ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΣ & /ΘΜΙΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΡΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Ταχ. /νση : Μονοφατσίου 8 Ταχ. Κώδικας : 71 01 ΗΡΚΛΕΙΟ Τηλ. υπηρεσίας : 810333768 Τηλ. Κατοικίας : 8105140 Κιν. : 697646549 e-mail : dimitrmp@sch.gr Πληροφορίες : Άννα Μακρή e-mail : grss@dide.ira.sch.gr Τηλέφωνο - FAX :8103406 Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 008 ρ. Πρωτ.: 388 Προς : Τους κ. κ. ιευθυντές και Kαθηγητές Μαθηµατικών των Λυκείων του Ν. Ρεθύµνου και Ν. Ηρακλείου αρµοδιότητάς µου. Κοιν.: κ.προϊσταµένη Επιστηµονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης /θµιας Εκπ/σης Κρήτης. ΘΕΜ : «ειγµατικές ιδασκαλίες 008-009 - Σχέδια ιδασκαλίας Λυκείου» Συνάδελφοι, Τον περασµένο µήνα πραγµατοποιήθηκαν πολλές δειγµατικές διδασκαλίες στα πλαίσια της επιµόρφωσης των νεοδιόριστων καθηγητών. Οι περισσότεροι συνάδελφοι τις πραγµατοποίησαν µε προθυµία, αλλά και όσοι είχαν φόβους ή δισταγµούς στο τέλος εκφράσανε την χαρά τους και την θέλησή τους να κάνουν και άλλες. Είναι γνωστά τα οφέλη του Καθηγητή από την πραγµατοποίηση και την παρακολούθηση δειγµατικών διδασκαλιών. κόµα και το ξεπέρασµα του ενδεχόµενου «φόβου» της παρουσίας άλλων συναδέλφων έχει την αξία του για την ενδυνάµωση της διδακτικής προσωπικότητας και παρουσίας του Καθηγητή στη τάξη. Θα σας πρότεινα λοιπόν από φέτος να αρχίσουµε µια πιο στενή συνεργασία µε στόχο την πραγµατοποίηση δειγµατικών διδασκαλιών. Ευχής έργο θα ήταν να πραγµατοποιηθεί µια τουλάχιστον δειγµατική διδασκαλία σε κάθε Λύκειο την οποία να παρακολουθήσουν αν είναι δυνατόν όλοι οι καθηγητές Μαθηµατικών του Λυκείου αυτού. Κάθε καθηγητής που θα διδάξει - σε τρέχουσα διδακτική ενότητα - µπορεί να ακολουθήσει τον τρόπο διδασκαλίας που επιθυµεί, συνεργαζόµενος αν το επιθυµεί µαζί µου. Η σχετική συζήτηση που θα ακολουθεί, θα επικεντρώνεται στην διδακτική µεθόδευση της Μαθηµατικής ύλης και τον τρόπο διδασκαλίας και όχι στο διδάσκοντα. Παρακαλώ λοιπόν όσοι συνάδελφοι θέλουν να κάνουν δειγµατική διδασκαλία στο σχολείο τους, να µου το δηλώσουν µε e-mail ή τηλεφωνικά. ν σε ένα σχολείο δεν υπάρξει προθυµία από καθηγητές του σχολείου, η διδασκαλία θα γίνει από εµένα σε
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά όποιο χρόνο καταστεί αυτό εφικτό. ν όµως κάποιοι συνάδελφοι εκφράσουν την επιθυµία να παρακολουθήσουν κατά προτεραιότητα δική µου διδασκαλία στο σχολείο τους, να µου το γνωστοποιήσουν το συντοµότερο δυνατόν. Παρακάτω σας επισυνάπτω µερικά σχέδια διδασκαλίας (Σ..) Τα Σ.. µπορούν να χρησιµοποιηθούν αυτούσια µετά ίσως από κάποιες προσαρµογές, αλλά ο κύριος λόγος που σας τα στέλνω είναι για µελέτη και εξοικείωση. Η µελέτη αυτή θα εµπλουτίσει το ρεπερτόριο του Καθηγητή και θα τον κάνει περισσότερο ικανό να φτιάχνει τα δικά του Σ.. προσαρµοσµένα πλέον στο δικό του στυλ και στο επίπεδο των µαθητών του, βασιζόµενα ασφαλώς στις βασικές αρχές της µάθησης και της διδασκαλίας. ια τα Σ.. σας έχω στείλει αναλυτικό υλικό πέρυσι (-10-007). Μερικά από τα Σ.. συνοδεύονται από φύλλα εργασίας, τα οποία δεν είναι πάντα απαραίτητα, όπως τα Σ..-απλά ή σύνθετα- αλλά σε σηµαντικές διδακτικές ενότητες και ιδίως όταν έχουµε «αδύνατους» ή «ζωηρούς» µαθητές είναι πολύ χρήσιµα, αφού εθίζουν τους µαθητές στην αυτενέργεια. ια το θέµα αυτό θα µας δοθεί η ευκαιρία να πούµε περισσότερα σε κάποια συνάντησή µας.
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 3 1. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ΛΕΡ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ρέθυµνο 5/3/008 ιδακτική ενότητα.3: ραφική παράσταση συνάρτησης η συνάρτηση. f(x) = αx+β. Σχολείο : ο Λύκειο Ρεθύµνου, Τάξη 3. ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ. Σ.) Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν τι είναι η γραφική παράσταση (γ. π. ) µιας συνάρτησης («πληροφορίες»). Να αποκτήσουν την ικανότητα να σχεδιάζουν την γ.π. της συνάρτησης («Νοητικές δεξιότητες») 3. Να αποκτήσουν την ικανότητα να αναγνωρίζουν την γ.π. µιας συνάρτησης. («Νοητικές δεξιότητες») 4. Να αποκτήσουν την ικανότητα να βρίσκουν τα κοινά σηµεία της γ.π. µιας συνάρτησης µε τους άξονες.(«νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: ερωτηµατικός διάλογος. - Καθοδηγούµενη αυτενέργεια. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Συνδυασµός επαγωγικής - παραγωγικής µεθόδου. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµατιστές κιµωλίες, τετραγωνισµένο χαρτί. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος προηγουµένων γνώσεων ιατεταγµένα ζεύγη αριθµών και σηµεία του επιπέδου. Συµµετρίες. Εύρεση κρυµµένου θησαυρού Θ(χ, χ) που απέχει από το σηµείο (0, 7) απόσταση 5µ. Τι λέµε συνάρτηση από το σύνολο στο σύνολο ;. ηµιουργία κινήτρων µάθησης - Πληροφόρηση Οι πίνακες, τα διαγράµµατα µας δίνουν µε απλό και όµορφο τρόπο πολλές πληροφορίες παρά ένα µακρόσυρτο µονότονο κείµενο. Τον ίδιο λόγο εξυπηρετούν και οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, δηλαδή µεγεθών που εξαρτώνται από άλλα. ι αυτές θα µιλήσουµε εισαγωγικά σήµερα. 3. νάκληση προηγουµένων γνώσεων Πως παριστάνουµε ένα ζευγάρι αριθµών (χ, ψ) στο επίπεδο; Χαρακτηριστικό των σηµείων του χ, ψ-άξονα.
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 4 4.Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Έννοια της γ.π. η f(x) = αχ + β. Να βρείτε τις τιµές της συνάρτησης φ(χ) = χ+4, όταν χ {-1,-, 0, 1,}. Πίνακας τιµών. Φτιάξτε ένα σύστηµα συντεταγµένων στο τετρ. χαρτί σας και σηµειώστε τα σηµεία (χ, φ(χ)), χ {-1,-, 0, 1,}. Τι γίνεται όταν το χ παίρνει τιµές σε όλο το πεδίο ορισµού της συνάρτησης φ(χ) = χ + 4 ; Ορισµός γ. π. Εξίσωση γ.π. ενικά η f(x) = αχ + β. Σε ποιο σηµείο τέµνει τον ψ-άξονα; Να κάνετε τη γ.π. της y = -χ +.. Χαρακτηριστικό γ. π. συνάρτησης. Οποιαδήποτε καµπύλη µπορεί να είναι γ.π. κάποιας συνάρτησης; Eίναι δυνατόν τα σηµεία (1, ), (1, 5) να ανήκουν στην γ. π, µιας συνάρτησης; (σχετική άσκηση µε διάφορες καµπύλες) 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. A. Σηµείο σε γ. π. Πότε ένα σηµείο (κ, λ) θα ανήκει στην γ.π. της συνάρτησης y = g(x). Να εξετάσετε αν το σηµείο (, -1) είναι σηµείο της γ. π. της συνάρτησης y = 3x - 4. Σηµεία τοµής µε άξονες. Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γ. π. της συνάρτησης χ(t) = t - 3 µε τους άξονες. Συµπέρασµα. 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Nα βρείτε το α ώστε το σηµείο (α, 1) να ανήκει στη γ.π. της συνάρτησης ψ = 3χ+4 x ρείτε τα κοινά σηµεία της γ. π. της συνάρτησης φ(χ) = 1 x+ x µε τους άξονες. Να βρείτε το λ ώστε το σηµείο (-1, ) να ανήκει στην γ.π. της συνάρτησης χ(α) = 5α - λ α- 4λ. Εργασία στο σπίτι : i) σκήσεις βιβλίου 9(i), 10 (iii), (iv),11. ii) Nα κάνετε την γ. π. της συνάρτησης ψ = 3χ +3 µε τους άξονες. Προαιρετική : φού πρώτα βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 4 t 3t 4 ψ(t) = στην συνέχεια να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής της 008 1+ t παράστασης µε τους άξονες.
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 5. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ Σχολείο: Πειραµατικό Λύκειο Ηρακλείου, Τάξη, 11 1-007 ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ. Σ.) Μάθηµα: εωµετρία Λυκείου, 3 η διδ. ώρα. ιδακτική ενότητα: 9.4, Kατανόηση και εφαρµογή των θεωρηµάτων Ι, ΙΙ (γενίκευσης του Πυθ. Θεωρήµατος ) και Πορίσµατος (κριτηρίου γωνιών) - Νόµος συνηµιτόνων - σκήσεις. Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης.. Να κατανοήσουν οι µαθητές τα θεωρήµατα Ι, ΙΙ και το Πόρισµα και να αποκτήσουν την ικανότητα να τα χρησιµοποιούν στην λύση ασκήσεων και προβληµάτων. («Νοητικές δεξιότητες», «νωστική στρατηγική»). Να είναι σε θέση να αναφέρουν τον νόµο των συνηµιτόνων και να τον χρησιµοποιούν σε υπολογιστικά και θεωρητικά προβλήµατα. («Πληροφορίες», «Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρ. κιµωλίες. 1. νάκληση προηγουµένων γνώσεων. V. ιδακτικές ενέργειες Έλεγχος γνώσεων προηγουµένου µαθήµατος (θεωρήµατα Ι, ΙΙ, Πόρισµα) και προ προηγούµενου (Π. Θ.) ενίκευση του Πυθ. Θεωρήµατος ν β γ < α τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο Σ - Λ Σε αµβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει α > β + γ Σ - Λ ν α + β = γ τότε.. Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε α=5θ, β = 6θ, γ = 7θ (θ > 0).. Πληροφόρηση Σήµερα θα µάθουµε να χρησιµοποιούµε τα θεωρήµατα επέκτασης του Π. Θ. και το πόρισµα κριτήριο σε εφαρµογές, ασκήσεις και προβλήµατα. Επίσης θα δούµε τον «νόµο των συνηµιτόνων» σε τρίγωνο και εφαρµογές του. 3. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση.. Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε πλευρές (κ = 6cm, λ = 80mm, µ =1dm). Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε πλευρές α = 5, β = 10, γ = 4. i) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΚΛΜ µε πλευρές κ = 14, λ = 10, µ = 6 ii) Nα υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΛΜ στην ευθεία ΚΛ. Επίσης το ύψος από την κορυφή Μ.
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 6 4. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Ένας Μηχανικός έπρεπε να υπολογίσει το µήκος ΛΜ µιας λίµνης. ια τον σκοπό αυτό τοποθέτησε τρεις πασσάλους,, όπως στο σχήµα. Μέτρησε την γωνία = 60 ο µε το γωνιόµετρο και τις αποστάσεις = 30m, = 50m. Μπορεί άραγε τώρα να βρει τη απόσταση (και εποµένως την ΛΜ;) Λ 50 m Μ 60 ο m 30 m 5. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση. Πως θα υπολογίσουµε την ; Ποια είναι τα δεδοµένα; Προσπαθήστε να εκφράσετε το τετράγωνο της = α συναρτήσει των πλευρών β, γ και της γωνίας ( περιπτώσεις). α = β + γ γ = α = β + γ + γ = Ποιες δυνατότητες µας δίνει ο νόµος των συνηµιτόνων; 6. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Να βρείτε το µήκος της λίµνης. Σε ένα τρίγωνο είναι α = 5θ, β =7θ, γ=3θ, θ > 0, να υπολογίσετε την µεγαλύτερη γωνία του. β - γ α =, α + β - γ =., αβσυν = Εφαρµογή στην Φυσική (παραλληλόγραµµο δυνάµεων). 7. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. νακεφαλαίωση. Έστω ισοσκελές τραπέζιο µε //. Να εκφραστεί η διαγώνιος συναρτήσει των πλευρών του ( = + ). Έστω ηµικύκλιο διαµέτρου = ρ και µια τυχαία χορδή του. Στην προέκταση της θεωρούµε τυχαίο σηµείο. Να αποδειχθεί ότι + = + 4ρ. ν γ = α + β + αβ να βρείτε το είδος του τριγώνου και την γωνία. ν σε τρίγωνο ισχύει συν = α/γ να βρείτε το είδος του τριγώνου. ν α, β, γ πλευρές τριγώνου τότε β + α - γ αβ. (*) Εκτός τριγώνου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα Ε, ΖΗ και ΘΙ. Να αποδείξετε ότι το ΕΗ + Ι + ΘΖ = 3(α + β + γ ). Εργασία στο σπίτι : σκήσεις: Εµπέδωσης 4, αποδεικτικές 1, 5. Προαιρετική : α) ιβλίου Συνθ. Θέµατα. ή 3 και ίσως η (* ).
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 7 3. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΜΤΟΣ Τάξη: ιδακτική ενότητα:. Η έννοια της συνάρτησης. Πέραµα : 14/3/007 Καθηγητής: Επαναληπτικές γνώσεις: Η σχέση µεταξύ µεγεθών ή ποσοτήτων ώστε η µεταβολή του ενός να επηρεάζει το άλλο. ίνουµε το παράδειγµα: Το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, δίνεται από τον τύπο Ε =πρ ή τα χρήµατα που θα πληρώσουµε αν αγοράσουµε φρούτα µε τιµή,5 /κιλό. Κάνουµε έναν υποτυπώδη πίνακα τιµών για τη συνάρτηση αυτή: y=,5x. Ορισµός της συνάρτησης. Τα χαρακτηριστικά της. Πεδίο ορισµού, σύνολο τιµών =f(a).μια συνάρτηση θεωρείται ορισµένη καλά όταν ξέρουµε τον τύπο, το πεδίο ορισµού και επίσης µπορούµε να βρούµε το σύνολο τιµών της. νεξάρτητη εξαρτηµένη µεταβλητή. ίνουµε έµφαση στη µοναδικότητα της εικόνας για κάθε τιµή της µεταβλητής µας. Παράδειγµα συνάρτησης. Η συνάρτηση f µε τύπο f (x) = x + 1. ίνουµε ={-1, 0, 1, 3, 5}. Σχεδιάζουµε το διάγραµµα Venn και κάνουµε την αντιστοίχιση f :A B. Μηχανισµός αντιστοίχισης. ρίσκουµε για κάθε x Aτο y= f (x) και στη συνέχεια κατασκευάζουµε το σύνολο {( x, y) / x A, y= f (x)}. Άλλα παραδείγµατα διαγραµµάτων που δείχνουν ή όχι συνάρτηση. Ο τύπος της συνάρτησης f. Συµβολίζεται µε f (x) και ταυτόχρονα παριστάνει και την τιµή της συνάρτησης για κάθε τιµή που παίρνει το x (γι αυτό και γράφουµε y= f (x) ). Παραδείγµατα που µπορεί να έχει ο µηχανισµός αντιστοίχισης. Παράδειγµα πολλαπλής µορφής στην παρακάτω Άσκηση 1: Να βρεθεί η παράσταση A = f ( 1) 3f (1) + f () + f (0), αν x+ 1, αν x 3 f (x) =. x, αν x< 3 αx+ 3, αν x Άσκηση : ίνεται ότι f (x) =. Να βρείτε τον α. 3 αx, αν x Πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Άλλοτε θα µας δίνεται κι άλλοτε όχι. Όταν δεν µας δίνεται, θα παίρνουµε το να είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του Rώστε το f (x) να έχει νόηµα. Πώς το βρίσκουµε όταν δε δίνεται; Θέτουµε περιορισµούς: A ν υπάρχει κλάσµα (ένα η περισσότερα) στον τύπο της f, θα πρέπει B 0. B x (Παράδειγµα η συνάρτηση f (x) = ). x 1 ν υπάρχει ρίζα (µια ή περισσότερες) ν A στον τύπο της f, θα πρέπει A 0. (Παράδειγµα η συνάρτηση f (x) = x+ ). ν δεν υπάρχει κανείς τέτοιος περιορισµός, ως πεδίο ορισµού θα θεωρείται το R.
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 8 Επιπλέον παραδείγµατα: 1 f (x) =, x + 1 4 x g(x) =, x 1 h(x) = x x x 1 ια τη λύση τους, θα χρειαστεί ενδεχοµένως να επαναλάβουµε τις ιδιότητες των απολύτων τιµών, τη λύση εξισώσεων και ανισώσεων και τη συναλήθευση αυτών. Σηµειώσεις 1.Στόχοι της διδασκαλίας: α. Να µπορούν οι µαθητές να αναφέρουν τι λέµε συνάρτηση του συνόλου στο σύνολο, πως παρίσταται, τι λέµε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών της. β. Ν µπορούν οι µαθητές να αναγνωρίζουν πότε µια αντιστοιχία είναι συνάρτηση.. Να µπορούν να αναφέρουν τι λέµε τιµή µιας συνάρτησης για µια ορισµένη τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής, να την συµβολίζουν και να µπορούν να την βρίσκουν.. Να µπορούν να βρίσκουν το πεδίο ορισµού απλών συναρτήσεων.. Κίνητρα µάθησης. Την εξάρτηση ενός µεγέθους από άλλα την συναντάµε σε µεγάλο πλήθος µεγεθών. Καλή η σχέση µε το εµβαδόν κύκλου, αλλά να επισηµανθεί ότι από αυτήν προκύπτει ότι το Ε εξαρτάται από την ακτίνα, δηλ. όταν µεταβάλλεται η ακτίνα µεταβάλλεται και το εµβαδόν, το εµβαδόν είναι συνάρτηση της ακτίνας. Η Συνάρτηση ενός µεγέθους από άλλο ή άλλα εκφράζει πρακτικά µια (ορισµένη ) εξάρτηση του από αυτά. Άλλο παράδειγµα : εµβαδόν ορθογωνίου E=ab (εξάρτηση από δυο µεταβλητές), από τη φυσική: F=G r mm (εξάρτηση από 3 µεταβλητές). Πληροφόρηση : εµείς στο Λύκειο θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις µιας µεταβλητής και θα δούµε τον Μαθηµατικό ορισµό της συνάρτησης. 3. Στον ορισµό συνάρτησης. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν τα 4 σχήµατα (διαγράµµατα Venn) της σελίδας 65 ή άλλα για την κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Επίσης να ερωτηθούν αν είναι συναρτήσεις ορισµένες αντιστοιχίες, π.χ.: ) του συνόλου Μ των µαθητών του σχολείου στο σύνολο Σ των σπιτιών τους κλπ ) του συνόλου Θ των θρανίων της τάξης στο σύνολο Μ των µαθητών κλπ Να αναφέρουν µια δική τους αντιστοιχία που να είναι συνάρτηση 4. Στο παράδειγµα συνάρτησης: αρκεί να βρουν το σύνολο τιµών f(a) και να φτιάξουν τον πίνακα τιµών. εν υπάρχει λόγος να γίνει τώρα αναφορά στο σύνολο {(x, y), x, y = f(x)}. 5. Η άσκηση 1 αρκεί για την κατανόηση του πολλαπλού τύπου. 6.ια το πεδίο ορισµού : στο πρώτο µάθηµα µόνο σε απλές συναρτήσεις, π.χ. F(x)= -3x 5 x 4 5α+ +7, φ(χ) =, f(x)=, φ(λ)= λ 8, Σ(α) = x κλπ. 1 α 3α+ σκήσεις όπως η g(x) µπορούν να δοθούν ως εργασία στο σπίτι ή να γίνουν στο επόµενο µάθηµα.h h(x) ίσως είναι δύσκολη, ας δοθεί προαιρετικά. 7. Καλό είναι όπου είναι δυνατόν οι µαθητές να εργαστούν για λίγο µόνοι τους.
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 9 4. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ Σχολείο: Λύκειο Aγίας αρβάρας, Τάξη, 7 Νοεµβρίου 008 ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ.Σ.) Μάθηµα: εωµετρία A Λυκείου, η διδ. ώρα. ιδακτική ενότητα: 3.6. Kριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν (µε λόγια) τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων και τα δυο πορίσµατα. («πληροφορίες»). Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρµόζουν τα κριτήρια αυτά στην λύση ασκήσεων-προβληµάτων που αναφέρονται σε σύγκριση τριγώνων, τµηµάτων και γωνιών. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµ. µαρκαδόροι. χάρτινα ορθ. τρίγωνα. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος κατανόησης προηγουµένου µαθήµατος και ανάκληση προηγουµένων γνώσεων (γενικά κριτήρια τριγώνων) Με ερωτήσεις προς τους µαθητές.. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Λέγεται ότι ο Θαλής (600 π.χ.) για να βρει την απόσταση ενός πλοίου από την παραλία έκανε τα εξής Π λοίο Θ ά λ α σ σ α Ο Π α ρ α λ ί α Πως ήταν σίγουρος ο Θαλής ότι Π = ;
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 10 3. Πληροφόρηση: Σήµερα θα µάθετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα οποία µαζί µε τα γενικά κριτήρια στα τρίγωνα είναι πάρα πολύ χρήσιµα στη εωµετρία. Επίσης θα µάθετε δυο χρήσιµες προτάσεις στο ισοσκελές τρίγωνο και το κύκλο. 4. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Κριτήρια µε πλευρές i.προσέξτε τα ορθογώνια τρίγωνα Είναι ίσα; Ποια άλλα στοιχεία τους θα έχουν ίσα; Ε Σχήµα 1 Ζ ii. Συγκρίνετε τα τρίγωνα Λ Σχήµα ιατύπωση κριτηρίων µε πλευρές Κ Μ. Κριτήρια µε πλευρά και γωνία. i.συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Σχήµα 3 Ζ ii.είναι ίσα τα τρίγωνα Μ Σχήµα 4 Κ Ρ
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 11 iii. Συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Σχήµα 5 Ε ιατύπωση κριτηρίων µε πλευρά και γωνία. Ζ 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Τι άλλο (το λιγότερο) πρέπει να έχουν τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα για να είναι ίσα; Η Κ Σχήµα 6 Λ Μ 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια είναι ίσα; Η απάντηση ενός µαθητή ήταν ναι, είναι (πάντα) ίσα.συµφωνείτε; (αν επί πλέον έχουν και µια οξεία γωνία ίση; ) Επίδειξη κατασκευής από χαρτόνια 1 υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες µια προς µια είναι ίσα; Συµφωνείτε; Προσέξτε τα παρακάτω τρίγωνα. Σχήµα 7 Επίδειξη κατασκευής από χαρτόνια πάντηση στο αρχικό πρόβληµα (Θαλή). νακεφαλαίωση. 7. Μεταφορά µάθησης. Πόρισµα Ι: το ύψος ισοσκελούς τριγώνου από την κορυφή είναι. Πόρισµα ΙΙ: Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου από τα άκρα της βάσης του είναι ίσα. (Τα πορίσµατα θα τεθούν υπό προβληµατική (και όχι αποδεικτική) µορφή και καταβληθεί προσπάθεια να λυθούν, όπως και η άσκηση, από τους µαθητές.) 8. Εργασία στο σπίτι :. Ερωτήσεις κατανόησης,3,4,5 (µόνο προφορικά ). σκήσεις: εµπέδωσης, 4, αποδεικτικές την 1.
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 1 (1) η κατασκευή αυτή αναφέρεται σε δυο ορθ. τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές και δυο οξείες γωνίες ίσες, αλλά δεν είναι ίσα (ψευδοίσα): το ένα έχει υποτείνουσα 0 cm και µια κάθετη 15,7 cm και το άλλο κάθετες πλευρές 0 cm και 15,7 cm. () η κατασκευή αυτή αναφέρεται σε δυο ορθ. τρίγωνα που έχουν µια κάθετη πλευρά ίση και µια οξεία γωνία, η οποία στο ένα είναι απέναντι στη κάθετη και στο άλλο προσκείµενη. Τέτοια τρίγωνα κατασκευάζονται π.χ. αν φέρουµε το ύψος ενός µη ισοσκελούς ορθ. τριγώνου από τη κορυφή της ορθής γωνίας. (ακολουθεί φύλλο εργασίας)
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 13 ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ. Κριτήρια µε πλευρές i.προσέξτε τα ορθογώνια τρίγωνα Είναι ίσα ; Ποια άλλα στοιχεία τους θα έχουν ίσα; Ε Σχήµα 1 Ζ ii. Τι σχέση έχουν άραγε τα ορθογώνια τρίγωνα (σύντοµη απόδειξη) Λ Σχήµα Συµπληρώνω : Κ Μ ν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δυο. ίσες µια προς µια, τότε είναι. Κριτήρια µε πλευρά και γωνία. i.συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Σχήµα 3 ii.είναι ίσα τα τρίγωνα Λ Ζ Κ Ρ Σχήµα 4
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 14 iii. Συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Σχήµα 5 Ε Ζ Συµπληρώνω: ν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν µια.... ίση και µια. στη πλευρά αυτή. αντίστοιχα ίσες µια προς µια τότε είναι.. 6. Άσκηση: Τι άλλο (το λιγότερο) θέλουν τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα για να είναι ίσα; Η Κ Σχήµα 6 Λ Μ 7.. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια είναι ίσα; Η απάντηση ενός µαθητή ήταν ναι, είναι (πάντα) ίσα.συµφωνείτε; (Τι συµβαίνει αν έχουν ακόµη και δυο γωνίες ίσες);. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες µια προς µια είναι ίσα; Συµφωνείτε; Προσέξτε τα παρακάτω τρίγωνα. Σχήµα 7 8. υο πορίσµατα: Πόρισµα Ι: το ύψος ισοσκελούς τριγώνου από την κορυφή είναι. Πόρισµα ΙΙ: Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου Άσκηση: Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου από τα άκρα της βάσης του είναι ίσα. Εργασία στο σπίτι :. Ερωτήσεις κατανόησης, 3, 4, 5 (µόνο προφορικά).. σκήσεις: εµπέδωσης, 4, αποδεικτικές την 1. Πρόβληµα (προαιρετικό) Να βρείτε το είδος των ορθογωνίων τριγώνων µε την ιδιότητα: µια ευθεία που διέρχεται από µια κορυφή τους τα χωρίζει σε δυο ίσα τρίγωνα. (µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το θεώρηµα της 3.10).-
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 15 νάλυση Λυκείου 5. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ιδακτική ενότητα : Θεώρηµα του olzano Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν α) τo Θ. Bolzano (Θ..), β) το πόρισµά του το σχετικό µε την διατήρηση προσήµου συνάρτησης. («πληροφορίες»). Να κατανοήσουν την εποπτικογεωµετρική του «απόδειξη» καθώς και ότι δεν ισχύει το αντίστροφό του. («Νοητικές δεξιότητες- κατανόηση») 3. Να αποκτήσουν την ικανότητα να χρησιµοποιούν το Θ.. στις εξισώσεις για την ύπαρξη ριζών. 4. Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρµόζουν το σχετικό πόρισµα διατήρησης προσήµου συνεχούς συνάρτησης. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Ερωτηµατικός διάλογος. - Καθοδηγούµενη αυτενέργεια. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµατιστές κιµωλίες. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος προηγουµένων γνώσεων εωµετρική συνέπεια της συνέχειας µιας συνάρτησης. Συνέχεια σε διάστηµα [α, β].. ηµιουργία κινήτρων µάθησης - Να λύσετε την εξίσωση χ 3 + χ = 1... Τι θα κάνουµε τελικά µε την εξίσωση αυτή; 3. Πληροφόρηση: Σήµερα θα µάθετε ένα πολύ σηµαντικό θεώρηµα των συνεχών συναρτήσεων. 4.Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Πρώτη ενορατική προσπέλαση: Σχεδιάστε µια ευθεία στο επίπεδο. Πάρετε ένα σηµείο στο ένα ηµιεπίπεδο και ένα σηµείο στο άλλο. Προσπαθήστε να γράψετε µε το στυλό σας µια «συνεχόµενη» καµπύλη γραµµή που να αρχίζει από το και να καταλήγει στο χωρίς να συναντήσει την ευθεία (και χωρίς να σηκώσετε το στυλό!) (Μπορείτε να αντικαταστήσετε την ευθεία µε ένα ποτάµι και τα σηµεία µε χωριά ).. εύτερη ενορατική προσπέλαση. Προσέξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 16 C f 4 C g 7 χ C h C φ ρ ρ 1 ρ 3 4 α β. i) ιατύπωση του Θ.....(διευκρίνιση επ ευκαιρία της έννοιας του «υπάρχει» στα Μαθηµατικά και επισήµανση του ότι το θεώρηµα µας δίνει απλά την πληροφορία ότι υπάρχει ρίζα, στο εσωτερικό ενός διαστήµατος, δεν µας λέει αν είναι µοναδική, ούτε την υπολογίζει). ii) Θ. Bolzano : Λίγα ιστορικά και πληροφοριακά στοιχεία (βλ. «ιδακτικό υλικό : Όρια Συνέχεια», 30-11-007, σελ.4) iii) Tο αντίστροφο (µε δεδοµένο f συνεχή στο [α, β]) ισχύει; (βλ. σχήµα C φ και η συνάρτηση φ(χ) = χ -1 στο διάστηµα [-, ] µε οµόσηµες τιµές στα άκρα. Άρα η συνθήκη f(α)f(β) < 0 είναι µόνο ικανή για να υπάρχει ρίζα (όχι αναγκαία). Τι δυνατότητες µας δίνει το Θ..; i) Nα διαπιστώνουµε τη ύπαρξη ρίζας εξίσωσης συνάρτησης σε δεδοµένο ανοικτό διάστηµα και γενικά πολλών ριζών σε διάφορα (ξένα) διαστήµατα. ii) οκιµάζοντας διάφορα κλειστά διαστήµατα να εντοπίζουµε εκείνο στο (εσωτερικό) του οποίου υπάρχει ρίζα (αν οι τιµές στα άκρα του διαστήµατος είναι οµόσηµες δεν αποκλείεται να υπάρχει και σ αυτό ρίζα.) iii) Οι ισοδυναµίες g(χ) = α g(χ) - α = 0, g(χ) = h(χ) g(χ) - h(χ) = 0 µας επιτρέπουν να χρησιµοποιούµε το Θ.. και για άλλες µορφές εξισώσεων θεωρώντας κατάλληλη συνάρτηση. 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Ι. Έστω η εξίσωση χ 3 + χ = 1, χ R. α) Να αποδείξετε ότι έχει µια ρίζα στο διάστηµα (0, 1). β) Μήπως είναι µοναδική (νύξη στη µονοτονία και µοναδικότητα); 1 3 γ) Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή ανήκει στο διάστηµα, 4 (η επανειληµµένη χρήση του Θ.. σε διαστήµατα που προκύπτουν µε διχοτόµηση µας δίνει τη δυνατότητα να εγκλωβίζουµε τη ρίζα σε όσο στενά διαστήµατα θέλουµε και έτσι να την υπολογίσουµε, µε τη βοήθεια και των Η.Υ., µε όση προσέγγιση θέλουµε).
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 17 1 δ) Μπορεί να έχει ρίζα και στο διάστηµα 0, ; ΙΙ. Η συνάρτηση φ είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1] και είναι φ(χ) < 0 για κάθε χ [0, 1].Τότε η φ στο διάστηµα [0, 1] είναι:. ν. αύξουσα. ν. φθίνουσα. συνεχής.. Συνεχής Ε.Άλλο 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Τι συµβαίνει µε το πρόσηµο των τιµών µιας συνάρτησης που είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [α, β] και δεν µηδενίζεται στο εσωτερικό του (βλ. π.χ. τα τµήµατα µεταξύ των ριζών της C h ). ιατύπωση και απόδειξη του σχετικού πορίσµατος. Nα βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης Σ(χ) = (ηµχ συνχ)e χ στο διάστηµα [0, π] δεδοµένου ότι οι µοναδικές ρίζες της στο διάστηµα αυτό είναι π/4, 5π/4. νακεφαλαίωση. Εργασία στο σπίτι : 1. σκήσεις βιβλίου, σελ.198, άσκηση 6,7 (ii), 8, 9(iv).. Άσκηση: Να δείξετε ότι η γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ(χ) = χ + χηµχ, γ(χ) = συνχ, x R, τέµνονται σε δυο τουλάχιστον σηµεία. Προαιρετικό πρόβληµα Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση φ στο R µε την ιδιότητα; φ (χ) = 008+χ 4, για κάθε χ R και φ(0) < 0. Χωρίς την συνθήκη φ(0) < 0 πόσες συναρτήσεις υπάρχουν. Πόσες συναρτήσεις θα υπήρχαν χωρίς την υπόθεση της συνέχειας της φ; (ακολουθεί φύλλο εργασίας)
H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 18 1. ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ. C g C f 4 7 C φ C h ρ ρ 1 ρ 3 4 α β 3.. θεώρηµα Bolzano: Υποθέσεις: Συµπέρασµα:. Το αντίστροφο (µε δεδοµένο f συνεχή στο [α, β]) ισχύει; Προσέχω το σχήµα C φ. Π.χ. η συνάρτηση φ(χ) = χ -1 στο διάστηµα [-, ] µε οµόσηµες τιµές στα άκρα. Άρα η συνθήκη f(α)f(β) < 0 είναι µόνο...για να υπάρχει ρίζα και όχι 4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ 3 + χ 1= 0 έχει µια ρίζα τουλάχιστον στο διάστηµα (0, 1). Λύση Θεωρούµε την (αντίστοιχη) συνάρτηση f(χ) =., χ, Ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θ..; ρίσκω τα πρόσηµα των τιµών f( ), f( ). f( ) =, f( ) =
και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 19 β) Εξετάσετε η ρίζα αν είναι µοναδική. γ) Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή ανήκει στο διάστηµα Εργαστείτε ανάλογα 1 3, 4. 1 δ) Μπορεί να έχει ρίζα και στο διάστηµα 0, ; πάντηση ε) Η συνάρτηση φ είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1] και είναι φ(χ) < 0 για κάθε χ [0, 1].Τότε η φ στο διάστηµα [0, 1] είναι:. ν. αύξουσα. ν. φθίνουσα. συνεχής.. Συνεχής Ε.Άλλο 5. Nα βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης Σ(χ) = (ηµχ συνχ)e χ στο διάστηµα [0, π] δεδοµένου ότι οι µοναδικές ρίζες της στο διάστηµα αυτό είναι π/4, 5π/4. Σ(χ) χ 0 π/4 5π/4 π ρίσκω τα.των τιµών Σ( ) = Σ( ) = Σ( ) =.. κaι συµπληρώνω τον πίνακα... Υ.. Ένα αντίγραφο να τοποθετηθεί και στο φάκελο «ιδακτικής Μαθηµατικών» του σχολείου. ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών