί μια λύση της στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης dx = d + 2 X db, X = 1. [Υπόδειξη: Αναζητήστε λύση της μορφής X = f (B ). Η λύση δεν μπορεί να οριστεί σε όλο το [, ).]