Είναι i x 4 ( x ) ψ( x; ) e e () π Έστω () Τότε η () γράφεται ψ ( ; ) i x 4 ( x ) x e e (3) π είναι µια συνοχική κατάσταση µάλιστα µια Από την (3) βλέπουµε ότι η ( ) τυχαία συνοχική κατάσταση ενός αρµονικού ταλαντωτή µε κλίµακα µήκους. â, θα είναι, Αν συµβολίσουµε τον τελεστή καταστροφής του ταλαντωτή µε ( ) σύµφωνα µε όσα είπαµε στην παρουσίαση της παρούσας ανάρτησης, ˆ ( ) ψ( x; ) i ψ( x; ) (4) p όπου p είναι η κλίµακα ορµής του ταλαντωτή. Μπορείτε, αν θέλετε, να αποδείετε τη σχέση (4) κάνοντας τις πράεις. εακολουθούν να Οι µέσες τιµές της θέσης της ορµής στην κατάσταση ( ) είναι, αντίστοιχα, ˆx ˆp, δηλαδή. Αυτό µπορούµε να το διαπιστώσουµε υπολογίζοντάς τις απευθείας, στην αναπαράσταση θέσης (το αφήνουµε στον αναγνώστη). Ένα ποιοτικό επιχείρηµα για να πειστούµε ότι οι µέσες τιµές δεν αλλάζουν είναι ότι αποτελούν ένα είδος αρχικών συνθηκών, οι οποίες δεν συνδέονται µε την κλίµακα µήκους του ταλαντωτή. Η µέση ενέργεια της κατάστασης ψ ( x; ) ας τη συµβολίσουµε µε E είναι ω ˆ E m x (5) m Πρέπει, εποµένως, να υπολογίσουµε τις µέσες τιµές του τετραγώνου της θέσης. Εφόσον έρουµε την κατάσταση (δίνεται από της ορµής στην κατάσταση ( ) τη σχέση (3)), µπορούµε να κάνουµε τους υπολογισµούς στην αναπαράσταση θέσης, δηλαδή * ˆ ψ ; ; ( ) ψ( ) x dx x x x * d * ( ) ( ) ( ) ( ) dx i dx dx Προτρέπουµε τον αναγνώστη να υπολογίσει τα ολοκληρώµατα. Εµείς εδώ θα υπολογίσουµε τις µέσες τιµές εκµεταλλευόµενοι το γεγονός ότι η κατάσταση ( x; ) Εφόσον η ψ ( x; ) ψ είναι συνοχική κατάσταση (coherent stte) του ταλαντωτή. είναι συνοχική κατάσταση, η αβεβαιότητα θέσης ορµής θα είναι
ελάχιστη οι επιµέρους αβεβαιότητες (θέσης ορµής) θα είναι ισοµοιρασµένες, δηλαδή θα είναι ( x ) (6) p ( p ) (7) Θυµίζουµε ότι σε όλες τις συνοχικές καταστάσεις ενός αρµονικού ταλαντωτή, οι αβεβαιότητες της θέσης της ορµής είναι ίσες, αντίστοιχα, µε τις αβεβαιότητες της θέσης της ορµής της βασικής του κατάστασης, που όπως έρουµε είναι συνοχική κατάσταση µε ιδιοτιµή µηδέν. Από τις σχέσεις (6) (7) µπορούµε, αφού έρουµε τις µέσες τιµές της θέσης της ορµής, να υπολογίσουµε τις µέσες τιµές του τετραγώνου της θέσης της ορµής. Πράγµατι, από την (6) παίρνουµε x ˆ Όµως Οπότε Αν υψώσουµε στο τετράγωνο αντικαταστήσουµε το από τη (), θα πάρουµε (8) Με την ίδια λογική, η (7) γράφεται p (9) Η κλίµακα ορµής p η κλίµακα µήκους του ταλαντωτή συνδέονται µε τη σχέση p () Πράγµατι, είναι p m ω m ω Οπότε, από τη () παίρνουµε p αν αντικαταστήσουµε το από τη (), θα πάρουµε p Οπότε η (9) γράφεται p ˆ p ˆ ˆ ˆ p p
() Αν αντικαταστήσουµε τις (8) () στην (5), θα πάρουµε για τη µέση ενέργεια της κατάστασης ( ) ( ) E mω x m x m 4 m 4 m mω E mω 4 m 4 m mω ˆ ω ˆ Αν στην προηγούµενη ισότητα αντικαταστήσουµε την κλίµακα µήκους, θα mω πάρουµε mω E mω ω ω mω mω 4 m 4 m 4 4 m m ω ω mω 4 m ω E mω 4 m () Η () µάς δίνει τη µέση ενέργεια της συµπιεσµένης κατάστασης ( x; ) ψ του αρχικού ταλαντωτή, µε κλίµακα µήκους. Παρατηρήστε ότι η µέση ενέργεια απειρίζεται στα άκρα του διαστήµατος τιµών της παραµέτρου, δηλαδή για για. Οι αβεβαιότητες θέσης ορµής του ταλαντωτή στη συµπιεσµένη κατάσταση είναι, αντίστοιχα, ( ) ( x) p ( p) ( x) (3) ( p) (4)
Για, από τη (3) παίρνουµε ( x) ( p). Η συµπιεσµένη κατάσταση ψ( x; ) µάλιστα ψ( x; ) δ( x ). από τη (4) παίρνουµε είναι µια ιδιοκατάσταση της θέσης Επειδή στις ιδιοκαταστάσεις της θέσης απειρίζεται η αβεβαιότητα της ορµής, απειρίζεται η µέση τιµή του τετραγώνου της ορµής, εποµένως η µέση κινητική ενέργεια απειρίζεται κι αυτή «παρασύροντας» στο άπειρο τη µέση ενέργεια. Οι ιδιοκαταστάσεις της θέσης είναι, σε κάθε συνεχές δυναµικό, καταστάσεις άπειρης ενέργειας. από τη (4) παίρνουµε Για, από τη (3) παίρνουµε ( x) ( p). Η συµπιεσµένη κατάσταση ( x; ) ψ είναι µια ιδιοκατάσταση της ορµής. Επειδή στις ιδιοκαταστάσεις της ορµής απειρίζεται η αβεβαιότητα της θέσης, απειρίζεται η µέση τιµή του τετραγώνου της θέσης, εποµένως η µέση δυναµική ενέργεια του ταλαντωτή απειρίζεται συµπαρασύροντας στο άπειρο τη µέση ενέργειά του. Λόγω της µορφής του δυναµικού του αρµονικού ταλαντωτή (που είναι τετραγωνικό ως προς τη θέση), οι ιδιοκαταστάσεις της ορµής είναι καταστάσεις άπειρης ενέργειας του αρµονικού ταλαντωτή. Θέλουµε τώρα να υπολογίσουµε την τιµή της παραµέτρου συµπίεσης που ελαχιστοποιεί τη µέση ενέργεια (). Είναι d E ω d 4 Η παράγωγος µηδενίζεται όταν > Η δεύτερη παράγωγος είναι d E ω > 3 d 4 Εποµένως, η ενέργεια E είναι η ελάχιστη µέση ενέργεια. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι η µέση ενέργεια της συµπιεσµένης κατάστασης ψ( x; ) ελαχιστοποιείται όταν, δηλαδή όταν η κατάσταση ψ( x; ) γίνει η αντίστοιχη συνοχική κατάσταση ψ( ;) ψ( ) Για, η () µάς δίνει 4 x x e e π i x ( x ). ω E m m E m ω ω m E mω E CoherentStte (5) m
Η (5) µάς δίνει τη µέση ενέργειας µιας τυχαίας συνοχικής κατάστασης του αρµονικού ταλαντωτή συναρτήσει της µέσης τιµής της θέσης, ˆx, της µέσης τιµής της ορµής, ˆp, της εν λόγω κατάστασης. Αν x ˆ p ˆ, η (5) µάς δίνει E E. Αυτή είναι η περίπτωση που η συνοχική µας κατάσταση είναι η βασική κατάσταση του ταλαντωτή. Στην ανάρτηση «Οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή καταστροφής ως καταστάσεις ελάχιστης αβεβαιότητας Συνοχικές καταστάσεις (Coherent Sttes) του αρµονικού ταλαντωτή» είδαµε ότι οι συνοχικές καταστάσεις είναι γκαουσιανές καµπάνες σταθερού πλάτους που ταλαντώνονται σύµφωνα µε τους κλασικούς τύπους της αρµονικής ταλάντωσης. Μπορούµε, εποµένως, να αντιστοιχίσουµε στη µέση τιµή της θέσης της ορµής τη θέση την ορµή του κλασικού ταλαντωτή. Τότε η (5) µάς δίνει, αν παραλείψουµε την ελάχιστη ενέργεια E της βασικής κατάστασης, η οποία οφείλεται στη µη µηδενική αβεβαιότητα θέσης ορµής, την ενέργεια του κλασικού αρµονικού ταλαντωτή. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstn@hotmil.com