Αναπαράσταση τελεστών µε πίνακα

Transcript

1 Μάθηµα 7 ο, 8 Νοεµβρίου 008 (9:00-:00) Άσκηση Bonus[+05 στον τελικό βαθμό] Για ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα που περιγράφεται από τρεις καταστάσεις με ενέργεια Ε, Ε και Ε3 και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις ψ, ψ, ψ, να βρεθεί η έκφραση που δίνει την μέση τιμή οποιοδήποτε φυσικού 3 μεγέθους Πως εκτιμούμε την κυματοσυνάρτηση; Να παρουσιασθούν τουλάχιστον τρία παραδείγματα στο πνεύμα των ασκήσεων που βρίσκονται στον ιστότοπο του μαθήματος [ΑσκήσειςΚΒΑΝΤΟΙ_ΓενικέςΈννειεςΚβαντομηχανικής_σετ] Η παρουσίαση να γίνει σε ένα doc αρχείο Αναπαράσταση τελεστών µε πίνακα Ένας τελεστής Α, µπορεί να αναπαρασταθεί ως πίνακας µε στοιχεία που δίνονται από + nm nαm dx Τα n,m είναι τόσα, όσες είναι και οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος, για παράδειγµα αν έχουµε δυο ιδιοκαταστάσεις µε ενέργειες Ε και Ε, και ιδιοκαταστάσεις,, ορίζεται ο πίνακας: + + dx Α Α dx + + Α dx Α dx Οι ιδιοσυναρτήσεις που χρησιµοποιούµε για να ορίσουµε τον πίνακα δεν είναι απαραίτητο να είναι οι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή της Χαµιλτονιανής (ενέργειας), αλλά µπορεί να είναι οι ιδιοσυναρτήσεις οποιουδήποτε τελεστή Τ Προφανώς, η αναπαράσταση ενός τελεστή µε βάση τις ιδιοκαταστάσεις του θα είναι ένας διαγώνιος πίνακας Πράγµατι, αν Α a, Α a, έχουµε dx dx Α Α a dx a dx Α dx Α dx adx adx + + a dx a dx a dx a 0 a dx

2 Άσκηση 3 Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα δύο επιπέδων, δηλαδή έχουµε δύο ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, Ĥ Ε και Ĥ Ε Για τον τελεστή Α, γνωρίζουµε τις εξής ιδιοτητές του Α a + () Α + a () (α) Να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Α (β) Να βρεθεί πως εξελίσσεται χρονικά η µέση τιµή του τελεστή Α, αν το σύστηµα 0 + βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση ( x) Λύση (α) Έστω Φ,Φ είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Â Για να είναι οι Φ, Φ οι ιδιοκαταστάσεις του Â πρέπει να ισχύουν: ÂΦ α Φ ÂΦ α Φ Για να δούµε αν µπορούµε να βρούµε κάποιους γραµµικούς συνδυασµούς που να µας δίνουν την παραπάνω ζητούµενη µορφή Προσθέτουµε τις δυο σχέσεις () + () και βρίσκουµε Α + Α a a ( a+ ) + ( a+ ) ( ) ( ) Α ( + ) ( a+ ) ( +), δηλαδή παρατηρούµε ότι η ( + ) είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή Α µε ιδιοτιµή ( a+ ) ) Βέβαια η ( + δεν είναι νορµαλισµένη, αν η, είναι νορµαλισµένες, γιατί ( ) ( ) dx ( ) dx + dx dx Προφανώς, η νορµαλισµένη ιδιοσυνάρτηση είναι ( + ) /, καθώς + + dx dx ( ) ( ) + + Τώρα αφαιρούµε τις δυο σχέσεις () - () και βρίσκουµε Α Α a + + a ( a ) ( a ) ( ) ( ) Α ( ) ( a ) ( ), δηλαδή παρατηρούµε ότι η ( ) είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή Α µε ιδιοτιµή (a ) ) Βέβαια η ( δεν είναι νορµαλισµένη, αν η, είναι νορµαλισµένες, γιατί ( ) ( ) dx ( ) dx + dx + + dx

3 Προφανώς, η νορµαλισµένη ιδιοσυνάρτηση είναι ( ) /, καθώς dx dx ( ) ( ) + Ποια η χρησιµότητα της αναπαράστασης τελεστών µε πίνακες; Ο τελεστής Α, σε σχέση µε τις ιδιοσυναρτήσεις, έχει την αναπαράσταση a Αν βρούµε τις ιδοσυναρτήσεις του τελεστή και κάνουµε την αναπαράσταση ως προς 0 αυτές τις ιδιοσυναρτήσεις θα έχουµε 0 a, όπου προφανώς τα a και a είναι οι ιδιοτιµές του τελεστή Α Πως µπορούµε να πάµε από την αρχική µη διαγώνια µορφή στην διαγώνια Προφανώς µε διαγωνοποίηση Άρα η µεθοδολογία για την εύρεση των ιδιοσυναρτήσεων είναι ισοδύναµη µε την διαγωνοποίηση του πίνακα ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗΣ Αρχικός µη διαγώνιος πίνακας: a Ο διαγώνιος πίνακας βρίσκεται από την συνθήκη det( -λι)0 0 0 όπου Ι είναι ο µοναδιαίος πίνακας Από αυτή την σχέση υπολογίζω το λ 0 λ Αφού, λ a 0 Η σχέση det( -λι)0 (α-λ) - 0 (α-λ-)(α-λ+)0 λ a+ ή λ a ιδιοτιµές άρα ο καινούριος διαγώνιος πίνακας είναι: και ÂΦ λ Φ (a+)φ ÂΦ λ Φ (a-)φ λ λ 0 a Τώρα θα βρω τις ιδιοσυναρτήσεις Φ και Φ Οι ιδιοσυναρτήσεις αυτές θα είναι γραµµικός συνδυασµός των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας, δηλαδή

4 Φ d +d Φ d +d Έτσι υπό µορφή στήλης τα ζητούµε ιδιοδιανύσµατα (εδώ έχουµε αναπαράσταση των d d ιδιοδιανυσµάτων µε στήλη) είναι Φ d και Φ d Άρα για το πρώτο ιδιοδιάνυσµα, Φ χρειάζεται να λύσω το αλγεβρικό σύστηµα: λ d d d λ a+ 0 (3) d 0 Ενώ για το δεύτερο ιδιοδιάνυσµα, Φ χρειάζεται να λύσω το αλγεβρικό σύστηµα: λ d λ a d 0 d (4) d 0 d + d o (3): d d d d Αν θέλουµε να είναι ΚΑΙ ορθοκανονικές οι ιδιοσυναρτήσεις, θα πρέπει να ισχύει ότι: (Φ, Φ ) (d +d,d +d ) d + d άρα d d και Φ d +d + Φ o (4): d +d 0 d +d 0 d d Αλλά αφού (Φ,Φ ) έχουµε d d άρα Φ d +d Φ Όπου, χρησιµοποιήσαµε παραπάνω τον συµβολισµό του εσωτερικού γινοµένου (παρένθεση), (, ) ( ) dx, των κυµατοσυναρτήσεων και (β) Καθώς και είναι οι ιδιοκαταστάσεις της Χαµιλτονιανής Ĥ, έχουµε i nmt <Â>(t) cce ω n m Αnm, όπου cn ( n, ( x) ) n( x) ( x) dx και nm, En Em ω nm Τα Αnm είναι τα στοιχεία µήτρας Α a, Α, Α, Α a ( ) a 0 + Αφού η αρχική κατάσταση είναι ( x) c c 0 i 3 i c για ( )

5 Έτσι βρίσκουµε i t i t i t i t () t ( + ) + ( e ω + e ω ) ( a + a) + ( e ω + e ω ) a + cos ωt Ενώ η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το σύστηµα ανά πάσα χρονική στιγµή είναι iet iet e e + ( xt, ) Άσκηση 4 Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα δύο επιπέδων, δηλαδή έχουµε δύο ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, Ĥ Ε και Ĥ Ε, τις οποίες δεν γνωρίζουµε Ενώ για τον τελεστή Α, γνωρίζουµε τις ιδιοκαταστάσεις του, δηλαδή ΑΦ aφ ΑΦ Φ Γνωρίζουµε ακόµα ότι H Φ εφ + δφ () H Φ δφ + εφ () (α) Να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας (β) Να βρεθεί πως εξελίσσεται χρονικά το σύστηµα και η µέση τιµή του τελεστή Α, αν το σύστηµα προέρχεται αρχικά από µια µέτρηση στην οποία το φυσικό µέγεθος που περιγράφει ο τελεστής Α, έχει τιµή (γ) Να βρεθεί πως εξελίσσεται χρονικά το σύστηµα και η µέση τιµή του τελεστή Α, 0 Φ +Φ αν η αρχική κατάσταση είναι ( x)