Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 2"

Ευλάλιος Παπανδρέου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 2 Πάτρα 2008

2 Εμπειρικός προσδιορισμός συνάρτησης μεταφοράς j2πκ i N F Symmetric με F, = e, j = 1 i κ Σύστημα

3 Έχουμε: F X : Διακριτός μετασχηματισμός Fourier του διανύσματος X * 1 F F =, όπου Ν συνήθως είναι δύναμη του 2 (πχ 4,8, ) N Hˆ = F Y / F X : Στοιχείο προς στοιχείο διαίρεση ( ) ( )

4 Υποθέτουμε ότι: ( ) 0,, 1 0 F X i = N για κάποιο i Τότε η εκτίμηση της συνάρτησης μεταφοράς στο πεδίο της συχνότητας δίνεται από την: ĥ 0 ĥ 1 Hˆ = hˆ N /2 h ˆ N /2 + 1 h ˆN 1 Επομένως:, Ĥ C, Ισχύει για X, ˆ = ˆ* N i hi h ˆi (μιγαδικός αριθμός ) : εκτίμηση της συνάρτησης μεταφοράς στο 2π i ω =, όπου η περίοδος δειγματοληψίας (αν υπάρχει) ΝΤ i h

5 Θεωρούμε: y( t) H ( z ) x() t v() t 1 () = 0( ) () + () σταθερή στοχαστική διαδικασία με φάσμα Φv ( ω) και Rv ( τ ) συνδιασπορά και ισχύει: [ () ( )] Evt vt τ υπόκειται στο τ ( τ) < Υποθέτουμε το ut () είναι ανεξάρτητο των () R v vt και ( ut ()) C τότε ( ) ( ω) iω iω ρ1 N = 0 ( ) + U N EHˆ ( e ) H e 2 κ h0 ( κ) ( N) κ = 0 ρ max u( t) 1 N

6 ˆ iω ˆ i i ξ ξ E H( e ) H 0 H( e ) H0( e ) = 1 ( ) 2 Φ V ω + ρz ( N ) αν ξ=ω U N ( ω) = ρz ( N ) 2 π αν ξ-ω = κ, κ=1,2,,ν-1 UN( ω) UN( ξ) N Cz ρz ( N) N

7 +Δ+ i +Δ+ i Hˆ( ω ) ˆ i = ajh( ω j) / aj j= Δ+ i j= Δ+ i ˆ iω 1 ˆ i H ( e ) H( e time t = ω times t-n n= 1 a επιλογή Barlett, Parzen, Hamming windows - 1 j j i Δ

8 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (LS) είναι η βασική μέθοδος για την εκτίμηση τωνπαραμέτρωνενός(σ) (Σ). Βάσει αυτής της μεθόδου οι άγνωστες παράμετροι ενός μαθηματικού μοντέλου πρέπει να επιλεχθούν έτσι ώστε: Το αθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ των πραγματικών παρατηρηθέντων τιμών και των υπολογισμένων τιμών, πολλαπλασιασμένο από αριθμούς που μετρούν τον βαθμό ακριβείας, είναι ελάχιστο.

9 Η μέθοδος αυτή βρίσκει εφαρμογή σε πολλά προβλήματα αλλά είναι ιδιαιτέρως απλή για ένα μαθηματικό μοντέλο της μορφής: y() t = φ () t θ + φ () t θ + + φ () t θ = φ() t θ n n όπου η παρατηρηθείσα μεταβλητή, θ 1, θ 2,,θ n είναι άγνωστες παράμετροι και φ 1, φ 2,,φ n είναι γνωστές συναρτήσεις που μπορούν να βασίζονται σε άλλες γνωστές μεταβλητές

10 Οι μεταβλητές φi ονομάζονται και μεταβλητές οπισθοπορείας (regression variables). Έχουμε: = [ ] και = [ ] φ () t φ () t φ () t φ () t 1 2 n θ θ1 θ n [ ] Yt () = y(1) y(2) K yt () [ ε ε ε t] Et () = (1) (2) K () όπου φ (1) Φ () t = φ () t ε () i = y() i yˆ () i = y() i φ () i θ

11 Το σφάλμα της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων μπορεί επομένως να γραφει ως εξής: t t V( θ, t) = ε( i) = ( y( i) φ ( i) θ) 2 = 2 2 i= 1 i= 1 1 Τ 1 = ΕΕΕ = Ε (E) όπου Ε =Υ Υ=Υ Φ ˆ θ Η λύση στο πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων δίνεται από το θεώρημα που ακολουθεί.

12 Θεώρημα Η συνάρτηση απώλειας (Ε) γίνεται ελάχιστη για παραμέτρους ˆ θ τέτοιες ώστε: ΦΦ ˆ θ = Φ Y Αν ο πίνακας ΦΦείναι ί μη ιδιάζων, τότε το ελάχιστο είναι μοναδικό και δίνεται από τη σχέση: ˆ θ ( ) 1 = Φ Φ Φ Y

13 Απόδειξη: Η συνάρτηση απώλειας (Ε) μπορεί να γραφεί ως: Τ ( ) ( ) 2 V( θ, t) = E E = Y Φθ Y Φ θ = Y Y Y Φθ θ Φ Y + θ Φ Φ θ Εφόσον ο πίνακας Φ Φ είναι πάντα μη αρνητικά ορισμένος, η συνάρτηση V έχει ένα ελάχιστο.

14 Έχουμε: 2 V( θ, t) = Y Y Y Φθ θ Φ Y + θ Φ Φθ ( ) Y Φ( Φ Φ) Φ Y Y Φ Φ Φ Φ Y ( ( ) ) θ ( ) ( ) ( θ ( ) ) = Y I Φ Φ Φ Φ Y + Φ Φ Φ Y Φ Φ Φ Φ Φ Y Ο πρώτος όρος στο δεξιό μέρος είναι ανεξάρτητος του θ. Οδ δεύτερος όρος είναι πάντα θετικός. Το ελάχιστο δίδεται από: Κι επομένως το θεώρημα αποδείχθηκε. ( ) 1 θ = θˆ = Φ Φ Φ Y

15 Παρατηρήσεις: Η προηγούμενη εξίσωση μπορεί να γραφεί ως εξής: t 1 t t ˆ( θ t ) = φ () i φ () i φ () i y () i = P () t φ () i y () i i= 1 i= 1 i= 1 Η συνθήκη για την οποία ο πίνακας συνθήκη διέγερσης. ΦΦ είναι αντιστρέψιμος ονομάζεται

16 Γεωμετρική ερμηνεία Το πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να αναχθεί σε γεωμετρικό πρόβλημα. Έχουμε λοιπόν την εξίσωση E = Y Yˆ = Y Φ θ να δίδεται ως εξής: ε (1) y(1) φ1 (1) φn (1) ε (2) y(2) φ1 (2) φn (2) = θ 1 θ n ε () t y () t φ 1 () t φ n() t Ή αλλιώς: 1 2 n E = Y φ θ1 φ θ2 φ θ n Όπου τετραγώνων μπορεί να αναχθεί σε πρόβλημα εύρεσης των σταθερών:, 1 i φ είναι οι στήλες του πίνακα Φ. Συνεπώς το πρόβλημα ελαχίστων θ, θn έτσι ώστε το διάνυσμα Υ να προσεγγίζεται όσο γίνεται καλύτερα από έναν 1 2 n γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων φ, φ,, φ.

17 Ας υποθέσουμε ότι το διάνυσμα Y ˆ προσεγγίζεται βέλτιστα από έναν 1 2 n γραμμικό συνδυασμό των φ, φ,, φ και ότι E = Y Yˆ. Y 2 φ Yˆ Τότε το διάνυσμα Ε είναι το μικρότερο δυνατόν όταν είναι ορθογώνιο σε i όλα τα διανύσματα φ. Αυτό σημαίνει ότι: 1 φ i 1 2 n ( φ ) ( θφ θ φ θnφ ) y 1 2 = 0, i = 1,., n. 1 2 n Το διάνυσμα θ είναι μοναδικό αν τα φ, φ,, φ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Σχετικά έγγραφα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 4

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 4 Πάτρα 2008 Ντετερμινιστικά Moving Average Μοντέλα Ισχύει: