c 2 b b Λύση Το δυναµικό οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης ε είναι V( x)

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 8 Φορτισµένος αρµονικός ταλανττής βρίσκται µέσα σ οµογνές ηλκτρικό πδίο έντασης. Τη χρονική στιγµή t= ο ταλανττής βρίσκται στη βασική κατάσταση. Να υπολογιστί η πιθανότητα ο ταλανττής να παραµίνι στη βασική κατάσταση αν i) Μηδνίσουµ απότοµα το ηλκτρικό πδίο ii) Αντιστρέουµ απότοµα το ηλκτρικό πδίο (από να γίνι ) iii) Συγκρίντ τις πιθανότητς i και ii. Τι παρατηρίτ ίνται η κυµατοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του αφόρτιστου αρµονικού ταλανττή ( x) m = m x c x cx π και το ολοκλήρµα dx =, > Λύση Το δυναµικό οµογνούς ηλκτρικού πδίου έντασης ίναι V( x) = x. Πράγµατι, dv F = =. Η χαµιλτονιανή Ĥ φορτισµένου αρµονικού ταλανττή µέσα σ dx οµογνές ηλκτρικό πδίο ίναι ˆ pˆ H = + m xˆ xˆ () m Η ξίσση ιδιοτιµών της νέργιας του συστήµατος, στην αναπαράσταση θέσης, ίναι m ( x) + ( E V( x) ) ( x) = () V( x) = m x x () Θα γράουµ το δυναµικό () σ µορφή τέλιου ττραγώνου, δηλαδή θα κάνουµ παραγοντοποίηση. Αν λ = m x και λµ = x, θα έχουµ m x Οπότ λ=, ( λ> ) λµ x m µ µ = = = Το δυναµικό () γράφται m V x m = λ + λµ = λ + λµ + µ µ = λ + µ µ = x = m m = m x m m V( x) = m x () m m Κάνουµ αλλαγή µταβλητής

2 y= x (5) m Το δυναµικό () γράφται V( y) = m y (6) m Ως προς τη νέα µταβλητή y, το δυναµικό (6) ίναι δυναµικό αρµονικού ταλανττή µίον µια σταθρά. Από την (5) έχουµ dy= dx Εποµένς d d d d = = dx dy dx dy x = y (7) Αν αντικαταστήσουµ την (6) και την (7) στην ξίσση ιδιοτιµών (), θα πάρουµ m m ( y) + E m y ( y) = ( y) + E m y + ( y) = m m m ( y) + E m y ( y) = (8) E = E+ (9) m Η (8) ίναι η ξίσση ιδιοτιµών αρµονικού ταλανττή µ δυναµικό m y και νέργια E. Η παρουσία του οµογνούς ηλκτρικού πδίου ισοδυναµί µ µια µτατόπιση της θέσης x και της νέργιας E. Από την (8) προκύπτουν οι νέργις και οι ιδιοσυναρτήσις του ταλανττή µέσα στο ηλ. πδίο. Είναι q E = + E+ = + m E = + m () Και ( y) = x ( x ) () m ( x ) ίναι η ιδιοσυνάρτηση νέργιας E αρµονικού ταλανττή µέσα σ ηλ. πδίο έντασης και ( y) (χρίς ηλ. πδίο). y ίναι ορθοκανονικές, δηλαδή Οι dy m ( y) ( y) = δm () η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση αρµονικού ταλανττή Τη χρονική στιγµή t=, ο ταλανττής µας βρίσκται στη βασική του κατάσταση. Η κυµατοσυνάρτησή του ίναι, από την (),

3 m ( x ) = ( y) = m y y = x = x x+ m m m m m m q m q m q q y = x + x = x + x m m m Άρα ( x ) m = m x + x m i) Αναπτύσσουµ την ( x ) () στη βάση τν νέν ιδιοσυναρτήσν της νέργιας του ταλανττή, δηλαδή τν ιδιοσυναρτήσν όταν σβήσουµ το ηλ. πδίο x = c x () = c ίναι το πλάτος πιθανότητας ο ταλανττής µας να βρθί στην ιδιοκατάσταση αµέσς µόλις σβήσουµ το ηλ. πδίο. Η αντίστοιχη πιθανότητα P ίναι P = c (5) Θέλουµ να υπολογίσουµ την πιθανότητα P = c (6) Από το ανάπτυγµα (), παίρνουµ dx ( x) ( x, ) = dx ( x) c ( x) = c dx ( x) ( x) = c = = ( x) = ( x) m m m x m x + x m c = dx ( x) ( x, ) = dx = m q q q m q x x m + x x m + m m = dx = dx π Όµς dx c x cx π = Έτσι, για το ολοκλήρµα Εποµένς dx m x + x, ίναι m m m x + x π π π dx = = m = m m Οπότ δ m = και c= c=. m

4 π m m m m m m c = m = = m = c Η (6) µάς δίνι τη ζητούµνη πιθανότητα m P = c = (7) Θα υπολογίσουµ τώρα τη χρονική ξέλιξη της πιθανότητας P. Η χρονική ξέλιξη τν ιδιοσυναρτήσν ( x) ( x, t) = ( x) Εποµένς, η χρονική ξέλιξη της ( x t ) ( x, t ) = c ( x, t) = c ( x) = = ίναι, ίναι, από τη (), Αναγνρίζουµ την ποσότητα πιθανότητας c, δηλαδή iet c t = c (8) Η χρονική ξέλιξη της P ίναι iet ie t iet P t = c t = c = c = P P t = P c ς τη χρονική ξέλιξη του πλάτους Εποµένς, οι πιθανότητς δν ξαρτώνται από τον χρόνο, ίναι σταθρές. Έτσι m P t = P = (9) ii) Αναπτύσσουµ την ( x ) στη βάση τν νέν ιδιοσυναρτήσν της νέργιας του ταλανττή, δηλαδή τν ιδιοσυναρτήσν όταν αντιστρέουµ το ηλ. πδίο () = ( x ) = c ( x ) Μ το σκπτικό που χρησιµοποιήσαµ στο ρώτηµα i, προκύπτι ότι το πλάτος πιθανότητας ο ταλανττής µας να βρθί στη βασική κατάσταση αµέσς µόλις αντιστρέουµ το ηλ. πδίο ίναι = ( ) ( ) c dx x x () Όµς, από τη (), ( x ) m = m x + x m

5 Εποµένς m q( ) q ( ) m m x + x m x x m m x = = = x Έτσι, η () γράφται m q q m q q x x x x m + m m m c = dx = m m m m x x x + x x x m m m m m m m = dx = dx = dx = m m m m m π π = = π m = m m c = () Η ζητούµνη πιθανότητα ίναι q m P = c = () Σηµίση Οι ιδιοσυναρτήσις ( x ) φορτισµένου αρµονικού ταλανττή µέσα σ οµογνές ηλ. πδίο ίναι ορθοκανονικές. Πράγµατι, ίναι y= x x= y+ m m dx m ( x ) ( x ) = d y+ m y+ y+ = m m m m m m ( ) ( ) m Ιδιοσυναρτήσις του αρµονικού ταλανττή, χρίς ηλ. πδίο = dy y y = δ dx x x = δ Μπορούµ ύκολα να δίξουµ ότι οι ( x ) ( x) συνδέονται µ τις ιδιοσυναρτήσις του αρµονικού ταλανττή µ έναν τλστή µτατόπισης, που ίναι µοναδιακός τλστής. Οι µοναδιακοί τλστές διατηρούν τα µέτρα και τις γνίς τν διανυσµάτν στα οποία δρουν, δηλαδή διατηρούν τα στρικά γινόµνα. Πράγµατι, αν T ˆ ένας µοναδιακός τλστής και = T ˆ, ϕ = T ˆ ϕ, τότ ϕ = Tˆ Tˆ ϕ = ϕ. Έτσι, λοιπόν, το σύνολο τν ιδιοσυναρτήσν x ίναι ορθοκανονικό, και πλήρς, όπς µπορούµ να δίξουµ. Θα πανέλθουµ στο θέµα αυτό σ πόµνη ανάρτηση. Θα υπολογίσουµ τώρα τη χρονική ξέλιξη της πιθανότητας P. x ίναι Η χρονική ξέλιξη τν ιδιοσυναρτήσν ( ) ( x, t ) = ( x )

6 ( ) q E = + = + m m x στη βάση τν ιδιοσυναρτήσν Εποµένς, η χρονική ξέλιξη της ( ) ( ) ίναι, από την (), x ( x, t ) = c ( x, t ) = c ( x ) = = Αναγνρίζουµ την ποσότητα πιθανότητας c, δηλαδή iet c t = c () Εποµένς iet ie t iet P t = c t = c = c = P P t = P c ς τη χρονική ξέλιξη του πλάτους Εποµένς, οι πιθανότητς δν ξαρτώνται από τον χρόνο, ίναι σταθρές. Έτσι q m P t = P = () iii) Ο λόγος της πιθανότητας i προς την πιθανότητα ii ίναι m q m q m m m = = > Βλέπουµ ότι η πιθανότητα ο ταλανττής να παραµίνι στη βασική κατάσταση όταν σβήσουµ το ηλ. πδίο ίναι µγαλύτρη από την πιθανότητα να παραµίνι στη βασική κατάσταση όταν αντιστρέουµ το ηλ. πδίο. Μάλιστα, βλέπουµ ότι ο λόγος τν δύο πιθανοτήτν αυξάνι κθτικά µ το ττράγνο της δύναµης του ηλ. πδίου,, και µιώνται κθτικά µ την αύξηση της γνιακής συχνότητας του ταλανττή. Σπύρος Κνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosta@hotmail.com