2 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης 1 απέδειξε ότι δεν μπορούμε να χαράξουμε διαδρομή στην πόλη, δια της οποίας θα διασχίζουμε ακριβ

Σχετικά έγγραφα
ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΗΣΗ ΑΡΤΕΜΗΣ ΣΩΡΡΑΣ ΤΩΝ 27 ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΑΝΙΑΣ ΑΙΘΕΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ ΤΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕΡΟΣ 7 Ο

B X Y : T X Y = U i V i : U i T X, V i T Y. (x, y) (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ) = (U 1 U 2 ) (V 1 V 2 ) B X Y. ((0, 2) (1, 3)) ((1, 3) (1, 2)) B X B Y

f 1 (A) = {f 1 (A i ), A i A}

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΩΝ 27 ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΑΙΘΕΡΙΚΗΣ ΕΛΛΑΝΙΑΣ ΓΡΑΦΗΣ ΤΩΝ ΑΩΩΑ ΑΡΤΕΜΗΣ ΣΩΡΡΑΣ ΜΕΡΟΣ 5 Ο

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Η πρώτη μου γραμματική

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:

S n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,

x \ B T X. A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0}

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. Πολλαπλότητες. & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

Λογισμός 3. Ενότητα 1: Τοπολογία των Ευκλείδειων χώρων. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

f x 0 για κάθε x και f 1

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Οι 7 Γέφυρες του Königsberg

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

Ανάπτυξη Μαθηματικών Θεμάτων στα πλαίσια της ΑεξΕκπ. Mathematical Master Theses on Pure Mathematics, in the frame of Open Distance education

{(x, y) R 2 : f (x, y) = 0}

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 21 Κυματική ΦΥΣ102 1

Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.

Επιστημονικός Υπεύθυνος: Πολυχρόνης Στράντζαλος

Séminaire Grothendieck

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

Κάποιες εφαρμογές των Μαθηματικών. Μαθηματικά και Ρομποτική

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1

ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

= x. = x1. math60.nb

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων «ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΩΝ»

7 ΕΠΙΠΕΔΑ. 7 ΚΥΚΛΟΙ ΤΟΥ ΕΒΔΟΜΟΥ 7 ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΔΙΟΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ωα. αλφα. α ΑΛΦΑ ΣΥΜΠΑΝΤΙΚΟ

Η ΜΕΣΟΤΗΤΑ ΤωΝ 3 ΤΡΙωΝ ΕΛΛαΝΙωΝ ΓΡΑΦωΝ

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ΤΟ ΕΝ ΡΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

H Θεωρία των Dessins d'enfants του Grothendieck

Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

ΜΕΤΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΓΗ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ RIEMANN

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

Ημερολόγιο μαθήματος

f I X i I f i X, για κάθεi I.

X u X v 2 = X u 2 X v 2 (1 cos 2 θ) = X u 2 X v 2 X u, X v 2 = EG F 2, da =

Óå Ýíá ó ïëåßï óôçí ÁèÞíá

ΑΩΩΑ ΑΡΤΕΜΗΣ ΣΩΡΡΑΣ 27 ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΧΑΡΤΗΣ ΤΗΣ ΚΟΣΜΙΚΗΣ ΕΛΛΑΝΙΑΣ ΝΟΜΟΤΕΛΕΙΑΚΗΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΛΛΑΝΙΩΝ

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΓΟΠΟΙΗΣΕΙΣ

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

Διδακτική των Μαθηματικών

ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΠΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ SUDOKU

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ. 6ο ΓΕΛ ΛΑΜΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

(elementary graph algorithms)

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ A N A K O I N Ω Σ Η

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

Transcript:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 2017-18 ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 1Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Προλογος Η τοπολογία είναι η περιοχή εκείνη των μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των χώρων που παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από συνεχείς παραμορφώσεις. Ως τέτοιες, μπορούν να θε ρηθούν τα τεντώματα, τα τσαλακώματα, οι συρρικνώσεις, οι κάμψεις (αλλά όχι τα σκισίματα, ή τα κολλήματα). Η μελέτη των συνεχών παραμορφώσεων γίνεται με τη βοήθεια συλλογών υποσυνόλων που καλούνται ανοικτά σύνολα αυτά ικανοποιούν ορισμένες ιδιότητες που τρέπουν τους υπό μελέτη χώρους σε αυτό που ονομάζεται τοπολογικοί χώροι. Οι σπουδαιότερες από τις ιδιότητες αυτές είναι η συνεκτικότητα και η συμπάγεια. Η τοπολογία αναπτύχθηκε ως περιοχή των μαθηματικών από τη γεωμετρία και τη θεωρία συνόλων, μέσω της ανάλυσης εννοιών όπως ο χώρος, η διάσταση και ο μετασχηματισμός. Μπορούμε με σχετική ασφάλεια να ισχυριστούμε ότι οι ιδέες αυτές ανάγονται στον Leibniz αυτός τον 17ο αι. οραματίστηκε την geometriae situs (γεωμετρία θέσης) και την analysis situs (ανάλυση θέσης). Τα πρώτα θεωρήματα της περιοχής θεωρούνται η λύση του Προβλήματος των Επτά Γεφυρών της Καινιξβέργης και ο Τύπος Πολυέδρου του Euler. Ο ίδιος ο όρος τοπολογία πρωτοχρησιμοποιήθηκε τον 19ο αι. από τον Listing, αν και η πλήρης χρήση του άρχισε αρκετές δεκαετίες αργότερα. Από τα μέσα του 20ου αι. η τοπολογία θεωρείται κύριος κλάδος των μαθηματικών. Η τοπολογία έχει διάφορες υποπεριοχές. Γενική τοπολογία: ορίζει όλες τις βασικές έννοιες και ασχολείται με τις ιδιότητες των τοπολογικών χώρων. Ολοι οι άλλοι κλάδοι της τοπολογίας χρησιμοποιούν αποτελέσματα από τη γενική τοπολογία. Αλγεβρική τοπολογία: μετρά βαθμούς συνεκτικότητας, χρησιμοποιώντας αλγεβρικές κατασκευές, όπως ομολογιακές και ομοτοπικές ομάδες. Διαφορική τοπολογία: ασχολείται με διαφορίσιμες συναρτήσεις σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες είναι στενά συνδεδεμένη με τη διαφορική γεωμετρία. Μαζί με την τελευταία συνιστούν τη θεωρία των διαφορισίμων πολλαπλοτήτων. Γεωμετρική τοπολογία: πρωταρχικά μελετά πολλαπλότητες και τη θέση τους εντός άλλων πολλαπλοτήτων. Μία ειδική, αλλά πολύ ενεργή υποπεριοχή είναι η λεγόμενη τοπολογία χαμηλών διαστάσεων (3 ή 4). Στην περιοχή αυτή κατατάσσεται η θεωρία κόμβων. 1.1. Ιστορία της τοπολογίας εν συντομία. αναφέραμε ήδη πως αν και ως καλά ορισμένη μαθηματική περιοχή η τοπολογία αναπτύχθηκε στον 20ό αι., κάποια απομονωμένα αποτελέσματα της εντοπίζονται αρκετούς αιώνες πριν. Το 1736, ο Leonhard Euler έγραψε ένα άρθρο για τις 1

2 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης 1 απέδειξε ότι δεν μπορούμε να χαράξουμε διαδρομή στην πόλη, δια της οποίας θα διασχίζουμε ακριβώς μόνο μία φορά κάθε μία από τις επτά γέφυρες του παρακάτω σχήματος. Οι Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης Η πρώτη εφαρμογή της τοπολογίας θεωρείται ότι έγινε στην απόδειξη του προβλήματος αυτού. Σε μία δε επιστολή του ιδίου, με χρονολογία το 1750, αναφέρεται ο τύπος του Πολυέδρου: V E + F = 2, όπου V είναι ο αριθμός των κορυφών, E είναι ο αριθμός των ακμών και F είναι ο αριθμός των εδρών ένος τρισδιάστατου πολυέδρου. Απόσπασμα από το άρθρο του Euler με τον Τύπο του Πολυέδρου 1 Καινιξβέργη (Königsberg): πρωτεύουσα της Ανατολικής Πρωσσίας, γενέτειρα των Κάντ και Χίλμπερτ. Από το 1945 προσαρτήθηκε στη Σοβιετική Ενωση και σήμερα ανήκει στη Ρωσία, έχοντας μετονομαστεί σε Καλίνινγκραντ.

ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 1Η ΔΙΑΛΕΞΗ 3 Μετά τον Euler, τοπολογικά αποτελέσματα συνεισέφεραν οι Cauchy, Schläffli, Listing, Riemann, Betti. Τα αποτελέσματα αυτά διαμορφώθηκαν, σχηματοποιήθηκαν και επεκτάθηκαν ευρέως από τον Poincaré. Ο τελευταίος, δημοσίευσε το 1895 το άρθρο στο οποίο εισήχθησαν οι έννοιες της ομοτοπίας και της ομολογίας. Η έννοια του μετρικού χώρου εισήχθη από τον Fréchet, ο οποίος ενοποίησε τις εργασίες πάνω στους χώρους συναρτήσεων των Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli, και άλλων. Το 1914 ο Hausdorff θεμελίωσε τον όρο τοπολογικός χώρος και έδωσε τον ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χώρος Hausdorff. Τονίζουμε ότι η σύγχρονη τοπολογία εξαρτάται από τις ιδέες της θεωρίας συνόλων που αναπτύχθηκε από το Cantor η θεμελίωση βασικών εννοιών της θεωρίας συνόλων προέκυψε ως παράγωγο της μελέτης του πάνω στις σειρές Fourier. 2. Εισαγωγη Η τοπολογία ορίζεται αυστηρά ως η μελέτη των ποιοτικών ιδιοτήτων ορισμένων αντικειμένων (των τοπολογικών χώρων), που παραμένουν αναλλοίωτες από ορισμένου είδους μετασχηματισμούς (τις συνεχείς απεικονίασεις και ειδικότερα τους ομοιομορφισμούς). Ο όρος τοπολογία χρησιμοποιείται επίσης για να αναφέρεται σε μία δομή που δίνεται σε ένα σύνολο X, μία δομή η οποία ουσιαστικά χαρακτηρίζει το X ως τοπολογικό χώρο ιδιότητες όπως σύγκλιση, συνεκτικότητα και συνέχεια, εξαρτώνται από αυτήν τη δομή. Οι τοπολογικοί χώροι εμφανίζονται φυσιολογικά σχεδόν σε κάθε κλάδο των μαθηματικών υπό αυτήν την έννοια, η τοπολογία αποτελεί τη μεγαλύτερη ενοποιητική ιδέα της μαθηματικής επιστήμης. Το βαθύτερο κίνητρο πίσω από την τοπολογία βρίσκεται στο ότι κάποια γεωμετρικά προβλήματα δεν ασχολούνται με το ακριβές σχήμα των υπό μελέτη αντικειμένων, αλλά με τον τρόπο με τον οποίο τα αντικείμενα αυτά τίθενται μαζί. Για παράδειγμα, ο κύκλος και το τετράγωνο μοιράζονται δύο κοινές ιδιότητες: είναι διδιάστατα αντικείμενα και χωρίζουν το επίπεδο στο οποίο κείνται σε τρία μέρη. Στο Πρόβλημα των Επτά Γεφυρών της Καινιξβέργης, η λύση του προβλήματος δεν εξαρτάται ούτε από την Καινιξβέργη, ούτε από το μήκος των γεφυρών αλλά ούτε και από την απόστασή τους. Αυτό από το οποίο τελικά εξαρτάται η λύση είναι η συνεκτικότητα μεταξύ των γεφυρών: ποιές γέφυρες δηλαδή συνδέουν ποιά νησιά και με ποιές όχθες. Από την άλλη, έχουμε στην αλγεβρική τοπολογία το θεώρημα της μαλλιαρής μπάλλας: δεν μπορούμε να χτενίσουμε μία μαλλιαρή σφαίρα-δείτε το σχήμα: Το Θεώρημα της μαλλιαρής μπάλλας Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει συνεχές και μη μηδενικό διανυσματικό πεδίο στη σφαίρα! Τώρα, αν στη θέση της σφαίας ήταν ένα οποιοδήποτε αντικείμενο που μπορεί με κατάλληλες

4 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ συνεχείς παραμορφώσεις να πάρει το σχήμα της μπάλλας, τότε το θεώρημα ισχύει και για το αντικείμενο αυτό φανταστείτε ας πούμε έναν κύβο. Ομως, μπορούμε να χτενίσουμε εναν μαλλιαρό τρύπιο λουκουμά (τόρο): Το Θεώρημα της μαλλιαρής σφαίρας δεν ισχύει στον τόρο Αυτό τελικά συμβαίνει διότι ο τόρος δεν μπορεί να πάρει το σχήμα της μπάλλας, παρά μόνο αν με κάποιο κόλλημα εξαφανίσουμε την τρύπα του. Αυτό όμως αλλάζει την τοπολογία του. Η κύρια έννοια στην τοπολογία που καθορίζει τις επιτρεπτές συνεχείς παραμορφώσεις είναι αυτή του ομοιομορφισμού. Το συμπέρασμα του Προβλήματος των Επτά Γεφυρών ισχύει και για κάθε διάταξη γεφυρών ομοιομορφική με αυτήν των γεφυρών της Καινιξβέργης, και το συμπέρασμα του θεωρήματος της μαλλιαρής σφαίρας ισχύεις και σε κάθε αντικείμενο ομοιομορφικό με την σφαίρα. Διαισθητικά, δύο αντικείμενα είναι ομοιομορφικά αν το ένα προκύπτει από το άλλο χωρίς να κοπεί ή να κολληθεί: λόγου χάρη, μία κούπα του καφέ (με χερούλι) και ένας τρύπιος λουκουμάς είναι το ίδιο αντικείμενο για την τοπολογία! Ο ομοιομορφισμός είναι μια τοπολογική ισοδυναμία μια άλλη τέτοια ισοδυναμία είναι η ομοτοπία δύο αντικείμενα είναι ομοτοπικά ισοδύναμα αν προκύπτουν από συρρίκνωση μεγαλύτερου αντικειμένου. Σαν παράδειγμα, ας δούμε τις ομοιομορφικές και τις ομοτοπικές κλάσεις των κεφαλαίων γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου (sans-seriff), όπως αυτα φαίνονται στο σχήμα: Οι ομοιομορφικές κλάσεις είναι (με τα γράμματα όπως τα βλέπετε στο σχήμα): { Γάμμα, Ζήτα, Ιώτα, Λάμδα, Μί, Νί, Πί, Σίγμα, Ωμέγα } { Εψιλον, Ταύ, Υψιλον } { Χί, Ψί } { Ητα, Κάππα } { Ξί } { Δέλτα, Ομικρον } { Ρό } { Άλφα } { Βήτα } { Φί } { Θήτα }. Οι ομοτοπικές κλάσεις από την άλλη είναι:

ΜΕΜ231-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 1Η ΔΙΑΛΕΞΗ 5 { Γάμμα, Εψιλον, Ζήτα, Ητα, Ιώτα, Κάππα, Λάμδα, Μί, Νί, Ξί, Πί, Σίγμα, Ταύ, Υψιλον, Χί, Ψί, Ωμέγα } { Άλφα, Δέλτα, Ομικρον, Ρό } { Βήτα, Φί } { Θήτα }. Παρατηρήστε ότι οι ομοιομορφικές κλάσεις εξαρτώνται τόσο από τον αριθμό των οπών, όσο και από τον αριθμό των ουρών. Λόγου χάρη, η κλάση { Εψιλον, Ταύ, Υψιλον } παριστάνει την ομοιομορφική κλάση των γραμμάτων με καμμία οπή και τρεις ουρές ενωμένες σε σημείο. Από την άλλη, οι ομοτοπικές κλάσεις καθορίζονται μόνο από τον αριθμό των οπών λόγου χάρη, η ομοτοπική κλάση { Άλφα, Δέλτα, Ομικρον, Ρό } είναι η κλάση των γραμμάτων με μία οπή. Παρατηρήστε σε αυτό το σημείο τη μοναθιά του Θήτα: η ουρά που επιπλέει εντός του κύκλου του, το κάνει να ξεχωρίζει, τόσο ομοιομορφικά όσο και ομοτοπικά. 2.1. Εφαρμογές της τοπολογίας. Φυσική: χρησιμοποιείται ευρέως στην κβαντική θεωρία πεδίου, στην κοσμολογία, και αλλού. Επιστήμη Υπολογιστών: Η αλγεβρικη τοπολογία βρίσκει εδώ ευρεία εφαμογή. Βιολογια: η θεωρία κόμβων χρησιμοποιείται για τη μελέτη των αλληλεπιδράσεων των διαφόρων ενζύμων που κόβουν, στρέφουν και επανασυνδέουν το DNA. Στην εξελικτική βιολογία χρησιμοποείται στην αναπαράσταση της σχέσης μεταξύ φαινότυπου και γονότυπου. Ρομποτική.