Γ2.1 Στοιχεία Αρχιτεκτονικής Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
Ορισμός άλγεβρας Boole Η άλγεβρα Boole ορίζεται, ως μία αλγεβρική δομή A, όπου: (α) Το Α είναι ένα σύνολο στοιχείων που περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία (β) Τα σύμβολα (+, *, ') δηλώνουν πράξεις επάνω στα στοιχεία του Α, όπου: η πράξη + ονομάζεται λογικό άθροισμα (OR) η πράξη * ονομάζεται λογικό γινόμενο (AND) η πράξη ' ονομάζεται λογική αντιστροφή (NOT) (γ) Τα 0 και 1 παριστάνουν ειδικά στοιχεία που ονομάζονται σταθερές
Πίνακας Αλήθειας Οι πράξεις του αθροίσματος (+), του γινομένου (*) και της αντιστροφής (') ορίζονται σχετικά με το σύνολο Α={0, 1}, από τον ακόλουθο πίνακα αντιστοιχίας ο οποίος ονομάζεται Πίνακας Αλήθειας.
Λογική Έκφραση H λογική έκφραση (boolean expression) είναι ο τρόπος με τον οποίο διατυπώνονται οι σχέσεις της άλγεβρας Boole. Όταν υπολογίζουμε μία λογική έκφραση, πρέπει να ακολουθούμε την προτεραιότητα των τελεστών, που είναι: παρενθέσεις, αντιστροφή, γινόμενο και τελευταία η πρόσθεση. Π.χ. η έκφραση a + b * c ισοδυναμεί με την a + (b * c)
Παράδειγμα 1 Να υπολογίσετε την τιμή της λογικής έκφρασης F = a + b * c για τις τιμές των μεταβλητών a=0, b=1 και c=1. Λύση F = 0 + (1 * 1) F = 1 * 1 F = 1 - αντικατάσταση και προτεραιότητα πράξεων - true AND true - true
Παράδειγμα 2 Να υπολογίσετε την τιμή της λογικής έκφρασης F = (a + b) * (b + c) για τις τιμές των μεταβλητών a=0, b=1 και c=1. Λύση F = (0 + 1) * (0 + 1) F = 1 * 1 F = 1 - (false OR true) AND (NOT true OR true) - true AND true - true
Παράδειγμα 3 Να δημιουργήσετε τον πίνακα αλήθειας για τη λογική έκφραση F = (a + b)'. Λύση
Λογικές Πύλες Οι λογικές πύλες είναι τα βασικά δομικά στοιχεία, τα οποία χρησιμοποιούνται για να κατασκευάσουμε λογικά κυκλώματα. Είναι έτοιμοι ψηφιακοί σχεδιασμοί, οι οποίοι υλοποιούν τις βασικές λογικές πράξεις.
Λογική Πύλη - NOT
Λογική Πύλη - AND
Λογική Πύλη - OR
Λογική Πύλη - NAND
Λογική Πύλη - NOR
Λογικές Συναρτήσεις και Λογικά Κυκλώματα Μία λογική συνάρτηση (boolean function) αποτελείται από μία δυαδική μεταβλητή, το σύμβολο = και μία λογική έκφραση που αποτελείται από λογικές μεταβλητές, τις σταθερές 0, 1, παρενθέσεις και λογικούς τελεστές Η λογική έκφραση ορίζει την σχέση μεταξύ των δυαδικών μεταβλητών και η λογική συνάρτηση, για ορισμένες τιμές των μεταβλητών, παίρνει τιμή 1 (true), ή 0 (false) Κάθε λογική συνάρτηση μπορεί να μετατραπεί σε λογικό κύκλωμα
Λογικές Συναρτήσεις και Λογικά Κυκλώματα Για τη σχεδίαση ενός συνδυαστικού λογικού κυκλώματος ακολουθούμε τα εξής βήματα: (α) Από την περιγραφή της λειτουργίας του κυκλώματος προσδιορίζουμε το πλήθος των εισόδων και το πλήθος των εξόδων (β) Συμπληρώνουμε τον πίνακα αλήθειας (γ) Σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα
Παράδειγμα 4 Σας δίνεται η λογική συνάρτηση F = A + B' * C. Να δημιουργήσετε τον πίνακα αλήθειας και να σχεδιάσετε το λογικό κύκλωμα. Λύση Η τιμή της F θα είναι 1, όταν ο όρος A = 1 ή ο όρος B' * C =1 Το B' * C = 1 όταν το B' = 1 (B = 0) και το C = 1
Παράδειγμα 4 - Πίνακας αλήθειας Ο πίνακας αλήθειας μίας συνάρτησης έχει 2 Ν περιπτώσεις εισόδου, όπου Ν το πλήθος των εισόδων. Στο παράδειγμα έχουμε Ν=3 (Α, Β, C), άρα θα έχουμε 2 3 =8 περιπτώσεις.
Παράδειγμα 4 - Λογικό κύκλωμα Σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα με το εργαλείο Logic Circuit.
Ελαχιστόροι και Μεγιστόροι Με τον όρο ελαχιστόρος (minterm) εννοούμε κάθε πιθανό συνδυασμό που μπορεί να σχηματιστεί, χρησιμοποιώντας τις εισόδους της συνάρτησης και το λογικό ΚΑΙ (*) Με τον όρο μεγιστόρος (maxterm) εννοούμε κάθε πιθανό συνδυασμό που μπορεί να σχηματιστεί από τις εισόδους και το λογικό Ή (+) Οι ελαχιστόροι συμβολίζονται με το γράμμα m και οι μεγιστόροι με το γράμμα Μ.
Ελαχιστόροι και Μεγιστόροι Στον παρακάτω πίνακα μπορείτε να δείτε τους ελαχιστόρους και τους μεγιστόρους για δύο μεταβλητές (A, B).
Χάρτες Karnaugh Σκοπός ενός χάρτη Karnaugh είναι η απλοποίηση μίας λογικής συνάρτησης Σε κάθε χάρτη Karnaugh υπάρχουν τόσα τετράγωνα όσοι οι δυνατοί συνδυασμοί τιμών των μεταβλητών του Κάθε τετράγωνο αντιστοιχεί σε έναν ελαχιστόρο, δηλαδή αν υπάρχουν k μεταβλητές, σχηματίζονται 2 k τετράγωνα και αντιστοίχως ελαχιστόροι Αν ο ελαχιστόρος επαληθεύει τη συνάρτηση, βάζουμε 1 στο αντίστοιχο τετράγωνο, αν όχι, βάζουμε 0 Ομάδες, δηλαδή τετράγωνα ή ορθογώνια 2 ή 4 ή 8 ή 16 επαληθευμένων ελαχιστόρων στον χάρτη, υποδεικνύουν αθροίσματα ελαχιστόρων
Χάρτες Karnaugh 2 μεταβλητών Ένας χάρτης Karnaugh δύο μεταβλητών θα έχει 2 2 = 4 ελαχιστόρους. Αν ονομάσουμε τις μεταβλητές Α και Β, τότε οι ελαχιστόροι που θα έχουμε θα είναι οι Α'Β', Α'Β, ΑΒ' και ΑΒ. Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με το ψηφίο 1 και το συμπλήρωμα τους με το ψηφίο 0, τότε οι ελαχιστόροι γράφονται ως 00, 01, 10 και 11.
Χάρτες Karnaugh δύο μεταβλητών Για παράδειγμα, αν έχουμε τη συνάρτηση F = AB + A'B', ο χάρτης Karnaugh της συνάρτησης θα είναι: Μία συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα των ελαχιστόρων ή ως το γινόμενο των μεγιστόρων που δεν χρησιμοποιούνται στο άθροισμα. Η συνάρτηση F = AB + A'B' μπορεί να γραφτεί και ως: F = Σ (0, 3) ή F = Π (1, 2)
Παράδειγμα 5 Σας δίνεται η συνάρτηση Υ = A'B+AB'+AB. (α) Να δημιουργήσετε τον πίνακα αλήθειας (β) Να συμπληρώσετε τον χάρτη Karnaugh (γ) Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως άθροισμα ελαχιστόρων και γινόμενο μεγιστόρων
Παράδειγμα 5 - Λύση Σας δίνεται η συνάρτηση Υ = A'B+AB'+AB. (α) Να δημιουργήσετε τον πίνακα αλήθειας
Παράδειγμα 5 - Λύση Σας δίνεται η συνάρτηση Υ = A'B+AB'+AB. (α) Να δημιουργήσετε τον πίνακα αλήθειας (β) Να συμπληρώσετε τον χάρτη Karnaugh
Παράδειγμα 5 - Λύση Σας δίνεται η συνάρτηση Υ = A'B+AB'+AB. (α) Να δημιουργήσετε τον πίνακα αλήθειας (β) Να συμπληρώσετε τον χάρτη Karnaugh (γ) Να εκφράσετε τη συνάρτηση ως άθροισμα ελαχιστόρων και γινόμενο μεγιστόρων Υ = Σ (1, 2, 3) Υ = Π (0)
Απλοποίηση συνάρτησης με χάρτη Karnaugh Τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσουμε είναι: (1) Να ομαδοποιήσουμε τα «1». Αυτό σημαίνει να φτιάξουμε ομάδες που περιλαμβάνουν γειτονικά «1». Για να είναι δύο «1» γειτονικά μεταξύ τους πρέπει να έχουν κοινή μια πλευρά (2) Επιλέγουμε ομάδες που περιλαμβάνουν τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό από «1» (2, 4, 8, 16) (3) Ένα κελί με «1» μπορεί να είναι ομαδοποιημένο σε περισσότερες από μία ομάδες. Αν για κάποιο «1» δεν υπάρχουν γειτονικά τότε αποτελεί από μόνο του μια ομάδα (4) Μια ομάδα πρέπει να έχει τουλάχιστον ένα «1» που δεν ανήκει σε άλλη ομάδα (5) Σε κάθε ομάδα απλοποιούνται εκείνες οι μεταβλητές που αλλάζουν τιμή σε μια ομάδα, δηλαδή που σε ένα κελί εμφανίζονται σε κανονική μορφή και στην άλλη εμφανίζονται σε συμπληρωματική μορφή (6) Η τελική μορφή της συνάρτησης θα αποτελεί το άθροισμα των όρων που προκύπτουν από τις ομάδες
Παράδειγμα 6 Να απλοποιηθεί η συνάρτηση Y = A'B'+AB'. Λύση Ο πίνακας αληθείας και ο χάρτης Karnaugh για τη συνάρτηση Υ = A'B'+AB' = Σ (0, 2) εμφανίζονται πιο κάτω:
Παράδειγμα 6 Να απλοποιηθεί η συνάρτηση Y = A'B'+AB'. Λύση Ομαδοποιούμε τους γειτονικούς όρους πάνω στο χάρτη: Βλέπουμε ότι η μόνη μεταβλητή που παραμένει σταθερή στην ομαδοποίηση είναι το B'. Άρα Υ = B'.
Παράδειγμα 7 Να απλοποιηθεί η συνάρτηση Υ = A'B+AB'+AB = Σ (1, 2, 3) και να σχεδιάσετε το λογικό κύκλωμα που προκύπτει από την απλοποίηση. Λύση Με βάση την ομαδοποίηση, η συνάρτηση απλοποιείται σε: Y = Α + Β.
Παράδειγμα 7 Να απλοποιηθεί η συνάρτηση Υ = A'B+AB'+AB = Σ (1, 2, 3) και να σχεδιάσετε το λογικό κύκλωμα που προκύπτει από την απλοποίηση. Λύση Από τη συνάρτηση Y = A + B προκύπτει το λογικό κύκλωμα στα δεξιά:
Χάρτης Karnaugh 3 μεταβλητών Ένας χάρτης Karnaugh 3 μεταβλητών θα έχει 8 ελαχιστόρους. Η θέση των ελαχιστόρων σε ένα χάρτη Karnaugh παρουσιάζεται στην εικόνα πιο κάτω:
Παράδειγμα 8 Να απλοποιηθεί η συνάρτηση F = A'B'C' + A'B'C Λύση Έχουμε τη συνάρτηση F = A'B'C' + A'B'C = Σ (0, 1). Ο χάρτης Karnaugh και η ομαδοποίηση των όρων φαίνεται στην πιο κάτω εικόνα. Άρα Σ(0, 1) = A' B'
Παράδειγμα 9 Να δημιουργηθεί ο πίνακας αλήθειας, να απλοποιηθεί η συνάρτηση F = A BC + AB C +ABC + ABC και να σχεδιαστεί το λογικό κύκλωμα Λύση Δημιουργούμε τον πίνακα αλήθειας. Για 3 μεταβλητές ο πίνακας αλήθειας θα έχει 2 3 = 8 περιπτώσεις.
Παράδειγμα 9 Να δημιουργηθεί ο πίνακας αλήθειας, να απλοποιηθεί η συνάρτηση F = A BC + AB C +ABC + ABC και να σχεδιαστεί το λογικό κύκλωμα Λύση Απλοποιούμε την πιο πάνω συνάρτηση με τη χρήση χάρτη Karnaugh 3 μεταβλητών (με αντίστοιχο χρόνο η ομάδα που έχει απλοποιηθεί)
Παράδειγμα 9 Να δημιουργηθεί ο πίνακας αλήθειας, να απλοποιηθεί η συνάρτηση F = A BC + AB C +ABC + ABC και να σχεδιαστεί το λογικό κύκλωμα Λύση Τέλος σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα για την συνάρτηση Y = AB + AC + BC
Χάρτης Karnaugh 4 μεταβλητών Ένας χάρτης Karnaugh 4 μεταβλητών θα έχει 2 4 = 16 ελαχιστόρους. Η θέση των ελαχιστόρων σε ένα χάρτη Karnaugh παρουσιάζεται στην εικόνα πιο κάτω:
Παράδειγμα 10 Να απλοποιήσετε τη συνάρτηση F = ABCD + A'B'C'D' + A'B'C'D + A'BC'D' + A'BC'D. Λύση Παρατηρούμε ότι ο ελαχιστόρος m15 δεν μπορεί να ομαδοποιηθεί. Η απλοποίηση που προκύπτει από την ομαδοποίηση είναι Α'C', αφού είναι οι δύο μεταβλητές που δεν μεταβάλλονται/ Η απλοποιημένη συνάρτηση είναι:
Παράδειγμα 11 Να απλοποιήσετε τη συνάρτηση F(A,B,C,D) = Σ(3,7,11,12,13,14,15) Λύση Συμπληρώνουμε τον χάρτη Karnaugh και ομαδοποιούμε τους γειτονικούς όρους.
Παράδειγμα 12 Να απλοποιήσετε τη συνάρτηση F(A,B,C,D) = Σ(0, 2, 8, 10) και να σχεδιάσετε το λογικό κύκλωμα που προκύπτει. Λύση Παρατηρούμε ότι η ομαδοποίηση γίνεται για γωνιακούς όρους. F = Β' D'
Παράδειγμα 12 Να απλοποιήσετε τη συνάρτηση F(A,B,C,D) = Σ(0, 2, 8, 10) και να σχεδιάσετε το λογικό κύκλωμα που προκύπτει. Λύση Σχεδιάζουμε το λογικό κύκλωμα της συνάρτησης F = Β' D'