Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 7 Μαΐου 207 Αναγνώριση Παραμετρικών μοντέλών συστημάτων διακριτού χρόνου ης τάξης Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την αναγνώριση μη γραμμικών μη χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων διακριτού χρόνου τις οποίες περιγράφουμε με εξισώσεις διαφορών Τα συστήματα ης τάξης περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών y(k + a y(k = b u(k ( με αρχική συνθήκη y(k Διεγείρουμε το σύστημα με την ακολουθία των διεγέρσεων u( u(0 και παίρνουμε τις αποκρίσεις y(0 y( Στόχος της μελέτης μας είναι να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους a b και την αρχική συνθήκη y( του συστήματος Γράφουμε το σύστημα ( για N + μετρήσεις δηλαδή για k = 0 2 email:jmaay@physicsauthgr website: http://jomaaitawordpresscom
και έχουμε: y(0 + a y( = b u( y( + a y(0 = b u(0 y(2 + a y( = b u( y(n + a y(n = b u(n (2 Ορίζουμε τα διανύσματα Θ = ( a b y( Φ T (0 y(0 u(0 y(2 Φ T ( y( u( Y = Φ = = y(n Φ T (N y(n u(n (3 και το παραπάνω σύστημα γράφεται Y = ΦΘ (4 Για κάθε μέτρηση που κάνουμε έχουμε σφάλμα e(t και έτσι οι σχέσεις ( και (4 γίνονται y(k + a y(k = b u(k + e(k k = 0 N ( Y = ΦΘ + E (6 ( όπου E = e( e(2 e(n Για την ελαχιστοποίηση του σφάλματος εφαρμόζουμε την μέθοδο των ελα- 2
χίστων τετραγώνων και ορίζουμε την συνάρτηση κόστους J = E T E = N e 2 (k (7 k= Αντικαθιστούμε στην (7 την (6 και έχουμε J = (Y ΦΘ T (Y ΦΘ (8 από όπου για να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος παίρνουμε τις τιμές της μερικής παράγωγου ως προς Θ που είναι ίσες με μηδέν και βρίσκουμε την κανονική εξίσωση J Θ = 2ΦT (Y ΦΘ = 0 (9 Φ T ΦΘ = Φ T Y (0 Από την κανονική μορφή και όταν ο πίνακας Φ T Φ είναι αντιστρέψιμος βρίσκουμε τις τιμές των παραμέτρων a b Θ = (Φ T Φ Φ T Y ( Ο πίνακας Φ T Φ είναι συμμετρικός και δίνεται από τη σχέση ( N Φ T k=0 Φ = y2 (k N k=0 y(ku(k N k=0 y(ku(k N (2 k=0 u2 (k ενώ το διάνυσμα Φ T Y από τη σχέση Φ T U = ( N k= y(ky(k N k= y(ku(k (3 3
Η αρχική συνθήκη υπολογίζεται από τη σχέση y( = a [b u( y(0 (4 0 Παράδειγμα Να εκτιμηθούν οι παράμετροι και η αρχική συνθήκη του συστήματος διακριτού χρόνου που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y(k + a y(k = b u(k γνωρίζοντας οτι οι διεγέρσεις και οι αποκρίσεις του συστήματος δίνονται από τον πίνακας k - 0 2 3 4 6 u(k y(k 2 3 4 8 6 2 32 43 64 Λύση: Υπολογίζουμε τις σχέσεις (2 3 και έχουμε: ( Φ T k=0 Φ = y2 (k ( k=0 y(ku(k 30644 428 k=0 y(ku(k N = u 2 (k 428 6 Φ T U = y(ky(k 6 k= y(ku(k ( 6 k= ( 26627 = 389062 Από την σχέση ( υπολογίζουμε τις παραμέτρους Θ = ( a b ( = (Φ T Φ Φ T 0 Y = Και την αρχική συνθήκη από την σχέση (4 από όπου έχουμε y( = 0 4
2 Αναγνώριση Παραμετρικών μοντέλών συστημάτων διακριτού χρόνου n-ης τάξης Τα συστήματα n-ης τάξης περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών y(k + a y(k + + a n y(k n = b u(k + + b n u(k n ( με αρχικές συνθήκες y( y( 2 y( n Στόχος της μελέτης μας είναι να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους a a 2 a n και b b 2 b n και την αρχική συνθήκη y( του συστήματος Παίρνουμε N + n σημεία δειγματοληψίας και αντικαθιστούμε στις εξισώσεις ( από όπου έχουμε: y(0 + a y( + + a n y( n = b u( + + b n u( n y( + a y(0 + + a n y( n + = b u(0 + + b n u( n y(n + a y(n 2 + + a n y( = b u(n 2 + + b n u( y(n + a y(n + + a n y(0 = b u(n + + b n u(0 y(n + + a y(n + + a n y( = b u(n + + b n u( y(n + N + a y(n + N 2 + + a n y(n = b u(n + N 2 + + b n u(n (6 Οπως και στη περίπτωση του συστήματος ης τάξης ορίζουμε τους παρακάτω
πίνακες: Θ = Φ = = y(n ( y(n + a a 2 a n Y = b b 2 b n y(n + N Φ T (0 Φ T ( Φ T (n + N y(n y(0 u(n u(0 y(n y( u(n u( y(n y(n u(n + N 2 u(n (7 Ακολουθώντας τα βήματα της προηγούμενης παραγράφου βρίσκουμε την κανονική εξίσωση από όπου υπολογίζουμε τις παραμέτρους του συστήματος από τη σχέση Θ = (Φ T Φ Φ T Y (8 Τις αρχικές συνθήκες τις βρίσκουμε από τη σχέση H = Ã [ BD A C] (9 6
όπου Ã = a a 2 a 3 a n a n 0 a a 2 a n 2 a n A = B = D = 3 Ασκήσεις 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a n a n 2 a n 3 a 0 y( b b 2 b n 0 b 2 b n y( 2 H = 0 0 b n y( n u( y(0 u( 2 y( C = u( n y(n (20 Να προσδιορίσετε την επιτάχυνση της βαρύτητας σε πείραμα που έγινε και από όπου είχαμε τις παρακάτω μετρήσεις: t(sec 2 3 4 6 h(meters 849 200 06 729 298 76 7
2 Να εκτιμηθούν οι παράμετροι ω και b του συστήματος διακριτού χρόνου y(k + 2 + ω 2 y(k = bu(k για τις τιμές των ακολουθιών που δίνονται στον παρακάτω πίνακα k 0 2 3 4 u(k y(k 0 0 2 3 4 8