f(x) 0 (x f(x) g(x), lim f(x) lim g(x).

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f(x) 0 (x f(x) g(x), lim f(x) lim g(x)."

Ζένα Ελευθερίου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 8 6 () A. f (, f f() ( f() (,, f( ) f. A. f, g 4 A. 4 A4., f:[, G f, f(t)dt G(. f,g f() g(), lim f() lim g(). f, f() (, (. f -,, y, y f().

2 f [, f [ M m. f(),. B. f f f. 6 B. f, f 9 B. f. 7 B4.,, f. e,. f: f() e 4 8. f() e,, f f, [, ). f( 9

3 f,, f( ) f()+f () f() lim e f() f f() e. f( f() f. 4) f. ) lim f() + e 6. 6 f(ln) d K

4 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 8 /5 /6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6-6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 46 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Σ v) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Η f είναι παραγωγίσιμη ως ρητή στο. f χ f - + f τ.ε Σελίδα από 8

5 Η f είναι γνησίως αύξουσα στο παρουσιάζει στο, και γνησίως φθίνουσα στο τοπικό ελάχιστο το f, και Β. Η f είναι παραγωγίσιμη ως ρητή στο. f χ f f Σ.Κ Σ.Κ Η f κυρτή στο, και κοίλη στο, και στο, Σελίδα από 8

6 Η f παρουσιάζει σημεία καμπής στο με f f 4 το, 4 και στο με f Β. Αφού f 4 το, 4 f η Cf δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. lim f lim lim lim f lim lim Συνεπώς η f έχει οριζόντια ασύμπτωτη την :y στο και στο Επειδή έχει οριζόντιες ασύμπτωτες δεν έχει πλάγιες. Β 4. Με βάση τις απαντήσεις στα ερωτήματα Β, Β,Β σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f και την γραφική της παράσταση. χ f f f Σ.Κ Σ.Κ /4 Τ.ε /4 Σελίδα από 8

7 ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω συνάρτηση H g e, g έχει προφανή ρίζα το Hgείναι παραγωγίσιμη στο g e με g e οι ρίζες της εξίσωσης είναι μόνο η g e με τη βοήθεια του πίνακα προσήμων έχουμε χ - + e + e Σελίδα 4 από 8

8 χ g () - + g() Ο.Ε(,) Για κάθε ισχύει g() g() g() άρα η = μοναδική λύση ως θέση ακροτάτου. Γ. f () e f() e e Καθώς από Γ ισχύει e Είναι f συνεχής και f() για άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα,και, άρα f() e,, ή f() e,, ή ή f() e, e, ή f() e, e, Γ. f() e, f () e e και Hfπαραγωγίσιμη στο με f () e e 4 e Θέτουμε f () η οποία έχει προφανή ρίζα f () e 4 e e 4 8e e 4e () f () 4e Σελίδα 5 από 8

9 χ () f () - + f () f f f f f f f f Οπότε η f κυρτή διότι η f συνεχής στο χ =. Γ 4. Θεωρούμε συνάρτηση φf f, οπότε η ζητούμενη εξίσωση γίνεται: φ ημ φ, Παραγωγίζουμε τη σχέση και έχουμε: φffff Όμως έχουμε f άρα f γνησίως αύξουσα επομένως φ για κάθε, f f Οπότε έχουμε: φ γνησίως αύξουσα επομένως και. φ ημ φ ημ Έτσι: φ: Άρα μοναδική ρίζα η διότι το και η ισότητα ισχύει μόνο στο. ΘΕΜΑ Δ f() f() Δ. lim. Θέτω g() f() g(),. Παίρνοντας τα όρια έχω: ή limf() lim g() f() ο μέλος = f() f () d f() d f () d f() d f () d f () d f() d f ( ) f () f () d f() d f() f() d f() d f( ) f() f() d Σελίδα 6 από 8

10 f( ) f() f( ) f( ). Άρα f(π) = π = f() f () f () f () lim lim lim f () fσυνεχής αφού υπάρχει η f. DLH Δ. α) Έστω ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο R άρα από Θεώρημα Fermat: f() f( ). Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση έχω: e f () ff() f () e. Για έχω: e f( ) f ( ) f f( ) f ( ) e e e e e ΑΤΟΠΟ γιατί f () = β) f συνεχής στο R ( φορές παραγωγίσιμη) f(),r, άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Έχουμε f(), επομένως f() για κάθε R f R Δ. Επειδή το, περιοριζόμαστε στο [, ) f f() f(). Επειδή lim f() lim f() f() f() f() f() f() f() f(r), με f και συνεχή τότε Δ 4., lim lim, άρα από κριτήριο παρεμβολής f() f() f() f() f() lim f() Υπολογίζω το ολοκλήρωμα: e f(ln) e e d f(ln)(ln) d f(ln) d du ln d d uln e u lne έ uln f(u)du Σελίδα 7 από 8

11 f Από uf() f(u) f( ). Η ισότητα ισχύει για u= και u= π, άρα: du f(u)du f( )du με απόδειξη του f() g() f()d g()d f(u)du ( ) f(u)du Σελίδα 8 από 8

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο