DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x x 6x x 1 + 1 0 x 8x 11 0 8 ± 6 + 1 8 ± 196 8 ± 1 x 6 6 6 11 Soluzioak: x1 eta x 1. Ebazpena:. (x + 1) x(x 1) + x x x x x x x + x + + x + x + x + x x + 5 0 + x 5 0 ± + x + 1 x 16 + 0 (x 1 ) + x + 1 8x + x + 1 8x + 0 ± 6 Soluzioak: x 1 1 eta x 5 x 11 x 1 ± 6 + 6 x 1 x a. Ebazpen aljebraikoa: x + 5y x + 5y x + y x + y x + 5( x) x 10 10x y x 1x 1 x 1 y x ( 1) + 0 Soluzioa: x 1 ; y 0 6 5
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak a. Ebazpen grafikoa:. Ebatzi grafikoen bitartez honako ekuazio-sistema hauek: a) 5x y 9 x + 6y Ebazpen analitikoa: 5x y 9 5( 1+ y) y 9 5 + 15y y 9 1y x y 1 x 1+ y 1 1 y x 1+ y 1+ 1+ 1 1 1 Soluzioa: x ; y Ebazpen grafikoa: 1 Soluzioa: x ; y 1 P, puntuan gurutzatzen dira bi zuzenak.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak b) x y 5 x + y 8 Ebazpen analitikoa: x x y 5 x y 10 x + y 8 x + y 8 1.a +.a batuz : 0 18 Sistemak ez du soluziorik. Ebazpen grafikoa: Bi zuzen paraleloak dira. Sistemak ez du soluziorik. 5. Ebazpena: x + y x + y 6 6 5 10 1 6 1 5 5 x + y x y x y ( x 1) 17 x 17 + y 5 + y 5 x + y 10 17 x 6y 1 x + y x 1 + 6y ( 1 + 6y) + y 6 + 18y + y 0y 0 y x 1 + 6y 1 + 6 ( ) 1 1 0 Soluzioa: x 0 ; y 6. Ebazpena: ( x + y) x + y 10 x + 6y x + y 10 8x + y 6x y 0 5x + y 1 ( x + y) 5x + y 1 x + 6y 6x + 1y 5x y 1 x + 1y 0 ( 1 11y) + 1y 0 y + 1y 0 y x + 11y 1 x 1 11y x 1 11y 1 11 () 1 1 Soluzioa: x 1 ; y 7. a. Ebazpen aljebraikoa: x + y 10 10 + x y 10 + x 1 x x + y 1 1 x y 0 + 9x 8x 17x x 17 1 x 1 1 y 1 Soluzioa: x ; y -1
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak b. Ebazpen grafikoa: A (, -1) puntuan ebakitzen dira zuzenak. 8. Ebazpena: x y 1 + y x y + 1y 1 x + 10y 1 ( y + x y + x x 1 ) x 1 8y x 9x 1 6 + 6 5 x + 10y 1 15x + 50y 65 5x 8y 1 15x y 9 ekuazioak batuz : 6y 6 y 1 9. x+ 10y 1 x+ 10 1 x x 1 Soluzioa: x 1 ; y 1 a. Ebazpen aljebraikoa: x + y + 10 0 x + y 10 x + 6 1.a + a batuz :x 16 x y x y 6 1 + 6.an ordezkatuz : y y Soluzioa: x- eta y- Beraz, P(-,-) puntuan ebakitzen diren bi zuzen dira.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 5 b. Ebazpen grafikoa: x x 10 y 0 y 5 7 y x + 6 x 0 y 9 P(-,-) puntuan ebakitzen dira bi zuzenak. 10. a. Ebazpen aljebraikoa: x + y 15 x + y 15 x 1.a + a batuz :y 1 y y x + y 1.a ordezkatuz : x + 15 x 1 x 6 Soluzioa: x6 eta y Beraz, P(6,) puntuan ebakitzen diren bi zuzen dira.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 6 b. Ebazpen grafikoa: x y 0 15 y x + 15 9 6 y x x 0 6 y 1 1 P(6,) puntuan ebakitzen dira bi zuzenak. 11. Ebazpena: Altuera: x cm Oinarria: x+ cm Azalera oinarria altuera (x + ) x 1 cm x + x 1 0 x ± 9 + 11 ± 11 ± 11 x x 7 Beraz, laukizuzenaren aldeak 7 cm eta cm dira. 1. Ebazpena: Kantitatea (kg) Prezio / kg Prezio osoa 1. mota 1,8 1,8. mota x 9,6 9,6 x nahastea +x 1 1 (+x) 7, 1( + x) 55, + 9,6x 8 + 1x 55, + 9,6x, x 7, x, x Beraz, kg kafe erabili dira bigarren motakoak. 1. Ebazpena: Oinarria: x Altuera: y x + y x + y 11 y + 5 + y 11 y 6 y x y + 5 x y + 5 x y + 5 + 5 8 Beraz, oinarria 8 cm-koa da eta altuera cm-koa.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 7 1. Ebazpena: motak Kopurua (litro) Prezio / litro Prezio osoa 1. mota x 0,9 0,9 x. mota y 0,86 0,86 y nahastea 0 0,89 0 0,89 x + y 0 y 0 x 0,9x + 0,86y 5,6 0,9x + 0,86( 0 x) 5,6 0,9x +, 0,86x 5,6 0,08x 1, 1, x 15 0,08 y 0 -x 0-15 5 Beraz, 1. motako 15 litro eta. motako 5 litro erabili ditugu. 15. Ebazpena: Angelu txikia: x Angelu ertaina: x Angelu handia: x+5 Triangelu baten angeluen batura 180º direnez: x + x + (x + 5) 180 5x 175 175 x 5 5 Beraz, 5, 70 eta 75 dira angeluen neurriak. 16. Ebazpena: A-tik ateratako autoak egingo duen bidea x 110t B-tik ateratako autoak egingo duen 50 x 70t bidea 50 110t 70t 50 180t 50 t,5 ordu 180 x 110t 110,5 75 km Beraz, goizeko 11:0etan aurkituko dira, A-tik 75 km-tara.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 8 FUNTZIOAK. EBAZPENAK 1.. a. Malda: m zuzena gorakorra da, unitateko hazkundea baita. Ordenatua jatorrian: n - (0,-) puntutik pasatzen baita. Ekuazioa: y x - b. Malda: m zuzena beherakorra da, unitateko hazkundea Ordenatua jatorrian: n Ekuazioa: y x + a. m- n y-x+ b. m n 0 y x (0,) puntutik pasatzen baita. baita.. a. x + 1 y 1 y x + m n 1 b. -x + 5y -5 y x 1 5 m 5 n-1. Kalkulatu honako zuzen hauen maldak eta ordenatuak jatorrian eta azaldu kontzeptu horien esanahi geometrikoa: x + 6 a. y y x + Malda: m- zuzena beherakorra eta unitateko txikitzea da. Ordenatua jatorrian: n (0,) puntutik pasatzen da x b. -x + y - y y x Malda: m zuzena gorakorra eta unitateko handitzea da. Ordenatua jatorrian: n (0, ) puntutik pasatzen da
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 9 Adierazpen grafikoa: 5. a. Malda da, eta ordenatua jatorrian 5 y m x + n y x + 5 y -x + 15 x + y 15 b. P(,) puntutik pasatzen da, eta malda y y 0 + m (x - x 0 ) y + (x - ) y + x 1 y x 10 Adierazpen grafikoa:
6. Ebazpena: Adierazpen analitikoa: x denbora (ordutan) y B hirirainoko distantzia (km-tan) Trena: y 0-110x Merkantzia-trena: y 58x Adierazpen grafikoa: x y 0 y 0 110x 0 00 x 0 y 58x y 0 116 DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 10 7. ordu eta erdi pasa ondoren gurutzatuko dira, B hiritik 15 km-tara. Egiaztatzeko ebatziko dugu honako ekuazio-sistema hau: y 0 110x biak berdinduz 0 110x 58x 0 168x x,5 ordu y 58x x,5; y 58t 58,5 15 y 15 km a. 10 hilabete direnez, ordaindu behar da matrikula eta 10 hilabeteko kostua. Kostu osoa 10 + 15 10 160 euro b. 10 matrikularako, 70 : 15,66. Hau da, hilabete eta 0 egun. c. Adierazpen analitikoa: Hilabete kopurua kostu guztira x denbora (hilabetetan) y kostua (eurotan) y 10 + 15 x
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 11 d. Adierazpen grafikoa: 8. Depositu batek 0 litro ur ditu eta minutuko 9 litro ematen dituen txorrota baten emaria hartzen du. Beste depositu batek 00 litro ditu eta minutuko litro ematen dituen txorrota baten emaria hartzen du. Zenbat denbora igaroko da depositu biek ur kopuru bera izan arte? Adierazi bi funtzioak eta idatzi soluzioa. Ebazpena: Adierazpen analitikoa: x denbora (min-tan) y deposituaren edukiera (litro-tan) Lehen depositua: y 0 + 9x Bigarren depositua: y 00 + x Adierazpen grafikoa: x y x y 0 0 0 00 y 9x + 0 y x + 00 5 85 5 0 10 0 10 0 Bi zuzenak ebakitzen direnean ur kantitate bera izango dute bi deposituek.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 Grafikoan ematen da 1 minutuetan suertatuko dela. Egiaztatzeko ebatziko dugu ekuazio-sistema: y 0 + 9x 0 + 9x 00 + x 5x 60 x 1 y 00 + x y 0 + 9x 0 + 9 1 0 + 108 8 y 8 Beraz, 1 min igaroko da depositu biek ur kopuru bera izan arte, eta une horretan 8 litro izango da depositu bien edukiera.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 PROGRESIO ARITMETIKO ETA GEOMETRIKOAK. EBAZPENAK 1. Progresio aritmetiko batean, bosgarren gaia 7 da, eta diferentzia. Kalkulatu lehenengo gaia, eta lehenengo 0 gaien arteko batura. a 5 a 1 + d 7 a 1 + a 1 7-1 a 1-5 a 0 a 1 + 19d -5 + 57 5 S a + a 5 + 5 0 1 0 0 0 70. Progresio geometriko bateko hirugarren gaia 0,8 da, eta arrazoia. Kalkulatu lehenengo hamar gaien arteko batura. a a 1 r 0,8 a 1 0, 8 a 1 0,05 16 a 10 a 1 r 9 0,05 9 1107, a10 r a1 1107, 0,05 S10 1776,5 r 1. Progresio geometriko baten arrazoia da, eta bigarren gaia. Kalkulatu segida horretako infinitu gaien arteko batura. a a 1 r a 1 a1 8 r <1 denez, infinitu gaien arteko batura kalkulatu dezakegu: 8 8 S a 8 1 1 r 1 1. Etxe-multzo batean, 1999 urtean etorri ziren gas-instalazioa egitera. Urte horretan bertan, lehenengo ikuskapena egin zuten. Hurrengo ikuskapenak urterik behin egin behar direla kontuan izanda, erantzun: a. Zer urtetan egingo dute hamargarren ikuskapena? Progresio aritmetikoa da, a 1 1999 eta d izanik. a 10 a 1 + 9 d 1999 + 9 06 Hamargarren ikuskapena 06 urtean egingo dute. b. Zenbatgarren ikuskapena egingo dute 05 urtean? a n a 1 + (n-1) d 05 1999 + (n-1) 05-1999 (n-1) 6 (n-1) n-1 1 n 1 05 urtean, 1. ikuskapena egingo dute. 5. Makina batek hasieran 10.80 balio zuen. Handik urte batzuetara, jabeak prezio erdian saldu zuen. Urte batzuk geroago, bigarren jabe horrek ere saldu egin zuen, berriro ere prezio erdian, eta horrela jarraitu dute hurrengoek. a. Zenbat kostatu zitzaion makina bosgarren jabeari? Lehenengo jabeak 1080 euro ordaindu zuen. Bigarrenak erdia ordaindu zuen: 1080: 50 euro Progresio geometrikoa da, a 1 1080 eta r 1 izanda. a 5 a 1 r 1080 0,5 655 Beraz, bosgarren jabeari 655 kostatu zitzaion.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 b. Guztira 7 jabe egon badira, zenbat ordaindu dute guztira makina erosten? a 7 a 1 r 6 1080 0,5 6 16,75 a7 r a1 16,75 0,5 1080 S7 0796,5 r 1 0,5 1 Beraz, guztira 0796,5 ordaindu dute 7 jabe horiek. 6. Kalkulatu progresio aritmetiko bateko lehenengo 5 gaien arteko batura, a 1 eta a 7 7 direla jakinda. a 7 a + d 7 1 + d 6 d d 1,5 a a 1 + d a 1 a d 1 - - a 1 - a 5 a 1 + d - + 6 a1 + a5 + S5 5 5 00 7. Progresio geometriko batean, a 1 eta a dira. Kalkulatu arrazoia eta lehenengo hamalau gaien arteko batura. a a1 r r 8 r r 8 r a 1 a 1 r 1 1 819 576 a1 r a1 576 S1 919 r 1 1 8. Kalkulatu hurrengo segida honetako gai guztien arteko batura: 15; ; 0,6; 0,1; 0,0; Progresio geometrikoa da, a 1 15 eta r 0, arrazoia izanda. 15 r 0, <1 denez, infinitu gaien arteko batura kalkulatu dezakegu: a1 15 15 S 18,75 1 r 1 0, 0,8 9. DBHko. mailako ikasle batek irailaren 1ean erabaki hau hartu du: hamabost egunez matematika ariketak errepasatuko ditu, egun bakoitzean aurreko egunean baino ariketa gehiago eginez. Badakigu lehenengo egunean ariketa bat bakarrik egin zuela: a. Zenbat ariketa egin beharko ditu irailaren 15ean? Progresio aritmetikoa da, a 1 1 eta d izanik. a 15 a 1 + 1d 1 + 8 9 Beraz, irailaren 15ean 9 ariketa egin beharko ditu. b. Zenbat ariketa egingo ditu guztira? ( a1 + a15) 15 ( 1+ 9) 15 S15 5 Beraz, guztira 5 ariketa egingo ditu. 10. Euli populazio bateko hasierako kopurua 50 da, eta hiru egunik behin euli kopurua bikoizten da. a. Zenbat euli izango dira 0 egun barru? Progresio geometrikoa da, a 1 50 eta r izanik. Hiru egunik behin euli kopurua bikoizten denez, a 11 kalkulatu behar da: a 11 a 1 r 10 50 10 50 10 5100 Hau da, 5100 euli izango dira 0 egun barru. b. Eta hilabete barru? 50 0 568709100 euli. Hau da, 5687 milioi baino gehiago izango dira hilabete barru.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 15 11. Progresio aritmetiko batean, badakigu a 1 eta a 5 7 direla. a. Aurkitu gai orokorra a 5 a + d 7 1 + d 6 d d a 1 a d 1 1 a n a 1 + (n 1) d 1 + (n 1) 1 + n n a n n b. Kalkulatu lehenengo 15 gaien arteko batura a 15 15 0 7 ( a1 + a15) 15 ( 1+ 7) 15 S15 195 1. Progresio geometriko baten arrazoia da, eta hirugarren gaia, 5. Kalkulatu lehenengo zortzi gaien arteko batura. a a r 5 a 9 a 5 1 1 1 a 8 a 1 r 7 5 7 5 187 10 95 a8 r a1 1095 5 800 S8 16 00 r 1 1 1. Kalkulatu hurrengo segida honetako gai guztien arteko batura: 0; ; 0,; 0,0; 0,00;... Progresio geometrikoa da, a 1 0 eta r 0,1 arrazoia izanda. 0 Beraz: a1 0 0 S, 1 r 1 0,1 0,9 1. Eraikin batean, lehenengo solairua lurretik 7,0 metrora dago, eta hortik gora, solairu batetik hurrengora,80 metro daude. Progresio aritmetikoa da, a 1 7,0 eta d,80 diferentzia izanda. a. Zenbateko altueran dago 9. solairua? a 9 a 1 + 8d 7,0 + 0,0 7,80 m. b. Aurkitu n solairua zenbateko altueran dagoen jakiteko balio digun formula bat. a n a 1 + (n 1) d 7,0 + (n 1),80 7,0 +,80n,80,80n +,60 a n,80n +,60 15. Herrialde bateko biztanleria %1 hazten da urtean, batez beste. Gaur egun milioi biztanle dituela jakinda: a. Zenbat biztanle izango ditu 10 urte barru? 000 000 1,01 10 1 866,76 Beraz, 1 866 biztanle izango ditu 10 urte barru. b. Eta 0 urte barru? 000 000 1,01 0 660 570,1 Beraz, 660 570 biztanle izango ditu 0 urte barru.
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 16 GEOMETRIA. EBAZPENAK 1.. Eskatutako azalera hiru aldiz triangeluarena da. Beraz: oinarria x altuera A 7 A 1,5 cm Azalera: Aurpegiaren altuera: 6 + 1 h h h 180 1, cm 1 + 6. Piramidearen azalera: 1 1, A alboko azalera + oinarria + 1,08 + 1 6,08 cm Bolumena: Oinarria: 1 cm-ko karratua Piramidearen altuera 1 cm 1 1 Piramidearen bolumena: B A H 1 1 576 cm B B ZILINDROA + B ESFERAERDIA Oinarriaren azalera: A πr π6 11,1cm B ZILINDROA A h 11,1 7 791.68 cm πr π6 90,78 B ESFERAERDIA 5,9 cm B B ZILINDROA + B ESFERAERDIA 791.68 +5,9 1,07 cm
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 17. m-ko altuera duen prisma bat da, oinarria trapezio bat izanik. Trapezioaren altuera: 0 + d d 00 h 96 19,89975 cm 0 cm Oinarriaren azalera: 0 A 0 + 0 + 0 60 cm Edo, formularen bidez: + A 0 60 m Igerilekuaren bolumena: B A h 60 0 m 5. Kalkulatu ilunduta dagoen zatiaren azalera: Eskatutako azalera eta triangeluarena berdinak dira. Beraz: oinarria x altuera A 5,5 1,5 A 6,5 cm
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 18 6. Kalkulatu oinarri karratuak dituen beheko piramide-enbor honen bolumena eta azalera: Azalera: Aurpegiaren altuera: + h 5 h 5 h 1,58 cm Trapezioaren azalera:,58 A +,58 9,16 + 18, 7,8 cm Edo, formularen bidez: + 8 A,58 7,8 cm Piramide-enborraren azalera: A alboko azalera + oinarrien azalerak A 7,8 + + 8 109,9 + 16 + 6 189, cm Bolumena: Piramide-enborraren altuera, x: + x,58 x 1 x 17,1 cm Piramidearen altuera, H: Triangeluen antzekotasuna erabiliz: H H 8, cm,1 Piramide-enborraren bolumena: 1 1 1 1 B A H A x 8 8,, 1 15,6 cm 7. Kalkulatu irudi honen bolumena: Bolumena: B B PRISMA + B PIRAMIDEA
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 19 Oinarriaren azalera: Apotema: + x x 16 x,6 A 6 1,57 cm B PRISMA A h 1,57 5 05,85 cm 1 B PIRAMIDEA 1 A h 1 1,57 6 8,1 cm,6 cm B B PRISMA + B PIRAMIDEA 05,85 + 8,1 88,99 89 cm 8. Zilindro itxura duen sukaldeko ontzi batek 1 cm-ko altuera du eta oinarriaren diametroa 1 cm-koa da. Ontzi horren hiru zazpirenak zopaz beterik daude. Horrelako batean, barrura, 16 cm-ko koilara erori zaigu. Arrazoitu zopak goraino estali duen ala ez. Irudikatu eta arrazoitu. zoparen altuera: 1 9 cm 7 1 + h 16 x 56 1 x 11 10,58 cm 10,58 > 9 denez, zopak ez du estaliko.