ύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο q µ Cb και q 8µ Cb τοοθετούνται στον κατακόρυφο άξονα και στις θέσεις αντίστοιχα y m και y -4 m. Να υογίσετε την θέση στην οοία ρέει να τοοθετήσουµε ένα τρίτο σηµειακό ηλεκτρικό φορτίο q ώστε αυτό να ισορροεί. ίνεται η ηλεκτρική σταθερά Κ ηλ Nt m / Cb. αό αυτά. α) Σχεδιάζουµε τα φορτία και τοοθετούµε τις δυνάµεις ου ενεργούν σε κάθε ένα β) υογίζουµε τα µέτρα των δυνάµεων χωριστά K F ηλ q q F K q q ηλ 8 F F ( ) ( ) q q 8 F 7 F ( ) γ) Εφαρµόζω συνθήκες ισορροίας για το φορτίο q 8 7 ΣF F + F F F F F ( ) 8 ( ) 8 ( ),8,8,7m ( ) Στο ιο άνω ρόβληµα θεωρήσαµε ότι το φορτίο q είναι θετικά φορτισµένο. Αυτό δεν έχει ιδιαίτερη σηµασία στη λύση του ροβλήµατος. Στο σχήµα βλέουµε δύο µικρές µεταλλικές σφαίρες οι οοίες έχουν φορτία ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο (M) - +q (A) - y q F F q -q
q,µ Cb και q,4µ Cb, ενώ η µεταξύ τους αόσταση είναι, m. Να υογίσετε τις εντάσεις του ηλεκτρικού εδίου ου δηµιουργείται αό τα δύο φορτία στα σηµεία Α και Μ αν δίνεται, m. ίνεται η ηλεκτρική σταθερά Κ ηλ Nt m / Cb. α) Σχεδιάζουµε τις εντάσεις ου δηµιουργούν τα φορτία στα αντίστοιχα σηµεία. β) υογίζουµε τα µέτρα των εντάσεων χωριστά E Kq, E ( ) E, Nt / Cb Kq,4 E E E,44 (, ) (,,) Nt / Cb γ) Όως αρατηρούµε στο σχήµα τα διανύσµατα των δύο εντάσεων έχουν την ίδια διεύθυνση. Υογίζουµε τη συνική ένταση στο σηµείο (Α). ΣE (A) ΣE E + E ΣE (A), (A) Nt / Cb E + E ΣE Όµοια εργαζόµαστε για το σηµείο (Μ). E Kq, E ( ) (A), +,44 E, Kq,4 E E E, (,+ ) (,+,) Nt / Cb Nt / Cb Όως αρατηρούµε στο σχήµα τα διανύσµατα των δύο εντάσεων έχουν την ίδια διεύθυνση. Υογίζουµε τη συνική ένταση στο σηµείο (Μ). ΣE (M) ΣE E + E ΣE (M), (M) E + E ΣE Nt / Cb E (M) (M ) +q (A) E E - E, +, -q
ύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Q µ Cb και Q 4µ Cb βρίσκονται σε αόσταση d, m µεταξύ τους. Να υογίσετε την ένταση του ηλεκτρικού εδίου ου δηµιουργούν τα ηλεκτρικά φορτία σε σηµείο τέτοιο ώστε το δυναµικό του σηµείου αυτού να είναι ίσο µε µηδέν. ίνεται η ηλεκτρική σταθερά Κ ηλ Nt m / Cb. α) Σχεδιάζω τα φορτία και βρίσκω σε οιο σηµείο το δυναµικό είναι µηδέν. Κ Q Κ Q ηλ ηλ 4 + + + Q Q, 4, 4,,m, β) Σχεδιάζω τις εντάσεις στο σηµείο ου το δυναµικό είναι µηδέν. β) υογίζουµε τα µέτρα των εντάσεων χωριστά E Κ Q ηλ E ( ) E 7 Nt / Cb Κ Q ηλ 4 E E E Nt / Cb ( ) γ) Προσθέτουµε τις εντάσεις διανυσµατικά E E + E E E + E E 7 + E 8 Nt ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 ο Είεδος υκνωτής αέρα έχει χωρητικότητα C µf και φορτίζεται αό ηγή τάσης olt. Μετά τη φόρτιση αοσυνδέουµε τον υκνωτή αό την ηγή και γεµίζουµε το χώρο µεταξύ των ολισµών του µε διηλεκτρικό διηλεκτρικής σταθεράς ε 4. Για τον υκνωτή µε διηλεκτρικό να υογίσετε +Q - +Q E E - / cb -Q -Q
α) τη χωρητικότητα C β) το φορτίο Q γ) την τάση µεταξύ των ολισµών του δ) την ηλεκτροστατική του ενέργεια U. Μετά τη αοσύνδεση αό τη ηγή ο υκνωτής διατηρεί σταθερό το φορτίο του. Έτσι έχουµε ίση µε Q µ C Q 4 Cb α) Η χωρητικότητα του υκνωτή µετά την αοσύνδεση των ολισµών του είναι s C ε o lo s Cεε l o s ε C l o C s εε l o C Cε C C 8µ F C ε β) το φορτίο διατηρείται σταθερό µετά την αοσύνδεση και την εισαγωγή του διηλεκτρικού, άρα Q Q 4µ Cb γ) Η τάση µεταξύ των ολισµών του γίνεται ίση µε Q 4 C C 8 Q olt δ) Η ηλεκτροστατική του ενέργεια γίνεται ίση µε U Q U 4 U 4 Joule ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Είεδος υκνωτής αέρα έχει χωρητικότητα C µf και φορτίζεται αό ηγή τάσης olt. Στη συνέχεια και ενώ συνεχίζω να το διατηρώ συνδεδεµένο µε ηγή
γεµίζουµε το χώρο µεταξύ των ολισµών του µε διηλεκτρικό διηλεκτρικής σταθεράς ε 4. Για τον υκνωτή µε διηλεκτρικό να υογίσετε α) τη χωρητικότητα C β) το φορτίο Q γ) την τάση µεταξύ των ολισµών του δ) την ηλεκτροστατική του ενέργεια U. Λόγω της συνεχούς διατήρησης της σύνδεσης µε τη ηγή ο υκνωτής διατηρεί σταθερή τη τάση του. Έτσι έχουµε olt α) Η χωρητικότητα του υκνωτή είναι ίση µε s C ε o lo s Cεε l o s ε C l o C s εε l β) το φορτίο γίνεται ίσο µε Q C Q 8 Q µ Cb o C C 4C C 8µ F C 4 γ) Η τάση µεταξύ των ολισµών διατηρείται σταθερή και ίση µε olt δ) Η ηλεκτροστατική του ενέργεια γίνεται ίση µε U Q U U 4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Joule Στο κύκλωµα του σχήµατος δίνονται τα αρακάτω στοιχεία Ω, Ω, 4 Ω, 8 Ω και Ι Α. Να υογίσετε α) την ισοδύναµη αντίσταση του κυκλώµατος β) την τάση µεταξύ των σηµείων Α και Β του Α 4 I Β
κυκλώµατος γ) την ένταση του ρεύµατος ου διαρρέει κάθε αντιστάτη. α) Αό τη αράλληλη σύνδεση των τριών αντιστάσεων έχουµε,, + + + + 4 Ω,,,, Η αντίσταση,, συνδέεται σε σειρά µε την αντίσταση 4 οότε έχουµε + 4+ Ω,,,4,, 4,,,4,,, 4 Τέλος η αντίσταση,,,4 και η αντίσταση συνδέονται αράλληλα, οότε θα είναι + + 8 8,,,4 β) Στο δίο ΑΒ εφαρµόζουµε νόµο Ohm AB I AB 8 olt AB γ) Οι δύο αντιστάτες έχουν κοινή τάση. Άρα αό το νόµο του Ohm για κάθε αντιστάτη έχουµε 8 AB I I I 8 A 8 AB I I I,,,4,,,4,,, 4,,,4 A,, Ω Οι αντιστάτες,, και 4 διαρρέονται αό το ίδιο ρεύµα άρα θα είναι I I I,,,4,, 4 A Οι αντιστάτες,, έχουν κοινή τάση ου υογίζεται αό το νόµο του Ohm I..4,,,,,,,,,, 8 olt 4 I Α Β
γ) Οι τρεις αντιστάτες έχουν κοινή τάση. Άρα αό το νόµο του Ohm για κάθε αντιστάτη έχουµε,, 8 I I I,, 8 I I I,, 8 I I I 4 A 8 A 8 A ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 ο Τρεις αντιστάτες Ω, Ω και Ω, συνδέονται σε σειρά και στα άκρα του συστήµατος εφαρµόζεται τάση. Η τάση στα άκρα του είναι olt. Να υογίσετε α) την τάση στα άκρα καθενός αό τους άλλους δύο αντιστάτες β) την τάση τροφοδοσίας γ) τη συνικά καταναλισκόµενη ισχύ. α) Αό τη σύνδεση σε σειρά των τριών αντιστάσεων έχουµε + + + + Ω Οι τρεις αντιστάτες διαρρέονται αό το ίδιο ρεύµα. Άρα αό το νόµο του Ohm για τον αντιστάτη έχουµε I I I A Όµοια για τους άλλους δύο αντιστάτες I olt I olt Ι
β) Η τάση τροφοδοσίας των τριών αντιστατών θα είναι + + + + olt γ)η καταναλισκόµενη ισχύς του κυκλώµατος δίνεται αό τη σχέση P I P P Watt. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 ο ύο αντιστάσεις και συνδέονται αράλληλα και σε σειρά µε αυτές άλλες δύο αντιστάσεις και 4 συνδεδεµένες αράλληλα το όλο δε κύκλωµα συνδέεται στα άκρα µαταρίας. Αν δίνεται ότι 4 Ω, 4 Ω, Ω, 4 Ω και ότι η ηγή έχει Η.Ε.. E 7 και εσωτερική αντίσταση Ω. Να υογίσετε α) Την ισοδύναµη αντίσταση του κυκλώµατος β) Την ένταση του ικού ρεύµατος Ι, ου το διαρρέει γ) Τις εντάσεις Ι, Ι και Ι 4 ου διαρρέουν τις αντιστάσεις,, και 4 αντίστοιχα. α) Αλουστεύουµε το κύκλωµα συνδέοντας τις αράλληλα συνδεδεµένες αντιστάσεις.,,4, + 4,, + 4 4 Ω + +,4 4,4 Εοµένως η ισοδύναµη αντίσταση του κυκλώµατος είναι ίση µε,, 4 + + β) Αό το νόµο του Ohm σε κλειστό κύκλωµα έχουµε,4 Ω Ω E, 4
I E 7 7 I I I A + + 4 γ) Οι αντιστάτες, συνδέονται αράλληλα οότε έχουν κοινή τάση. Όµοια για τους αντιστάτες, 4. Υογίζουµε τη τάση στα άκρα των αντιστατών I,,,, I,4,4,4, 4 olt olt Οότε οι αντιστάτες θα διαρρέονται αό ρεύµατα I, I I 4, I I I 4,4 I I I 4 I, I I 4 4 4 4, A, A A A ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο ύο αράλληλοι ευθύγραµµοι αγωγοί Α και Γ, µεγάλου µήκους, αέχουν µεταξύ τους, m και διαρρέονται αό ρεύµατα µε εντάσεις I A και Ι, A, αντίστοιχα. Να υογίσετε την ένταση του µαγνητικού εδίου σε σηµείο Λ ου βρίσκεται άνω στην ευθεία ου ενώνει τους αγωγούς και σε αόσταση, m αό τον αγωγό Α, όταν τα ρεύµατα ου διαρρέουν τους αγωγούς είναι α) οµόρροα και Α Γ
7 β) αντίρροα. ίνεται η σταθερά µαγνητικής διαερατότητας K Nt / A. µ α) Ο ρώτος αγωγός δηµιουργεί µαγνητικό εδίο του οοίου η µαγνητική εαγωγή Β δίνεται αό τη σχέση I 7 B K B B Tesla µ Όµοια ο δεύτερος αγωγός δηµιουργεί µαγνητικό εδίο του οοίου η µαγνητική εαγωγή Β δίνεται αό τη σχέση I, 7 B K B B Tesla µ Εοµένως η ένταση του µαγνητικού εδίου στο σηµείο Λ είναι B B + B B B B B. B β) Ο ρώτος αγωγός δηµιουργεί µαγνητικό εδίο του οοίου η µαγνητική εαγωγή Β δίνεται αό τη σχέση I 7 B K B B Tesla µ Όµοια ο δεύτερος αγωγός δηµιουργεί µαγνητικό εδίο του οοίου η µαγνητική εαγωγή Β δίνεται αό τη σχέση B I, 7 K B B µ Tesla Tesla Εοµένως η ένταση του µαγνητικού εδίου στο σηµείο Λ είναι B B + B B B + B B. + ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο B Tesla A Γ I I B B A Γ I B B I
Ένας ευθύγραµµος αγωγός ΚΛ, µήκους l m και µάζας m,4 kg, είναι συνεχώς κάθετος σε δύο κατακόρυφους µονωτικούς στύλους, άνω στους οοίους µορεί να ισθαίνει χωρίς τριβές. Η όλη διάταξη βρίσκεται µέσα σε οριζόντιο οµογενές µαγνητικό εδίο, κάθετο στο είεδο των δύο στύλων. Ο αγωγός συγκρατείται ακίνητος. Αν διαβιβάζουµε στο αγωγό ρεύµα έντασης Ι 4 Α και τον αφήνουµε ελεύθερο, να υογίσετε το µέτρο της έντασης του µαγνητικού εδίου ώστε ο αγωγός α) να αραµένει ακίνητος β) να κατεβαίνει µε ειτάχυνση µέτρου α m/sec γ) να ανεβαίνει µε ειτάχυνση µέτρου α m/sec. α) Στον αγωγό ενεργούν δύο δυνάµεις το βάρος του F B και η δύναµη Laplace F L οι οοίες είναι αντίθετες. Για να αραµένει ακίνητος ο αγωγός ρέει ΣF F + F F F B L B L B K Λ I B I K Λ mg,4 m.g BIL B B I L 4 B Tesla β) Στον αγωγό ενεργούν δύο δυνάµεις το βάρος του F B και η δύναµη Laplace F L οι οοίες είναι αντίθετες. Για να κατεβαίνει µε σταθερή ειτάχυνση ο αγωγός ρέει mg mα ΣF m. α F + F m. α F F m. α mg BIL mα B B L B L I L,4,4 B B,8Tesla 4 γ) Στον αγωγό ενεργούν δύο δυνάµεις το βάρος του F B και η δύναµη Laplace F L οι οοίες είναι αντίθετες. Για να ανεβαίνει µε σταθερή ειτάχυνση ο αγωγός ρέει
ΣF mα F + F mα F F mα BIL mg mα B L mg+ mα,4+,4 B B B, Tesla I.L 4 L B ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Ένα κυκλικό λαίσιο έχει ακτίνα, m αοτελείται αό N σείρες έχει αντίσταση,8 Ω και αρχικά το είεδό του ταυτίζεται µε το είεδο του µαγνητικού µεσηµβρινού. Αότοµα στρέφουµε το λαίσιο κατά φ 8. Να υογίσετε το ηλεκτρικό φορτίο ου ανατύχθηκε αό εαγωγή στο λαίσιο; ίνεται η οριζόντια συνιστώσα της µαγνητικής εαγωγής του γήινου µαγνητικού εδίου Β,. - 4 Τesla. Το ηλεκτρικό φορτίο ου ανατύχθηκε αό εαγωγή στο λαίσιο υογίζεται αό τον τύο του Νewmann q Φ N () Εειδή µεταβάλλεται η γωνία ως ρος τις δυναµικές γραµµές του εδίου, έχουµε Φ Φ Αλλά ισχύει τελ Φ αρχ Φ τελ () ΒSσυν8 Φ ΒS( ) Φ τελ Φ ΒS Φ ΒS Φ αρχ Οότε η () γράφεται ( ) Φ ΒS BS Φ BS Αό την σχέση () έχουµε BS B () q N q q αρχ Cb ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο τελ αρχ ΒS ΒS 4,,4, N q,8
Η εξίσωση της αοµάκρυνσης ενός σώµατος ου εκτελεί αλή αρµονική ταλάντωση δίνεται αό τη σχέση t,ηµ (S.I.). Να υογίσετε α) την αοµάκρυνση, τη ταχύτητα υ και την ειτάχυνση α του σώµατος τη χρονική στιγµή t sec β) τη ταχύτητα υ και την ειτάχυνση α όταν η αοµάκρυνση είναι, m. α) Για t sec έχω,ηµ ( ),( Όµοια µε την εξίσωση της ταχύτητας ),,, υ ωaσυν( t),συν( ) ( ) υ και για την ειτάχυνση α ω A ηµ ( t) α ω, α m, β) Αό την εξίσωση της αοµάκρυνσης για cm θα έχουµε m / sec m / sec,ηµ ( t),,ηµ ( t) ηµ ( t) ηµ t κ+ t t sec κ t κ+ t t sec Εοµένως τις δύο αυτές χρονικές στιγµές το σώµα έχει ταχύτητα,, υ ωaσυν( t),συν( ) ( ) υ, υ ωaσυν( t),συν( ) (, ) υ m / sec m / sec
και η ειτάχυνση α ω Aηµ ( t) α ω α ω, (,) α m / sec A ηµ ( t) α ω (,) α, m / sec ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Το ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου στερεώνεται µόνιµα και στο άλλο άκρο δένουµε σώµα και το σύστηµα ισορροεί. Ανυψώνουµε το σώµα κατακόρυφα ώστε να έλθει στη θέση ου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και το αφήνουµε ελεύθερο. Το σύστηµα εκτελεί ταλάντωση και η µέγιστη αοµάκρυνσή αό την θέση ου το αφήσαµε είναι cm. Να θεωρήσετε ότι η αοµάκρυνση του σώµατος αό τη θέση ισορροίας του είναι ηµιτονική συνάρτηση του χρόνου. α) Ποια η συχνότητα και το λάτος της ταλάντωσης β) οια η ταχύτητα του σε αόσταση cm αό την θέση ου το αφήσαµε; γ) οια η ταχύτητα του σε αόσταση cm αό την θέση ου το αφήσαµε; δ) να γράψετε την εξίσωση της αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο και α) Εειδή η αόσταση µεταξύ των δύο ακραίων θέσεων είναι cm θα έχω: Α, Α, m Φαινόµενο : Ισορροία σώµατος Εφαρµόζουµε : Συνθήκη ισορροίας Κ g ΣF F Β ΚΑ mg ΚΑ mg () ελ m Α Η συχνότητα ταλάντωσης είναι: Φυσικό µήκος X l +Α Θ.Ι. -Α
m f f, Hz T Κ β) Η ταχύτητα του σε αόσταση cm αό την θέση ου το αφήσαµε υογίζεται ως εξής. Φαινόµενο : Ταλάντωση σώµατος Εφαρµόζουµε : Ενέργεια ταλάντωσης για τη θέση ισορροίας και το λάτος Α. ως εξής. Α. Κ K U mυ D A υ Α υ ma m ma m / sec γ) Η ταχύτητα του σε αόσταση cm αό την θέση ου το αφήσαµε υογίζεται Φαινόµενο : Ταλάντωση σώµατος Εφαρµόζουµε : Ενέργεια ταλάντωσης για τη τυχαία ( cm) θέση και το λάτος K+ U U υ ma mυ + D Κ (A ) υ m D A mυ (,, ) υ, D A D m / sec δ) Η εξίσωση της αοµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται αό την σχέση Aηµ (ft+ϕ), ηµ(,t+ ), ηµ(,8t+ ).