"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 תנודות הרמוניות מאולצות ותהודה Data Studio שם קובץ הניסוי: Forced Oscillation and Resonance.ds חוברת מס' 18 כרך מכניקה מאת: משה גלבמן
ש( "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 תנודות הרמוניות מאולצות ותהודה Data Studio מטרה בתרגיל המעבדה הנוכחי נחקור תנודות הרמוניות מאולצות. כאשר כוח חיצוני, תלוי בזמן לפי הפונקציה סינוס, פועל על מערכת מסה-קפיץ, המערכת מאולצת להתנודד בתדירות התנודות של הכוח המאלץ. נחקור מערכת שהיא קרונית פאסקו על מסילה רתומה בין שני קפיצים זהים (חופשית לבצע תנודות על מסילה). את אחד הקפיצים נרתום לחישן כוח. את הקפיץ השני נרתום באמצעות חוט לזרוע המותקנת על ציר של מנוע אקסצנטרי, המנוע לתנועה קוית של החוט שרתום לקפיץ). מאפשר להפוך עת התנועה הסיבובית של ציר תדירות הסיבוב של ציר המנוע ותדירות התנודות של הקרונית, נמדדים בנפרד באמצעות שני שערים אופטיים. כוח המתיחות בקפיץ נמדד באמצעות חישן הכוח, והוא פרופורציונלי להתארכות הקפיץ (להעתק של הקרונית מנקודת שיווי משקל). באופן כזה ניתן יהיה לתאר את ההעתק של הקרונית כפונקציה של הזמן. במהלך התרגיל, נתמקד במקרים שבהם תדירות הכוח המאלץ קרובה או שווה לתדירות העצמית של המערכת. (התדירות העצמית היא התדירות של המערכת ללא כוח מאלץ). המדידות מתבצעות בפרק זמן שלפני שהמערכת התיצבה במשרעת קבועה ולכן גם הפרש המופע בין הכוח המאלץ וההעתק יהיו תלויים בזמן. תיאוריה בכל מערכת מתנדנדת הרמונית יש הפסד אנרגיה לסביבה (בדרך כלל בצורת חום) אשר גורם לתנודות להתרסן (ראה תרגיל תנודות הרמוניות מרוסנות). על-מנת ליצור תנודות הרמוניות במשרעת קבועה, יש להוסיף למערכת את האנרגיה שאובדת לה. קיימות שיטות שונות שמאפשרות לקיים את התנודות במשרעת קבועה. בתרגיל הנוכחי, נתאר אחת מהן. על המערכת מסה-קפיץ, אפשר להפעיל כוח חיצוני המשתנה לפי המשוואה: F ( t) = F sinωt 88
כוח כזה מאלץ את המערכת להתנודד בתדירות זוויתית ω שיכולה להיות שונה מהתדירות ω העצמית ω. במערכת מסה-קפיץ, התדירות העצמית נתונה על-ידי הנוסחה: ω = k m כאשר k הוא קבוע הכוח של הקפיץ ו m המסה המתנודדת. כשמפסיקים את פעולת הכוח המאלץ, חוזרת המערכת להתנדנד בתדירות העצמית שלה. כשפועל על המערכת כוח מאלץ, מקבלים מערכת מתנודדת ב"תנודות הרמוניות מאולצות". נרצה "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 לחשב את המשרעת ואת זוית המופע של התנודות האלו. נחשב תחילה מקרה פשוט יותר שבו קיים כוח מאלץ אך לא קיים חיכוך עם הסביבה. במקרה כזה, הכוח השקול שפועל על המסה הוא: ( t) kx F sin t kx + F = + ω (1) m&& x = kx + F sinωt לפי החוק השני של ניוטון, מקבלים את משוואת התנועה: נבדוק אם קיים פתרון למשוואה הדיפרנציאלית ) 1) שהוא פונקציה סינוסואידלית מהצורה : () x = Asinωt כדי לקבל את התנאים, שעבורם הפונקציה () נגזור את היא פתרון למשוואה דיפרנציאלית (1). x& = ωacosωt x פעמים : && x = ω Asinωt נציב את הנגזרת השניה במשוואה (1) ונקבל: mω Asinωt = kx + F sinωt ω Asinωt = k m F x + sinωt m k m נציב גם את () x וכן את הערך של במשוואה ונקבל: F ω Asinωt = ω Asinωt + sinωt m F A( ω ω ) = m F A = m( ω ω ) 89
קיבלנו ביטוי למשרעת של התנודות שעבורה הפונקציה () משמשת פתרון למשוואה (1). מכאן: כאשר תדירות התנודות של הכוח המאלץ שווה לתדירות העצמית של המערכת משרעת התנודות שואפת לאין-סוף! לתדירותשלהכוח המאלץ. סוף. "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 הזה המצב מוגדר כמצב התהודה (אומרים שהמערכת בתהודה) בכל מחזור תנודות נקלטת אנרגיה ובהעדר הפסדים לסביבה, תגדל האנרגיה של המערכת לאין- עכשו נוסיף למשוואת בנוסף לכוח מאלץ גם כוח חיכוך: קיים כוח מאלץ וקיים גם חיכוך (ולכן העברת אנרגיה לסביבה). ראינו כבר שמערכת מסה-קפיץ שמתנודדת בסביבה חומרית, בהעדר כוח מאלץ, משרעת התנודות מתרסנת ושואפת לאפס. לריסון התנודות ישנה השפעה גם על התדירות. לעיתים קרובות ההשפעה זניחה (ראה תרגיל תנודות מרוסנות). התדירות העצמית של התנודות: ω = k m ואילו תדירות התנודות המרוסנות: ω ` = k b ( m m ) - b מקדם הריסון (ראה תרגיל תנודות מרוסנות). כעת, נפעיל על המערכת גם כוח מאלץ: F ( t) = F sinωt במצב יציב תנודות המערכת יהיו בתדר של הכוח המאלץ. שאם לא כן הפזה היחסית בין הכוח לתנודה, ישתנה לפי הזמן שבתכונות התנודות ההרמוניות המאולצות. (וזהו על פי ההגדרה מצב שאינו יציב). לכן נדגיש שוב כי היציבה תתקיים בתדירות הכוח המאלץ, ולא בתדירות העצמית מסקנה זו היא החשובה התנודה ההרמונית המאולצת ω למשל. כל תדירות השונה מתדירות הכוח המאלץ לא תקיים את משוואת התנועה. הכוח השקול שפועל על המסה הוא: ( t) kx bx F sin t kx bv + F = & + ω לפי החוק השני של ניוטון נקבל את משוואת התנועה: mx && = kx bx& + F sinωt k b F && x = x x& + sinωt m m m b F && x + ω x + x& = sinωt...(3) m m המשוואה הדיפרנציאלית (3) היא משוואת התנועה של תנודות הרמוניות מרוסנות ומאולצות. 9
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 נחפש פתרון למשוואה הזו בצורת פונקציה סינוסואידלית: x = Asin( ω t + a)...(4) הזווית α היא זווית המופע בין ההעתק לבין הכוח המאלץ. נפתור ונקבל שהפונקציה (4) תהיה פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית (3) אם: A = bω tanα = m( ω ω ) F m ( ω ω ) + b ω לכן פונקצית ההעתק לפי הזמן בתנודות הרמוניות מאולצות ומרוסנות היא: x = m ( ω F ω ) + b ω sin{ ωt + tan 1 bω } m( ω ω ) לשם קיצור הכתיבה נסמן: G = m ( ω ω ) + b ω bω tanα = m ( ω ω ) ונקבל: F x = sin( ω t + α) G,( ω = ω לכן (הצבה בנוסחה) כאשר תדירות הכוח המאלץ שווה לתדירות העצמית של המערכת ) המערכת שואפת להתנודד במשרעת קבועה מרבית : x max = וזוית המופע α בין הכוח המאלץ לבין ההעתק מקיימת : tanα π α [ rad] במצב זה, המערכת נמצאת בתהודה עם תדירות התנודות של הכוח המאלץ. רואים לכן שאם מקדם הריסון b קטן מאוד, משרעת התנודות המרבית שואפת לערכים גדולים מאוד. לעיתים, מבנה המערכת אינו מאפשר משרעת תנודות כל-כך גדולה. במקרים אלה, המערכת קורסת. היו לא מעט מקרים שבהם מבנים וגשרים התמוטטו משנכנסו לתנודות מאולצות בתדר התנודה העצמית. גם בתרגיל הנוכחי, אם לא נפסיק את הכוח המאלץ בזמן, הקרונית תעוף מהמסילה! F bω 91
כאשר התדירות של הכוח המאלץ שונה מהתדירות העצמית, משרעת התנודות מקבלת במצב יציב את הערך: F A = G כאמור, בתרגיל הנוכחי, נחקור את מצבי המעבר מקבלת את הערך הנ"ל. Transient) ), קודם שהמשרעת של התנודות ככל שההפרש בין תדירות התנודות של הכוח המאלץ והתדירות העצמית של המערכת גדולה יותר, נמשך תהליך ההתיצבות זמן ארוך יותר ובמצב יציב, משרעת התנודות תהיה קטנה יותר. תהליך המדידה המתקן שגורם לתנודות מאולצות 1) (תמונה בנוי ממנוע שמסתובב בתדירות איטית במיוחד. תדירות הסיבוב של המנוע נשלטת על-ידי שינוי מתח. מקור המתח הוא הממשק עצמו (דרך מגבר הספק). "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 תמונה 1: מתקן להפקת כוח מאלץ מתקן מיוחד Offset Driving Arm ו - holder String מאפשרים להפוך את התנועה הסיבובית של ציר המנוע לתנועה קוית של החוט. תמונה : מערכת הניסוי 9
הקרונית רתומה לשני קפיצים זהים. קפיץ אחד רתום באמצעות חוט למתקן שמפעיל את הכוח המאלץ. הקפיץ השני רתום באמצעות חוט לחישן כוח (תמונה ). שער אופטי 1 מודד את זמן המחזור של סיבוב המנוע. שער אופטי מודד את זמן מחזור התנודות של קרונית הניסוי. כ הכוח המאלץ פועל לאורך העתק של כ.5 ס"מ. לפיכך, משרעת התנודות של הכוח המאלץ הוא N.8 בערך. "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 חישן הכוח מבצע 5 מדידות בשניה. העמדת מערכת הניסוי שער האופטי 1 מחובר לכניסה דיגיטלית 1 ושער האופטי לכניסה דיגיטלית של הממשק. חישן הכוח מחובר לכניסה אנלוגית A ומגבר ההספק לכניסה אנלוגית B (תמונה ). 3 תמונה 3: חיבור החישנים לממשק המנוע מחובר למוצא של מגבר ההספק. המרחק בין חיישן הכוח לבין המתקן המחזיק את המנוע הוא 13 ס"מ (משתמשים במסילה של. מטר). יש לכוון את השער האופטי 1 כך שקצה הזרוע של המנוע (ללא החריץ) חותך את הקרן. יש לכוון את שער האופטי לגובה ש"יראה" את הפס ברוחב.5 ס"מ על הסולמית. כאשר הקרונית במנוחה, שער האפטי נמצא מאחרי הפס. הערה חשובה: לפני כל מדידה חדשה יש לאפס את חיישן הכוח בנקודת שווי המשקל ע"י לחיצה על הלחצן Tare שעל חישן הכוח. קליטת הנתונים Run # 1 מדידת התדירות העצמית של קרונית ללוא עומס הקרונית ללא עומס (ללא משקולות) שקול את מסת הקרונית. 93
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 בחר עבור המתח את המצב, Off בחלון Signal Generator (תמונה ( 4 תמונה 4: חלון שליטה על מחולל אותות במצב זה המנוע אינו פועל. לחץ על הלחצן. Tare הצג חלון נתונים. Digits 1 לחץ על המקשים Alt + M אם לא, לחץ שנית על הלחצן.Tare הצג את חלון גרף. Graph בחלון אפשר לבחור בין שני גרפים. בחר באפשרות. Force הזז את הקרונית ל 5 ס"מ מנקודת שיווי משקל ושחרר אותה. הפעל את המדידות (לחץ.(Start עצור את המדידה לאחר 3 שניות (לחץ.(Stop הדפס את הגרף (גרף 1). לוודא שקיזוז הכוח בוצע באופן תקין גרף 1: תדירות עצמית של קרונית לא עמוסה 94
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 הערה: הגרף מראה שקיזוז הכוח בנקודת שיווי משקל לא היה תקין! Run # מדידת התדירות העצמית של קרונית עמוסה במשקולת של.5 ק "ג הקרונית עמוסה במסה של כ 5 ג"ר (שקול את המסה הנוספת ). בחר עבור המתח את המצב, Off בחלון Signal Generator (תמונה ). 4 במצב זה המנוע לא מסתובב. לחץ על הלחצן. Tare הצג חלון נתונים. Digits 1 לחץ על המקשים Alt + M לוודא שקיזוז הכוח בוצע באופן תקין ולא, לחץ שנית על הלחצן.Tare הצג חלון גרף. Graph החלון מאפשר לבחור בין שני גרפים. בחר באפשרות. Force הזז את הקרונית ל 5 ס"מ מנקודת שיווי משקל ושחרר אותה. הפעל את המדידות.(Start) לאחר 3 שניות, עצור את המדידה.(Stop) הדפס את הגרף (גרף ). גרף : תדירות עצמית הקרונית עמוסה במסה של.5 ק "ג הערה: הפעם, קיזוז הכוח היה תקין! Run # 3 קרונית ללא עומס, הכוח המאלץ בתדירות העצמית של המערכת הקרונית ללא עומס. 95
בחר עבור המתח את המצב Auto בחלון ) Signal Generator תמונה ). 5 בחר במתח של. 3.4 V "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 תמונה 5: חלון שליטה על מחולל אותות לחץ על הלחצן. Tare הצג חלון נתונים. Digits 1 לחץ על המקשים Alt + M לוודא שקיזוז הכוח בוצע באופן תקין אחרת, לחץ שנית על הלחצן.Tare הצג חלון גרף. Graph החלון יכול להציג שני גרפים. בחר באפשרות. Force הפעל את המדידות.(Start).(Stop עצור את המדידה לאחר כ - 4 שניות ) הדפס את הגרף (גרף 3). גרף 3: תנודות מאולצות של קרונית לא עמוסה קרובים מאוד לתהודה 96
Run # 4 הקרונית עמוסה במשקולת של 5 גרם, ותדירות הכוח המאלץ שונה מהתדירות העצמית. העמס על קרונית משקולת של 5 גרם. בחר עבור המתח את המצב Auto בחלון ) Signal Generator תמונה ). 5 בחר במתח של. 3.4 V לחץ על הלחצן. Tare הצג חלון נתונים. Digits 1 לחץ על המקשים Alt + M ולא, לחץ שנית על הלחצן.Tare לוודא שקיזוז הכוח בוצע באופן תקין הצג חלון גרף. Graph החלון מאפשר לבחור בין שני גרפים. בחר באפשרות. Force.(Start הפעל את המדידות ).(Stop עצור את המדידות לאחר כ - 3 שניות ) הדפס את הגרף (גרף 4). "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 גרף 4: תנודות מאולצות במצב מעבר - Run # 5 הקרונית עמוסה במשקולת של 5 גרם. תדירות הכוח שווה לתדירות העצמית של המערכת בחר עבור המתח את המצב, Auto בחלון ) Signal Generator תמונה ). 5 בחר במתח של.5. V 97
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 לחץ על הלחצן. Tare הצג חלון נתונים. Digits 1 לחץ על המקשים Alt + M לוודא שקיזוז הכוח בוצע באופן תקין ולא, לחץ שנית על הלחצן.Tare הצג חלון גרף. Graph החלון מאפשר בחירה בין שני גרפים. בחר באפשרות. Force הפעל את המדידות.(Start) עצור את המדידות לאחר כ - 43 שניות.(Stop) הדפס את הגרף (גרף 5). גרף 5: תנודות מאולצות בקונית עמוסה.5 ק"ג קרוב מאוד לתהודה - הקרונית עמוסה במשקולת של 55 גרם. תדירות המאלץ הכוח שונה Run # 6 מהתדירות העצמית של המערכת בחר עבור המתח את המצב Auto בחלון ) Signal Generator תמונה ). 5 בחר במתח של..5 V לחץ על הלחצן. Tare הצג חלון נתונים. Digits 1 לחץ על המקשים Alt + M לוודא שקיזוז הכוח בוצע באופן תקין ולא, לחץ שנית על הלחצן.Tare הצג חלון גרף. Graph החלון מאפשר בחירה בין שני גרפים. בחר באפשרות Force. 98
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 הפעל את המדידות.(Start) עצור את המדידות לאחר כ - 95 שניות.(Stop) הדפס את הגרף (גרף 6). גרף 6: תנודות מאולצות מצב מעבר Run # 7 שתי קרוניות ללא עומס, קשורות בקפיץ ביניהם 18 הגדל את המרחק בין חיישן הכוח לבין המתקן עם המנוע המאלץ ל ס"מ. המערכת המתנודדת היא כעת שתי עגלות הקשורות בקפיץ ביניהם. העגלות לא עומס. בחר עבור המתח את המצב Auto בחלון ) Signal Generator תמונה ). 5 בחר במתח של..5 V לחץ על הלחצן. Tare הצג חלון נתונים. Digits 1 לחץ על המקשים Alt + M לוודא שקיזוז הכוח בוצע באופן תקין, ולא, לחץ שנית על הלחצן.Tare הצג חלון גרף. Graph החלון מאפשר לבחור בין שני גרפים. בחר באפשרות Force. הפעל את המדידות.(Start) 99
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 עצור את המדידות לאחר כ - 36 שניות.(Stop) הדפס את הגרף (גרף 7). גרף 7: תנודות מאולצות קרוב מאוד לתהודה שתי קרוניות רתומות ע"י קפיץ - Run # 8 שתי הקרוניות הקשורות בקפיץ ביניהם. כל קרונית עמוסה בעומס נוסף של 5 גרם. 18 הגדל את המרחק בין חיישן הכוח לבין המתקן עם המנוע המאלץ ל ס"מ. המערכת המתנודדת היא כעת שתי קרוניות הקשורות בקפיץ ביניהם. הקרוניות לא עומס. בחר עבור המתח את המצב Auto בחלון ) Signal Generator תמונה ). 5 בחר במתח של..5 V לחץ על הלחצן. Tare הצג חלון נתונים. Digits 1 לחץ על המקשים Alt + M לוודא שקיזוז הכוח בוצע באופן תקין, ולא, לחץ שנית על הלחצן.Tare הצג חלון גרף. Graph החלון מאפשר לבחור בין שני גרפים. בחר באפשרות Force. הפעל את המדידות.(Start) עצור את המדידות לאחר כ - 36 שניות.(Stop) הדפס את הגרף (גרף 7). 3
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 גרף 8: תנודות מאולצות מצב מעבר ניתוח הנתונים. 1 הצג חלון גרף. Graph בחר את הגרף Force של ההרצה הראשונה. לחץ על כפתורFit ובתפריט משנה בחר באפשרות:. Sine Fit רשום לפניך את התדירות (גרף 9). אין צורך להדפיס את הגרף. גרף 9: מדידת תדירות הכוח הרצה ראשונה 31
k = 4π f k = 4 π m.5554 N.54 = 6.137[ ] m חישוב קבוע הכוח של הקפיץ: נתון, m =.54 kg ומדדנו f =.5554 Hz לכן: "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 הצג את הגרף של ההרצה #.. 3 בחר באפשרות Sine Fit בחלון Fit (גרף 1). אין צורך להדפיס את הגרף.. גרף 1: תדירות הכוח הרצה שניה חשב את קבוע הכוח של הקפיץ. חשב הממוצע של קבוע הכוח עבור הרצות # 1 ו #. חישוב: עבור f =.3917 Hz, m = 1.5 kg נקבל: N k = 4 π.3917 1.5 = 6.87[ ] m _ N k = 6.11[ ] m 3
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 הצג את החישוב של ההעתק y (פעמיים האמפליטודה של התנודה) בחלון. Calculator רשום את הערך של k (הממוצע) תחת הכותרת Experiment Constant.( 6 (תמונה תמונה 6: עדכון קבוע הכוח של הקפיץ לחץ על Accept לאשור השינוי.. 4 הצג חלון גרף Graph 1 המתאר את ההעתק y כפונקציה של הזמן עבור הרצה #. 3 הדפס את הגרף (גרף 11). גרף 11: העתק כפונקציה של הזמן תנודות מאולצות קרוב לתהודה 33
האם מתוצאות המדידה ניתן להסיק כי המערכת נמצאת בתהודה לתדירות הכוח המאלץ? הסבר שיקוליך. הדרכה: בתשובתך היעזר בקו מגמה פולינומיאלי העובר דרך נקודות המתארים את זמני המחזור של הכוח המאלץ ושל תנודת הקרונית כפונקציה של הזמן. תשובה: המקסימום בגרפים במבט ראשון על הגרף המתאר את ההעתק כפונקציה של הזמן (גרף 11), נראה שמשרעת התנודות גדלה, כמו שצפוי במצב של תהודה. כאשר "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 המערכת נמצאת בתהודה לתדירות הכוח המאלץ, הפרש המופע בין הכוח המאלץ לבין ההעתק אינם תלויים בזמן. אחרת, משרעת התנודות גדלה וקטנה לסירוגין עד שהיא מתיצבת על תדירות הכוח המאלץ (ראה פרק תיאוריה). לבדיקה יותר מדוקדקת נסמן על הגרף את נקודות המקסימום ונעביר דרכם קו מגמה פולינומיאלי. הגרף המתאר את משרעת התנודות כפונקציה של הזמן עולה ויורד. מסיבה זו, ניתן לשער כי הפרש המופע בין הכוח המאלץ לבין משרעת התנודות תלוי בזמן. במצב תהודה הפרש המופע בין הכוח המאלץ לבין ההעתק שואף ל לערך מקסימלי (ראה פרק תיאוריה). 9, משרעת התנודות שואפת שלא בתהודה העליה והירידה של משרעת התנודות נמשכת עד אשר תדירות התנודות של המערכת משתווה לתדירות הכוח המאלץ. במצבי הביניים, המשרעת גדלה וקטנה לסירוגין. לפיכך, מהתנודות המתוארות בגרף 11 נסיק כי המערכת איננה במצב של תהודה. ולכן משרעת התנודות לאחר שהמערכת מתיצבת, תהיה קטנה ממשרעת התנודות בתדירות התהודה. גרף 1: קו המגמה מצביע על הפרש מופע בין הכוח המאלץ לבין ההעתק 34
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 למען אימות ההשערה, נציג את הגרף המתאר את זמן המחזור של הכוח המאלץ ושל הקרונית כפונקציה של הזמן (גרף 13). הגרף Timer 1 מציג את זמן המחזור של הכוח המאלץ. הגרף Timer מציג את זמן המחזור של הקרונית (גרף ). 13 גרף 13: הגרף מאשר קיום הפרש מופע בין הכוח המאלץ לבין ההעתק ההפרשים בין זמני המחזור קטנים עם הזמן, עד אשר המערכת מתיצבת, כצפוי,בתדירות הכוח המאלץ. זמני המחזור נמדדים ברגעים שבהם הקרן בשער האופטי נחסמת בפעם השלישית. קיים שוני בין הזמנים שבהם המערכת מציגה את זמן המחזור וההפרש בין שני הזמנים משתנה. מכך ניתן להסיק כי הפרש המופע בין התנודות של הכוח המאלץ לבין הקרונית תלויים בזמן. לסיכום: למרות שההפרש בין התדירות העצמית של המערכת לבין תדירות הכוח המאלץ הוא קטן מאוד, מערכת המדידות שלנו מגלה זאת. ככל שהפסדי האנרגיה לכל מחזור תנודות קטנה יותר, כן גדלה האיכות של התנודות. הדבר מקבל את ביטויו בעליה תלולה של המשרעת עם ההתקרבות לתדירות התהודה: משרעת התנודות בתדירות התהודה תהיה הרבה יותר גדולה מהמשרעת בתדירות שונה אפילו מעט מתדירות זו. לתכונה הזאת של תנודות מאולצות ישנם שימושים טכנולוגיים רבים (לא רק נזק). למשל בתחום האלקטרוניקה: רגישות המקלט לקליטת שידורים בתדירות נתונה (היכולת של המקלט להפריד את התדר של התחנה המבוקשת מתדר של תחנות המשדרות בתדר קרוב), תלויה באיכות מעגל הקליטה (סליל-קבל). או בתחום המוזיקה: כינור באיכות טובה נותן צלילים יותר נקיים ובעוצמה הרבה יותר גדולה מאשר כינור באיכות ירודה. 5. שאלה: מהי ההשפעה של תוספת עומס של 5 גרם על התנודות המאולצות (הרצה #). 4 35
תשובה: תוספת עומס של 5 גרם מקטינה את התדירות העצמית של המערכת: T T 1 =.54.554 =.95 למרות השינוי הקטן בתדירות העצמית, תהיה לכך השפעה ניכרת על התנודות המאולצות (גרף 14). "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 גרף 14: משרעת כנגד זמן הרצה 4 הגרף (14 מ) ציג את ההעתק כפונקציה של הזמן עבור הרצה #. 4 הגרף מראה בצורה בולטת כי משרעת התנודות תלויה בזמן. משרעת התנודות תתיצב לערך קבוע, כאשר תדירות התנודות של הקרונית תקבל את הערך של תדירות הכוח המאלץ. במצב זה משרעת התנודות תהיה קטנה מאד בהשוואה למשרעת בתדירות התהודה.. 6 שאלה: האם הקרונית עמוסה במסה של כ 5 גרם (הרצה #) 5 נמצאת בתהודה? הסבר שיקוליך. (ראה הדרכה לשאלה 3) תשובה: בהרצה # 5 שינינו את התדירות של הכוח המאלץ. להלן הגרף המתאר את ההעתק כפונקציה של הזמן (גרף 15). הגרף דומה מאוד למה שקיבלנו בהרצה # 3 (קרונית ללא עומס - גרף 11). לבדיקה נוספת, מוסיפים את נקודות המקסימום על הגרף ומציגים קו מגמה פולינומיאלי. מקבלים פונקציה המתארת את תלות המשרעת בזמן (גרף 16). קו המגמה מתאר פונקציה עולה. מכך ניתן להסיק כי המשרעת עדיין רחוקה מהערך המרבי. בתנאים אידאליים, כאשר אין הפסדי אנרגיה לסביבה, המשרעת שואפת לאין-סוף, בתדירות התהודה! 36
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 נציג את הגרף המתאר את זמני המחזור כפונקציה של הזמן (גרף 17). גרף 15: משרעת כנגד זמן הרצה 5 גרף 16: קו המגמה מאשר מצב תהודה גרף 17: הפרש המופע בין הכוח המאלץ לבין ההעתק, אינו תלוי בזמן 37
הגרף (גרף 17) מראה כי בגבולות דיוק המדידה שווה זמן המחזור של הקרונית לזו של הכוח המאלץ. נוסף לכך, זמני המחזור של הכוח המאלץ ושל הקרונית נמדדים חד-זמנית. הדבר מצביע על-כך שהפרש המופע בין הכוח המאלץ לבין הקרונית אינו תלוי בזמן. שהמערכת במצב תהודה. "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 מסיבות אלה נטען שאלה: כיצד משפיע עומס של 55 גרם (5 גרם נוספים בהרצה #) 6 על התנודות המאולצות של קרונית?.7 תשובה: תוספת מסה של 5 גרם משנה את התדירות העצמית של המערכת: T T 1 = 1.5 1.55 =.98 למרות שזמן המחזור גדל רק ב כ % ניתן לצפות להשפעה ניכרת. בהרצה # 4 (גרף 14) השינוי בזמן המחזור היה כ 5% מתון יותר במשרעת התנודות ולשאיפה יותר מהירה למצב יציב. מסיבה זו, בהרצה # 6 יש לצפות לשינוי (שבו הפרש המופע בין הכוח המאלץ לבין העתק התנודות אינו תלוי יותר בזמן). הגרף (18 ( מתאר את תלות ההעתק בזמן עבור ההרצה.# 6 גרף 18: משרעת כנגד זמן הרצה 6 הגרף (18) מראה שאכן משרעת התנודות שואפת להתיצב מהר יותר על ערך קבוע.. 8 בהרצה # 5 חקרנו את התנודות המאולצות של קרונית (מסת הקרונית כ 5 גרם) עמוסה בעומס נוסף של כ 5 גרם. 38
השאלה היא : האם שתי קרוניות בעלות מסה של כ 5 גרם כל אחד וקשורות ביניהם על- ידי קפיץ אלסטי (הרצה #), 7 מתנהגות תחת השפעה של כוח מאלץ, כמו קרונית אחת עמוסה במסה של 5 גרם? תשובה: הגרף המתאר את ההעתק כפונקציה של הזמן עבור ההרצה השביעית (גרף 19) נותן את התשובה לשאלה. "שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 גרף 19: משרעת כנגד זמן הרצה 7 מעניין לציין כי במהלך התנודות היו רק שינויים קטנים במרחק בין שתי העגלות. הגרף נותן יסוד להשערה כי שתי העגלות נמצאות בתהודה עם הכוח המאלץ כמו קרונית אחת עמוסה בעומס של 5 גרם נוספים. גרף משרעת התנודות בעליה כל הזמן ולכן הגרף מצביע על מצב תהודה. לבדיקה נוספת, נסמן את נקודות המקסימום ונעביר קו מגמה פולינומיאלי (גרף ). 39
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 בכדי לוודא כי הפרש המופע בין הכוח המאלץ לבין ההעתק נשמר קבוע, נציג את הגרף המתאר את זמני המחזור של הכוח המאלץ ושל הקרונית כפונקציה של הזמן (גרף 1). גרף 1: הפרש המופע בין הכוח להעתק נשמר קבוע הרצה 7 מהגרף (1) ניתן ללמוד:. זמן המחזור של הכוח המאלץ שווה לזמן המחזור של תנודת הקרונית;. המרחק בין הנקודות המציינות את זמני המדידה עבור הכוח וההעתק הוא קבוע. מזה ניתן להסיק כי הפרש המופע בין הכוח המאלץ לבין ההעתק הוא קבוע. בדיקות אלה מאשרות שהמערכת במצב תהודה. שאלה: מה תהיה ההשפעה על התנודות המאולצות בהרצה #, 7 אם נעמיס על כל אחד משתי העגלות עוד 5 גרם (הרצה #)? 8 תשובה: העמסת העגלות משנה את התדירות העצמית של המערכת:.9 T T 1 = 1.11 1.111 =.95 מאחר והשינוי היחסי בתדירות העצמית גדולה יותר מאשר בהרצה #, 6 יש לצפות לתהליך מתון פחות של התיצבות תנודת הקרונית. לבסוף קטנה יותר (גרף ). מעבר המערכת למצב יציב יהיה ממושך יותר והמשרעת הגרף מראה כי אכן השינויים במשרעת התנודות מהירים יותר בהשוואה להרצה #. 6 מסיבה זו המעבר למצב יציב יהיה ממושך יותר והמשרעת תיאוריה). לבסוף קטנה יותר (ראה פרק 31
"שולמן" ציוד לימודי רח' מקווה-ישראל 1 ת"ד 139 ת"א 619 גרף : העתק כנגד זמן הרצה 8 הערה: כדי לא להעמיס את הזיכרון של המחשב יותר מדי, הקצבנו לכל הרצה את הזמן המינימלי הדרוש לבחינת התנהגות המערכת. עם זאת, בהרצות לא-שמורות ניתן להאריך את זמן ההרצה ככל שנרצה כדי לקבל תמונה שלמה של התהליך שבו התנודה המאולצת עוברת ממצב משתנה בזמן למצב קבוע. כמובן, במצבי תהודה, יש להפסיק את ההרצה לפני שהמערכת קורסת! שאלה: תאר מה יכול להיות תפקיד הקפיץ המקשר בין שתי העגלות בהרצה # 7 ובהרצה #. 8 תשובה: הקפיץ מייצג את הכוחות האלסטיים (מולקולריים) אשר פועלים בכל חתך רוחב של גוף מוצק שמואץ בגין זוג כוחות התוקפים אותו בשתי קצותיו..1 מכשירים דרושים לביצוע התרגיל 1. Science Workshop 75 Interface CI 645 Pasco. Power Amplifier II CI 655A Pasco 3. Economy Force Sensor CI 6558 Pasco 4. Photogate Head x ME 9498A Pasco 5. Mechanical Oscillator / Driver ME 875 Pasco 6.. Meter Classic System ME 945 Pasco 311