ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 20 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: (ΠΕΝΤΕ) ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f x g x f x g x, x Μονάδες 7 Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α3. Αν x, x 2,..., x ν είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w, w 2,..., w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε τον σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν f x0 0 για x0 α,β, α,x 0 και f x 0 στο 0 διάστημα x x. α,β για 0 f x 0 στο x,β, τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο β) Ένα τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. γ) Η διακύμανση των παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Αν για τους συντελεστές μεταβολής των δειγμάτων Α και Β ισχύει CV >CV, τότε λέμε ότι το δείγμα Β εμφανίζει μεγαλύτερη ομοιογένεια B A από το δείγμα Α. ε) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε η έκφραση «η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β» δηλώνει ότι Α Β. Μονάδες 0 Έστω Α, Β και Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, A B και A B ανήκουν στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης 2 3x 8x 6x 0. Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ ανήκει στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης 2 9x 3x 2 0. Β. Να αποδείξετε ότι P(A), P(A B) και P(A B). 3 4 2 Μονάδες Β2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(A B ), καθώς επίσης και την πιθανότητα του ενδεχομένου Δ: «πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β». Β3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Ε: «πραγματοποιείται μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β». Β4. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα. Μονάδες 8 Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής Χ, τις οποίες ομαδοποιούμε σε ισοπλατείς κλάσεις, όπως παρουσιάζονται στον Πίνακα Ι, όπου f i%, i,2,3,4, είναι οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό των αντιστοίχων κλάσεων. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. Δίνεται ότι : Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μικρότερες του 0 είναι 0%. Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 6 είναι 30%. Στο κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων, η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην 3 η κλάση είναι 08 ο. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι x 4. ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Kλάσεις f i % [8, 0) [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Γ. Να αποδείξετε ότι f % 0, f 2% 0, f 3 % 30, f 4% 20, f % 30. Δεν είναι απαραίτητο να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον Πίνακα Ι συμπληρωμένο. Μονάδες 6 Γ2. Να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων είναι ομοιογενές. Δίνεται ότι 6,6 2,7. Μονάδες 7 Γ3. Έστω x, x 2, x3 και x 4 τα κέντρα της ης, 2 ης, 3 ης και 4 ης κλάσης αντίστοιχα και ν, ν 2, ν 3 και ν 4 οι συχνότητες της ης, 2 ης, 3 ης και 4 ης κλάσης αντίστοιχα. Αν 4 i x ν 780, βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων του δείγματος. i i Μονάδες Γ4. Έστω, 2, 3, 4, πέντε τυχαία επιλεγμένες παρατηρήσεις διαφορετικές μεταξύ τους από το παραπάνω δείγμα ν παρατηρήσεων. Ορίζουμε ως τη μέση τιμή των πέντε αυτών παρατηρήσεων και S α την τυπική τους απόκλιση. i Εάν, για i=, 2, 3, 4,, να δείξετε ότι η μέση τιμή του δείγματος i S β i, i=, 2, 3, 4, είναι ίση με 0 και η τυπική του απόκλιση S β είναι ίση με. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) με κέντρο Ο και ακτίνα ρ= και ορθογώνιο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο στον κύκλο αυτόν με πλευρά ΑΒ=x, όπως φαίνεται στο Σχήμα Ι. A x Β Δ Ο Γ ΣΧΗΜΑ Ι Δ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ως συνάρτηση του x, 2 δίνεται από τον τύπο f(x) x 00 x, 0 x 0. Μονάδες 4 Δ2. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο. Για την τιμή αυτήν του x, δείξτε ότι το ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Μονάδες ( x) 99 Δ3. Να υπολογίσετε το όριο lim x 0 98 x f Μονάδες 8 Δ4. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν P(A-B)>0, να δείξετε ότι f P(A B) P(A) f 2 2 00 P (A) 00 P (A B).. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 20 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ.3 Α2. Σχολικό βιβλίο σελ.22 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ.86-87 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. (3 x ) (8 x 2 6 x+)=0 3 x =0 ή 8 x 2 6 x+=0 Άρα x= 3 ή Δ=4 άρα x,2 = 2 ή 4 A B A A B άρα P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) Άρα P ( A B )= 4, P ( A )= 3, P ( A B )= 2
Β2. Είναι A ' B '=A ' (B ' )'=A ' B=B A Άρα P ( A ' B ' )=P (B A )=P (B) P ( A B ) ισχύει P ( A B )=P ( A )+P (B) P ( A B ) 2 = 3 +P (B) 4 P (B)= 2 Άρα P ( A ' B ' )=P (B) P ( A B )= 2 4 = 6 και P ( Δ)=P(( A B )' )= P ( A B ) = 4 =3 4 Β3. P ( E )=P(( A B ) (B A ))=P ( A B )+P (B A )=P ( A )+P (B) 2 P ( A B )= = P ( A B ) P ( A B ) = 2 4 = 4 όπου A B, B A ασυμβίβαστα μεταξύ τους. Β4. 9 x 2 3 x 2=0 Δ=8>0 Χ,2 = 3 ±9 8 = 2 3 ή 3 όμως 0 P ( Γ ) άρα P ( Γ )= 2 3 Έστω ότι Β, Γ ασυμβίβαστα. Τότε ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος, άρα P (B Γ )=P (B)+P (Γ )= 2 3 + 2 = 3 2 άρα Β,Γ όχι ασυμβίβαστα. >, αδύνατο αφού 0 P (B Γ ) 2
ΘΕΜΑ Γ Γ. Έχουμε f %=0, f %=30, f 3 %=30 διότι α 3 =08 ο f 3 360 o =08 o f 3 %=30 x=4 x i f i =4 0,9+x 2 f 2 +3,9+x 4 f 4 +,=4 i= f 2 + f 4 =4, () Από τη σχέση f i = f 2 +f 4 =0,3 f 2 =0,3 f 4 (2) i= Άρα από τις σχέσεις (), (2), προκύπτει f 4 =0,2 και f 2 =0, Γ2. κλάσεις x i f i f i % x i x (x i x) 2 (x i x) 2 f [8,0) 9 0, 0-2 2, [0,2) 0, 0-3 9 0,9 [2,4) 3 0,3 30-0,3 [4,6) 0,2 20 0,2 [6,8) 7 0,3 30 3 9 2,7 Σύνολο - 00 - - 6,6 s 2 = v i= i= ( x i x) 2 v i = ( x i x) 2 f i s 2 =6,6 άρα s= 6,6 άρα CV = = 6,6 s x 4 2,7 4 >,4 4 = 0, άρα το δείγμα είναι ανομοιογενές. 3
Γ3. 4 x i v i =780 i= v 4 x i v i = i= v 780 x f +x f +x f +x f = 780 2 2 3 3 4 4 v 8,9= 780 v=200 v Γ4. β i = s α α i ᾱ s α Έστω w i = s α α i από εφαρμογή σχολικού βιβλίου έχουμε : w= = ᾱ και s α s w α s s =,s >0 α α Άρα β i =w i ᾱ s α Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου προκύπτει ότι : β= w ᾱ s α = s α ᾱ ᾱ s α =0 και s β =s w = ΘΕΜΑ Δ Δ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ, έστω x=( AB)>0, y= (AΔ)>0 Από πυθαγόρειο θεώρημα : x 2 + y 2 =(2 ρ) 2 x 2 + y 2 =0 2 y 2 =00 x 2 y 2 >0 00 x 2 >0 x 2 <00 x <0 και x>0. Άρα 0<x<0 και y= 00 x 2 f ( x )=2 ( ABΔ)=2 2 x 00 x2 f ( x )= x 00 x 2, 0<x<0 4
Δ2. f ' ( x )=( x )' 00 x 2 +x ( 00 x 2 )' = = 00 x 2 + x ( 2 x ) 2 00 x 2 = Άρα f ' ( x )= 2 (0 x2 ) 00 x 2, 0<x<0 f ' ( x )=0 x= 0= 2 ( 00 x 2 ) 2 x 2 00 x 2 = 00 2 x 2 00 x 2 Μονοτονία Για x (0, 2 ] f συνεχής, f παραγωγίσιμη για x (0, 2) και f ' ( x )>0 για x (0, 2) άρα f γν. αύξουσα για x (0, 2 ]. Για x [ 2, 0 ) f συνεχής, f παραγωγίσιμη για x ( 2, 0) και f ' ( x )<0 για x ( 2, 0) άρα f γν. φθίνουσα για. x [ 2, 0 ). Η f παρουσιάζει μέγιστο για x= 2 το f ( 2)= 2 00 ( 2) 2 = = 2 00 0=0 και τότε ΑΒ= 2 ΑΔ= 00 ( 2 ) 2 = 2, άρα ΑΒ= ΑΔ και ΑΒΓΔ τετράγωνο. f ( x+) 99 Δ3. lim x 0 98 x 99 99 f ( x+) f ( ) = lim x 0 98 x = = 98 98 lim f ( x+ ) f () x 0 x f ' ( )= 98 98 99 = =
Δ4. Α Β Α άρα 0<P ( A B ) P ( A ) f γν. αύξουσα (0, 2 ] άρα f (P ( A B )) f (P ( A )) P ( A B ) 00 P 2 ( A B ) P ( A ) 00 P 2 ( A) άρα P ( A B ) 00 P 2 ( A ) P ( A ) 00 P 2 ( A B ) () αφού 00 P 2 ( A) 00 P 2 ( A B )>0 Ισχύει P ( A ) 00 P 2 ( A B ) < P ( A )< 00 P 2 ( A B ) P 2 ( A )<00 P 2 ( A B) P 2 ( A )+P 2 ( A B )<00, ισχύει αφού 0<P ( A B ) P ( A ) Άρα για την () έχουμε : 0< P ( A B ) 00 P 2 ( A ) P ( A ) 00 P 2 ( A B ) < < 2 99 ( P ( A B ) )) άρα f γν. αύξουσα και f 00 P 2 ( A f ( P ( A ) B)) 00 P 2 ( A Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη 6