Το οντέλο Black & Scholes ως όριο διωνυικών υποδειγάτων

Κεφάλαιο 6 Το οντέλο Blac & Scoles ως όριο διωνυικών υποδειγάτων 61 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάλαιο θα θεωρήσουε διωνυικά υποδείγατα για τη δυναική του πρωτογενούς προϊόντος στο διάστηα [0,T], όπου το πλήθος των περιόδων N είναι πολύ εγάλο, ενώ η χρονική διάρκεια που αντιστοιχεί σε ια περίοδο είναι = T/N Θα δούε ότι ε κατάλληλη επιλογή των παραέτρων του οντέλου, στο όριο, καθώς N, ηστοχαστικήδιαδικασίαπουπεριγράφειτηναξίατουπρωτογενούς προϊόντος συγκλίνει σε ια γεωετρική κίνηση Brown Αυτή η οριακή διαδικασία συνεχούς χρόνου είναι το οντέλο που πρότειναν οι Blac & Scoles Θα δούε επιπλέον ότι η ακολουθία των τιών που παίρνουε τιολογώντας ένα παράγωγο σύφωνα ε όσα άθαε στα προηγούενα κεφάλαια συγκλίνει και αυτή, καθώς το N και το όριό της είναι η αξία του παραγώγου, όπως υπολογίζεται από το οντέλο των Blac & Scoles Παρόοιο υλικό θα βρείτε και εδώ 6 Το όριο κλίακας (scaling limi) του διωνυικού υποδείγατος Ας θεωρήσουε ένα διωνυικό υπόδειγα N περιόδων για τη δυναική του πρωτογενούς προιϊόντος στο χρονικό διάστηα [0,T] Ηκάθεπερίοδοςτουοντέλουαντιστοιχείεποένωςσεχρονικήδιάρκεια = T/N Εφόσον όπως είδαε η παράετρος p του διωνυικού υποδείγατος δεν υπεισέρχεται στην τιολόγηση παραγώγων, θα θεωρήσουε ότι p =1/ Οταν το N είναι εγάλο, το είναι ικρό, είναι εποένως λογικό να επιλέξουε τις παραέτρους u, του διωνυικού υποδείγατος πολύ κοντά στο 1 Επιλέγουε λοιπόν u = u() =e µ+σ και = () =e µ σ, (61) όπου µ και σ είναι θετικές παράετροι Με αυτή την επιλογή, αποκλείονται απότοες εταβολές της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος και δεν πορούε να δούε στο όριο υποδείγατα συνεχούς χρόνου στα οποία η αξία του πρωτογενούς προϊόντος κάνει άλατα, όπως πχ οι διαδικασίες Lévy Παρότι αυτά τα υποδείγατα είναι ενδιαφέροντα και είναι πιο γενικά από το υπόδειγα Blac & Scoles, ηελέτητουςξεφεύγειαπότους σκοπούς αυτών των εισαγωγικών σηειώσεων Θα υποθέσουε, όπως συνήθως, ότι στην αγορά ας είναι διαθέσιο και ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο ε επιτόκιο r Παρατηρήστε ότι, όταν το είναι κατάλληλα ικρό, όταν δηλαδή το πλήθος N των περιόδων του υποδείγατος είναι κατάλληλα εγάλο, οι περιορισοί που επιβάλλει η αρχή της η επιτηδειότητας, e µ σ <e r <e µ+σ, ικανοποιούνται για οποιαδήποτε επιλογή των παραέτρων µ, σ,r 69

Σε αυτό το διωνυικό υπόδειγα, ηαξίατουπρωτογενούςπεριγράφεταικατάτιςχρονικέςστιγές και έχουε ότι 0= 0, 1,, N, ε =, S = S 0 ξ, =1,,,N, όπου οι {ξ } 0 N είναι ια ακολουθία από ανεξάρτητες, ισόνοες, τυχαίες εταβλητές, οι οποίες παίρνουν είτε την τιή u, είτε την τιή, καθεία ε πιθανότητα 1/ Μπορούε να ξαναγράψουε την προηγούενη σχέση ως S E := log = log ξ = µ + σ J i = µ + σ J i, (6) S 0 όπου οι τυχαίες εταβλητές {J } 1 N είναι ανεξάρτητες και παίρνουν τις τιές ±1 ε πιθανότητα 1/ Εποένως, οι {J } έχουν έση τιή ίση ε ηδέν και διασπορά ίση ε 1 Θέλουε να περάσουε στο όριο, καθώς N και να εξετάσουε την οριακή συπεριφορά της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος Εχουε όως το πρόβληα ότι η τιή του πρωτογενούς προϊόντος είναι ορισένη για κάποιες όνο χρονικές στιγές στο διάστηα [0,T] Για να ξεπεράσουε αυτό το πρόβληα, επεκτείνουε τον ορισό της για κάθε [0,T] ε γραική παρεβολή των {E } της σχέσης (6) Συγκεκριένα, αν θεωρήσουε κάποια χρονική στιγή [0,T], αυτή θα βρίσκεται ανάεσα σε δύο διαδοχικές φάσεις, +1 του διακριτού διωνυικού υποδείγατος ε N περιόδους, < +1 ( + 1), για = N = T Ορίζουε τότε και από την (6) έχουε E () = E + +1 (E +1 E ) E () = µ + σ J i + σ( ) J +1, <( + 1) (63) Επεκτείνουε τέλος την αξία του πρωτογενούς προϊόντος για κάθε [0,T] ως S () = S 0 e E() Προκειένου να κατανοήσουε την ασυπτωτική συπεριφορά της S (), καθώς N ( 0), θα χρειαστούε τα τρία επόενα λήατα από τη Θεωρία Πιθανοτήτων Τα Λήατα 5 και 6 είναι τα Θεωρήατα 44 και 446 αντίστοιχα στο [1] Το Λήα 7 είναι άεση συνέπεια του Λήατος 5 Λήα 5 Μια ακολουθία τυχαίων εταβλητών {X N } N N συγκλίνει κατά κατανοή στην τυχαία εταβλητή X (συβολίζουε X N X), αν και όνο αν για κάθε φραγένη και συνεχή συνάρτηση f έχουε E f(x N ) E f(x) (64) Επιπλέον, αν X N X και η συνάρτηση f είναι φραγένη και συνεχής έξω από ένα σύνολο A, τότε η (64) ισχύει ε την προϋπόθεση P X A =0 70

Λήα 6 Θεωρούε ια ακολουθία τυχαίων εταβλητών {X N } N N τέτοια ώστε X N X, για κάποια τυχαία εταβλητή X Αν η {Y N } N N είναι ια ακολουθία τυχαίων εταβλητών, τέτοια ώστε για κάποια σταθερά β R έχουε P Y N β > 0, > 0 και {α N } N N είναι ια πραγατική ακολουθία ε lim α N = α, τότε α N X N + Y N αx + β Λήα 7 Αν {X N } N N είναι ια ακολουθία τυχαίων εταβλητών και g είναι ια συνεχής συνάρτηση, τότε X N X = g(x N ) g(x) Ας ξαναγυρίσουε τώρα στη σχέση (63) Εφόσον +1, έχουε ότι sup 0 T σ( ) J +1 σ N 0 (65) Παρατηρήστε ακόη ότι από το Κεντρικό Οριακό Θεώρηα, για κάθε >0 έχουε 1 J i = 1 [ ] Για κάθε [0,T], από το Λήα 6 έχουε ότι και από το Λήα 7 ότι E () J i N (0, 1), 0 (66) µ + σ Z, ε Z N (0, 1) S () S 0 e µ+σ Z Βλέπουε λοιπόν ότι κάθε χρονική στιγή, ηασυπτωτικήκατανοήτηςαξίαςτουπρωτογενούςπροϊόντος ακολουθεί λογαριθική κανονική κατανοή Από το Λήα 5 έχουε ότι για κάθε φραγένη συνάρτηση f : R R E f S () 0 E f S 0 e µ+σ Z Παρατήρηση 17 Μπορούε να ενισχύσουε το προηγούενο αποτέλεσα, αν, αντί του Κεντρικού Ο- ριακού Θεωρήατος στην (66) χρησιοποιήσουε ένα βαθύτερο αποτέλεσα, την αρχή του αναλλοίωτου (invariance principle) του Monroe Donser Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηα ας δίνει πληροφορία για την κατανοή της E () σε ια συγκεκριένη χρονική στιγή ΗαρχήτουDonser περιγράφει την ασυπτωτική } 0 T, ε συπεριφορά ολόκληρης της στοχαστικής διαδικασίας {W () W () = [ ] J i Το συπέρασά της αρχής του Donser είναι ότι η {W () } 0 T συπεριφέρεται ασυπτωτικά όπως η κίνηση Brown {W } 0 T ΗκίνησηBrown είναι ια στοχαστική διαδικασία ε συνεχή ονοπάτια που χαρακτηρίζεται από το ότι έχει ανεξάρτητες, χρονικά οοιογενείς και κανονικές προσαυξήσεις Συγκεκριένα, αν 0 s, ητυχαίαεταβλητή W W s είναι ανεξάρτητη από τις {W r } 0 r s και ακολουθεί κανονική κατανοή N (0, s) Ειδικότερα, για κάθε 0 έχουε ότι W N (0,) Ενα τυπικό ονοπάτι της 71

Σχήα 61: Τυπικό ονοπάτι της κίνησης Brown κίνησης Brown φαίνεται στο Σχήα 61 Ας εφοδιάσουε τον χώρο των συνεχών ονοπατιών C [0,T]; R ε την τοπολογία που προέρχεται από τη νόρα x = sup x() 0 T και ας θεωρήσουε ια φραγένη και συνεχή συνάρτηση f : C [0,T]; R R Από τη σχέση (65), την αρχή του Donser και το Λήα 5 έχουε ότι E f {S () 0 } 0 T E f {S 0 e µ+σw } 0 T Ηασυπτωτικήσυπεριφοράπουβρήκαεγιατηναξίατουπρωτογενούςπροϊόντος, στο όριο, καθώς 0, είναι ακριβώς η υπόθεση του οντέλου των Blac & Scoles στο οποίο η αξία {S } 0 του πρωτογεννούς προϊόντος περιγράφεται από την S = S 0 e µ+σw, (67) όπου η {W } 0 είναι κίνηση Brown Ηστοχαστικήδιαδικασίαστοδεξίέλοςτης(67) αναφέρεται ως γεωετρική κίνηση Brown (geomeric brownian moion) Η παράετρος µ του οντέλου ονοάζεται τάση (rif), ενώ η παράετρος σ του οντέλου ονοάζεται εταβλητότητα (volailiy) 63 Η ασυπτωτική συπεριφορά των τιών παραγώγων Στην προηγούενη παράγραφο θεωρήσαε διωνυικά υποδείγατα N περιόδων και, ε κατάλληλη επιλογή των παραέτρων τους, είδαε ότι πορούε να πάρουε το οντέλο των Blac & Scoles στο όριο, καθώς N Ας θεωρήσουε τώρα ένα ευρωπαϊκού τύπου παράγωγο ε ωρίανση T και απόδοση f(s T ) Μπορούε να τιολογήσουε το παράγωγο σε καθένα από τα παραπάνω διωνυικά υποδείγατα όπως στα προηγούενα κεφάλαια Θα προκύψει έτσι ια αριθητική ακολουθία {V N } N των αρχικών αξιών του παραγώγου Σε αυτήν την παράγραφο θα ασχοληθούε ε την ασυπτωτική συπεριφορά αυτής της ακολουθίας 7

Θα δούε ότι κάθώς N ηακολουθίααυτήσυγκλίνεικαιθαυπολογίσουετοόριότης Είδαε στο Κεφάλαιο 4 ότι, προκειένου να τιολογήσουε ένα παράγωγο ε βάση το διωνυικό υπόδειγ- α, αρκεί να υπολογίσουε την αναενόενή του απόδοση στην ωρίανση T ως προς το αδιάφορο κινδύνου έτρο πιθανότητας και να την προεξοφλήσουε στον χρόνο, πολλαπλασιάζοντας ε τον παράγοντα e rt Το αδιάφορο κινδύνου έτρο πιθανότητας Q N για το διωνυικό υπόδειγα ε N περιόδους είδαε ότι κάνει τις {ξ } 1 N ανεξάρτητες, ισόνοες τυχαίες εταβλητές ε κατανοή που δίνεται από τις Q N ξ = u = q = er u = er e µ σ e µ+σ e µ σ και Q N ξ = =1 q = u er u = eµ+σ e r e µ+σ e µ σ Ακριβώς όπως και στην (6) πορούε να γράψουε ότι S E := log = S 0 log ξ = µ + σ J i = µ + σ (68) J i (69) Οι τυχαίες εταβλητές {J } 1 N συνεχίζουν να είναι ανεξάρτητες ως προς οποιόδηποτε Q N, ηκατανοή τους όως είναι διαφορετική ως προς διαφορετικά Q N Συγκεκριένα, έχουε ότι Q N J =+1 = q και Q N J = 1 =1 q Ειδικότερα, οι J έχουν έση τιή m = E Q N J =q 1 και διασπορά σ = EQ N J E Q N J =1 (q 1) =4q (1 q ) Θα επεκτείνουε και πάλι τον ορισό της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος σε όλους τους χρόνους [0,T] παρεβάλλοντας γραικά τις {E } 0 N, ακριβώς όπως στην (63) Αν εισαγάγουε τις εταβλητές J (N) = J +1 q 4q (1 q ), οι οποίες ως προς το έτρο πιθανότητας Q N έχουν έση τιή ίση ε 0 και διασπορά ίση ε 1, πορούε τώρα να γράψουε για ( + 1) E () = µ + σ J i + σ( ) J +1 = µ + σ + σ( ) (q 1) + σ = µ + (q 1)σ + σ 4q (1 q ) Οπως και στην (65) πορούε εύκολα να δούε ότι sup 0 T σ( ) (J i +1 q )+ σ( ) (J +1 +1 q ) J (N) i + σ( ) (J +1 +1 q ) (610) (J +1 +1 q ) σ N 0 (611) Υπάρχουν όως δύο διαφορές σε σχέση ε το επιχείρηα για τη σύγκλιση που αναπτύξαε στην προηγούενη παράγραφο Ηπρώτηδιαφοράείναιότιθαπρέπεινακατανοήσουετηνασυπτωτικήσυπεριφοράτουόρου q 1, 73

καθώς 0, που δεν υπήρχε στην προηγούενη παράγραφο Αυτό δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο Από την (68) έχουε ότι q 1 = e(r µ) e σ e σ e σ e σ = e (r µ) 1 e σ / e σ / e σ e σ ιαιρώντας αριθητή και παρονοαστή του δεξιού έλους ε και χρησιοποιώντας ότι παίρνουε ότι e ax e ax sin(ax) lim =lim =a, x 0 x x 0 x q 1 lim = 0 Επιπλέον, από το παραπάνω αποτέλεσα προκύπτει αέσως ότι 4q (1 q )=1 (q 1) 1, 0 (r µ) σ (61) σ Ηδεύτερηδιαφοράσεσχέσηετηνπροηγούενηπαράγραφοείναιότιηκατανοήτωντυχαίωνεταβλητών J (N) εταβάλλεται ε το N, είναι δηλαδή διαφορετική σε κάθε διωνυικό δέντρο που χρησιοποιούε για την προσέγγιση Εποένως, στην (66) δεν πορούε να επικαλεστούε το κλασικό Κεντρικό Οριακό Θεώρηα Αυτό που έχουε εδώ είναι ια τριγωνική διάταξη (riangular array) τυχαίων εταβλητών J (1) 1 J () 1,J() J (3) 1,J(3),J(3) 3 (613) J (N) 1,J (N),J (N) 3,,J (N) N Οι τυχαίες εταβλητές κάθε γραής είναι ανεξάρτητες και ισόνοες, αλλά η κοινή κατανοή κάθε γρα- ής πορεί να είναι διαφορετική Το Κεντρικό Οριακό Θεώρηα πορεί να γενικευτεί και για τριγωνικές διατάξεις, όπως αυτή παραπάνω (δείτε πχ την Παράγραφο 71 στο [1]) Παίρνουε έτσι ότι για κάθε >0 1 J (N) i = 1 [ ] J (N) i N (0, 1), 0 (614) Από τις σχέσεις 69, 611, 61 και το Λήα 6 έχουε τώρα ότι για κάθε [0,T], Από το Λήα 7 παίρνουε ότι E () r σ S () + σ Z, ε Z N (0, 1) S 0 e r σ +σ Z Τέλος, επειδή η κανονική κατανοή είναι συνεχής, από το Λήα 5 έχουε ότι για κάθε φραγένη συνάρτηση f : R R, ηοποίαέχειτοπολύαριθήσιασηείαασυνέχειας, E Q N f S E f r S0 e σ +σ Z (615) Στο σηείο αυτό είναι απαραίτητο να σχολιάσουε το αποτέλεσα στο οποίο καταλήξαε 74

Παρατήρηση 18 Από το Θεώρηα 46 έχουε ότι, αν τιολογήσουε ε βάση το διωνυικό υπόδειγα N περιόδων ένα ευρωπαϊκό παράγωγο ε απόδοση V T = f(s T ), ηαρχικήαξίατουπαραγώγου, όπως προσδιορίζεται από την αρχή της η επιτηδειότητας, είναι ίση ε V (N) 0 = e rt E Q N f S T Ησχέση(615) δίνει ότι, τουλάχιστον στην περίπτωση που η συνάρτηση της απόδοσης του παραγώγου f είναι φραγένη και έχει το πολύ αριθήσια σηεία ασυνέχειας, τότε η ακολουθία των αρχικών αξιών του παραγώγου συγκλίνει, καθώς N και το όριό της δίνεται από την V 0 = e rt E f r S 0 e σ T +σ TZ, όπου η τυχαία εταβλητή Z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοή Υπολογίζοντας την παραπάνω αναενόενη τιή ε τη βοήθεια της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της Z, έχουε ότι + V 0 = e rt f S 0 e r σ T +σ Tx e x x π (616) Αυτός είναι ο διάσηος τύπος των Blac & Scoles για την τιολόγηση παραγώγων ευρωπαϊκού τύπου Στην επόενη παράγραφο θα δούε πώς πορούε να τον εφαρόσουε για να υπολογίσουε την παρούσα αξία ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης Παρατήρηση 19 Αξίζει να προσέξουε ότι το τελικό αποτέλεσα (616) για την αξία ενός παραγώγου στο υπόδειγα των Blac & Scoles δεν εξαρτάται από την τάση µ του υποδείγατος που εφανίζεται στην (67) Ητάσηεκφράζειτονέσορυθόεγέθυνσηςτηςαξίαςτουπρωτογενούςπροϊόντος Από την (67) και το γεγονός ότι E W =0έχουε ότι µ = 1 log S S 0 Είναι ε άλλα λόγια η τάση για αύξηση που αποδίδει το υπόδειγα στην αξία του πρωτογενούς προϊόντος Το ότι η τελική αξία του παραγώγου δεν εξαρτάται από το µ είναι σε αντιστοιχία ε το ότι η αξία ενός παραγώγου ε βάση το διωνυικό υπόδειγα δεν εξαρτάται από την υποκειενική πιθανότητα p, την οποία αποδίδει το υπόδειγα στο ενδεχόενο ανόδου της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος σε ια περίοδο Εποένως, δύο επενδυτές, πορεί ενδεχοένως να έχουν διαφορετικές πεποιθήσεις για την τάση αύξησης της αξίας ιας ετοχής, θα συφωνήσουν όως για τη δίκαιη τιή ενός παραγώγου αυτής της ετοχής Παρατήρηση 0 Το ότι η αξία ενός παραγώγου της ετοχής δεν εξαρτάται από την παράετρο µ του υποδείγατος Blac & Scoles έχει και πρακτικές συνέπειες Για να εκτιήσει κανείς στατιστικά την παράετρο µ χρειάζεται ιστορικά δεδοένα που πηγαίνουν σε βάθος δεκαετίας Αυτό πορεί να το καταλάβει κανείς από το Σχήα 6 Στο σχήα αυτό φαίνεται ε πλε χρώα ια τυπική τροχιά της διαδικασίας µ + σw Με κόκκινο χρώα φαίνεται η γραφική παράσταση της y = µ Παρατηρήστε ότι, αν κανείς επιχειρήσει να εκτιήσει την κλίση της τροχιάς, χρησιοποιώντας ένα ικρό κοάτι της τροχιάς όνο, πορεί να οδηγηθεί σε πολύ διαφορετικά αποτελέσατα από την πραγατική τιή µ Αντίθετα, ηεκτίηση της παραέτρου σ πορεί να γίνει αρκετά αξιόπιστα από ιστορικά δεδοένα ερικών ηνών Παρατήρηση 1 Κάποιες φορές δεν είναι εύκολο να υπολογίσουε αναλυτικά την αξία που δίνει σ ένα παράγωγο το υπόδειγα Blac & Scoles Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις για την αριθητική εκτίηση της απάντησης Θα πορούσε κανείς να χρησιοποιήσει εθόδους Mone Carlo, ήαριθητικέςεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων ε ερικές παραγώγους Είναι και οι δύο εξαιρετικά χρήσιες αριθητικές έθοδοι, αλλά δεν θα ας απασχολήσουν στο πλαίσιο αυτών των εισαγωγικών σηειώσεων Μπορούε εναλλακτικά να χρησιοποιήσουε το αποτέλεσα αυτής της παραγράφου, αφού, όπως είδαε στο Κεφάλαιο 75

Σχήα 6: Τυπική τροχιά της γεωετρικής κίνηση Brown 3, στο διωνυικό υπόδειγα πορούε να τιολογήσουε αλγοριθικά οποιοδήποτε παράγωγο Αυτή η προσεγγιστική έθοδος δεν είναι η ακριβέστερη, αλλά είναι εύκολη στην υλοποίησή της και γρήγορη, όταν πρόκειται για ευρωπαϊκού τύπου παράγωγα Εφόσον το ασυπτωτικό αποτέλεσα για εγάλα N δεν ε- ξαρτάται από την παράετρο µ, είναι εύλογο να αναρωτηθεί κανείς πώς πορούε να επιλέξουε βέλτιστα την παράετρο µ στην (61), ώστε το σφάλα της προσέγγισης που θα κάνουε χρησιοποιώντας ένα εγάλο αλλά πεπερασένο N να είναι κατά το δυνατόν ικρό Μια καλή πρακτική ([4]) είναι να επιλέξουε µ = r σ Οπως φαίνεται από τη σχέση (61) αυτή η επιλογή βελτιώνει την τάξη σύγκλισης του q στο 1/ και σε γενικές γραές βελτιώνει την προσέγγιση της E από την E () της σχέσης (610) Παρατήρηση Είδαε ότι η (615) ας εξασφαλίζει ότι η αξία ενός παραγώγου ε απόδοση στην ωρίανση V T = f(s T ), όπως προσδιορίζεται βάσει του διωνυικού υποδείγατος N περιόδων, συγκλίνει, καθώς N, στην αξία του παραγώγου βάσει του υποδείγατος Blac & Scoles, όταν η f είναι ια φραγένη συνάρτηση ε αριθήσια το πολύ σηεία ασυνέχειας Αυτό ας καλύπτει πχ για την περίπτωση ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος πώλησης, για το οποίο f(x) =(K x) + Στην πράξη, δεν υπάρχουν ενδιαφέροντα παράγωγα, για τα οποία η f να έχει περισσότερες από πεπερασένου πλήθους ασυνέχειες Υπάρχουν όως παράγωγα για τα οποία η f δεν είναι φραγένη, όπως για παράδειγα το ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς Μπορούε να πούε κάτι για τη σύγκλιση, στο όριο κλίακας του διωνυικού υποδείγατος, της αξίας τέτοιων παραγώγων; Το ίδιο το πρωτογενές προϊόν είναι ένα παράγωγο του εαυτού του, ε συνάρτηση απόδοσης την ταυτοτική συνάρτηση f(x) =x που δεν είναι φραγένη Μπορούε πάντα να αντισταθίσουε αυτό το παράγωγο ε ένα χαρτοφυλάκιο που περιέχει ία ονάδα του πρωτογενούς προϊόντος, οπότε η αρχική αξία αυτού του παραγώγου οφείλει, λόγω της αρχής της η επιτηδειότητας, να είναι S 0, ανεξαρτήτως του υποδείγατος που θα χρησιοποιούε Συπεραίνουε λοιπόν ότι, τουλάχιστον γι αυτό το παράγωγο που δεν έχει φραγένη συνάρτηση απόδοσης, η αξία που υπολογίζουε ε βάση το διωνυικό υπόδειγα N περιόδων συγκλίνει, κάθώς N, στην αξία του παραγώγου βάσει του υποδείγατος Blac & Scoles Ας ανακαλέσουε τώρα την ισοτιία ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης (1) Αποδείξαε την ισοτιία χρησιοποιώντας όνο την αρχή της η επιτηδειότητας, εποένως αυτή είναι σε ισχύ ανεξάρτητα α- πό το οντέλο που θα υιοθετήσουε για τη δυναική του πρωτογενούς προϊόντος Αν λοιπόν c (N) (S 0,T,K) 76

και p (N) (S 0,T,K) είναι οι αξίες των ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης αντίστοιχα, όπως υπολογίζονται ε βάση το διωνυικό υποδειγα N περιόδων, έχουε ότι c (N) (S 0,T,K)=p (N) (S 0,T,K)+S 0 KB(0,T) Εφόσον η p (N) (S 0,T,K) τείνει, καθώς N, στην αξία p(s 0,T,K), όπως αυτή υπολογίζεται από το υπόδειγα Blac & Scoles, θα έχουε ότι c (N) (S 0,T,K) p(s 0,T,K)+S 0 KB(0,T)=c(S 0,T,K), όπου η τελευταία σχέση ισχύει γιατί και στο υπόδειγα Blac & Scoles ηαξίαc(s 0,T,K) ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς θα πρέπει να σχετίζεται ε την αξία του αντίστοιχου δικαιώατος πώλησης, σύφωνα ε τη σχέση ισοτιίας (1) Βλέπουε λοιπόν ότι και για το ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς, για το οποίο η συνάρτηση απόδοσης δεν είναι φραγένη, η ακολουθία των αξιών που υπολογίζουε ε βάση το διωνυικό υπόδειγα συγκλίνει στην αξία του διακαιώατος ε βάση το υπόδειγα Blac & Scoles Μπορεί να αποδειχθεί, χρησιοποιώντας πιο προχωρηένα εργαλεία από την Θεωρία Πιθανοτήτων, ότι, αν η συνάρτηση απόδοσης ενός ευρωπαϊκού παραγώγου έχει το πολύ αριθήσιο πλήθος ασυνεχειών και εγαλώνει το πολύ πολυωνυικά, αν δηλαδή υπάρχουν p N και σταθερά C, τέτοια ώστε f(x) C(1 + x p ), για κάθε x>0, τότε η αρχική αξία του παραγώγου V (N) 0, όπως υπολογίζεται ε βάση το διωνυικό υπόδειγα N περιόδων, συγκλίνει στην αρχική αξία που δίνει στο παράγωγο το υπόδειγα Blac & Scoles, η οποία υπολογίζεται από την (616 Παρατήρηση 3 Στην προηγούενη παράγραφο αναφέραε ότι, αν αντί για το Κεντρικό Οριακό Θεώρη- α, χρησιοποιήσει κανείς την αρχή του Donser, πορεί να αποδείξει τη σύγκλιση κατά κατανοή όχι όνο της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος σε ια δεδοένη χρονική στιγή, αλλά ολόκληρης της τροχιάς Κάτι αντίστοιχο πορεί να αποδείξει κανείς και στην περίπτωση της τριγωνικής διάταξης (613) Σε αυτήν την περίπτωση το συπέρασα που προκύπτει από τις (69), (610) και (61) είναι ότι η στοχαστική διαδικασία {S () } 0 T συγκλίνει στη γεωετρική κίνηση Brown {S } 0 T, ε S = S 0 e r σ +σw (617) Αν θεωρήσουε τώρα ια φραγένη και συνεχή συνάρτηση f : C [0,T]; R R, έχουε ότι e rt E f {S () 0 } 0 T e rt E f r {S 0 e σ +σw } 0 T Βλέπουε λοιπόν ότι για ια εγάλη οικογένεια παραγώγων η αρχική αξία που υπολογίζουε ε βάση το διωνυικό υπόδειγα N περίοδων, συγκλίνει, καθώς N, ακόα κι αν η απόδοση του παραγώγου στην ωρίανση V T = f {S } 0 T, εξαρτάται από ολόκληρη την τροχιά του πρωτογενούς προϊόντος Το όριο το οποίο φαίνεται στο δεξί έλος της παραπάνω σχέσης είναι η αξία του παραγώγου, όπως αυτή υπολογίζεται στο υπόδειγα Blac & Scoles Οπως και στην περίπτωση του διωνυικού υποδείγατος, ησηερινήαξίατουπαραγώγουείναιη προεξοφληένη αναενόενη απόδοση του παραγώγου, ως προς κάποιο έτρο πιθανότητας Q V 0 = e rt E Q V T Κάτω από το έτρο Q, ητιήτουπρωτογενούςπροϊόντοςσυπεριφέρεταιόπωςηγεωετρικήκίνηση Brown που περιγράφεται στην (617) Βλέπουε και πάλι ότι το έτρο Q που πρέπει να χρησιοποιήσουε προκειένου να τιολογήσουε ένα παράγωγο σύφωνα ε την παραπάνω σχέση, είναι εν γένει διαφορετικό από το έτρο P, το οποίο αντανακλά τις πεποιθήσεις ας για τη δυναική του πρωτογενούς προϊόντος Κάτω από έτρο P ηαξίατουπρωτογενούςπροϊόντοςσυπεριφέρεταιόπωςηγεωετρικήκίνησηbrown που περιγράφεται στην (67) 77

Παρατήρηση 4 (κάπως προχωρηένη, πορεί να παραληφθεί σε ια πρώτη ανάγνωση) Μπορούε να χρησιοποιήσουε την ιδιότητα των ανεξάρτητων προσαυξήσεων της κίνησης Brown για να δείξουε ότι το έτρο πιθανότητας Q είναι ένα έτρο maringale Πράγατι, αν 0 s έχουε E Q e r S Fs = e rs E Q σ σ(w Ws) S s e ( s) Fs = e rs S s E Q σ σ(w Ws) e ( s) F s = e rs S s E Q σ σ(w Ws) e ( s) = e rs S s e σ ( s) E Q e σw s = e rs S s Ηδεύτερηκαιητρίτηισότηταπαραπάνωπροκύπτουναπότιςιδιότητες4 και 3 του Θεωρήατος 8 αντίστοιχα Ητέταρτηισότηταείναικλασικόςυπολογισόςτηςεκθετικήςροπογεννήτριαςιαςκανονικήςτυχαίας εταβλητής 64 Τιολόγηση ε βάση το υπόδειγα Blac & Scoles Σε αυτήν την παράγραφο θα ασχοληθούε ε την τιολόγηση παραγώγων, σύφωνα ε το υπόδειγα των Blac & Scoles Ας θεωρήσουε πρώτα ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς, ε ωρίανση T και τιή άσκησης K Ηαπόδοσηαυτούτουδικαιώατοςστηνωρίανσηείναι, όπως είδαε στο Κεφάλαιο 1 V T =(S T K) + ΗσηερινήαξίααυτούτουδικαιώατοςδίνεταιαπότοντύποτωνBlac & Scoles (616) Το ολοκλήρω- α στο δεξί έλος αυτής της σχέσης πορεί να υπολογιστεί ε τη βοήθεια της συνάρτησης κατανοής πιθανότητας της τυπικής κανονικής κατανοής Φ(x) = x e y y π Θεώρηα 16 Αν η τρέχουσα τιή του πρωτογενούς προϊόντος είναι S 0, τότε η αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς ε ωρίανση T και τιή άσκησης K, ε βάση το οντέλο Blac & Scoles, δίνεται από την c(s 0,T,K)=S 0 Φ( + ) Ke rt Φ( ), όπου ± = 1 σ T ln S0 e rt ± 1 K σ T (618) Απόδειξη: Από τον τύπο των Blac & Scoles έχουε ότι + c(s 0,T,K)=e rt S0 e r σ T +σ Tx K + e x x π Παρατηρήστε ότι η είναι η τιή του x για την οποία η παρένθεση στην παραπάνω έκφραση ηδενίζεται Συβολίζοντας ε F 0 = S 0 e rt την προθεσιακή τιή του πρωτογενούς προϊόντος, έχουε c(s 0,T,K)=e rt + + = e rt F 0 F0 e σ T +σtx K e x x π = e rt F 0 + e 1 (x σ T ) x K π e x = S 0 Φ( + ) Ke rt Φ( ), x K e x π + e x x π x π 78

που είναι ακριβώς ο ισχυρισός του Θεωρήατος Εχοντας στα χέρια ας ένα αναλυτικό τύπο για την τρέχουσα αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς, πορούε να διερευνύσουε πώς αυτή συπεριφέρεται, καθώς αλλάζουν οι διάφοροι παράετροι του προβληατος Ηευαισθησία(sensiiviy) της τρέχουσας αξίας ενός χαρτοφυλακίου ως προς ια παράετρο του προβλήατος υπολογίζεται από τη ερική παράγωγο της αξίας ως προς αυτήν την παράετρο Αυτές οι ποσότητες ονοάζονται ελληνικοί χαρακτήρες (Grees) και παρέχουν χρήσιη πληροφορία στην αντιστάθιση του κινδύνου, όπως θα δούε στις παρατηρήσεις που ακολουθούν Παρατήρηση 5 Αν S 0 0, τότε από την (618) έχουε ότι ± 0 και c(s 0,T,K) 0 Αυτό είναι αναενόενο, αφού από την αρχή της η επιτηδειότητας, γνωρίζουε ότι c(s 0,T,K) S 0 Αν πάλι S 0, τότε από την (618) έχουε ότι ± 1 και c(s 0,T,K) S 0 Ke rt Αυτό είναι ακριβώς το αποτέλεσα που περιένουε, αφού, αν η αξία του πρωτογενούς προϊόντος είναι πολύ εγάλη, τότε ε πολύ εγάλη πιθανότητα θα συφέρει να ασκήσει κανείς το δικαίωα στην ωρίανση, ώστε να αγοράσει το πρωτογενές προϊόν προς K Παρατήρηση 6 Ηευαισθησίατηςαξίαςενόςπαραγώγουωςπροςτηςαρχικήτιήτουπρωτογενούς προϊόντος ονοάζεται δέλτα (ela) και συβολίζεται ε Είναι ια χρήσιη ποσότητα γιατί, αν κατέχει κανείς ένα χαρτοφυλάκιο από παράγωγα του πρωτογενούς προϊόντος, ηδενίζοντας το δέλτα του χαρτοφυλακίου, εξασφαλίζει ότι σε πρώτη τάξη προσέγγισης, ηαξίατουχαρτοφυλακίουδενεπηρεάζεται από εταβολές της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος Θα υπολογίσουε τώρα το δέλτα ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς c(s 0,T,K) = Φ( + )+S 0 Φ ( + ) + Ke rt Φ ( ) S 0 S 0 S 0 1 αφού, όπως πορεί εύκολα να ελεγχθεί, = Φ( + )+S 0 e 1 + S 0 σ πt Ke rt e = Φ( + ), 1 1 S 0 σ πt S 0 e 1 + = Ke rt e 1 (619) Βλέπουε λοιπόν ότι η αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς είναι αύξουσα συνάρτηση της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος Αυτό είναι φυσιολογικό, αφούόσοεγαλύτερηείναιηαρχικήαξίατουπρωτογενούς προϊόντος, τόσο εγαλύτερη θα είναι και η αξία του στην ωρίανση Παρατήρηση 7 Ηευαισθησίαενόςπαραγώγουωςπροςτηεταβλητότητατουπρωτογενούςπροϊόντος ονοάζεται βέγα (vega) και συβολίζεται ε ν Είναι και αυτο ια χρήσιη ποσότητα γιατί η εταβλητότητα του πρωτογενούς προϊόντος προσδιορίζεται επειρικά Μηδενίζοντας το συνολικό βέγα ενός χαρτοφυλακίου, εξασφαλίζει κανείς ότι η αξία του χαρτοφυλακίου δεν είναι ευαίσθητη σε πρώτης τάξης εγέθους σφάλατα στον προσδιορισό της εταβλητότητας Θα υπολογίσουε στη συνέχεια το βέγα ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς c(s 0,T,K) σ = S 0 Φ ( + ) + σ Ke rt Φ ( ) σ = S 0 Φ ( + ) ( + ) λόγω της (619) σ = S 0 T π e 1 + Παρατηρούε ότι η αξια ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς είναι αύξουσα συνάρτηση της εταβλητότητας σ του πρωτογενούς προϊόντος 79

Περισσότερα για τους ελληνικούς χαρακτήρες και τη χρήση τους στην αντιστάθιση πορείτε να διαβάσετε στο [3] Θεώρηα 17 Αν η τρέχουσα τιή του πρωτογενούς προϊόντος είναι S 0, τότε η αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος πώλησης, ε ωρίανση T και τιή άσκησης K, ε βάση το οντέλο Blac & Scoles δίνεται από την p(s 0,T,K)=Ke rt Φ( ) S 0 Φ( + ), όπου ± = 1 σ T ln S0 e rt K ± 1 σ T (60) Απόδειξη: Εχοντας ήδη υπολογίσει την αξία ενός ερωπαϊκού δικαιώατος αγοράς, είναι ευκολότερο να υπολογίσουε την αξία του αντίστοιχου δικαιώατος πώλησης, χρησιοποιώντας την ισοτιία ευρωπαϊκών δικαιωάτων αγοράς και πώλησης (1) Συγκεκριένα, p(s 0,T,K)=c(S 0,T,K) S 0 + Ke rt = S 0 (Φ( + ) 1) + Ke rt (1 Φ( )) = Ke rt Φ( ) S 0 e rt Φ( + ) Παρατήρηση 8 Προκειένου να υπολογίσουε τους ελληνικούς χαρακτήρες για ένα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης, πορούε πάλι να χρησιοποιήσουε τη σχέση ισοτιίας c(s 0,T,K) p(s 0,T,K)=S 0 Ke rt Παίρνοντας ερικές παραγώγους ως προς S 0 και ως προς σ στα δύο έλη της παραπάνω σχέσης, έχουε ότι c p =1= p = Φ( + ) και ν c ν p =0= ν p = S 0 T π e 1 + 65 Εκτίηση της εταβλητότητας Σε αυτήν την παράγραφο θα γνωρίσουε δύο εθόδους, ε τις οποίες πορεί κανείς να εκτιήσει τη εταβλητότητα σ του πρωτογενούς προϊόντος στο οντέλο των Blac & Scoles Ο πρώτος βασίζεται σε ιστορικά δεδοένα και ο δεύτερος στις τιές αγοράς παραγώγων του προϊόντος ΗπρώτηέθοδοςβασίζεταισειστορικάδεδοένακαιστιςιδιότητεςτηςκίνησηςBrown Εστω ότι έχουε διαερίσει στο διάστηα [0,T] σε N ίσα χρονικά διαστήατα, διάρκειας = T/N το καθένα Τα αριστερά άκρα αυτών των διαστηάτων είναι τα σηεία { } 0 N 1, ε = Ας θεωρήσουε τώρα την τυχαία εταβλητή N 1 P = (E +1 E ) = =0 N 1 =0 N 1 = σ (W +1 W ) + µ T+µW T =0 σ (W +1 W ) + µ +µσ(w +1 W ) Χρησιοποιώντας ότι οι W +1 W είναι ανεξάρτητες και ισόνοες, ε κατανοή N (0,), πορούε να υπολογίσουε τη έση τιή και τη διασπορά της P Συγκεκριένα, E N 1 P = σ E (W +1 W ) + µ T =(σ + µ )T =0 80

και Var(P )=σ NVar(W )+4µ T =T (σ +µ ) Παρατηρούε λοιπόν ότι όταν 0 η P συγκεντρώνεται γύρω από την τιή σ T Επιπλέον P = N 1 =0 log S +1 S N 1 S+1 S =0 Με λίγο περισσότερο κόπο πορεί κανείς να δείξει αυστηρά ότι 1 P T N 1 =0 S S+1 S σ =1 S Μπορούε εποένως να εκτιήσουε τη εταβλητότητα σ από ιστορικά δεδοένα, χρησιοποιώντας τη συνεπή εκτιήτρια ˆσ = 1 N 1 S+1 S T =0 Ηδεύτερηέθοδοςβασίζεταιστηνπαρατήρησητωντιώνδιαπραγάτευσηςπαραγώγωντουπρωτογενούς προϊόντος Η ιδέα είναι απλή Ας υποθέσουε ότι πορούε να υπολογίσουε αναλυτικά την τιή διαπραγάτευσης ενός παραγώγου, όπως κάναε πχ για τα ευρωπαϊκά δικαιώατα αγοράς και πώλησης Η θεωρητικά δίκαιη τιή του παραγώγου ε βάση το υπόδειγα Blac & Scoles εξαρτάται από την άγνωστη εταβλητότητα σ και από ένα σύνολο παραέτρων του παραγώγου που θα συβολίζουε ε θ Ας συβολίζουε ε V BS (θ; σ) τη θεωρητικά δίκαιη τιή του παραγώγου Αν υποθέσουε επιπλέον ότι η αγορά είναι σε ισορροπία, ητιήδιαπραγάτευσηςτουπαραγώγουv mare (θ), την οποία πορούε φυσικά να παρατηρήσουε, θα πρέπει να ταυτίζεται ε την V BS (θ; σ) Προκειένου λοιπόν να εκτιήσουε τη εταβλητότητα, αρκεί να λύσουε την εξίσωση V BS (θ; σ) =V mare (θ) ως προς σ Ητιήπουθαβρούεείναιηεταβλητότηταπουτεκαίρεταιαπότηντιήδιαπραγάτευσης του παραγώγου ή, όπως λέε για συντοία, η τεκαρτή εταβλητότητα (implie volailiy) Για παράδειγα, αν ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ιας ετοχής έχει τιή διαπραγάτευσης c mare, η παραπάνω εξίσωση γίνεται S c(s 0,T,K; σ) =S 0 Φ + (σ) Ke rt Φ (σ) = c mare (61) Η εξίσωση αυτή έχει οναδική λύση Πράγατι, από την Παρατήρηση 7 το αριστερό έλος της παραπάνω εξίσωσης είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση του σ Εποένως, αν η εξίσωση έχει λύση, αυτή θα είναι οναδική Ας δούε όως τώρα πώς συπεριφέρεται η αξία του δικαιώατος, όταν σ 0 ή σ Οταν σ 0, έχουε ότι ± = 1 σ T ln S0 e rt ± 1 K σ T +, αν S 0 e rt >K 0, αν S 0 e rt = K, αν S 0 e rt <K Εποένως, c(s 0,T,K; σ) =S 0 Φ( + ) Ke rt Φ( ) =(S 0 Ke rt ) + S 0 Ke rt, αν S 0 e rt >K 0, αν S 0 e rt K Οταν σ έχουε ότι ± ±, εποένως c(s 0,T,K; σ) S 0 Συνοψίζοντας όσα είπαε, η c(s 0,T,K) ως συνάρτηση της εταβλητότητας σ αυξάνει από την τιή (S 0 Ke rt ) +, καθώς σ 0, προς 81

c mare c(s 0,T,K;!)! implie! Σχήα 63: Ηέθοδοςεύρεσηςτηςτεκαρτήςεταβλητότητας την τιή S 0, καθώς σ Από την Πρόταση 3 όως, προκειένου να ην υπάρχει ευκαιρία επιτηδειότητας στην αγορά, θα πρέπει η c mare να ικανοποιεί τη διπλή ανισότητα (S 0 Ke rt ) + <c mare <S 0 Θα υπάρχει εποένως ια οναδική τιή της εταβλητότητας σ implie, για την οποία η εξίσωση (61) έχει λύση Αυτή η τιή είναι η τεκαρτή εταβλητότητα και πορεί εύκολα να προσδιοριστεί αριθητικά Το Σχήα 63 δείχνει την ιδέα του υπολογισού της τεκαρτής εταβλητότητας Μπορούε να χρησιοποιήσουε την έννοια της τεκαρτής εταβλητότητας για να ελέγξουε κατά πόσον το οντέλο Blac & Scoles είναι ένα καλό υπόδειγα για τις πραγατικές αγορές Αν οι τιές διαπραγάτευσης των παραγώγων ιας ετοχής ήταν σύφωνες ε το υπόδειγα Blac & Scoles, τότε η εταβλητότητα που τεκαίρεται από οποιοδήποτε παράγωγο θα έπρεπε να είναι ίδια και ίση ε τη εταβλητότητα της ετοχής Μπορεί κανείς να υπολογίσει την τεκαρτή εταβλητότητα από δικαιώατα αγοράς ε διαφορετικές τιές άσκησης K και να παραστήσει γραφικά τα αντίστοιχα σηεία K, σ implie (K) Αν οι τιές των δικαιωάτων στην αγορά ήταν σύφωνες ε το υπόδειγα Blac & Scoles, τα σηεία αυτά θα έπρεπε να βρίσκονται σε ια οριζόνιτα ευθεία, αυτή που αντιστοιχεί στη εταβλητότητα της ετοχής Στην πράξη όως, αν κάνει κανείς αυτήν τη διαδικασία, ηγραφικήπαράστασητηςσ implie (K) φαίνεται να είναι κυρτωένη Αυτή η χαρακτηριστική εικόνα ονοάζεται χαόγελο της εταβλητότητας (volailiy smile) και δείχνει ότι το οντέλο Blac & Scoles δεν περιγράφει ικανοποιητικά τις πραγατικές αγορές Προκειένου να εξηγηθεί αυτή η εικόνα έχουν προταθεί περισσότερα πολύπλοκα οντέλα, όπως για παράδειγα οντέλα όπου η εταβλητότητα είναι ια στοχαστική διαδικασία Αυτά τα θέατα είναι όως αντικείενο του επόενου βιβλίου που θα ελετήσετε για τη Μαθηατική Χρηατοοικονοία 8

66 Ασκήσεις Άσκηση 45 Ενα ευρωπαϊκού τύπου παράγωγο έχει απόδοση στην ωρίανση f(s T )= S T K α) Υπολογίστε τη σηερινή αξία του παραγώγου βάσει του υποδείγατος των Blac & Scoles β) Υπολογίστε το δέλτα του παραγώγου και βρείτε πώς αυτό συπεριφέρεται, καθώς πλησιάζουε στην ωρίανση (T 0) Άσκηση 46 ΗτρέχουσατιήιαςετοχήςείναιS 0 = 50, ενώ για τη δυναική της υποθέτουε ότι ακολουθεί το υπόδειγα Blac & Scoles Από τη στατιστική επεξεργασία ιστορικών δεδοένων εκτιάται ότι σ = 1, % κατ έτος Το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο είναι r =6, 09% κατ έτος υπολογισένο ε συνεχή ανατοκισό Θέλουε να τιολογήσουε ένα ευρωπαϊκού τύπου παράγωγο της ετοχής, ε ωρίανση σε 6 ήνες και απόδοση που δίνεται από τη σχέση 1000 log STK, αν S T K f(s T )= 0, αν S T <K, όπου Κ=50 α) Υπολογίστε τη σηερινή αξία του παραγώγου, βάσει του τύπου των Blac και Scoles β) Υπολογίστε το δέλτα και το βέγα αυτού του παραγώγου (Υπόδειξη: Φ (x)+xφ (x) =0) γ) Ποιος τύπος δίνει την αξία του παραγώγου τη χρονική στιγή >0, αν η τιή της ετοχής S είναι x; Άσκηση 47 Θεωρούε ένα ευρωπαϊκού τύπου παράγωγο ιας ετοχής (προϊόν Α) ε ωρίανση και απόδοση στην ωρίανση: 1, αν S >K f(s )= 0, αν S K α) Τιολογήστε το προϊόν Α χρησιοποιώντας τον τύπο των Blac& Scoles Θεωρούε τώρα ένα άλλο παράγωγο της ίδιας ετοχής (προϊόν Β) που είναι ένα προθεσιακό συβόλαιο ε ωρίανση T>και τιή παράδοσης M, ε τον επιπλεόν όρο ότι το συβόλαιο ακυρώνεται αυτόατα τη στιγή αν S K β) Βρείτε την αξία V B (, S ) του προϊόντος Β τη στιγή σαν συνάρτηση της S γ) Τιολογήστε το προϊόν Β ε κατάλληλη χρήση του τύπου των Blac& Scoles δ) Συπεράνετε ότι η αξία του Β ισούται ε την αξία ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από: ένα ευρωπαϊκό δικαιώα αγοράς ε ωρίανση και τιή άσκησης K και K Me r(t ) προϊόντα Α ε) είξτε ότι ο ισχυρισός του ερωτήατος (δ) είναι σωστός ανεξαρτήτως του υποδείγατος του θα υποθέσουε για τη δυναική της ετοχής Άσκηση 48 ΗτρέχουσατιήιαςετοχήςείναιS 0 και για τη δυναική της υποθέτουε ότι ακολουθεί το υπόδειγα Blac & Scoles ε τάση µ και εταβλητότητα σ > 0 α) Ποια είναι η αναενόενη τιή και ποια η διασπορά της τιής της ετοχής έπειτα από χρόνο T ; β) Βρείτε ένα 95%-διάστηα επιστοσύνης για την τιή της ετοχής έπειτα από χρόνο T γ) Ποια είναι η πιθανότητα να ασκηθεί ένα ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς της ετοχής ε τιή άσκησης K και χρόνο ωρίανσης T ; δ) Ποια είναι η πιθανότητα η S T να είναι εγαλύτερη από την αναενόενη τιή της; Άσκηση 49 Ενα ενισχυένο ευρωπαϊκό δικαίωα αγοράς ε ωρίανση T και τιή άσκησης K έχει συνάρτηση απόδοσης f(s T )=((S T K) + ) α) Υπολογίστε την τρέχουσα αξία του από τον τύπο των Blac & Scoles β) Υπολογίστε το δέλτα και το βέγα του παραγώγου 83

Άσκηση 50 Εστω ευρωπαϊκό παράγωγο ιας ετοχής ε απόδοση στην ωρίανση f(s T )=S N T Τιολογήστε το παράγωγο βάσει του τύπου των Blac & Scoles Άσκηση 51 ΗτρέχουσατιήιαςετοχήςείναιS 0 = 100 Το ετήσιο άνευ κινδύνου επιτόκιο υπολογισένο ε συνεχή ανατοκισό είναι r =4%, ενώ εκτιάται ότι σ =0,16/έτος Ενα ευρωπαϊκού τύπου παράγωγο της ετοχής ωριάζει σε τρεις ήνες και η απόδοσή του δίνεται από τη σχέση: f(s T )= S T K (K S T ) +, όπου K = 100 α) Τιολογήστε αυτό το παράγωγο βάσει του τύπου των Blac & Scoles β) Συγκρίνετε τη σηερινή αξία αυτού του παραγώγου ε αυτήν ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος πώλησης της ετοχής ε την ίδια ωρίανση και τιή άσκησης K Εξαρτάται η απάντηση από το οντέλο αγοράς που χρησιοποιούε; Άσκηση 5 Χρησιοποιώντας την ταυτότητα (για α > 1) x α = α(α 1) 0 (x K) + K α K και το θεώρηα Fubini για να εναλλάξουε την ολοκλήρωση και την αναενόενη τιή, έχουε E[S α T ]=α(α 1) 0 E[(S T K) + ]K α K Χρησιοποιήστε αυτή την παρατήρηση και τον τύπο για την αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώατος αγοράς, προκειένου να τιολογήσετε το παράγωγο της προηγούενης άσκησης Άσκηση 53 Ενα παράγωγο ιας ετοχής έχει απόδοση στην ωρίανση ST f(s T )= /S 0, αν S K 0, αν S <K, όπου (0,T) Τιολογήστε αυτό το παράγωγο βάσει του υποδείγατος των Blac & Scoles Άσκηση 54 Αποδείξτε ότι η εταβλητότητα που τεκαίρεται από ένα ευρωπαϊκό δικαιώα αγοράς ε ωρίανση T και τιή άσκησης K είναι ίδια ε εκείνη που τεκαίρεται από ένα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης ε την ίδια ωρίανση και τιή άσκησης Άσκηση 55 Υπολογίστε την τεκαρτή εταβλητότητα ιας ετοχής, ε προθεσιακή τιή 10, από ένα ευρωπαϊκό δικαίωα πώλησης ε ωρίανση 6 ήνες, τιή άσκησης 10 και τιή διαπραγάτευσης 4 84