Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 30 Μαρτίου 2014 Κεφάλαιο Ι: Κινηματική του Υλικού Σημείου 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t 3 + 1), e 2t, t 2 )], να υπολογιστούν για t = 0: (α) η ταχύτητά του, (2) το μέτρο της ταχύτητας του, (3) η επιτάχυνσή του, (4) το μέτρο της επιτάχυνσης του. 2. Εστω δύο κινούμενα υλικά σημεία και r 1 (t) το διάνυσμα θέσης του πρώτου και r 2 (t) το διάνυσμα θέσης του δεύτερου. Η επιτάχυνση a 1 (t) του πρώτου είναι παράλληλη στο διάνυσμα θέσης του δεύτερου, δηλ. a 1 (t)// r 2 (t). Το διάνυσμα της επιτάχυνσης a 2 (t) του δεύτερου είναι παράλληλο στο διάνυσμα θέσης του πρώτου, δηλ. a 2 (t)// r 1 (t). Να δειχθεί ότι r 1 (t) u 2 (t) u 1 (t) r 2 (t) είναι σταθερό διάνυσμα. 3. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι το r(t) = a 1 cos t + b 1 sin t, όπου a 1 και b 1 είναι σταθερά διανύσματα τότε τα r(t), u(t) και a(t) είναι συνεπίπεδα. 4. Υλικό σημείο κινείται στον άξονα των x και η επιτάχυνσή του δίνεται από τη σχέση ẍ(t) = 3t 2 + 1. Αν για t = 0, x = 0 και ẋ = 0 να βρεθούν η ταχύτητά του κάθε χρονική στιγμή και η απόσταση που διένυσε από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι t. 5. Η επιτάχυνση πυραύλου (υλικού σημείου) που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω δίνεται από την σχέση z = 6 + 0.02z. Να υπολογιστεί ο χρόνος που χρειάζεται ο πύραυλος να φτάσει σε ύψος z 1 = 100m. Για t = 0s, ο πύραυλος βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και ηρεμεί. 6. Η επιτάχυνση του σημείου, Α, που κινείται στην ευθεία x ορίζεται από την σχέση ẍ = 1.08 sin kt 1.44 cos kt, όπου ẍ και t εκφράζονται σε m/s 2 και s αντίστοιχα και k = 3rad/s. Γνωρίζοντας ότι x = 0.16m και ẋ 0 = 0.36m/s όταν t = 0, να υπολογιστούν η ταχύτητα και η θέση του σημείου Α όταν t = 0.5s. (Ο μηχανισμός EF ολισθαίνει και το BC περιστρέφεται με κέντρο το σταθερό σημείο B, Σχήμα 1). 7. Η επιτάχυνση σωματιδίου (υλικού σημείου) που κινείται στον άξονα x δίνεται από την σχέση ẍ = k(1 e x ), με k σταθερά. Γνωρίζοντας ότι η ταχύτητα του σωματιδίου είναι ẋ = 9m/s όταν x = 3m και ότι το σωματίδιο σταματά στην αρχή των αξόνων (x = 0), να υπολογιστεί: (α) η τιμή του k, (β) η ταχύτητα του σωματιδίου όταν x = 2m. 8. Εχουμε τρία σχοινιά με σταθερά μήκη (ADE, DEC, DCF E, Σχήμα 2) και το σημείο F είναι σταθεροποιημένο. Αν το σημείο, A του σχοινιού ADE κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα u A = 14m/s, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου C. Η ακτίνα των τροχαλιών θεωρείται αμελητέα. 1

2 9. Το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου δίνεται από τη σχέση: r = a cos ωt x 0 + a sin ωt y 0 + bt z 0, όπου a, b και ω σταθερές. Να δειχθεί ότι η τροχιά του υλικού σημείου είναι έλικα. Να βρεθούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου. 10. Υλικό σημείο κινείται στο Oxy επίπεδο και η ταχύτητα του είναι ίση με u = 3 x 0 + 10t y 0. Αν για t = 0, βρίσκεται στην αρχή των αξόνων να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x). 11. Υλικό σημείο κινείται στο Oxy επίπεδο έτσι ώστε οι συνιστώσες της θέσης του να πληρούν τις παρακάτω σχέσεις: } x(t) = 5 + 7 cos t, y(t) = 6 + 8 sin t. Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x). 12. Υλικό σημείο κινείται στο Oxy επίπεδο έτσι ώστε οι συνιστώσες της θέσης του να πληρούν τις παρακάτω σχέσεις: } x(t) = 2 tan t, y(t) = tan 2t, με περιορισμό x ( 2, 2). Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x). 13. Υλικό σημείο κινείται στο Oxy επίπεδο έτσι ώστε οι συνιστώσες της ταχύτητάς του να πληρούν τις παρακάτω σχέσεις: ẋ = 2y, ẏ = 8x. (α) Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου. (β) Να βρεθεί η κατεύθυνση της επιτάχυνσης. 14. Σωμάτιο, A, κινείται στον χώρο και το διάνυσμα θέσης του είναι: r A = (e t + 2, t 2, t + 1). Σωμάτιο, B, επίσης κινείται στον χώρο και έχει διάνυσμα θέσης: r B = (2t + 3, 3 2 t2, 3t + 1). Τα σωμάτια A και B θα συγκρουστούν στον χώρο και σε ποιά θέση; 15. Υλικό σημείο W είναι δεμένο στο άκρο ενός σχοινιού μήκους 50m, που περνά από μια τροχαλία στο σημειο P, 20m πάνω από το έδαφος. Το άλλο άκρο του σχοινιού δένεται σε όχημα στο σημείο A, 2m πάνω από το έδαφος. Αν το όχημα κινείται με ταχύτητα 9m/s κατά τον y-άξονα, με ποιά ταχύτητα υψώνεται το υλικό σημείο, τη χρονική στιγμή που αυτό είναι 6m πάνω από το έδαφος (Σχήμα 3); Σχήμα 1: Σχήμα άσκησης 6, κεφ Ι. Σχήμα 2: Σχήμα άσκησης 8, κεφ Ι.

3 16. Το άκρο, A, ράβδου AB κινείται με ταχύτητα u A = u A x 0, (u A > 0). Ζητείται η ταχύτητά του άκρου B, όταν η γωνία θ = θ 1. Δίνεται το μήκος l της ράβδου (Σχήμα 4). 17. Η επιτάχυνση υλικού σημείου για t 0, δίνεται από την σχέση: a = 12 cos 2t x 0 8 sin 2t y 0 + 16t z 0. Αν το υλικό σημείο ηρεμεί στην αρχή των αξόνων για t = 0, να βρεθούν τα u και r κάθε χρονική στιγμή. 18. Υλικό σημείο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας, r. Οταν το υλικό σημείο βρίσκεται στο A η γωνία είναι θ = 0 και το μέτρο της ταχύτητάς του είναι u A = 5m/s. Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται με ρυθμό d u /dt = kt, όπου k = 0.06m/s 3. Να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης όταν το υλικό σημείο έχει διανύσει το 1/3 της κυκλικής τροχιάς (ακτίνα τροχιάς r = 300m). 19. Υλικό σημείο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας ρ. Το μέτρο της ταχύτητας του είναι u 0 = 4 m/s για t = 0. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου αυξάνει σύμφωνα με τη σχέση d u /dt = bs, b > 0. Τη χρονική στιγμή t = 0, S = 0. Να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης όταν το υλικό σημείο έχει κινηθεί απόσταση S = 10 m. Δίνονται: ρ = 50 m, b = 0.05 s 2. 20. Σωματίδιο (υλικό σημείο) κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας, u = 300 mm/s, κατά μήκος της καμπύλης y = k x, k = 20 103 mm 2 (Σχήμα 5). Να υπολογιστεί το μέτρο της επιτάχυνσης του σωματιδίου όταν αυτό βρίσκεται στη θέση x = 200 mm. 21. Υλικό σημείο όταν βρίσκεται στο σημείο, A, κινείται με μέτρο ταχύτητας u 0 = 1m/s (Σχήμα 6). Αν το μέτρο της ταχύτητάς του αυξάνει με ρυθμό d u /dt = 0.1m/s 2 να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t = 5s. 22. Υλικό σημείο κινείται σε τμήμα της περιφέρειας κύκλου ακτίνας, r. Οταν το υλικό σημείο βρίσκεται στο σημείο A η γωνία θ στις πολικές συντεταγμένες είναι θ = 0. Στο σημείο αυτό το υλικό σημείο έχει μέτρο ταχύτητας u 1 = 2m/s. Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι d u /dt = 0.002S, όπου S η τυχαία απόσταση του υλικού σημείου πάνω στον περιφέρεια του κύκλου από το σημείο A. Να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του όταν το υλικό σημείο έχει διανύσει τα τρία τέταρτα του κύκλου. Σχήμα 3: Σχήμα άσκησης 15, κεφ Ι. Σχήμα 4: Σχήμα άσκησης 16, κεφ Ι.

4 23. Οι εξισώσεις κίνησης ενός σωματιδίου δίνονται από τις σχέσεις: x = t 2, y = t 4 2t 2 3. (α) Να γραφεί η εξίσωση τροχιάς του ως y = y(x) και να βρεθούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του τη χρονική στιγμή t = 2s. (β) Να βρεθούν η επιτρόχια και η κεντρομόλος επιτάχυνση την ίδια χρονική στιγμή. 24. Σωματίδιο κινείται επιταχυνόμενο σε κυκλική τροχιά ακτίνας, R, με σταθερή επιτρόχια ε- πιτάχυνση. (α) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται ώστε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων της ταχύτητας, u, και της επιτάχυνσης, a, να γίνει φ. (β) Να βρεθεί το διάστημα, S, που διανύει το σωματίδιο στο χρονικό αυτό διάστημα. 25. Η τροχιά υλικού σημείου είναι: r(t) = (t 3 4t) x 0 + (t 2 + 4t) y 0 + (8t 2 3t 3 ) z 0. Να βρεθούν τα μέτρα της εφαπτομενικής και της κεντρομόλου επιτάχυνσης όταν t = 2s. 26. Η θέση υλικού σημείου περιγράφεται από τις πολικές συντεταγμένες r = a(1 + sin bt) και θ = ce dt (όπου a = 4 m, b = 1 s 1, c = 2 rad, d = 1 s 1 ). Να υπολογιστούν οι ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου όταν t = 2 s. 27. Μηχανισμός (Σχήμα 7) περιστρέφεται γύρω από το σταθερό σημείο O, με σταθερό ρυθμό θ = 3 rad/s και εντός του μηχανισμού υπάρχει υλικό σημείο, A που μετακινείται. Να υπολογιστούν οι ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του υλικού σημείου A, όταν θ = 2π rad. Η τροχιά του υλικού σημείου, A περιγράφεται από την εξίσωση r = b + cθ, (b > 0, c > 0), όπου η θ μετριέται σε rad (b = 5 cm, c = 1 π cm). 28. Η τροχιά υλικού σημείου είναι της μορφής r = aθ, όπου a = 0.4 m. Η γωνιακή ταχύτητα θ είναι ίση με 3 rad/s. Η γωνιακή επιτάχυνση θ είναι ίση με 8 rad/s 2 (Σχήμα 8). Να βρεθούν οι ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου όταν θ = π 3 rad. 29. Υλικό σημείο, P, κινείται σε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των x (Σχήμα 9). Η ευθεία βρίσκεται σε απόσταση, d, από τον άξονα των x. Η γωνιακή ταχύτητα, ω, του υλικού σημείου είναι σταθερή (ω = dθ/dt = σταθερή). Ζητούνται οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του σε πολικές συντεταγμένες. Σχήμα 5: Σχήμα άσκησης 20, κεφ Ι. Σχήμα 6: Σχήμα άσκησης 21, κεφ Ι.

5 30. Υλικό σημείο διαγράφει την τροχιά r = a(1 cos θ), όπου a = 25 m (Σχήμα 10). Η γωνιακή ταχύτητα του υλικού σημείου είναι θ = 2 rad/s και η γωνιακή του επιτάχυνση θ = 0.2 rad/s 2. Να υπολογιστούν το μέτρο της ταχύτητας και το μέτρο της επιτάχυνσης όταν θ = 120 0. 31. Υλικό σημείο, A, κινείται στο χώρο. Η απόσταση της προβολής του υλικού σημείου στο επίπεδο Oxy από την αρχή των αξόνων είναι ίση με r και παραμένει σταθερή (Σχήμα 11). Η συνιστώσα z της τροχιάς του υλικού σημείου είναι ίση με z = a sin bθ, όπου a = 3 m και b = 4. Αν η γωνία θ είναι της μορφής θ = ct, όπου c = 0.5 rad/s να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου. 32. Υλικό σημείο, A, κινείται στο χώρο. Η απόσταση της προβολής του υλικού σημείου στο επίπεδο Oxy από την αρχή των αξόνων είναι ίση με r και ο ρυθμός μεταβολής ṙ της παραμένει σταθερός (Σχήμα 12). Η συνιστώσα z της τροχιάς του υλικού σημείου είναι ίση με z = bt 2, όπου b = 4 m/s 2 και θ = ct, όπου c = 0.5 rad/s. Να υπολογιστούν τα μέτρα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του υλικού σημείου όταν t = 3 s και r = 3 m. 33. Υλικό σημείο με διάνυσμα θέσης R κινείται πάνω σε κυλινδρική επιφάνεια της οποίας ο άξονας συμπίπτει με τον άξονα z. Η τομή της κυλινδρικής επιφάνειας με το επίπεδο Oxy δίνει κύκλο ακτίνας r (Σχήμα 13). Το υλικό σημείο κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας, u, και η τροχιά του ορίζεται από τις εξισώσεις: r = 1.5 m και z = hθ, όπου h = 2 m. Να υπολογιστούν: (α) 2π Ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας, θ και (β) το μέτρο της επιτάχυνσης. 34. Να υπολογιστεί η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης στη τροχιά υλικού σημείου με τη βοήθεια των κυλινδρικών συντεταγμένων. 35. Αεροπλάνο κινείται με ταχύτητα 180 km/h ανατολικά, ευθύγραμμα και σε σταθερό ύψος από την επιφάνεια της γης. Κάθε προπέλα του αεροπλάνου έχει διάμετρο 12m και περιστρέφεται με 1000 στροφές το λεπτό στη φορά των δεικτών του ρολογιού όπως φαίνεται από το πίσω μέρος του αεροσκάφους. Να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου, A, που βρίσκεται στην άκρη της προπέλας στη νότια θέση (Σχήμα 14) σε κυλινδρικές και καρτεσιανές συντεταγμένες. 36. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Να υπολογιστεί η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης στην τροχιά υλικού σημείου με τη βοήθεια των κυλινδρικών συντεταγμένων. 37. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο Oxy έτσι ώστε οι συνιστώσες της θέσης του να πληρούν Σχήμα 7: Σχήμα άσκησης 27, κεφ Ι. Σχήμα 8: Σχήμα άσκησης 28, κεφ Ι.

6 τις παρακάτω σχέσεις: x(t) = α + β cos t, y(t) = γ + δ sin t, με α, β, γ, δ σταθερές. (i) Να βρεθεί η τροχιά του υλικού σημείου ως y = y(x) και (ii) να παρασταθεί γραφικά όταν α = 1, β = 2, γ = 4 και δ = 3 (*). 38. Η κίνηση υλικού σημείου δίνεται από την τομή των επιφανειών: y = 2 sin πx 4, z = 2 cos πx 4. (i) Να βρεθεί η απόσταση, S, που διανύει το υλικό σημείο μεταξύ των σημείων (0, 0, 2) και (1, 2, 2). (ii) Να παρασταθεί γραφικά η κίνηση του υλικού σημείου από x = 0 έως x = 10 (*). 39. Η γραφική παράσταση του μέτρου, u, της ταχύτητας με την απόσταση, S, υλικού σημείου, δίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 15). Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση του μέτρου της επιτάχυνσης, a, με την απόσταση, S, και να υπολογιστεί ο χρόνος που χρειάζεται το υλικό σημείο να φτάσει στην απόσταση S = 400 m. 40. Οταν ο σκιέρ (υλικό σημείο) φτάνει στο σημείο A πάνω στη παραβολική τροχιά του σχήματος, y(x) = x 2 /20, (Σχήμα 16) έχει ταχύτητα μέτρου 6 m/s και αυξάνεται κατά 2 m/s 2. Να προσδιοριστεί η κατεύθυνση της ταχύτητας του υλικού σημείου καθώς και η κατεύθυνση και το μέτρο της επιτάχυνσης του υλικού σημείου. Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από τη σχέση: ρ(x) = (1 + y 2 (x)) 3 /y (x). 41. Σωματίδιο (υλικό σημείο) κινείται επιταχυνόμενο σε κυκλική τροχιά ακτίνας, R, με σταθερή επιτρόχια επιτάχυνση. (i) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται ώστε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων της ταχύτητας, u, και της επιτάχυνσης, a, να γίνει ίση με φ. (ii) Να βρεθεί το διάστημα, S, που διανύει το σωματίδιο στο χρονικό αυτό διάστημα. 42. Η ράβδος, OA του σχήματος (Σχήμα 17) περιστρέφεται στο οριζόντιο Oxy επίπεδο έτσι ώστε θ = t 3 rad. Συγχρόνως, το δακτυλίδι B ολισθαίνει πάνω στη ράβδο, OA, κινούμενο προς τα έξω με r = 100t 2 mm. Να προσδιοριστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του δακτυλιδιού όταν t = 1 s. 43. Εχουμε σχοινί με σταθερό μήκος (ACEDB, Σχήμα 18) και τα σημεία C και D είναι σταθεροποιημένα. Αν το σημείο B του σχοινιού κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου u B = 6 m/s, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σημείου A. Η ακτίνα των τροχαλιών θεωρείται αμελητέα. } Σχήμα 9: Σχήμα άσκησης 29, κεφ Ι. Σχήμα 10: Σχήμα άσκησης 30, κεφ Ι.

7 Σχήμα 11: Σχήμα άσκησης 31, κεφ Ι. Σχήμα 12: Σχήμα άσκησης 32, κεφ Ι. Σχήμα 13: Σχήμα άσκησης 33, κεφ Ι.

8 Σχήμα 14: Σχήμα άσκησης 35, κεφ Ι. Σχήμα 15: Γραφική παράσταση του μέτρου της ταχύτητας, u, με την απόσταση, S, υλικού σημείου. Σχήμα 16: Οταν ο σκιέρ φτάνει στο σημείο A πάνω στην παραβολική τροχιά του σχήματος έχει ταχύτητα μέτρου 6 m/s, που αυξάνεται κατά 2 m/s2. Σχήμα 17: Η ράβδος, OA, περιστρέφεται στο οριζόντιο Oxy επίπεδο και συγχρόνως το δακτυλίδι B ολισθαίνει πάνω στη ράβδο. Σχήμα 18: Το ACEDB είναι σχοινί σταθερού μήκους και τα σημεία C και D είναι σταθεροποιημένα. Το σημείο, B του σχοινιού κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου ub = 6 m/s.

9 Κεφάλαιο ΙΙ: Δυναμική του Υλικού Σημείου 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων οι συνιστώσες υπάρχουν μόνο στο επίπεδο Oxy (Σχήμα 19). Να εκφράσετε κάθε συνιστώσα της δύναμης στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Δίνονται: F 1 = 200 Nt, F 2 = 260 Nt. Σχήμα 19: Σχήμα άσκησης 1, κεφ ΙΙ. Σχήμα 20: Σχήμα άσκησης 2, κεφ ΙΙ. 2. Στο υλικό σημείο A, που βρίσκεται στο χώρο, ασκούνται οι δυνάμεις: F1 = (60 y 0 + 80 z 0 )Nt και F 2 = (50 x 0 100 y 0 +100 z 0 )Nt (Σχήμα 20). Να βρεθούν το μέτρο της συνισταμένης δύναμης, που ασκείται στο υλικό σημείο καθώς και οι γωνίες που σχηματίζει η συνισταμένη δύναμη με τους άξονες x, y, z. 3. Αεροσκάφος κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου u κατα μήκος της καμπύλης y = bx 2 + c, η οποία βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο Oxy. Ο πιλότος έχει βάρος W με φορά αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα y και με μέτρο του βάρους W, η αντίδραση από το κάθισμα είναι R = F η η 0 + F ɛ ɛ 0. Να υπολογιστούν η εφαπτομενική και η κεντρομόλος συνιστώσες της δύναμης που ασκείται πάνω στον πιλότο, όταν y = y 1 (Σχήμα 21). Δίνονται: b = 20 10 6 kg 1, W = 180 kgr, c = 5000 m, u = 1000 m/s, g = 9.81 m/s 2, y 1 = 10000 m. 4. Ευθύγραμμος οδηγός περιστρέφεται δεξιόστροφα στο κατακόρυφο επίπεδο Oxy με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω, γύρω από το άκρο O. Στον ευθύγραμμο οδηγό ολισθαίνει μικρός δακτύλιος M. Το βάρος B του δακτυλίου έχει μέτρο mg και φορά τη θετική φορά του άξονα y. Η αντίδραση, R, στην μάζα από τον οδηγό είναι κάθετη στον οδηγό και πάνω στο επίπεδο Oxy. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο δακτύλιος ξεκινά από την ηρεμία από το σημείο O. Να βρεθεί η τροχιά του M σε πολικές συντεταγμένες. Για t = 0, η γωνία φ = 0 (Σχήμα 22). 5. Υλικό σημείο μάζας m κινείται στην επιφάνεια της σφαίρας x 2 + y 2 + z 2 = α 2, όπου α > 0 είναι η ακτίνα της σφαίρας και απωθείται από καθένα από τα συντεταγμένα επίπεδα με μοναδική δύναμη F όπου η κάθε συνιστώσα της είναι αντιστρόφως ανάλογη της τρίτης δύναμης των συντεταγμένων από αυτά με συντελεστές αναλογίας k 1, k 2, k 3 αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η αντίδραση της επιφάνειας στη μάζα έχει σταθερό μέτρο. 6. Υλικό σημείο μάζας m κινείται σε ράβδο, που περιστρέφεται στο επίπεδο Oxy. Η ράβδος περιστρέφεται δεξιόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Το βάρος B του υλικού σημείου έχει μέτρο mg και φορά αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα z ( B = mg z 0 ). Η αντίδραση, F (δ), στην μάζα από την ράβδο έχει τρείς συνιστώσες. Να βρεθεί η τροχιά του υλικού

10 Σχήμα 21: Σχήμα άσκησης 3, κεφ ΙΙ. σημείου, όταν για t = 0 η γωνία φ = 0 (Σχήμα 23). 7. Δύναμη F = (3x 4y) x 0 +(4x+2y) y 0 ενεργεί σε υλικό σημείο. Να βρείτε το έργο της δύναμης F κατά την πλήρη περιστροφή του υλικού σημείου πάνω σε έλλειψη, που βρίσκεται στο επίπεδο Oxy. Η έλλειψη έχει κέντρο την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Ο μεγάλος ημιάξονάς της είναι ίσος με 4 και ο μικρός ημιάξονάς της είναι ίσος με 3. 8. Να δειχτεί ότι: (α) Η δύναμη F = (2xz 3 + 6y) x 0 + (6x 2yz) y 0 + (3x 2 z 2 y 2 ) z 0 είναι συντηρητική. (β) Να υπολογιστεί το έργο, W = F d r, της δύναμης F, όπου c μια οποιαδήποτε τροχιά από το σημείο (1, 1, 1) έως το σημείο (2, 1, 1). c 9. Υλικό σημείο μάζας m κινείται στο επίπεδο Oxy με διάνυσμα θέσης r = A cos ωt x 0 +B sin ωt y 0, όπου A, B και ω θετικές σταθερές. (α) Να δείξετε ότι το υλικό σημείο κινείται σε έλλειψη. (β) Να δείξετε ότι η συνισταμένη δύναμη, που δρα στο υλικό σημείο είναι συντηρητική και να σχεδιάσετε τη φορά της. (γ) Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη κατά την κίνηση του υλικού σημείου πάνω στην έλλειψη. 10. Δύναμη F = 5r r 0 + 10 r θ 0 + 5 z 0 δίνεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Να δειχτεί ότι: (α) η δύναμη είναι συντηρητική. (β) Να βρείτε το δυναμικό V από το οποίο προέρχεται η F. 11. Να βρεθεί η ταχύτητα υλικού σημείου μάζας m τη χρονική στιγμή t 1 όταν η συνισταμένη δύναμη που ενεργεί πάνω του είναι ίση με F = 5 u, όπου u η ταχύτητα του υλικού σημείου. Δίνεται

11 Σχήμα 22: Σχήμα άσκησης 4, κεφ ΙΙ. ότι για t = 0, u = u 0 και S = 0. 12. Υλικό σημείο P, μάζας m γλυστρά πάνω σε κατακόρυφο κεκλιμένο επίπεδο AB με γωνία κλίσης α (Σχήμα 24). Ο συντελεστής τριβής, η, μεταξύ του επιπέδου και του υλικού σημείου είναι ίσος με η = 0.1. Το υλικό σημείο ξεκινά από την ηρεμία από την κορυφή A του κεκλιμένου επιπέδου τη χρονική στιγμή t = 0. Βρείτε: (α) την επιτάχυνση, (β) την ταχύτητα και (γ) την απόσταση που έχει διανύσει το υλικό σημείο τη χρονική στιγμή t. 13. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο, που διέρχεται από τα σημεία ( 11 11 11, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, 3 5 8 ). Στο υλικό σημείο ενεργεί το βάρος σε φορά αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα z, η δύναμη Σχήμα 23: Σχήμα άσκησης 6, κεφ ΙΙ. Σχήμα 24: Σχήμα άσκησης 12, κεφ ΙΙ.

12 F 1 = 8 x 0 + 7 y 0 + 10 z 0 και η τριβή. Ο συντελεστής τριβής, η, μεταξύ του επιπέδου και του υλικού σημείου είναι ίσος με η = 0.1. Να γραφούν οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης του υλικού σημείου στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. 14. Υλικό σημείο μάζας m κινείται κατά μήκος του άξονα Ox υπό την επίδραση συντηρητικής δύναμης, που προέρχεται από δυναμικό V (x). Αν το υλικό σημείο βρίσκεται στις θέσεις x 1 και x 2 τις χρονικές στιγμές t 1 και t 2 αντίστοιχα, να δείξετε ότι αν E είναι η μηχανική ενέργεια του υλικού σημείου, t 2 t 1 = m 2 x2 x 1 dx E V (x) 15. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο Oxy υπό την επίδραση της δύναμης F = 5r r 0 + 10r θ 0 σε πολικές συντεταγμένες. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης κατά τη μετακίνηση του υλικού σημείου από τη θέση r = 1 έως τη θέση r = 2. 16. Σε υλικό σημείο, που έχει ταχύτητα u, ενεργεί η συνισταμένη δύναμη F = 3 u c 1 c 2 3, όπου c 1 και c 2 σταθερά διανύσματα και c 1 0 και c 2 = 0. Να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας κατά τη μετακίνηση του από το σημείο 1 στο σημείο 2 της τροχιάς του. 17. Υλικό σημείο μάζας m κινείται στο χώρο υπό την επίδραση της συνισταμένης δύναμης F = r 3 r 0, η οποία δίνεται σε σφαιρικές συντεταγμένες. Να βρεθεί η στροφορμή L 2 (t 2 ) τη χρονική στιγμή t 2, όταν τη χρονική στιγμή t 1 είναι ίση με L 1 (t 1 ) = c 1 x 0 + c 2 y 0 + c 3 z 0, όπου c 1, c 2, c 3 σταθερές, Σχήμα 25. Σχήμα 25: Σχήμα άσκησης 17, κεφ ΙΙ. Σχήμα 27: Σχήμα άσκησης 21, κεφ ΙΙ. 18. Υλικό σημείο βρίσκεται αρχικά στο σημείο (x, y, z) = (1, 1, 1) και υπό την επίδραση της συνισταμένης δύναμης F = 10x x 0 + 2y y 0 + 3z 2 z 0, πηγαίνει στο σημείο (x, y, z) = (2, 3, 2). Να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής του ενέργειας. 19. Υλικό σημείο μάζας m κινείται κατά μήκος της τροχιάς AB. Η τροχιά AB είναι μια συρμάτινη γραμμή και βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο Oxy. Αρχικά (t = 0) το υλικό σημείο βρίσκεται στο A και είναι ακίνητο. Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας του και η αντίδραση που ασκεί το σύρμα στο υλικό σημείο C, Σχήμα 26. Το ελατήριο έχει αρχικό μήκος L και το σημείο C βρίσκεται ακριβώς στο τέλος του κυκλικού μέρους της τροχιάς του υλικού σημείου. Το βάρος, W, του υλικού σημείου έχει μέτρο mg και φορά αντίθετη της θετικής φοράς του άξονα x ( B = mg x 0 ). Δίνονται: L = 12 cm, g = 9.81 m/s 2, h = 10 cm, k = 2 kgr/cm, m = 0.5 kgr.

13 Σχήμα 26: Σχήμα άσκησης 19, κεφ ΙΙ. 20. Υλικό σημείο μάζας m = 1 kgr κινείται υπό την επίδραση της συνισταμένης δύναμης: F = (3t 2 4t) x 0 + (12t 6) y 0 + (6t 12t 2 ) z 0. (α) Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής του υ- λικού σημείου από τη χρονική στιγμή t = 1 έως τη χρονική στιγμή t = 2. (β) Αν η ταχύτητα του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t = 1 είναι ίση με u = 4 x 0 5 y 0 + 10 z 0, ποιά είναι η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t = 2; 21. Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο Oxy σε κυκλική τροχιά υπό την επίδραση δύναμης που η φορά της είναι προς την αρχή, O, του συστήματος συντεταγμένων. Να βρεθεί η έκφραση της δύναμης σε πολικές συντεταγμένες στη μορφή, F = f(r) r 0, Σχήμα 27. 22. Υλικό σημείο κινείται σε έλλειψη που βρίσκεται στο επίπεδο Oxy. Το υλικό σημείο δέχεται την επίδραση κεντρικής δύναμης, της οποίας η φορά είναι προς το κέντρο O της έλλειψης. Να δειχθεί ότι η επιτάχυνση, a, του υλικού σημείου είναι της μορφής, a = k 2 r, r = το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου και k = σταθερά. 23. Ράβδος OA μήκους 10 cm περιστρέφεται δεξιόστροφα στο επίπεδο xy του σταθερού συστήματος Oxy με σταθερό μέτρο γωνιακής ταχύτητας ω = 4 rad/s. Δακτύλιος ολισθαίνει στη ράβδο με σταθερό μέτρο ταχύτητας 3 cm/s σχετικά με τη ράβδο. Να υπολογιστεί η απόλυτη επιτάχυνση του δακτυλίου, ως προς το αδρανειακό σύστημα αξόνων του οποίου η σταθερή αρχή είναι το σημείο O, τη στιγμή που ο δακτύλιος εγκαταλείπει τη ράβδο, Σχήμα 28. 24. Δίσκος κέντρου O περιστρέφεται δεξιόστροφα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω γύρω από τον άξονα z του σταθερού συστήματος Oxyz. Κατά μήκος μιας ακτίνας του δίσκου κινείται υλικό σημείο, του οποίου η απόσταση από το κέντρο του δίσκου δίνεται από τη σχέση α+β cos kt,

14 Σχήμα 28: Σχήμα άσκησης 23, κεφ ΙΙ. με α, β, k = σταθερές. Να υπολογιστεί η απόλυτη επιτάχυνση του υλικού σημείου συναρτήσει του χρόνου, ως προς αδρανειακό σύστημα αξόνων του οποίου η αρχή είναι το σταθερό σημείο O, Σχήμα 29. 25. Η ράβδος OABΓ του σχήματος (Σχήμα 30) περιστρέφεται δεξιόστροφα γύρω από τον z - άξονα του περιστρεφόμενου συστήματος Ox y z με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 1 και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου ω 1. Συγχρόνως, ο δίσκος του σχήματος περιστρέφεται δεξιόστροφα γύρω από τον άξονα BΓ, ο οποίος είναι παράλληλος στον άξονα Ox, με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω 2 και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου ω 2. Να υπολογιστεί η απόλυτη ταχύτητα του σημείου P που βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια του δίσκου, και το ΓΡ είναι παράλληλο στο ΑΒ, ως προς αδρανειακό σύστημα αξόνων του οποίου η αρχή είναι το σταθερό σημείο O. Δίνονται: ω 1 = 3 rad/s, ω 1 = 4 rad/s 2, ω 2 = 2 rad/s, ω 2 = 1 rad/s, a = 2 m, b = 3 m, c = 4 m, r = 0.5 m. 26. Το σώμα μηχανήματος ακτίνων X του σχήματος (Σχήμα 31) περιστρέφεται δεξιόστροφα ως προς τον άξονα (z -άξονα) του περιστρεφόμενου συστήματος Ox y z με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω z και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου ω z. Ο βραχίονας του περιστρέφεται δεξιόστροφα γύρω από τον άξονα O B, ο οποίος είναι παράλληλος στον άξονα y, με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω rel και γωνιακή επιτάχυνση μέτρου ω rel, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστεί η απόλυτη ταχύτητα του κέντρου C της κάμερας ακτίνων X, ως προς αδρανειακό σύστημα αξόνων του οποίου η αρχή είναι το σταθερό σημείο O. 27. Μεταβλητή δύναμη F δίνεται από τη σχέση: F = 2y x0 +xy y 0. Ποιό είναι το παραγόμενο έργο όταν το υλικό σημείο κινηθεί ευθύγραμμα από την αρχή των αξόνων έως το σημείο R 1 = 2 x 0 + y 0 ;

15 Σχήμα 29: Σχήμα άσκησης 24, κεφ ΙΙ. 28. Να υπολογιστεί το έργο, W της δύναμης F = xyz(2z +3x) x 0 +z(x 2 z 3y 2 +x 3 ) y 0 +y(2x 2 z y 2 + x 3 ) z 0 από το σημείο A(1, 0, 2) έως το σημείο B(2, 1, 3). 29. Υλικό σημείο μάζας m = 1 kg, κινείται στο Oxy επίπεδο υπό την επίδραση της δύναμης F = 2ẋ x 0 4ẏ y 0. Το σημείο ξεκινά τη χρονική στιγμή t = 0 από την ηρεμία και το διάνυσμα της ταχύτητας είναι: r 0 = 2 x 0 + 5 y 0. (i) Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης του υλικού σημείου. (ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του υλικού σημείου κάθε χρονική στιγμή. 30. Υλικό σημείο μάζας, m, κινείται κατά μήκος του x άξονα υπό την επίδραση συντηρητικής δύναμης, δυναμικού V (x) = k 2 x2 (k, θετική σταθερά). Εάν για t = 0 το σημείο ξεκινά από την ηρεμία από τη θέση x = α, να μελετήσετε την κίνησή του. Να σχεδιαστεί η τροχιά του, x = x(t), με τιμές του α = 1 και k/m = 0.1, 1 και 10 από t = 0 μέχρι t = 4π (*), τι παρατηρείτε; 31. Υλικό σημείο μάζας m = 4 kg, κινείται κατά μήκος του x άξονα υπό την επίδραση της δύναμης F (x) = 2x 3x 2. (i) Να βρεθούν τα σημεία ισορροπίας της τροχιάς του υλικού σημείου και να μελετηθούν (ασταθή ή ευσταθή σημεία ισορροπίας). (ii) Να βρεθεί αν υπάρχει και κάτω από ποιές Σχήμα 30: Σχήμα άσκησης 25, κεφ ΙΙ. Σχήμα 31: Σχήμα άσκησης 26, κεφ ΙΙ.

16 Σχήμα 32: Μέσα σε ποτάμι ταχύτητας ροής u 2 = u 2 x 0, u 2 = σταθερά, παράλληλης προς τις όχθες, κινείται βάρκα (υλικό σημείο) M, με σχετική ταχύτητα σταθερού μέτρου u 1. Σχήμα 33: Σκιέρ (υλικό σημείο) ολισθαίνει πάνω στη ράμπα του σχήματος. προϋποθέσεις το δυναμικό V (x) της F (x), (x [0, + ) και V (0) = 1). (iii) Να παρασταθεί γραφικά το δυναμικό της F (x) συναρτήσει του x στο διάστημα [0, + ) (*). 32. Σε υλικό σημείο μάζας, m = 1 kg, ασκείται δύναμη F (x) = kx + αx 3 με k > 0 και α > 0. Να γραφεί η διαφορική εξίσωση κίνησης για το υλικό σημείο, να βρεθούν τα σημεία ισορροπίας της κίνησης του και να μελετηθούν (ασταθή ή ευσταθή σημεία ισορροπίας). Να βρεθεί το δυναμικό της F (x) και να παρασταθεί γραφικά για k = α = 1 και V (0) = 1 (*). 33. Υλικό σημείο κινείται στην επιφάνεια: z = 2 sin(x + y), με την επίδραση του βάρους, B = mg z 0. Σε ποιές θέσεις ισορροπεί το υλικό σημείο; 34. Μέσα σε ποτάμι η ταχύτητα ροής u 2 = u 2 x 0, (u 2 = σταθερά), είναι παράλληλη προς τις όχθες και βάρκα (υλικό σημείο) M, κινείται με σχετική ταχύτητα σταθερού μέτρου u 1. Η ταχύτητα u 1 διευθύνεται πάντοτε προς το σημείο O της όχθης. Η βάρκα ξεκινάει από το σημείο M 0, όπου OM 0 = r 0 και r 0 Ox (Σχήμα 32). Να βρεθεί η εξίσωση της απόλυτης τροχιάς της βάρκας σε πολικές συντεταγμένες. 35. Σκιέρ (υλικό σημείο) ολισθαίνει πάνω στη ράμπα του σχήματος (Σχήμα 33) που δίνεται από την έκφραση y = 0.005x 2 200. Να προσδιοριστεί η κάθετη δύναμη, που ασκείται στο υλικό σημείο μάζας, m = 70 kg, την στιγμή που φτάνει στο σημείο A, το τέλος της ράμπας, όπου το μέτρο της ταχύτητάς του είναι 22 m/s. Ποιά είναι η επιτάχυνση του υλικού σημείου στο σημείο A; Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από τη σχέση: ρ(x) = (1 + y 2 (x)) 3 /y (x). 36. Υλικό σημείο μάζας, m = 60 kg, ολισθαίνει στην κυκλική ράμπα του σχήματος (Σχήμα 34)

17 Σχήμα 34: Υλικό σημείο μάζας, m = 60 kg, ολισθαίνει στην κυκλική ράμπα του σχήματος ξεκινώντας από την θέση A, όπου θ = 0 0. ξεκινώντας από την θέση A, όπου θ = 0 0. Να προσδιοριθεί το μέγεθος της κάθετης δύναμης (αντίδρασης) που ασκεί η κυκλική ράμπα στο υλικό σημείο όταν θ = 60 0. 37. Το ελατήριο του σχήματος κρατείται συσπειρωμένο κατά r 1 = 0.7 m με σχοινί (αρχικό μήκος ελατηρίου l 0 = 1 m). Στην κορυφή του το ελατήριο έρχεται σε επαφή με την σημειακή μάζα, m = 2 kg (Σχήμα 35, η μάζα του ελατηρίου θεωρείται αμελητέα). Αν κοπεί το σχοινί σε ποιό ύψος h, από το έδαφος θα φτάσει η μάζα, m, και ποιό είναι το έργο, W, που παράγεται ή καταναλώνεται; (k = 200 Nt/m, g 10 m/s 2 ). Σχήμα 35: Σχήμα άσκησης 37, κεφ ΙΙ. Το ελατήριο του σχήματος κρατείται συσπειρωμένο με σχοινί. Στην κορυφή του το ελατήριο έρχεται σε επαφή με σημειακή μάζα (η μάζα του ελατηρίου θεωρείται α- μελητέα. Σχήμα 36: Σχήμα άσκησης 38, κεφ ΙΙ. Δακτυλίδι μάζας, m, ολισθαίνει σε κατακόρυφη ράβδο. Το ελατήριο είναι ασυμπίεστο όταν το δακτυλίδι βρίσκεται στη θέση A. 38. Δακτυλίδι μάζας, m = 2 kg, ολισθαίνει σε κατακόρυφη ράβδο. Αν το ελατήριο είναι α- συμπίεστο όταν το δακτυλίδι βρίσκεται στη θέση A, (Σχήμα 36) να προσδιοριστεί το μέτρο της ταχύτητας, u C, και η φορά με την οποία κινείται το δακτυλίδι όταν y = 1 m, στις περιπτώσεις: (i) αν αρχικά στο σημείο A ηρεμεί και (ii) αν αρχικά στο σημείο A έχει ταχύτητα μέτρου u A = 2 m/s και φοράς προς τα κάτω (k = 3 Nt/m).

18 Κεφάλαιο ΙΙΙ: Δυναμική Συστήματος Υλικών Σημείων 1. Για το σύστημα των τριών υλικών σημείων, A, B, C, του σχήματος (Σχήμα 37) να υπολογιστούν (α) το διανύσμα θέσης r του κέντρου μάζας του συστήματος και (β) η ορμή m u, του συστήματος, (m A = 2 kgr, m B = 2 kgr, m C = 14 kgr, u A = 14 x 0 + 21 y 0 (m/s), u B = 14 x 0 + 21 y 0 (m/s), u C = 3 y 0 2 z 0 (m/s)). Σχήμα 37: Σχήμα άσκησης 1, κεφ ΙΙΙ. Σχήμα 38: Σχήμα άσκησης 2, κεφ ΙΙΙ. 2. Να υπολογιστεί η μάζα που περιέχεται στον όγκο του ορθού κυκλικού κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους h, αν η πυκνότητά του ρ, μεταβάλλεται ανάλογα με την απόσταση από τη βάση του (Σχήμα 38). Να χρησιμοποιήσετε κυλινδρικές συντεταγμένες. 3. Να υπολογιστεί η μάζα του τριγώνου του σχήματος (Σχήμα 39) αν η επιφανειακή πυκνότητά του ρ s είναι σταθερή και ίση με 1 kgr/m 2. Σχήμα 39: Σχήμα άσκησης 3, κεφ ΙΙΙ. Σχήμα 40: Σχήμα άσκησης 4, κεφ ΙΙΙ. 4. Μάζα περιέχεται στον όγκο που περικλείεται από τον παραβολικό κύλινδρο z = 4 x 2 και τα επίπεδα x = 0, y = 0, y = 6 και z = 0. Η πυκνότητα ρ είναι σταθερή. Να βρεθεί η συντεταγμένη του κέντρου μάζας ως προς τον άξονα x (Σχήμα 40). 5. Μάζα βρίσκεται στην επιφάνεια που περικλείεται από τις παραβολές y = 2x x 2 και y = 3x 2 6x. Η επιφανειακή πυκνότητα ρ s είναι σταθερή. Να βρεθεί το κέντρο μάζας (Σχήμα 41).

19 6. Μάζα βρίσκεται στην καμπύλη y = 2x. Να βρεθεί το διανύσμα θέσης r, του κέντρου μάζας όταν η γραμμική πυκνότητα ρ l είναι σταθερή. 7. Βρείτε το κέντρο μάζας της καμπύλης, η οποία είναι το τόξο του κύκλου, r = 2 sin θ + 4 cos θ από θ = 0 έως θ = π/2, όταν η γραμμική πυκνότητα είναι σταθερή (Σχήμα 42). 8. Για το σύστημα των τριών υλικών σημείων, A, B, C, του σχήματος (Σχήμα 43) να υπολογιστούν (α) το διανύσμα θέσης r, του κέντρου μάζας του συστήματος και (β) η ορμή m u, του συστήματος, (m A = 3 kgr, m B = 2 kgr, m C = 4 kgr, u A = 4 x 0 + 2 y 0 + 2 z 0 (m/s), u B = 4 x 0 + 3 y 0 (m/s), u C = 2 x 0 + 4 y 0 + 2 z 0 (m/s)). 9. Το σύστημα των δύο μαζών m 1 = 1 kgr και m 2 = 3 kgr έχουν διανύσματα θέσης r 1 = 5t x 0 + 3t y 0 + 7t z 0 και r 2 = 2t x 0 + 5t y 0 + 3t z 0 αντίστοιχα. Να βρεθούν η ταχύτητα και η ορμή του κέντρου μάζας του συστήματος. 10. Οι μάζες, m 1 = 2 kgr και m 2 = 8 kgr του σχήματος (Σχήμα 44) αποτελούν ένα σύστημα υλικών σημείων και πάνω τους ασκούνται οι εξωτερικές δυνάμεις F 1 = 2t x 0 t y 0 5t z 0 και F 2 = t x 0 + 2t y 0 8t z 0. (α) Να βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος. (β) Να βρεθεί η επιτάχυνση της μάζας m 2, όταν η εσωτερική δύναμη που ασκεί η m 1 στην m 2 είναι F es = 2t 2 y 0. 11. Διαστημικό όχημα μάζας 500 kgr ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα u 0 = 450 x 0 (m/s) και περνά από την αρχή των αξόνων O, όταν t = 0. Εκρηξη του οχήματος το διαχωρίζει σε τρία κομμάτια, A, B, C με μάζες 300, 150, 50 kgr αντίστοιχα. Οι θέσεις των μαζών A, B κατά τη χρονική στιγμή t = 4, είναι A(1200 m, 350 m, 600 m) και B(2500 m, 450 m, 900 m). Να υπολογιστεί η θέση του C την ίδια χρονική στιγμή. Οι εξωτερικές δυνάμεις πάνω στο σύστημα να θεωρηθούν αμελητέες. 12. Σύστημα υλικών σημείων αποτελείται από τις μάζες m 1 = 2 kgr, m 2 = 1 kgr, m 3 = 1.5 kgr και m 4 = 0.5 kgr. Τα διανύσματα θέσης των μαζών είναι r 1 = x 0 + y 0 + z 0, r 2 = 4 y 0 + 3 z 0, r 3 = 2 x 0 + 2 z 0 και r 4 = 4 z 0 αντίστοιχα. Οι ταχύτητες των μαζών είναι αντίστοιχα u 1 = 7 x 0, u 2 = 6 y 0, u 3 = 3 x 0 και u 4 = 12 x 0 + 5 z 0. Να υπολογιστούν η ορμή και η στροφορμή του συστήματος των υλικών σημείων. 13. Η επίπεδη επιφάνεια του σχήματος (Σχήμα 45) περιορίζεται από τον άξονα x και τον κύκλο x 2 + y 2 = 1, (y > 0) και έχει επιφανειακή πυκνότητα ρ s = 3 kgr/m 2. Να υπολογιστούν: (i) η Σχήμα 41: Σχήμα άσκησης 5, κεφ ΙΙΙ. Σχήμα 42: Σχήμα άσκησης 7, κεφ ΙΙΙ.

20 μάζα της επιφάνειας και (ii) οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της επιφάνειας. 14. Δύο σωματίδια με μάζες m 1 και m 2 κινούνται έτσι ώστε η σχετική τους ταχύτητα να είναι u και η ταχύτητα του κέντρου μάζας τους u 1 (Σχήμα 46). Αν M = m 1 + m 2 είναι η ολική μάζα και µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) είναι η ανηγμένη μάζα του συστήματος να δειχθεί ότι η ολική κινητική ενέργεια είναι 1 2 M u2 1 + 1 2 µ u2. 15. Υποθέτουμε ότι έχουμε n συστήματα σωματιδίων με κέντρα μάζας r 1, r 2,..., r n και ολικές μάζες M 1, M 2,..., M n αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το κέντρο μάζας όλων των συστημάτων είναι στο σημείο: M 1 r 1 + M 2 r 2 +... + M n r n M 1 + M 2 +... + M n. 16. Να υπολογιστεί το κέντρο μάζας του ομογενούς σφαιρικού τομέα που ορίζεται από τη σφαίρα x 2 + y 2 + z 2 = α 2 και από τα επίπεδα που διέρχονται από τον άξονα των z και σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα των x, φ και φ = φ, αντίστοιχα (x 0) (Σχήμα 47). (x 1)2 (y 2)2 17. Δίνεται η ομογενής επιφάνεια: + = 1 στο επίπεδο z = 0. (i) Να βρεθεί το 4 9 κέντρο μάζας της. (ii) Να σχεδιαστεί η ομογενής επιφάνεια για x 0 και y 0 (*). 18. Σύστημα δύο μαζών A και B έχει συνολική μάζα, M = 2 kg, κέντρο μάζας το σημείο G και υπόκειται στη δύναμη F = 8t x 0 (Σχήμα 48). Να υπολογιστεί η επιτάχυνση α του κέντρου μάζας του συστήματος G όταν t = 1 s. Ο συντελεστής τριβής του εδάφους και της B μάζας είναι η = 0.3, (Οι μάζες A και B κινούνται μαζί, g 10 m/s 2 ). 19. Διαστημικό όχημα μάζας, M = 200 kgr, ταξιδεύει με σταθερή ορμή p = mu 0 x 0 (kg m/s) με u 0 = 150 x 0 (m/s) (Σχήμα 49) και περνά από την αρχή των αξόνων, O, όταν t = 0. Εκρηξη του οχήματος το διαχωρίζει σε τρία κομμάτια, A, B, C με μάζες 100, 60, 40 kgr αντίστοιχα. Η ταχύτητα της μάζας A κατά τη χρονική στιγμή t = 2.5 s, είναι u A = 270 x 0 120 y 0 + 160 z 0 (m/s) και η ταχύτητα του B βρίσκεται στο επίπεδο Oxz. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του C την ίδια χρονική στιγμή. Οι θέσεις των μαζών A, B, C κατά τη χρονική στιγμή t = 2.5 s, είναι A(555 m, 180 m, 240 m), B(255 m, 0 m, 120 m) και C(105 m, 450 m, 420 m). Οι εξωτερικές δυνάμεις πάνω στο σύστημα να θεωρηθούν αμελητέες. 20. Επιφάνεια περικλείεται από την παραβολή που περνάει από την αρχή των αξόνων και την ευθεία Σχήμα 43: Σχήμα άσκησης 8, κεφ ΙΙΙ. Σχήμα 44: Σχήμα άσκησης 10, κεφ ΙΙΙ.

21 Σχήμα 45: Σχήμα άσκησης 13, κεφ ΙΙΙ. Η επίπεδη επιφάνεια περιορίζεται από τον άξονα x και τον κύκλο x 2 + y 2 = 1, (y > 0). Σχήμα 46: Σχήμα άσκησης 14, κεφ ΙΙΙ. Δύο σωματίδια με μάζες m 1 και m 2 κινούνται έτσι ώστε η σχετική τους ταχύτητα να είναι u και η ταχύτητα του κέντρου μάζας τους u 1. Σχήμα 47: Σχήμα άσκησης 16, κεφ ΙΙΙ. Να υπολογιστεί το κέντρο μάζας του ομογενούς σφαιρικού τομέα. Σχήμα 48: Σχήμα άσκησης 18, κεφ ΙΙΙ. Σύστημα δύο μαζών A και B έχει συνολική μάζα, M = 2 kg, κέντρο μάζας το σημείο G και υπόκειται στη δύναμη F = 8t x 0.

22 Σχήμα 49: Σχήμα άσκησης 19, κεφ ΙΙΙ. Διαστημικό όχημα μάζας, M, ταξιδεύει με σταθερή ορμή και περνά από την αρχή των αξόνων, O, όταν t = 0. Εκρηξη του οχήματος το διαχωρίζει σε τρία κομμάτια, A, B, C. y = h (Σχήμα 50). Η επιφανειακή πυκνότητα είναι σταθερή και ίση με ρ s = 2 kg/m 2. Να βρεθεί το κέντρο μάζας. Σχήμα 50: Σχήμα άσκησης 20, κεφ ΙΙΙ. Επιφάνεια περικλείεται από την παραβολή που περνάει από την αρχή των αξόνων και την ευθεία y = h. Σχήμα 51: Σχ. άσκησης 21, κεφ ΙΙΙ. Βρείτε το κέντρο μάζας της καμπύλης του σχήματος. 21. Βρείτε το κέντρο μάζας της καμπύλης AB του σχήματος (Σχήμα 51) από θ = α έως θ = α, (α > 0) όταν η γραμμική πυκνότητα είναι σταθερή και ίση με ρ l = 1 kg/m. (*) Οπου ζητείται να παρασταθεί γραφικά το αποτέλεσμα της άσκησης προτείνεται η χρήση του προγράμματος M athematica (εγχειρίδιο χρήσης και χρήσιμες ιστοσελίδες μπορούν να βρεθούν στην σελίδα του μαθήματος: http : //www.math.upatras.gr/ maik/km.html).