Η κανονική μορφή της συνάρτησης που υλοποιείται με τον προηγούμενο πίνακα αληθείας σε μορφή ελαχιστόρων είναι η Q = [A].

Transcript

1 Κανονική μορφή συνάρτησης λογικής 5. Η κανονική μορφή μιας λογικής συνάρτησης (ΛΣ) ως άθροισμα ελαχιστόρων, από τον πίνακα αληθείας προκύπτει ως εξής: ) Παράγουμε ένα [A] όρων από την κάθε σειρά για την οποία η ΛΣ είναι [B]. ) Σε κάθε γινόμενο οι επιμέρους μεταβλητές είναι ασυμπλήρωτες αν η τιμή της μεταβλητής στη γραμμή αυτή είναι [C] και συμπληρωμένες αν η τιμή της μεταβλητής σε αυτή τη γραμμή είναι [D]. 3) [E] όλους αυτούς τους όρους. 5. Η κανονική μορφή μιας λογικής συνάρτησης (ΛΣ) ως γινόμενο μεγιστόρων, από τον πίνακα αληθείας προκύπτει ως εξής: ) Παράγουμε ένα [A] όρων από την κάθε σειρά για την οποία η ΛΣ είναι [B]. ) Σε κάθε άθροισμα οι επιμέρους μεταβλητές είναι ασυμπλήρωτες αν η τιμή της μεταβλητής στη γραμμή αυτή είναι [C] και συμπληρωμένες αν η τιμή της μεταβλητής σε αυτή τη γραμμή είναι [D]. 3) [E] όλους αυτούς του όρους. 3. Η κανονική μορφή της συνάρτησης που υλοποιείται με τον προηγούμενο πίνακα αληθείας σε μορφή ελαχιστόρων είναι η Q = [A]. 4. Η κανονική μορφή της συνάρτησης που υλοποιείται με τον προηγούμενο πίνακα αληθείας σε μορφή ελαχιστόρων είναι η Q=[A]. Απλοποίηση συνάρτησης λογικής με χάρτη Καρνώ 5. Η συνάρτηση F(x,y,z)=Σ(0,,6,7) έχει κανονική μορφή την F(x,y,z)=[A] και μετά την απλοποίηση με χάρτη Καρνώ την F(x,y,z)=[B]. // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

2 // Η συνάρτηση F(x,y,z)=Σ(0,,,3,7) έχει κανονική μορφή την F(x,y,z)=[A] και μετά την απλοποίηση με χάρτη Καρνώ την F(x,y,z)=[B]. 7. Η συνάρτηση F(x,y,z)=Σ(0,,3,4,6) έχει κανονική μορφή την F(x,y,z)=[A] και μετά την απλοποίηση με χάρτη Καρνώ την F(x,y,z)=[B]. 8. Η συνάρτηση F(x,y,z)=Σ(3,5,6,7) έχει κανονική μορφή την F(x,y,z)=[A] και μετά την απλοποίηση με χάρτη Καρνώ την F(x,y,z)=[B]. 9. Παραπάνω βλέπουμε το χάρτη Καρνώ μιας συνάρτησης λογικής F. Η κανονική μορφή της F ως άθροισμα ελαχιστόρων είναι: F=Sum([A] ). Με τις απλοποιήσεις η F ισοδυναμεί με την F=[B] Να απλοποιηθεί η συνάρτηση F = Σ(0,,,3,5,7,0) και το αποτέλεσμα να εκφραστεί ως άθροισμα ελαχιστόρων (F) και ως γινόμενο μεγιστόρων (F). Απάντηση: Μετά τις απλοποήσεις με χάρτη Καρνώ, έχουμε: F=[A] και F=[B]. // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

3 // Στον χάρτη Καρνώ με Χ συμβολίζουμε τους αδιάφορους όρους. Η απλοποιημένη μορφή της συνάρτησης λογικής F είναι: A. F = AB + AB + A D B. F = A B' + AB + A D C. F = A B + AB + A D D. F = A B + AB + AD Η απλοποιημένη μορφή της συνάρτησης λογικής είναι η: A. W'+X'Y'Z' B. W'Z'+X'Y'Z' C. W'Z'+X'Y'Z D. WZ'+XY'Z' // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

4 // Με d συμβολίζονται οι αδιάφοροι όροι. Αν τους λάβουμε υπόψη μας, τότε η απλοποιημένη μορφή της συνάρτησης λογικής είναι: A. XZ B. XZ+Y C. Z' D. Z Ημιαθροιστής - Αθροιστής 4. Ο ημιαθροιστής είναι ένα [A] κύκλωμα που προσθέτει [B] bit Ο πίνακας αληθείας του ημιαθροιστή είναι: Α Β Carry Sum 0 0 [A] 0 [B] 0 [C] [D] // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

5 // Ο ημιαθροιστής υλοποιείται ως εξής: 3 7. A. Carry = A+B, Sum = XOR(A,B) B. Carry = AB, Sum = XNOR(A,B) C. Carry = A'B', Sum = XOR(A,B) D. Carry = AB, Sum = XOR(A,B) Ο πλήρης αθροιστής (Full Adder) είναι ένα συνδυαστικό κύκλωμα με τρείς εισόδους και δύο εξόδους. Προσθέτει τα τρία bits εισόδου. Ο πίνακας αληθείας του είναι: A B Cin Cout Sum [A] [B] 0 0 [C] 8. Οι συναρτήσεις λογικής εξόδου του πλήρη αθροιστή, χωρίς απλοποιήσεις είναι: Sum = [A] και Cout = [B], ενώ μετά την απλοποίηση με χάρτη Καρνώ: Sum = [C] και Cout = [D]. Αναπαράσταση αρνητικών αριθμών 5 9. Για την αναπαράσταση αρνητικών αριθμών, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα [A] ειδικά για το [B]. Άρα, για την αναπαράσταση ενός n-bit αριθμού θα χρησιμοποιούμε [C] bits. Τυπικά το bit προσήμου είναι το [D]. Αυτός ο τρόπος αναπαράστασης ονομάζεται σύστημα προσημασμένου μέτρου. Γενικότερα, για την αναπαράσταση αρνητικών αριθμών, εκτός από το σύστημα // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

6 // προσημασμένου μέτρου, χρησιμοποιείται και το [E] σύστημα. // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

7 // Σύστημα Προσημασμένου Μέτρου Στην αναπαράσταση αυτή χρησιμοποιούμε [A] bits για να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό n bits. To [B] χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση του προσήμου. Αν MSB=0, τότε ο αριθμός είναι [C], ενώ αν MSB=[D], ο αριθμός είναι αρνητικός, όπου r η βάση του αριθμητικού συστήματος.. Αριθμός Αναπαράσταση στο σύστημα του προσημασμένου μέτρου. (-) [A] (+56)8 [B] (-56)8 [C] (-F)6 [D]. Συμπληρωματικό Σύστημα Η αφαίρεση Β - Α ισοδυναμεί με την πρόσθεση του Β με τον [A]. Το συμπληρωματικό σύστημα είναι μια βολική μορφή αναπαράστασης [B] αριθμών. Με το σύστημα αυτό έχουμε αναγωγή της αφαίρεσης σε [C]. Οι πιο δημοφιλείς μορφές συμπληρώματος είναι το [D] συμπλήρωμα και το [E] συμπλήρωμα, όπου r η βάση του αριθμητικού συστήματος. Δηλαδή στην περίπτωση του δυαδικού συστήματος έχουμε το συμπλήρωμα ως προς [F] και το συμπλήρωμα ως προς [G]. 3. Συμπλήρωμα ως προς δυαδικού. Το συμπλήρωμα ως προς ενός δικού αριθμού υπολογίζεται πολύ εύκολα θεωρώντας το [A] κάθε bit. Π.χ. ο 00 έχει για αρνητικό τον -00 που στο συμπλήρωμα- γράφεται [B]. 4. Συμπλήρωμα ως προς δυαδικού. Για να προσδιορίσουμε το συμπλήρωμα- [A] κάθε bit και προσθέτουμε [B] στο LSB. Διαφορετικά αντιγράφουμε τα bits από το LSB μέχρι τον πρώτο [C]. Στη συνέχεια [D] τα επόμενα μέχρι το MSB. Ο -000 στο συμπλήρωμα- γράφεται [E]. 5. Όπως και στο σύστημα προσημασμένου μέτρου, έτσι και στο σύστημα συμπληρώματος, χρησιμοποιούμε ένα επιπλέον [A] για το πρόσημο. Επειδή ο συμπληρωματικός ενός αριθμού αντιστοιχεί στον [B] του, οι θετικοί αριθμοί στο συμπληρωματικό σύστημα παραμένουν [C] όπως στο προσημασμένο σύστημα. Μόνον οι [D] αριθμοί αναπαρίστανται με το συμπλήρωμά τους. Για να βρούμε το συμπληρωματικό ενός αριθμού, ξεκινάμε από την προσημασμένη // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

8 // του μορφή ως θετικού αριθμού και προσδιορίζουμε το συμπλήρωμά του με τις προηγούμενες μεθόδους Δεκαδικό σύστημα: +5 Δυαδικό σύστημα προσημασμένου μέτρου: [A] Δυαδικό σύστημα συμπληρώματος-: [B] Δυαδικό σύστημα συμπληρώματος-: [C] 7. Δεκαδικό σύστημα: -5 Δυαδικό σύστημα προσημασμένου μέτρου: [A] Δυαδικό σύστημα συμπληρώματος-: [B] Δυαδικό σύστημα συμπληρώματος-: [C] 8. Δεκαδικό σύστημα: -4 Δυαδικό σύστημα προσημασμένου μέτρου: [A] Δυαδικό σύστημα συμπληρώματος-: [B] Δυαδικό σύστημα συμπληρώματος-: [C] 9. Δεκαδικό σύστημα: -4 Δυαδικό σύστημα προσημασμένου μέτρου: [A] Δυαδικό σύστημα συμπληρώματος-: [B] Δυαδικό σύστημα συμπληρώματος-: [C] 30. Στην πρόσθεση στο συμπλήρωμα- (Σ-), το bit προσήμου, [A] στη διαδικασία της πρόσθεσης και θεωρείται ότι έχει αξία-θέσης. Όταν το bit προσήμου του αποτελέσματος είναι 0 το αποτέλεσμα είναι [B]. Αν είναι, το αποτέλεσμα είναι [C]. Όταν υπάρχει κρατούμενο υπερχείλισης πέρα από τη θέση προσήμου, θα το [D]. Πρόσθεση στο Σ-: 0,00 = 50 0,000 = [E] = 90 0,00 = 50 [F] = = Όταν η αφαίρεση πραγματοποιείται στο 0δικό σύστημα (και σε προσημασμένο σύστημα), ο αριθμός με το μικρότερο μέτρο αφαιρείται από τον αριθμό με το μεγαλύτερο και το πρόσημο του αποτελέσματος είναι αυτό του μεγαλύτερου αριθμού. Τέτοιες συγκρίσεις δε χρειάζεται να γίνουν όταν οι αριθμοί // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

9 // πραγματοποιούνται στο σύστημα συμπληρώματος. Στην πρόσθεση στο συμπλήρωμα-, το κρατούμενο που παράγεται από το MSB [A]. Το bit προσήμου του αποτελέσματος πρέπει να είναι το [B] με αυτό των τελεστέων όταν αυτοί έχουν το ίδιο πρόσημο. Αν δεν είναι το ίδιο στην περίπτωση αυτή, το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από αυτό που μπορεί να αναπαρασταθεί από το δεδομένο πλήθος bits, οπότε προκαλείται [C]. Όταν τα πρόσημα των τελεστέων είναι διαφορετικά, ένα κρατούμενο από το bit προσήμου υποδεικνύει [D] αποτέλεσμα. Αν δεν παραχθεί κρατούμενο, το αποτέλεσμα είναι [E] και πρέπει να [F] για να πάρουμε την προσημασμένη μορφή. Το bit προσήμου [G] στην αριθμητική Πρόσθεση στο Σ-: 0,000 = 40 [A] = [B] = Πρόσθεση στπ Σ- [A] = -50 [B] = [C] = -90 Πολυπλέκτες 34. Πολυπλεξία (multiplexing) είναι η μεταβίβαση ενός [A] αριθμού πληροφοριών μέσα από ένα [B] αριθμό καναλιών ή γραμμών Ένας ψηφιακός πολυπλέκτης είναι ένα συνδυαστικό κύκλωμα που επιλέγει δυαδικές πληροφορίες ανάμεσα σε πολλές γραμμές εισόδου και τις κατευθύνει στη [A] και μοναδική γραμμή εξόδου. Η επιλογή της [B] συγκεκριμένης γραμμής εισόδου γίνεται μέσω μερικών γραμμών επιλογής. Κανονικά, υπάρχουν [C] γραμμές εισόδου και n γραμμές επιλογής που οι συνδυασμοί των bit καθορίζουν ποια είσοδος επιλέγεται. 36. Έστω ένας πολυπλέκτης 4x με γραμμές επιλογής Α, Β και εισόδους Ι0, Ι, Ι, Ι3 και έξοδο την F. Συμπληρώστε τον πίνακα αληθείας: AB=00 F = [A] AB=0 F = [B] AB=0 F = [C] AB= F = [D] // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

10 // Έστω mux 4x με επιλογείς S και S0 και εισόδους I0, I, I και Ι3. Η έξοδος F συναρτήσει τους γράφεται: F = [A]. 38. Έστω mux 8x με επιλογείς S, S, S0 και εισόδους I0, I, I και Ι3. Η έξοδος F συναρτήσει τους γράφεται: F = [A] 39. Έστω η λογική συνάρτηση F(Α,Β,C,D)=Σ(,5,7,,3,5). Για την υλοποίησή της με πολυπλέκτη, θα χρειαστούμε πολυπλέκτη 8x με εισόδους select: S = [A], S = [B], S0 = [C] και με εισόδους δεδομένων: I0 = [D], I = [E], I = [F], I3 = [G], I4 = [H], I5 = [I], I6 = [J], I7 = [K]. 40. Έστω η συνάρτηση λογικής F(Α,Β,C,D)= Σ(,,4,7,8,9,0,,3,5). Για την υλοποίησή της με πολυπλέκτη 4x, θα πρέπει να βάλω στις εισόδους select S = [A], S0 = [B] και στις εισόδους δεδομένων: I0 = [C], I = [D], I = [E], I3 = [F]. 4. Έστω ότι θα υλοποιήσουμε έναν πλήρη αθροιστή με δύο 4x mux. Αν Α, Β, Cin είναι οι είσοδοι του πλήρη αθροιστή, τότε θα βάλουμε σε ρόλο select S = A και S0 = B στον κάθε πολυπλέκτη. Για τον πολυπλέκτη που θα δώσει το F = Cout, οι είσοδοι του πρέπει να έχουν: I0 = [A], I = [B], I = [C], I3 = [D]. Για τον πολυπλέκτη που θα δώσει το F = Sum, οι είσοδοί του θα πρέπει να έχουν: I0 = [E], Ι = [F], I = [G], I3 = [H] Υλοποιήστε με MUX 4x (7453) τη λογική συνάρτηση: Ζ(C,B,C) = Σ(0,3,6,7). Πρέπει να κάνουμε τις B = [A], A = [B], C0 = [C], C = [D], C = [E], C3 = [F], G'=[G]. // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

11 // // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

12 // η Εξέταση Εργαστηρίου Το παραπάνω κύκλωμα είναι [A]. Για ΑΒ=00 θα έχουμε FFF3=[B]. Για ΑΒ=0 θα έχουμε FFF3=[C]. Για ΑΒ=0 θα έχουμε FFF3=[D]. Για ΑΒ= θα έχουμε FFF3=[E]. (Γράψτε τους συνδυασμούς bits που θα εμφανιστούν στις εξόδους F, F, F3). // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

13 // To ολοκληρωμένο κύκλωμα 745 είναι [A]. Η συνδεσμολογία που φαίνεται παραπάνω υλοποιεί τη συνάρτηση Υ = Σ([B] ). // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

14 // Το ολοκληρωμένο κύκλωμα 7453 είναι [A]. Εδώ η συνδεσμολογία που φαίνεται παραπάνω, υλοποιεί τη συνάρτηση Υ = Σ([B] ) και τη συνάρτηση Υ = Σ([C] ). // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

15 // Το ολοκληρωμένο 7483 είναι ένας [A]. Η συγκεκριμένη συνδεσμολογία που φαίνεται παραπάνω με U = A, U3 = F και C0 = L, δίνει L = [B] και Label = [C], δηλαδή στο 0δικό, τον αριθμό [D]. // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

16 // Το παραπάνω κύκλωμα με Α = Α, Β = 6 και C0 = δίνει στην έξοδο L = [A] και Label = [B], δηλαδή εκτελεί την πράξη [C]. // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

17 // Το παραπάνω κύκλωμα υλοποιεί την πράξη [A]. Στην έξοδο βλέπουμε L=0 kai Label = b που είναι ο [B] σε συμπλήρωμα ως προς [C]. // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

18 // Μανδαλωτές και Flip-Flops 49. Συνδυαστικό κύκλωμα είναι εκείνο του οποίου οι έξοδοι εξαρτώνται μόνο από τις τρέχουσες εισόδους του. [A] κύκλωμα είναι εκείνο του οποίου οι έξοδοι εξαρτώνται όχι μόνο από τις τρέχουσες εισόδους του, αλλά και από την προηγούμενη ακολουθία εισόδων, που ενδεχομένως εκτείνεται σε απροσδιόριστο βαθμό πίσω στο χρόνο. 50. Τα στοιχεία μνήμης είναι συσκευές που [A] δυαδικές πληροφορίες μέσα τους. 5. Η σύνδεση του συνδυαστικού κυκλώματος με τα στοιχεία μνήμης γίνεται σε ένα σχηματισμό βρόγχου [A] Στην κάθε χρονική στιγμή, οι δυαδικές πληροφορίες που είναι αποθηκευμένες στα στοιχεία μνήμης ενός ακολουθιακού κυκλώματος, αποτελούν την [A] του (state). Οι έξοδοι ενός ακολουθιακού κυκλώματος είναι συναρτήσεις όχι μόνο των εισόδων του, αλλά και της παρούσας [B] των στοιχείων μνήμης του. 53. Ένα κύκλωμα λέγεται [A] ταν ενεργοποιείται στη θετική ή στην αρνητική ακμή του ρολογιού. 54. Χρησιμοποιούμε την ονομασία κύκλωμα [A] (latch) για μια ακολουθιακή συσκευή η οποία παρακολουθεί όλες τις εισόδους της συνεχώς και μεταβάλλει τις εξόδους της [B] στιγμή, χωρίς να εξαρτάται από κάποιο σήμα [C]. 55. Συμπληρώστε τον πίνακα αληθείας του SR-Flip-Flop: SRQ=000 => Q+=[A] SRQ=00 => Q+=[B] SRQ=00 => Q+=[C] SRQ=0 => Q+=[D] SRQ=00 => Q+=[E] SRQ=00 => Q+=[F] SRQ=0 => Q+=[G] SRQ= => Q+=[H] // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

19 // Όπως προκύπτει από τον πίνακα καταστάσεων και το χάρτη Karnaugh, η εξίσωση της επόμενης κατάστασης του SR είναι: Q+ = [A] με S * R = [B]. 57. Η συνάρτηση της επόμενης κατάστασης για το D-FF είναι Q+ = [A]. 58. Ο πίνακας αληθείας για ένα JK-FF είναι ο εξής: JKQ => Q+ 000 =>[A] 00 =>[B] 00 =>[C] 0 =>[D] 00 =>[E] 0 =>[F] 0 =>[G] =>[H] 59. Η συνάρτηση επόμενης κατάστασης του JK-FF είναι: Q(t+)=[A]. 60. Η ονομασία Τ-FF προέρχεται από τη δυνατότητα του flip-flop να αντιστρέφεται (toggle), δηλαδή να αλλάζει κατάσταση. Σε όποια κατάσταση και να βρίσκεται το flip-flop, όταν έλθει ο παλμός του ρολογιού ενώ Τ= πηγαίνει στη [A] κατάσταση.όταν Τ=0, Q(t+)=[B], δηλαδή η επόμενη κατάσταση είναι ίδια με την [C] και καμιά αλλαγή δε συμβαίνει. 6. Η συνάρτηση επόμενης κατάστασης για το Τ-FF είναι: Q+ = [A]. 6. Ένα ακολουθιακό κύκλωμα με δύο D-FF Α και Β, δύο εισόδους x και y και μία έξοδο z, ορίζεται από τις παρακάτω εξισώσεις επόμενης κατάστασης και εξόδου: Α(t+)=x'y+xA, B(t+)=x'B+xA, z=b. (α) Σχεδιάστε το λογικό κύκλωμα του κυκλώματος. (β) Καταστρώστε τον πίνακα καταστάσεων. (γ). Σχεδιάστε το διάγραμμα καταστάσεων Ένα ακολουθιακό κύκλωμα έχει τρία D-FF, Α, Β, C και μια είσοδο x. Περιγράφεται από τις παρακάτω συναρτήσεις εισόδου των FFs: DA = (BC'+B'C)x+(BC+B'C')x', DB = A, DC = B. (α) Καταστρώστε τον πίνακα καταστάσεων του κυκλώματος. (β) Σχεδιάστε δύο διαγράμματα καταστάσεων: Ένα για x=0 και ένα άλλο για x=. // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ

20 // Ο πλήρης αθροιστής της εικόνας έχει δύο εξωτερικές εισόδους x, y, ενώ η τρίτη εισοδός του z, έρχεται από την έξοδο ενός flip-flop τύπου D. Η έξοδος κρατουμένου μεταφέρεται στο flip-flop με τον κάθε παλμό ρολογιού. Η εξωτερική έξοδος S δίνει το άθροισμα των x, y, και z. Βρείτε τον πίνακα και το διάγραμμα καταστάσεων αυτού του ακολουθιακού κυκλώματος Βρείτε τον πίνακα και του διάγραμμα καταστάσεων του ακολουθιακού κυκλώματος του σχήματος. Τί κανει αυτό το κύκλωμα; // Γ.Π.ΠΑΤΣΗΣ