Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. i. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗ, µε εφαρµογή του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, έχουµε: ΑΗ Α - Η 7-49 - 4 45. Άρα ΑΗ 45 3 5cm. K ii. ια το τρίγωνο ΑΒ έχουµε: (ΑΒ) ΒΚ Β ΑΗ Β ΑΗ Α Α ΒK, άρα H 4 3 ΒΚ 7 5 1 5 7 cm. i. Υπολογισµός της πλευράς ΑΒ: Έχουµε: ΑΒ + Α + ή ΑΒ + ΑΒ + ΑΒ (1 + ) + ΑΒ ΑΒ ( + 1+ ( + (1+ ) ) ( ) ( -1) -1) ΑΒ ( + ) ( -1-1) ΑΒ ( + ) ( -1) ii. Υπολογισµός της πλευράς Α: Από την αρχική σχέση έχουµε: ΑΒ + Α + ή Α + - ΑΒ Άρα Α + - Α 50
3. Είναι ΖΟ ΑΒ, ΟΗ Α ΖΟ ΟΗ 4 cm, ΑΖ 4 cm Άρα ΒΖ 1 cm, άρα ΒΘ 1 cm Αν Θ x, τότε Η x Με εφαρµογή του Πυθαγορείου Θεωρήµατος στο τρίγωνο ΑΒ και µε δεδοµένο ότι ΑΒ 16, Α 4 + x, Β x + 1, έχουµε: ΑΒ + Α Β 16 + (4 + x) (x + 1) 56 + 16 + 8x + x x + 4x + 144 4x - 8x 56 + 16-144 16x 18 Ζ Β Α Η Ο Θ x x 18 x, άρα x 8 16 Άρα i. Β 8 + 1 0 cm ii. Α 4 + 8 1 cm 4. i. Αν α η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου, µε εφαρµογή του Πυθαγορείου θεωρήµατος στο τρίγωνο ΑΗ έχουµε: α 3 ΑΗ. Άρα η σχέση Β - ΑΗ 1 cm γράφεται α - α 3 1. Άρα: 3 1 α (1 - ) 1 ή α - 3 Άρα α 4 ( + 3) cm ii. υ α 3. Άρα υ 4 ( + 3) - 3 4 3 H 1 ( + 3 ) 3 cm 51
1 ( 3 + 3) cm. 5. (5β) + (5γ) 5β + 5γ 5 (β + γ ) 5α (5α) Άρα το τρίγωνο µε πλευρές 5α, 5β, 5γ είναι ορθογώνιο. 6. Έστω Α > ΑΒ. Φέρνουµε το ύψος ΑΗ και έχουµε: Α - ΑΒ (ΑΗ + Η ) - (ΑΗ + ΒΗ ) Η - ΗΒ Σηµείωση: Τρίγωνο ΑΗ ορθογώνιο, άρα Α ΑΗ + Η Τρίγωνο ΑΗΒ ορθογώνιο, άρα ΑΒ ΑΗ + ΗΒ H 7. Πρέπει να δείξουµε ότι Α ΑΒ ΑΖ. Φέρνουµε την Β. Το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο στο. Άρα από το ΑΒ τρίγωνο, έχουµε: Α ΑΒ ΑΖ (Το τετράγωνο µιας καθέτου πλευράς O Z ορθογωνίου τριγώνου ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πάνω στην υποτείνουσα). 8. Το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο, άρα ΑΒ Α + Β Το τρίγωνο Β είναι ορθογώνιο, άρα Β Β + Το τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκελές, άρα Α ΑΒ Α + Β Άρα ΑΒ + Β + Α Α + Β + Β + + Α + Β + Α + 3Β 5
ΑΚ 9. i., άρα ΑΚ // ΒΛ, άρα ΒΛ ΑΒ ΑΒΛΚ τραπέζιο ii. Φέρνουµε ΚΖ // ΑΒ, ΚΖ ΑΒ (ΑΚΖΒ ορθογώνιο παραλληλόγραµµο). Το τρίγωνο ΚΖΛ είναι ορθογώνιο στο Ζ. Από το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε: Β Ζ ΚΖ ΚΛ - ΖΛ ή ΚΖ (5α) - (3α) 5α - 9α 16α ΚΖ 4α, ΚΖ ΑΒ 4α Κ α 4α Λ 10. Το ΑΒ είναι ισόπλευρο τρίγωνο µε πλευρά α. i. υ ii. υ α 3 υ 3 (ύψος ισοπλεύρου τριγώνου) α 3 3 3α ή υ 4 υ 84 11. Έστω Α δ 1, Β δ και Β 1 cm 4 Ισχύει: δ 5 3 δ1 (1) δ 1 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟ έχουµε: δ δ1 + 1 () Ο δ Β Με λύση του συστήµατος των (1) και () έχουµε: Α 53
3 δ 5 1 δ1 + 34δ 1 5 441 4 δ 1 δ 1 5 441 4 34 5 441 4 34 1 ή 5 1 34 3 3 5 1 Άρα δ δ1 5 5 34 9 δ 1 + δ 1 441 4 ή 5 34 cm 34 34 16 34 34 δ 1 1764 5 63 34 17 cm 1. i. Φέρνουµε ΒΕ. Η ευθεία ΜΝ διέρχεται και από το µέσον της πλευράς Α. Ζ Ν Μ Άρα ΖΜ ΜΝ ΖΜ - ΖΝ, άρα ΑΒ, ΖΝ και Ε ΜΝ - ΑΒ - Ε Ε (1) ii. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕ έχουµε: Β ΒΕ + Ε Α + Ε ή Β - Α Ε () πό την (1) έχουµε: Ε ΜΝ ή Ε 4ΜΝ (3) πό () και (3) έχουµε: Β - Α 4ΜΝ 54
13. i. Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΚΖΝ, ΛΗΜ έχουµε ΖΝ ΗΜ. ii. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΖΜ, ΚΖΝ έχουµε: ΚΜ ΚΖ + ΖΜ (1) ΚΝ ΚΖ + ΖΝ () Κ Λ Ν Ζ Η Με αφαίρεση των (1) και () κατά µέλη έχουµε: ΚΜ - ΚΝ ΖΜ - ΖΝ (ΖΜ + ΖΝ) (ΖΜ - ΖΝ) ΜΝ ΖΗ ΝΜ ΚΛ Μ 3 3 14. ΑΒ Α, άρα 4 4 Αλλά () (), άρα 3 9 4 16 15. i. Το Κ είναι ύψος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΚ. Άρα Κ Β ii. Αρκεί να δείξουµε Β Ζ Ε ή Z E Τα τρίγωνα ΒΕ, Ζ είναι ορθογώνια και Ε (έχουν κάθετες πλευρές). Συνεπώς Β Ε Ζ Z. Άρα Β Ζ Ε Κ Ε Ζ 55
16. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ ισχύει Β Α 8 cm. Tο κέντρο του περιγεγραµµένου του κύκλου είναι πάνω στην Α. Προεκτείνουµε την Α και έστω Ε το σηµείο τοµής της µε τον περιγεγραµµένο κύκλο. O Φέρουµε την ΒΕ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ έχουµε Β Α Ε. Αλλά Ε ΑΕ - Α R - 8. Άρα 4 8 (R - 8). Άρα R 5 cm. E 17. Το ΑΒ είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Αφού, έχουµε 60, 30 Α M Α το ύψος και ΑΜ η διάµεσος του ΑΒ. Άρα (1) ΑΜ ΒΜ () Άρα το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισόπλευρο (αφού διάµεσος για το ΑΒΜ. Άρα Β Άρα από (1), (3) έχουµε Μ Μ (3) Μ + Μ 60 ). Άρα Α ύψος και Β + Β 3Β 3 56
18. Από το ορθογώνιο τρίγωνο Ε, έχουµε: Ε + Ε 5 4 ΑΒ + 3 4 + Ε (1) + Ε Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒ, έχουµε: Β Ε + ΒΕ () Από (1) και () έχουµε: ΑΒ 9 + ΑΒ + Ε ΑΒ + 16 4 ΑΒ + ΒΕ + Ε + 16 8 ΑΒ Β + ΑΒ + 1 ΑΒ Ε + 16 8 ΑΒ + Ε Β + 3 ΑΒ Β + 3 Α 19. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΙΝ έχουµε: ΚΝ 30 + 40 ή ΚΝ 900 + 1600 ή ΚΝ 50 cm ΚΛ 13 50 cm ή ΚΛ 650 cm Κ Μ Ι Ν Λ 57
Α x Β 0. Με Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο ΑΒ έχουµε: x 4 ή x 88 ή x 88 ή x 17 ίντσες x 4 ίντσες 1. Αν α, β, γ οι πλευρές του τριγώνου ΑΒ έχουµε: 4 γ 5 β 6 α κ. Τότε: γ 4κ, β 5κ, α 6κ (1) γ Ισχύει: 36κ < 5κ + 16κ ή 36κ < 41κ, άρα το τρίγωνο ΑΒ είναι οξυγώνιο. β Επίσης, µε εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου α θεωρήµατος στο τρίγωνο ΑΒ, έχουµε: α β + γ - β Α ή 36κ 5κ + 16κ - 5 κ Α ή - 5κ - 10κ Α Άρα Α κ 15κ ή Α 30 α + β + γ ή Α 30 (λόγω της (1)). 58
. Έστω Β 6, Α 1 + 3, ΑΒ Όπως προκύπτει από τις σχέσεις των µηκών των πλευρών, το τρίγωνο ΑΒ είναι οξυγώνιο. Με εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος έχουµε: 1+ 3 ( 6) (1 + 3) + - (1 + 3) Α 6 1 + 3 + 3 + 4 - (1 + 3 ) Α 6-8 - 3 - (1 + 3) Α 6 - (1 + 3 ) - (1 + 3) Α, άρα Α 1 Α 1 Αλλά συνα. Άρα Α 60. ΑΒ 3. i. Έχουµε: 7 > 5 + 3, 49 > 34, άρα το τρί- 1 γωνο ΑΒ είναι αµβλυγώνιο µε αµβλεία τη γωνία. 3 5 7 ii. Με εφαρµογή του γενικευµένου Πυθαγορείου θεωρήµατος έχουµε: 7 5 + 3 + 5 Α 49 5 + 9 + 10Α 15 10Α ή Α 1,5 cm συν 1 1,5 3 1 0,5, άρα 1 60, άρα 10 59