ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω Εξέταση: 17 Ιούνη 13 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ΘΕΜΑ 1[1515] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιράφεται από την Χαµιλτονιανή, ε H 4ε 1 1 3i 1 1, µε 1, ιδιοσυναρτήσεις κάποιου ερµιτιανού τελεστή και ε πραµατικός (α Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του τελεστή της ενέρειας (β Να επαληθευτεί ότι έχετε βρει τις σωστές ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα δείχνοντας ότι ισχύουν οι σχέσεις που περιράφουν το πρόβληµα ιδιοτιµών της ενέρειας, δηλαδή H ψ E ψ, όπου η ιδιοτιµή και ψ η ιδοσυνάρτηση E Θεωρούµε ένα φυσικό µέεθος που περιράφονται από τον τελεστή Α από την σχέση ( µ A a91 1 1 3i 1, όπου µ παράµετρος που µπορεί να προσδιορισθεί από βασικές νώσεις κβαντοµηχανικής και α πραµατικός Την χρονική στιµή t, µετράµε το φυσικό µέεθος που σχετίζονται µε τον τελεστή Α και βρίσκουµε µηδενική τιµή ( Να βρεθεί η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος την τυχαία χρονική στιµή t > (δ Αν την χρονική στιµή t 1ps µετρήσω τα φυσικά µεέθη Α και H ποιες είναι οι δυνατές µετρούµενες τιµές και µε ποιες πιθανότητες; (ααπαιτούµε λ 3iε λ ε λ ε ε λ ε ε λ ± ε 3iε 4ε λ det ( 4 ( 4 9 16 9 ± 5 Για το πρώτο ιδιοδιάνυσµα (λ5ε χρειάζεται να λύσω το αλεβρικό σύστηµα: 5ε 3iε x 3iε 4ε 5ε y ε 3iε x 3iε 6ε y, µε το περιορισµό της κανονικότητας x y 1 (προσοχή, x, y είναι ενικά µιαδικοί Για το δεύτερο ιδιοδιάνυσµα (λ-5ε χρειάζεται να λύσω το αλεβρικό σύστηµα: 5ε 3iε x 3iε 4ε 5ε y 9ε 3iε x 3iε ε y, µε το περιορισµό της κανονικότητας x y 1 (προσοχή, x, y είναι ενικά µιαδικοί Οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέρειας είναι ψ 3i 1 1 3i, ψ 1 1 (β Για την λ5ε και ψ έχουµε 3i 1 H ψ ( 1 1 3iε ( 1 1 1 ( ε ( ( ( 3i 1 1 1 3i 1 3i 1 1 / 1 3i 1 3iε 1 3i / 1 5ε3i 1 5ε / 1 3i 1 5ε 5ε ψ 1 Για την λ-5ε και ψ έχουµε
1 3i H ψ ( 1 1 3iε ( 1 1 1 ε ( ( 1 1 1 3i 3i 3i 1 1 1 / 1 1 3i 3iε 3i 1 / 1 5ε 1 5 3iε / 1 1 3i 5ε 5ε ψ 1 ( Έχουµε λόω της ερµιτιανότητας ότι * µ 3i 3i 9 3i det a λ a ( λ 9 a( λ a 9a λ 1aλ λ 1,,1 3ia aλ a Για το πρώτο ιδιοδιάνυσµα (λ χρειάζεται να λύσω το αλεβρικό σύστηµα: 9a 3ia x 3ia a y, που δίνει το 1 3i το οποίο είναι το ψ 1 Ενώ ανάλοα βρίσκουµε ότι ια το δεύτερο ιδιοδιάνυσµα είναι το ψ Οπότε αφού κατά την µέτρηση βρίσκουµε την µηδενική ιδιοτιµή η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ ( x,t ψ Καθώς η αρχική κατάσταση είναι µια ιδοακατάσταση της ενέρειας έχουµε µια στάσιµη κατάσταση και Ψ ( x,t Ψ ( x,t ψ (δ Καθώς έχουµε στάσιµη κατάσταση η ενέρεια θα βρίσκεται πάντα στην ιδιοκατάσταση ψ και η µετρηση θα δίνει µε 1% πιθανότητα η µέτρηση τιµή -5ε Προφανώς ια τους ίδιους λόους και ο τελεστής Α θα µετρίεται πάντα µε µηδενική τιµή ΘΕΜΑ [15] Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την κυµατοσυνάρτηση ψ 1 πx πx, sin 1 cos nm nm nm ψ x, t ( xt (α Να προσδιοριστεί η (β Να υπολοιστεί η µέση ενέρεια του συστήµατος σε mev (α Έχουµε πx πx 1 πx 1 πx πx ψ ( xt, sin (1 cos / sin sin cos 1 πx 1 πx 1 1 sin sin ψ1 ψ, όπου nm 1 1 1 πx 1 πx ψ ( xt, ψ e ψ e sin e sin e / iet 1 / iet / iet 1 / iet Άρα 1 (β Καθώς έχουµε τις δύο ενερειακές καταστάσεις απειρόβαθου πηαδιού µε c c 1/ P P 1/, δηλαδή ισοπίθανες ενερειακές καταστάσεις, έτσι 1 1 E PE PE 5 E E 1 1 1 Οπότε καθώς π 94meV m E 5 E 4E 5 94meV 35 mev, και 1 1
ΘΕΜΑ 3[51515] Θεωρούµε µονοδιάστατο κβαντικό σύστηµα στο οποίο υπάρχει σωµάτιο µάζας m Αν η δυναµική ενέρεια του συστήµατος είναι V( x c δ ( x c δ ( x, µε c >, c < (α Να εξηήσετε µε φυσικά επιχειρήµατα ια ποιες τιµές της ολικής ενέρειας του συστήµατος έχουµε δέσµιες καταστάσεις και ια ποιες καταστάσεις σκέδασης Μελέτη δέσµιων καταστάσεων (β Να βρεθεί η συνθήκη από την οποία εκτιµώνται οι δυνατές ενερειακές καταστάσεις ια την περίπτωση των δέσµιων καταστάσεων ( Χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα του (β ερωτήµατος και στην ειδική περίπτωση όπου πρέπει να ισχύει µεταξύ των παραµέτρων του δυναµικού ια να έχουµε δέσµιες καταστάσεις Μελέτη καταστάσεων σκέδασης στην ειδική περίπτωση που c c ( c (δ Να µελετηθεί η σκέδαση, δηλαδή εύρεση του R ή του T ια δέσµη που ξεκινά από το, να βρείτε ποια σχέση (α Οι δέσµιες καταστάσεις αντιστοιχούν σε αρνητικές ενέρειες, καθώς σε αυτή την περίπτωση (β E < V( ± Για θετικές ενέρειες έχουµε καταστάσεις σκέδασης c x δ - V ( x ± Ι ΙΙ ΙΙΙ Ε< c x δ Οι κυµατοσυναρτήσεις στις περιοχές Ι,ΙΙ και, ια να είναι τετραωνικά ολοκληρώσιµες είναι της µορφής x, x x me Ψ, x Ae Ψ B e Be Ψ Ce, όπου > Η συνέχεια των κυµατοσυναρτήσεων στο x- και δίνει Ψ ( Ψ Ae B e B e (1 Ψ Ψ Ce B e Be ( Ενώ από την ασυνέχεια των παραώων έχουµε
mc mc Ψ Ψ ( Ψ ( B e Be Ae Ae mc Be 1 Ae Be Be w (3 Ae mc mc Ψ Ψ Ψ ( B e B e Ce Ce mc Be 1 Ce w (4 Ce Όλες οι σχέσεις µαζί ράφονται ως εξής Be (1 Be Ae Be Be w Ae Be Be Ce (3 Be Be w (4 Ce Μπορούµε να απαλείψουµε τους συντελεστές A και C ( Be Be re 1 B w 1 w w r e (1 Be Be re 1 B 1w (4 Be Be re 1 1w w w r e (3 Be Be re 1 1 w Από την ισότητα των δύο διαφορετικών εκφράσεων ια το r, βρίσκουµε mc mc mc mc 1 1 w 1 1w 4 e e e e 1 w 1 mc mc w mc c 4 ( Στην ειδική περίπτωση, έχουµε mc mc 1 1 4 m( c c m( c c e 1 1 mc c 4 ηλαδή όπως αναµενόταν έχουµε το αποτέλεσµα ενός δέλτα δυναµικού µε ένταση c c Για να έχουµε δέσµια κατάσταση πρέπει c c < (δ 4 c x δ Ε> Ι - ΙΙ ΙΙΙ V ( x ± c δ x
Οι κυµατοσυναρτήσεις στις περιοχές Ι, ΙΙ και, ια σκέδαση από αριστερά (δηλαδή από περιοχή ΙΙΙ προς Ι είναι της µορφής ikx ikx ikx ikx ikx me Ψ Ae, Ψ B e B e, e Ψ Ce, όπου k > Η συνέχεια των κυµατοσυναρτήσεων στο x- και δίνει ik ik ik Ψ ( Ψ Ae B e B e (1 ik ik ik ik Ψ Ψ e Ce B e Be ( Ενώ από την ασυνέχεια των παραώων έχουµε mc ik ik ik mc ik Ψ Ψ ( Ψ ik( B e Be ikae Ae ik ik mc ik ik ik ik Be 1 Ae Be Be w (3 Ae ik mc ik ik ik ik mc ik ik Ψ Ψ Ψ ik( B e Be ik e Ce e Ce ik ik mc ik mc ik ik ik Be 1 e 1 Ce w (4 e wce ik ik ιαιρούµε την (3 µε την (1 και βρίσκουµε τον λόο B / B, δηλαδή ik ik ik Be Be w Ae B 1 w ik w ik ik ik e Be Be Ae B 1 w ιαιρούµε την (4 µε την ( και χρησιµοποιώντας τον νωστό λόο B / B δηλαδή 1 w i4k e 1 ik ik ik ik ik B / / 1 w Be B Be we w Ce w wce ik ik ik ik ik B / Be B / Be e Ce 1 w i4k 1 Ce e 1 1 w βρίσκουµε το C, i4k i6k ik i4k i6k ik ( 1 w e ( 1 w ( 1 w e C( 1 w e C ( 1 w we ( 1 ( 1 ( 1 i6k ik i6k ik i4k i4k ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 i6k ik i4k ( 1 w( 1w e C( 1 w( 1 w e C ( 1 w( w 1 e ( 1 w ( 1 w w w w w e C w w e C w e C w e C w w e C w w e C w e w w w e w w mc mc i6k mc mc ik mc mc i4k mc mc e C e C e ik ik ik ik ik ik ik ik mc mc i6k mc mc ik mc mc i4k mc mc e C 1 1 1 1 e C e ik ik ik ik ik ik ik ik mc mc i4k mc mc 1 e 1 ik ik ik ik C mc mc ik mc mc i6k 1 1 e e ik ik ik ik Στην ειδική περίπτωση που c c ( c mc mc i4k mc mc ia ia i4k ia ia 1 1 1 e ( e 1 ik ik ik ik mc 1 isink k k k C a k mc mc ik mc mc i6k ik i6k 1 1 e e a a a a i4k 1 e e ik ik ik ik 1 e k k k k a a 4 1 sin a ia a ia 1 sin k 1 sin k k * k k k k k k R C C C a a 4 i4k a a i4k 1 e 1 e a a a a 1 k k k k 4 1 cos4k k k k k Στην ειδική περίπτωση, έχουµε όπως αναµένεται µηδενική ανάκλαση
ΘΕΜΑ 4[515] Ένας κβαντικός αρµονικός ταλαντωτής περιράφεται από την κυµατοσυνάρτηση iεt 1 ( / iε t ψ / ψ1 Ψ ( xt, e e / 3 (α Υπολοίστε την µέση τιµή της ορµής ια t aa, (β Υπολοίστε την χρονοεξαρτώµενη µέση τιµή της θέσης χρησιµοποιώντας τους τελεστές ( Αν νωρίζουµε ότι η µέση ενέρεια είναι 7meV πόσο είναι η ε σε mev; iε t 1 (α Από την κυµατοσυνάρτηση (, ( / iε t / Ψ xt ψe ψ1e / 3, c 1/ 3, c1 / 3 Η κυµατοσυνάρτηση ια t είναι Ψ xt ( ψ ψ1 πραµατική άρα η µέση ορµή είναι µηδέν, Ακόµα ( η p c c p sinδ, µε δ sinδ και άρα p 1 1 βρίσκουµε (, / 3, 1 (β Η κυµατοσυνάρτηση είναι ( i ε t/ e e i ε t/ Ψ 1 / a a iεt/ iε1t/ a a iεt/ iε1t/ x ( e e 1 ( e e 1 µέθοδος νωρίζουµε ότι 3 (φορµαλισµος Dirac, έτσι Ψ Ψ 3 iεt/ 1 / i t/ 1 / 1 / ( e e iε t ε 1( e a e iε t 1 1 a e iε t a /3 iεt/ iε1t/ iεt/ iε1t/ iε1t/ ( e e 1( e 1 e e /3 iεt/ iε1t/ iεt/ iε1t/ iε1t/ ( e e 1 ( e 1 e e /3 i( ε1ε t/ i( ε1ε t/ i( εε1 t/ ( e e e i( ε1ε t/ i( εε1 t/ ( e e /3 cos (( ε1ε t/ /3 1 11 1 1 /3 ( Η cos t /3, στο φυσικό σύτηµα µονάδων όπου ο χρόνος δίνεται σε µονάδες αντίστροφης κυκλικής συχνότητας (Έχουµε 7 7 E PE PE 1 1 (1/ 3(1/ ( / 3(3/ E ω 7meV ω 6 mev 6 6 Οπότε ε ω / 6 mev / 3 mev Πάτρα, 17/6/13