Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Επανάληψη στα Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα στα Πεδία Συχνότητας και Χρόνου Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Χαρακτηριστικά Απόδοσης Διακριτοποίηση Συνεχών Ελεγκτών Ψηφιακή Υλοποίηση του Συνεχούς Ελεγκτή PID

2 Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H: Συναρτήσεις Μεταφοράς z.o.h Plant () ( z) = Z ( ) Z Z ( z ) Z = = ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ z.o.h / ( z) = Z = Z Z = 3 = ( z ) Z 3 = ( z ) z z + z = ( z ) Z = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές z + ( z )

3 Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H: Χώρος Κατάστασης z.o.h =Φ +Θ u k+ k k Plant! = A + B u y = D + E u ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Α = Φ( ) = A Θ, Β = Δηλαδή, η παράσταση στο χώρο κατάστασης του συστήµατος / 0 ( ) Θ ( ) = ( z) = C z I Φ, C = 0 z + z = A τ B dτ Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3 0 Θ Φ ( ) = A = = A τ Τ 0 B dτ = Τ 0 Τ από το προηγούµενο παράδειγµα Προφανώς ίδια µε αυτή που βγήκε αφου αναφερόµαστε στο ίδιο σύστηµα

4 Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Πλεονεκτήµατα : Οι ήδη γνωστές τεχνικές µπορούν να εφαρµοσθούν για τον σχεδιασµό ενός συνεχούς ελεγκτή, και µετά να προβούµε σε διακριτοποίηση. Η επιλογή της περιόδου δειγµατοληψίας µπορεί να γίνει µετά από τον σχεδιασµό του ελεγκτή. Μειονεκτήµατα : Αυτός ο τρόπος είναι προσεγγιστικός και για να βελτιωθεί η προσέγγιση πρέπει να ληφθούν υπ όψη : η διαδικασία δειγµατοληψίας, η διαδικασία παρακράτησης σήµατος, και υπολογιστικές καθυστερήσεις Γενικά, θα πρέπει η περίοδος δειγµατοληψίας να είναι πολύ µικρή για να προσοµοιάσει ο διακριτός ελεγκτής τον συνεχή, ο οποίος σχεδιάσθηκε ως κατάλληλος για το φυσικό σύστηµα Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4

5 Χαρακτηριστικά Απόδοσης Τα κριτήρια που λαµβάνονται υπ όψη για την απόδοση των συνεχών συστηµάτων κλειστού βρόχου συνήθως αναφέρονται σε συστήµατα δευτέρας τάξεως : αλλά µπορούν να επεκταθούν και σε αυτά ανώτερης τάξης, θεωρώντας τα αντίστοιχα ζεύγη συζυγών πόλων. Τα συνήθη χαρακτηριστικά είναι : Ακρίβεια παρακολούθησης σήµατος αναφοράς σε µόνιµη κατάσταση Χαρακτηριστικά µεταβατικής απόκρισης όπως : n n ευστάθεια : + ζ ω + ω = 0 χρόνος ανύψωσης : r n n r ζ % M υπερακόντιση : % M = 00 ζ χρόνος αποκατάστασης : t = R{ } = ζ ωn ζ ωn t τα οποία παρατίθενται ταυτόχρονα µε τις αναγκαίες συνθήκες. Απόρριψη διαταραχών σε µόνιµη κατάσταση, και µεταβατική απόκριση Απαιτούµενη είσοδος µέγιστο µέγεθος εισόδου ενέργεια Ευαισθησία σε διαταραχές παραµέτρων t Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5 { } R < 0.8 ω ω.8 t

6 Διακριτοποίηση Συνεχών Ελεγκτών r + - ( )? u ( ) y Κλασσικό Αναλογικό Σύστηµα Ελέγχου Ψηφιακό Σύστηµα Ελέγχου? r + - ( z) u z.o.h ( ) y Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6

7 Διακριτοποίηση Συνεχών Ελεγκτών: Aντιστοιχία Πόλων - Mηδενιστών ( Mathd Pol Zro, MPZ) = K = n = ( + t ) ( + ) = ( + ) n = z n z K z = ( t ) z ( ) z r r + z π.χ. PID: - K + d + + = - d + + = K = d = K + t + t u u Για παρόµοια συµπεριφορά των y ελεγκτών στις z.o.h y χαµηλές συχνότητες, ( ) δηλ. ( ) ω 0 = jω 0 z~ + jω πρέπει = l l z 0 z Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7

8 Έστω ελεγκτής: = K = n MPZ: Παράδειγµα = + t + = l l z 0 z a = + a n=, = 0 = a = ( + ) z K z K = z = = ( + ) n = z n z K z z a z z + ( ) ( ) a a z a Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8 z = t ( z ) ( z ) a l ( ) = l = a l ( z) = l Kz( z+ ) = Kz z z a z a

9 r + - MPZ: Παράδειγµα a = + a ( ) u ( ) y συνεχ. Κλασσικό Αναλογικό Σύστηµα Ελέγχου Ψηφιακό Σύστηµα Ελέγχου? r + - ( z) ( )( ) a = u z z + z a z.o.h ( ) y Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9

10 MPZ: Παράδειγµα συνεχ. a λ= ( ) a z+ U z = z = a E z z µ = ( z+ ) U z = ( z) = λ E z z µ a z u U z E z + z = λ µ z ( µ λ ) U z z = E z + z = µ + λ + U z z U z E z z E z n ( ) = Z f t n z F z uk = uk + k + k µ λ Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 0

11 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υλοποίηση Ψηφιακού Ελεγκτή Βήµα Προσθέσεις Πολλαπλασιασµοί k = rk yk + k ( ) k uk = uk + k + k µ λ Το (k-) είναι διαθέσιµο από τον προηγούµενο «κύκλο» 3 4 ( ) µ u k k ( ) λ k+ 5 ( ) ( ) µ uk + λ k+ k Σύνολο 3 Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές

12 PID ελεγκτής: l = l z MPZ: Υλοποίηση του PID = k + + D D + N ( z+ ) N z ( z) = k + k + k N ( z ) z 0 z ( ) ~ k = k jω k = k ( z+ ) k ( z) ~ k k ( z ) jω z+ z U z z = k + + N = N z E z D z Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές D

13 Μαθηµατική Επανάληψη: Νόρµες Διανυσµάτων Η νόρµα ενός διανύσµατος =! n n = = = l = = a =!n { } = Rn µπορεί να θεωρηθεί ως ένα «µέτρο» έκφρασης του «µεγέθους» του n = = n = = = = = = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3

14 Η -νόρµα ενός πίνακα Μαθηµατική Επανάληψη: Νόρµες n n A R Πινάκων. Ορίζεται ως : παριστά την ελάχιστη αυξοµείωση που θα προκαλέσει στο µέγεθος (εκφρασµένου µε την -νόρµα) οιοδήποτε στοιχείου o Πολλαπλασιασµός µε τον A A A = n λ g R [ A] n ( λ ιδιοτιµή του ), τότε: A =! n R n A [ ] λ λ g A Αν η { } f είναι πολυωνυµική συνάρτηση τότε g f ( A) = f ( λ), λ g [ A] k k οπότε g A = { λ, λ g [ A] } Επίσης ισχύει ότι Εποµένως (Θεώρηµα Caly-Halton) f ( λ) = λ I A = 0 = a n λ n + a n λ n + + a λ + a 0 = 0 = a n A n + a n A n + + a A + a 0 I A n = a a n A n + + a A + a 0 I n f A Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4