Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) Τετάρτη 8 Μαΐου 26 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων

η LaT E X-έκδοση ( 22/5/26) Οι ααντήσεις και οι λύσεις είναι αοτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Ειμελητών του δικτυακού τόου, αλλά είσης και αό την Δημόσια συζήτηση του άνω στα ϑέματα. Συνεργάστηκαν: Ανδρέας Βαρβεράκης, Σύρος Βασιλόουλος, Βασίλης Κακαβάς, Γιώργης Καλαθάκης, Φωτεινή Καλδή, Σύρος Καρδαμίτσης, Νίκος Κατσίης, Στάθης Κούτρας, Χρήστος Κυριαζής, Γρηγόρης Κωστάκος, Θάνος Μάγκος, Βαγγέλης Μουρούκος, Ροδόλφος Μόρης, Μίλτος Πααγρηγοράκης, Λευτέρης Πρωτοαάς, Γιώργος Ρίζος, Γιώργος Ροδόουλος, Μάμης Στεργίου, Σωτήρης Στόγιας, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης. Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα αό το δικτυακό τόο 2

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) Τετάρτη 8 Μαΐου 26 ΘΕΜΑΑ. Α. Εστω μια συνάρτηση f αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (,β), τότε να αοδείξετε ότι το f( ) είναι τοικό μέγιστο της f. μον.7 Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; μον.4 Α. Να διατυώσετε το ϑεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. μον.4 Α4. Νά χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση. α. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : [α,β] R αν G είναι μια αράγουσα της f στο [α,β], τότε β α f()d = G(α) G(β). β. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f() g() κοντά στο, τότε lim f() lim g(). γ. Κάθε συνάρτηση f, για την οοία ισχύει f () = για κάθε (α, ) (,β) είναι σταθερή στο (α, ) (,β). lim f() = +, τότε f() < κοντά στο. δ. Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f() = y έχει ακριβώς μια λύση ως ρος. ε. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f αίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m. μον. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 262, (ερίτωση i). Α2. Σχολικό Βιβλίο σελ. 4. Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 246.

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 Α4. α. Λάθος, Σχολικό Βιβλίο σελ. 4. β. Σωστό, Σχολικό Βιβλίο σελ. 66. γ. Λάθος, Σχολικό Βιβλίο σελ. 252. δ. Σωστό, Σχολικό Βιβλίο σελ. 52. ε. Σωστό, Σχολικό Βιβλίο σελ. 95. ΘΕΜΑΒ. Δίνεται η συνάρτηση f() = 2 2 +, R. Β. Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f. μον.6 Β2. Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οοία η f είναι κοίλη και να ροσδιορίσετε τα σημεία καμής της γραφικής της αράστασης. μον.9 Β. Να βρεθούν οι ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της f. μον.7 Β4. Με βάση τις ααντήσεις σας στα ερωτήματα Β., Β2., Β. να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f. μον. ΛΥΣΗ: Β. Η f είναι αραγωγίσιμη στο R με f () = f () = 2 ( 2 +) 2. Είναι 2 ( 2 +) 2 = =. Για < έχουμε f () < και εειδή η f είναι συνεχής στο =, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,]. Για > έχουμε f () > και εειδή η f είναι συνεχής στο =, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ). Άρα η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το f() =. Ομάδα Ειμελητών του 4

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 Β2. Η f είναι αραγωγίσιμη στο R με f () = 62 +2 ( 2 +). Είναι f () = 6 2 +2 ( 2 +) = ( 2 +) ==== 6 2 +2 = f () < 2 = = = ή = 6 2 +2 ( 2 +) < ( 2 +) > ==== 6 2 +2 <. f () > < 2 < < ή > 6 2 +2 ( 2 +) > ( 2 +) > ==== 6 2 +2 >. > 2 > < <. Άρα η f είναι κοίλη στο (, ] [ κυρτή στο Η f έχει σημεία καμής στα A (, f( )) ( και B, ] [ και κοίλη στο,+ ). )), δηλαδή στα σημεία A (, ) ( 4 και B, 4). Β. Η γραφική αράσταση της f δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες, αφού είναι συνεχής στο R. Εειδή και ομοίως, f( 2 lim f() = lim + + 2 + = lim 2 + = 2 Ομάδα Ειμελητών του 5

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 lim f() =, έεται ότι η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f στο + και στο. Β4. Η μονοτονία, τα ακρότατα, η καμυλότητα και τα σημεία καμής της f φαίνονται στον ίνακα: + f () f () + + + + f() 4 4 Σ.K. T.E. Σ.K. Με βάση τα συμεράσματα τωνβ.,β2.,β., σχεδιάζουμε την γραφική αράσταση της f. 2. y.5 y =. f A.5 4 B 2... 2..5 Σχόλιο: Η αρατήρηση ότι η f είναι άρτια διευκολύνει την είλυση του ϑέματος. Ομάδα Ειμελητών του 6

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 ΘΕΜΑΓ. Γ. Να λύσετε την εξίσωση e 2 2 =, R. μον.4 Γ2. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R R ου ικανοοιούν την σχέση f 2 () = ( e 2 2 ) 2 για κάθε R και να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. Γ. Αν f() = e 2 2, R, να αοδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. μον.8 μον.4 Γ4. Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματοςγ., να λυθεί η εξίσωση: f ( ηµ + ) f ( ηµ ) = f(+) f(), όταν [,+ ). μον.9 ΛΥΣΗ: Γ. Θεωρούμε την συνάρτηση f() = e 2 2, R, η οοία είναι αραγωγίσιμη για κάθε R, με f () = 2 ( e 2 ), R. Εειδή 2 e 2 e = e 2, για κάθε R, ροκύτουν f () < <, f () > >, f () = =, και ο αραλεύρως ίνακας μονοτονίας και ακρότατου της συνάρτησης f. f () f() + + O.E. Άρα η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το f() = και για κάθε R ισχύει f() f() = με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Άρα η εξίσωση e 2 2 = έχει μοναδική λύση την =. Γ2. Εειδή για κάθε R ισχύει e 2 2, η δοσμένη σχέση γίνεται ισοδύναμα f 2 () = ( e 2 2 ) 2, R, f() = e 2 2, R. Είσης αό τογ. έχει αοδειχθεί ότι η f έχει μοναδική ρίζα το =. Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, ] και δεν μηδενίζεται στο διάστημα (, ), έεται ότι η f είναι σταθερού ροσήμου στο διάστημα (, ]. Εομένως αν f() < στο (,), τότε στο διάστημα (,] είναι f() = ( e 2 2 ). αν f() > στο (,), τότε στο διάστημα (,] είναι f() = e 2 2. Ομάδα Ειμελητών του 7

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 Ομοίως, εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, + ) και δεν μηδενίζεται στο διάστημα (, + ), έεται ότι η f είναι σταθερού ροσήμου στο διάστημα [, + ). Εομένως αν f() < στο (,+ ), τότε στο διάστημα [,+ ) είναι f() = ( e 2 2 ). αν f() > στο (,+ ), τότε στο διάστημα [,+ ) είναι f() = e 2 2. Συνδυάζοντας τα αραάνω ροκύτει ότι η f έχει έναν αό τους αρακάτω τύους: f() = { ( e 2 2 ) {, e 2 e 2 2, >, f() = 2, ( e 2 2 ), >, f() = ( e 2 2 ), R, f() = e 2 2, R. Γ. Η f() = e 2 2, R είναι δυο φορές αραγωγίσιμη στο R με f () = 2e 2 2 = 2 ( e 2 ) και f () = 4 2 e 2 +2e 2 2 = 4 2 e 2 +2 ( e 2 ). Εειδή για κάθε R ισχύουν 4 2 e 2 και e 2, έεται ότι για κάθε R ισχύει f (). Μάλιστα f () =, αν και μόνο αν =. Εειδή η f είναι συνεχής στο =, ϑα είναι αύξουσα. Άρα η f είναι κυρτή στο R. Γ4. Θεωρούμε την συνάρτηση h() = f( + ) f() ορισμένη στο [,+ ). Η h είναι αραγωγίσιμη στο [, + ) σαν σύνθεση και διαφορά αραγωγισίμων συναρτήσεων με αράγωγο h () = f (+) f (), [,+ ). Εειδή η f είναι κυρτή στο R, έεται ότι η f είναι αύξουσα στο [,+ ) R. Εειδή η f είναι αύξουσα στο [,+ ) για κάθε [,+ ) ισχύει + >, έεται ότι f (+) > f () f (+) f () > h () >. Εομένως η h είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) και, άρα, -. Η εξίσωση f ( ηµ + ) f ( ηµ ) = f(+) f(), [,+ ), γράφεται ισοδύναμα h ( ηµ ) = h() h == ηµ =. Για κάθε R ισχύει ηµ με το ίσον να ισχύει μόνο όταν =. Για ροκύτει ηµ με το ίσον να ισχύει μόνο όταν =. Άρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική λύση την =. Ομάδα Ειμελητών του 8

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 ΘΕΜΑ Δ. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές αραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη αράγωγο, για την οοία ισχύει ότι: ( f()+f () ) ηµd =, f(r) = R και lim f() ηµ =, e f() + = f ( f() ) +e, για κάθε R. Δ. Να δείξετε ότι f() = και f () =. Δ2. α) Να δείξετε ότι η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο R. β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. μον.7 μον.6 Δ. Να βρείτε το Δ4. Να δείξετε ότι ηµ+συν lim. + f() < f(ln ) d < 2. μον.6 μον.6 ΛΥΣΗ: Για την δύο φορές αραγωγίσιμη στο R και με συνεχή δεύτερη αράγωγο, συνάρτηση f ισχύουν: Δ. Αό την () ροκύτει f() ηµd+ ( f()+f () ) ηµd = () f(r) = R (2) f() lim ηµ = () e f() + = f ( f() ) +e, για κάθε R (4) f()( συν) d+ [ f() συν ] + f () ηµd = ( f () ) ηµd = f () συνd+ [ ] f () ηµ f ()(ηµ) d = Ομάδα Ειμελητών του 9

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 f() συν+f() συν+ f () συνd+ f () ηµ f () ηµ f () συνd = f()+f() = (5) Εειδή η f είναι συνεχής στο = (ως αραγωγίσιμη) ϑα ισχύει f() = lim f() = lim ( f() ηµ ηµ ) () f() = lim ηµ lim ηµ () = =. Εομένως αό την (5) ροκύτει f() =. Είσης, εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο = ϑα ισχύει f () = lim f() f() ) = lim ( f() ηµ ηµ () f() = lim ηµ lim ηµ () = =. Δ2. α) Εστω ότι η συνάρτηση f αρουσιάζει ακρότατο στο R. Η f είναι αραγωγίσιμη στο, αρουσιάζει ακρότατο στο και το είναι εσωτερικό του εδίου ορισμού. Εομένως αό το ϑεώρημα Fermat ϑα έρεε f ( ) =. Οι συναρτήσεις στα δύο μέλη της σχέσης (4) είναι αραγωγίσιμες (εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο R και η e f() είναι αραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση αραγωγισίμων, η f ( f() ) είναι αραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση αραγωγισίμων, και η e είναι αραγωγίσιμη στο R) και ίσες συναρτήσεις. Άρα και οι αράγωγοί τους είναι ίσες. Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της σχέσης (4) αίρνουμε e f() f ()+ = f ( f() ) f ()+e, R. Ομάδα Ειμελητών του

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 Για = η αραάνω σχέση δίνει e f( ) f ( )+ = f ( f( ) ) f ( )+e = e = f () = f ( ) =. Άτοο, αφού στοδ. δείχθηκε ότι f () =. Άρα η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο R. β) Αό τοα) ροκύτει ότι f () για κάθε R. Αό αυτό και εειδή η f είναι συνεχής στο R, ροκύτει ότι η f διατηρεί ρόσημο στο R. Εειδή f () = >, έεται ότι f () > για κάθε R. Συνεώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Δ. ( Εειδή η f είναι συνεχής ) συνάρτηση και γνησίως αύξουσα στο R, έεται ότι f(r) = lim f(), lim f(), και αό το δεδομένο f(r) = R έεται ότι lim f() = +. Άρα + + lim + 2 f() =. Η συνάρτηση f αίρνει ϑετικές τιμές στο διάστημα [α,+ ), α >. Συνεώς 2 f() ( Εειδή lim 2 ) = lim + f() + Δ4. Στο = e f(ln ) ηµ+συν ηµ + συν f() f() ηµ+συν f() 2 f(). 2 f() 2 =, αό το κριτήριο αρεμβολής έεται ότι f() ηµ+συν lim =. + f() d ϑέτουμε u = ln. Εομένως du = d, = u =, u = και το ολοκλήρωμα γίνεται f(ln ) d = f(u)du (6). Εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R -άρα και στο [,] - και εειδή f() =, f() =, έεται ότι u f() f(u) f() f(u), με την ισότητα να μην ισχύει αντού στο διάστημα [, ]. Εομένως ολοκληρώνοντας την τελευταία ανισότητα (βλέε και τη χρήσιμη ρόταση με την αόδειξή της στις εναλλακτικές λύσεις στο τέλος του Δελτίου) ροκύτει du < f(u)du < du = < f(u)du < 2 Ομάδα Ειμελητών του

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 (6) f(ln ) = < d < 2. ΑΛΛΕΣ ΛΥΣΕΙΣ: Γ Ισχύει ότι ln για κάθε >, με την ισότητα να ισχύει μόνο αν =. Άρα, για = e y, y R, τότε ln(e y ) e y, οότε e y y+, για κάθε y R, με την ισότητα να ισχύει μόνο αν y =. Άρα, e 2 2 + με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν 2 =, ή ισοδύναμα =. Άρα η εξίσωση e 2 2, έχει μοναδική λύση το =. Γ Η εξίσωση γράφεται g( 2 ) = όου g() = e η οοία έχει αράγωγο g () = e. Για < είναι g () <, για > είναι g () > και για = είναι g () =. Συνεώς η g ως συνεχής στο R είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ) άρα αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το g() =. Συνεώς η μοναδική λύση της εξίσωσης g() = είναι η =. Άρα η αρχική εξίσωση γίνεται g( 2 ) = 2 = =. Σχόλιο: Το ότι η μοναδική λύση της g() = είναι το = μορεί να αοδειχθεί μέσω της γνωστής ανισότητας e + με ισότητα μόνο στο =, αφού όμως ρώτα αοδειχθεί. Γ Είναι f () = 2 ( e 2 ), R. Ισχύει ότι < 2 = 2 < 2 2 = = e e 2 < e 2 2 = e 2 < e 2 2 2 <2 2 ( ) ( ) ====== 2 e 2 < 22 e 2 2 = f ( ) < f ( 2 ), ου σημαίνει ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο [,+ ). Παρατηρούμε ότι ισχύει Σχολικό βιβλίο. Εφαρμογή 2, σελίδα 266. f ( ) = 2 ( e ( )2 ) = f (), R. Ομάδα Ειμελητών του 2

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 Εομένως < 2 = > 2 = f ( ) > f ( 2 ) = f ( ) > f ( 2 ) = f ( ) < f ( 2 ), ου σημαίνει ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο (,] και εειδή η f συνεχής στο =, έεται ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο R. Άρα η f κυρτή στο R. Γ4 Θα δείξουμε ότι η = είναι μοναδική λύση της εξίσωσης. Υοθέτουμε λοιόν, αντίθετα, ότι υάρχει > ου να είναι λύση της εξίσωσης. Ισχύει ηµ < 2 καθώς είσης ηµ < ηµ + και < +.. Διακρίνουμε τις εριτώσεις: Αν ηµ + <, τότε ηµ < ηµ + < < + και εειδή ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε κάθε ένα αό τα διαστήματα [ ηµ, ηµ + ], [, +], υάρχουν ξ ( ηµ, ηµ + ), ξ 2 (, +) ώστε η εξίσωση να γράφεται: f (ξ ) = f (ξ 2 ) f (ξ ) = f (ξ 2 ). Ομως η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα - και, συνεώς, ξ = ξ 2. Άτοο, αφού τα ξ, ξ 2 ανήκουν σε ξένα μεταξύ τους διαστήματα. Αν < ηµ +, τότε ηµ < < ηµ + < +. Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: f( ) f ( ηµ ) = f( +) f ( ηµ + ), Εειδή ισχύουν οι ροϋοθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε κάθε ένα αό τα διαστήματα [ ηµ, ], [ ηµ +, + ], υάρχουν ξ ( ηµ, ), ξ2 ηµ +, + ) ώστε η εξίσωση να γράφεται: ( ηµ ) f (ξ ) = ( ηµ ) f (ξ 2 ). Εειδή ηµ, έεται ότι f (ξ ) = f (ξ 2 ). Ομως η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα - και, συνεώς, ξ = ξ 2. Άτοο, αφού τα ξ, ξ 2 ανήκουν σε ξένα μεταξύ τους διαστήματα. Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f(), (,) (,) R. Ισχύει ηµ ( ) lim f() = lim g() ηµ = lim g() lim ηµ = =. Εειδή η f είναι συνεχής στο = (ως αραγωγίσιμη) ϑα ισχύει f() =. Αό την f()+f() = (ου έχει δειχθεί ροηγουμένως) αίρνουμε f() =. 2 αό τη γνωστή ανισότητα ηµ με ισότητα μόνο για =. Ομάδα Ειμελητών του

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 Είσης, εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο = ϑα ισχύει ΓιατοΔ Για κάθε (,+ ) ισχύει f () = lim f() f() g() ηµ = lim ηµ = lim g() lim = =. > fր = f() > f() fր = f ( f() ) > f ( f() ) = f() = = f ( f() ) +e > +e = e f() + > +e > e = e f() > e (). Αοδεικνύεται είσης ότι για κάθε (,+ ) ισχύει και αό την () αίρνουμε Αοδεικνύεται ότι e > ln ( e f()) > ln(e ) > ln = = f() > ln(e ) > = < f() < ln(e ) (2). lim + ln(e ) = + lim + ln(e ) = και λόγω της (2), αό το κριτήριο αρεμβολής αίρνουμε lim + f() =. Σχόλιο: Λόγω της ανισότητας (2) ου αοδείχθηκε αραάνω, το δεδομένο ότι f(r) = R δεν είναι ααραίτητο. Ομως είναι χρήσιμο γιατί κάνει το ϑέμα ιο ροσιτό στους μαθητές. Άρα καλώς δόθηκε. Ομάδα Ειμελητών του 4

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 Δ4 Εστω F αρχική της f. Η αοδεικτέα ισοδύναμα γίνεται: < f(ln ) d < 2 < < < F (ln) d < 2 ( F(ln) ) d < 2 [ F(ln ) ] e < 2 < F(lne ) F(ln) < 2 < F() F() < 2 < F() F() < (). Με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. για την F στο [,] -αφού ληρούνται οι υοθέσεις- υάρχει ξ (,) ώστε F (ξ) = F() F(). Εομένως αό την () ισοδύναμα έχουμε ότι < F (ξ) < f() < f(ξ) < f(), ου είναι αληθής, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Δ4 Εειδή για [, e ] ισχύει = ln fր = f() f(ln) = f(ln) και η συνεχής συνάρτηση ln δεν μηδενίζεται αντού στο [, e ], έεται ότι Είσης f(ln ) < d = = 2 < 2, f(ln ) d. (ln) f(ln)d, ln f (ln)d εειδή οι συναρτήσεις ln, f (ln), είναι συνεχείς, μη-αρνητικές και δεν μηδενίζονται αντού στο [, e ] άρα ln f (ln)d >. Ομάδα Ειμελητών του 5

Θέματα και Λύσεις Μαθηματικών Γ Λυκείου ροσαν. & κατεύθ. 26 Δ4 Για [, e ] ισχύει e = ln fր = f() f(ln) f() = f(ln) ( ) = = < = < d < f(ln ) f(ln ) f(ln ) d < d < [ ln ] e d < 2. d ( ) Οι συνεχείς συναρτήσεις f(ln) την ρόταση αρακάτω.) και f(ln) δεν μηδενίζονται αντού στο [, e ]. (Βλέε Πρόταση: Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [α, β] με f() g() για κάθε [α, β] και η συνάρτηση f g δεν είναι αντού μηδέν στο [α, β] τότε ισχύει β α f()d < β α g()d. Αόδειξη: Θεωρούμε τη συνάρτηση h με h() = g() f(), [α, β]. Τότε η h είναι συνεχής στο [α, β], αό τα δεδομένα ισχύει h() για κάθε [α, β], και δε μηδενίζεται αντού στο [α, β], οότε αό ρόταση του σχολικού βιβλίου: β α h()d > = = = β α β g() f()d > g()d β α α β β g()d > α α f()d > f()d. Ομάδα Ειμελητών του 6