ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Α. Υλικό σηµείο 1 εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. 1.53 Α. Υλικό σηµείο 1 εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο"

Ελένη Θεοδοσίου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΣΥΝΘΕΣΗ ΛΝΩΣΕΩΝ.5. Υλικό σηµείο εκτελεί... η χρονική στιγµή t = 0 το υλικό σηµείο βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = +, ενώ ο ρυθµός µεταβο- λής της κινητικής του ενέργειας τη στιγµή αυτή είναι θετικός. ίνεται ακό - µα ότι το χρονικό διάστηµα ου ααιτείται ώστε το υλικό σηµείο να βρεθεί για ρώτη φορά στη θέση x= µε υ < 0 είναι t=0, s. Όταν το υλι- κό σηµείο βρίσκεται στη θέση µε αοµάκρυνση x = 0, m, η ταχύτητά του έχει µέτρο υ = m/s. α. Να υολογίσετε την ερίοδο και το λάτος αυτής της... β. Να γράψετε την εξίσωση x = f(t) της... του υλικού σηµείου. Β. Υλικό σηµείο εκτελεί και αυτό... η χρονική στιγµή t η ταχύτητα υ και η ειτάχυνση α του ταλαντωτή έχουν µέτρα,5 m/s και 00 m/s αντίστοιχα. η χρονική στιγµή t = s ο ρυθµός µεταβολής της δυναµικής ενέρ- 0 γειας του ταλαντωτή γίνεται για ρώτη φορά µέγιστος, ενώ τη στιγµή t = = s ο ταλαντωτής διέρχεται για ρώτη φορά αό τη θέση ισορροίας του. α. Να υολογίσετε το λάτος και την ερίοδο αυτής της... ( 0, ενώ ηµα = ηµασυνα.) β. Να γράψετε την εξίσωση x = f(t) της... του υλικού σηµείου. Γ. Σώµα µάζας m = kg εκτελεί ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις x = f(t) και x = f(t) στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια Θ.Ι. α. Να ροσδιορίσετε την εξίσωση αοµάκρυνσης - χρόνου x = f(t) της συνισταµένης ταλάντωσης ου ραγµατοοιεί το σώµα. β. Να υολογίσετε τη χρονική στιγµή t κατά την οοία η δύναµη εαναφοράς ΣF της συνισταµένης ταλάντωσης γίνεται για ρώτη φορά κατά µέτρο µέγιστη. (Θεωρήστε ως χρονική στιγµή t = 0 τη στιγµή ου αρχίζει το σώµα να εκτελεί τη σύνθετη ταλάντωση.) γ. Ποια είναι η µέγιστη τιµή αυτής της δύναµης εαναφοράς; 9

ίνεται ακό - µα ότι το χρονικό διάστηµα ου ααιτείται ώστε το υλικό σηµείο να βρεθεί για ρώτη φορά στη θέση x= µε υ < 0 είναι t=0, s.

2 Σύνθεση ταλαντώσεων ❷ Β. Έστω ότι η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων τη στιγµή t είναι φ ο λάτος της συνισταµένης ταλάντωσης εκείνη τη στιγµή θα είναι: = + + συν φ = > = = + συν φ = ( + συν φ ) + συν φ = συν φ = συν φ = συν. Εειδή τη χρονική στιγµή t το λάτος της συνισταµένης κίνησης αίρνει την τιµή για ρώτη φορά αό την t = 0, θα είναι: φ =. Σωστή είναι η αάντηση γ..5. α. Ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι: dw = ΣF = ΣF dx = ΣF υ = Dxυ. 99

εκείνη τη στιγµή θα είναι: = + + συν φ = > = = + συν φ = ( + συν φ ) + συν φ = συν φ = συν φ = συν.

3 Λύσεις των ροβληµάτων η χρονική στιγµή t = 0 έχουµε: x = + > 0 και > 0. Εοµένως τη χρονική στιγµή t = 0 η ταχύτητα υ < 0, οότε το εριστρεφόµενο διάνυσµα του λάτους της... θα βρίσκεται στη θέση ΟΡ. Έτσι η αρχική φάση φ 0 είναι φ 0 = xo Ρ = θ. ό το ΟΡ Ρ έχουµε: ηµθ = ΟΡ = ΟΡ ηµθ = θ = Συνεώς: φ 0 = φ 0 = Όταν το υλικό σηµείο θα βρεθεί για ρώτη φορά στη θέση x = µε υ < 0, το εριστρεφόµενο διάνυσµα θα έχει διαγράψει τη γωνία ΡΟ N = θ + θ = + ΡΟ N = rad ΟΝ (ηµθ = = θ = rad). ON Η γωνία ΡΟ N = φ όµως διαγράφηκε σε χρονικό διάστηµα t=0, s. Εοµένως έχουµε: όξο φ = rad σε t=0, s όξο rad σε s = 0, = 0, s. κόµα, ω = ω = 5 rad/s. T Εφαρµόζουµε την..ε.. για τη θέση του ταλαντωτή µε x = 0, m και υ = m/s. Έχουµε: Κ + U = E ολ mυ + Dx = DA D = mω > mυ +mω x = mω υ + ω A x = ω = 0,5 = 0,5 m. β. Η γενική µορφή της ζητούµενης σχέ - σης είναι x = ηµ(ω t+φ 0 ). ντι - καθιστώντας ροκύτει: x = 0,5ηµ(5t + ) (S.I.) Β. α. Κάθε χρονική στιγµή, για την... του υλικού σηµείου ισχύει: Κ + U = E ολ de oλ + = = = ΣF υ = ( Dxυ) = Dxυ = DA ηµ(ω t + φ 0 ) ω συν(ω t + φ 0 ) DA ω = ηµ(ω t+φ 0 ) συν(ω t + φ 0 ) DA ω = ηµ(ω t + φ 0 ). Ο ρυθµός αυτός αίρνει τη µέγι- 00

ό το ΟΡ Ρ έχουµε: ηµθ = ΟΡ = ΟΡ ηµθ = θ = Συνεώς: φ 0 = φ 0 = Όταν το υλικό σηµείο θα βρεθεί για ρώτη φορά στη θέση x = µε υ < 0, το εριστρεφόµενο διάνυσµα θα έχει διαγράψει τη γωνία ΡΟ N = θ + θ = +

4 Σύνθεση ταλαντώσεων στη τιµή του όταν: ηµ(ω t + φ 0 ) = ηµ(ω t + φ 0 ) = ηµ. Εειδή τη χρονική στιγµή t = s ο ρυθµός γίνεται 0 µέγιστος για ρώτη φορά, έχουµε: ω t + φ 0 = ω t + φ 0 = + φ 0 = T 0 + φ 0 = () 0 η χρονική στιγµή t = s ο τα- λαντωτής διέρχεται για ρώτη φορά αό τη Θ.Ι. του. ότε ισχύει: D 0 ΣF = 0 Dx = 0 > x = 0 0 ηµ(ω t + φ 0 ) = 0 > ηµ(ω t + φ 0 ) = ηµ0 { ω t + φ 0 = k (α) και ω t + φ 0 = k + (β) Για k = 0 η (α) ω t + φ 0 = 0 t < 0, ου αορρίτεται, ενώ αό το «ακέτο» λύσεων (β) έχουµε: ω t + φ 0 = + φ 0 = φ 0 = () Η σχέση () µε τη βοήθεια της () γίνεται: + = 0 9 = 0 90 = = 0, s. Και αό τη σχέση () έχουµε: φ 0 = 0, φ 0 0 = =, φ 0 = φ 0 = ο µέτρο της ειτάχυνσης α του ταλαντωτή δίνεται αό τη σχέση α = ω x 00 = =0 (5) x > x 00 = x = 0, m. 50 ό την..ε.., για τη στιγµή t, όου x = 0, m και υ =,5 m/s, έχουµε: Ε ολ = K + U DA = = Dx + mυ mω = mω x + mυ = 0,5 m. β. Η γενική µορφή της ζητούµενης σχέσης είναι x = A ηµ(ω t + φ 0 ). ντικαθιστώντας ροκύτει: x = 0,5ηµ(5t + ) (S.I.) Γ. α. 0

5 Λύσεις των ροβληµάτων Η εξίσωση x = f(t) της συνισταµένης ταλάντωσης ου εκτελεί η µάζα m θα έχει τη µορφή x = ηµ[ωt + (µικρότερη αρχική φάση) + θ] x = ηµ(ωt + + θ) () λλά ω =ω =ω ω=5 rad/s. Η διαφορά φάσης φ µεταξύ των εριστρεφόµενων διανυσµάτων και είναι: φ = φ = ο λάτος της συνισταµένης ταλάντωσης είναι: A = + + συν φ φ = rad = = > = = = 0,5 m. ό το διάγραµµα των εριστρεφό- µενων διανυσµάτων ροκύτει: εφθ = εφθ = εφθ = θ = ντικαθιστώντας λοιόν στη σχέση (), έχουµε: x = ηµ(ωt + + θ) x=0,5 ηµ(5t + + ) 5 x = 0,5 ηµ(5t + ) (S.I.) β. Η δύναµη εαναφοράς ΣF της συ - νισταµένης ταλάντωσης θα γίνει για ρώτη φορά µέγιστη κατά µέ - τρο όταν θα γίνει x = +A για ρώ - τη φορά. υτό θα γίνει τη στιγµή t ου το εριστρεφόµενο διάνυσµα της σύνθετης... θα έχει διαγράψει τη γωνία O y= φ. ( είτε ξανά το διάγραµµα µε τα ε ρι στρε - φόµενα διανύσµατα.) Όµως O y = φ = 5 φ = Εοµένως: όξο rad διαγράφεται σε s όξο rad διαγράφεται σε t t = T t = s 0, t = t = s. 0 γ. ΣF = Dx, οότε κατά µέτρο: ΣF max = DA ΣF max = mω ΣF max = (5) 0,5 Ν ΣF max = 5 N..5 A. α. η χρονική στιγµή t = 0 είναι x = 0 και dx = υ > 0. Εοµένως η αρχική φάση της... είναι φ 0 = 0 O ταλαντωτής φτάνει στη θέση x = +A για ρώτη φορά τη χρονική στιγµή, για δεύτε- ρη φορά τη στιγµή +, για τρίτη φορά τηχρονική στιγµή +... Με αυτή τη λογική, ο ταλαντωτής θα φτάνει για η φορά στη θέ ση x = +A τη χρονική στιγµή t = 0T =, 0

ό το διάγραµµα των εριστρεφό- µενων διανυσµάτων ροκύτει: εφθ = εφθ = εφθ = θ = ντικαθιστώντας λοιόν στη σχέση (), έχουµε: x = ηµ(ωt + + θ) x=0,5 ηµ(5t + + ) 5 x = 0,5 ηµ(5t + ) (S.I.) β.

Σχετικά έγγραφα

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας,

1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας.