1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, 0 0,που είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών. - οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο του οποίου οι συντεταγμένες να είναι λύση του συστήματος. - οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία στις δύο ευθείες. Μέθοδος αντικατάστασης Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο, για παράδειγμα ως προς. Αντικαθιστούμε το στην άλλη εξίσωση και έτσι προκύπτει εξίσωση μόνο με έναν άγνωστο, το χ. Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε το χ και την τιμή του την αντικαθιστούμε στη πρώτη εξίσωση απ όπου υπολογίζουμε το. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι. Στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε. Τέλος αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου αγνώστου. Λύση Διερεύνηση Γραμμικού Συστήματος χ Έστω το γραμμικό σύστημα. Βρίσκουμε την παράσταση D που ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος. ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [3]
Βρίσκουμε τις ορίζουσες D και D. - Αν 0 - Αν D 0 D D x, όπου x και D D, το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις. D, το σύστημα έχει μοναδική λύση, Γραμμικό σύστημα 3χ3 Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους χ,,z 1 1 1z 1 z και θέλουμε να βρούμε τις κοινές τους λύσεις τότε λέμε ότι έχουμε 3 3 3z 3 να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 3χ3. Η πιο συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης ενός τέτοιου συστήματος είναι η μέθοδος αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στις δύο άλλες εξισώσεις. Έτσι οι δύο τελευταίες εξισώσεις μετατρέπονται σε γραμμικό σύστημα χ, το οποίο το λύνουμε με έναν από τους προηγούμενους τρόπους. Αφού προσδιορίσουμε τους δύο αγνώστους αντικαθιστούμε τις τιμές τους στην πρώτη εξίσωση απ όπου υπολογίζουμε την τιμή και του τρίτου αγνώστου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑ 1. Να λυθούν τα συστήματα: x 1 x 1 3x 5 ( 1) 8 i (x 1) 3(1 ) 9 ii x 1 3 3x ( 3). Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β, αν γνωρίζετε ότι τα ζεύγη (1,1) και (- 1, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης x 9 0. ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [4]
3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: x 3 6 x 1 3x 4 1 4x 1 5 3 4 3 i 5x 1 4 5(x 1) 6( 1) 3 5 3 4. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: x 3 1 0 x i x 3 0 x 3 3 5. Nα λύσετε την ανίσωση: ii x36 x 3 0 x 1 5x 1 1 x 1 0 3 3 x 3 αγ 3β x 6. Αν ισχύει 1 1 3 3 3 1με γ 0και x 0να αποδείξετε ότι α β γ 3αβγ. 3γ x γ 7. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: x 3 5 5 1 x 4 4 5 1 3x 9 3 3 i ii 5 x 3 3 1 x 5 1 6 5 x 3 3 3 8. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: x 3 x 3 i x 8 x 3 7 9. Να βρεθεί το σύστημα των εξισώσεων που έχουν γραφικές παραστάσεις τις ευθείες ε 1,ε του διπλανού σχήματος. Μετά να βρεθεί το κοινό σημείο των ε 1,ε. 10. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών: : x : 1 x 1 1 1 i : x 4 83 : x 4 8 1 11. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής x -1 ý 0-1 ε1, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A 1,8, B1,. 45 0 x ε ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [5]
1. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: x x x i x x 3x x ii 4x x 13. Να βρεθεί κλάσμα τέτοια ώστε αν στους δύο όρους του προσθέσουμε το προκύπτει ο αριθμός ενώ αν από τους όρους του αφαιρέσουμε 3 προκύπτει ο αριθμός 3. 14. Σ ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήματα, αυτοκίνητα και ποδήλατα. Αν όλα τα οχήματα έχουν 164 ρόδες, πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδήλατα υπάρχουν στο γκαράζ; 15. Να βρείτε τρείς αριθμούς που έχουν άθροισμα 45, ο δεύτερος είναι ο μέσος όρος των δύο άλλων και ο τρίτος είναι κατά 14 μεγαλύτερος από τον πρώτο. Β ΟΜΑΔΑ 16. Αν το σύστημα 3x έχει άπειρες λύσεις, να αποδείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. x 1 3 17. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους τα συστήματα 1 x 3 1 και είναι συγχρόνως αδύνατα. x 18. Για ποιες τιμές των τα συστήματα: και 8x x 3x 9 είναι συγχρόνως αδύνατα; x 3 11 19. Δίνεται το σύστημα:,. x 5 Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ. i Να βρείτε τη μοναδική λύση. ii Για ποια τιμή του λ η λύση (x, ) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη 59 σχέση: x 13 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [6]
0. Δίνονται τα συστήματα: 1 x 1 3x 7 και ποιες τιμές των μ και κ τα συστήματα είναι ισοδύναμα; x 4x 9 1. x 4 Για ποια τιμή του λ, το σύστημα έχει λύση η οποία επαληθεύει την εξίσωση x 5 17;. Για ποιες τιμές των κ, λ το σύστημα έχει άπειρες λύσεις μία από τις οποίες είναι η (x,), 1 ; 3. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, ισχύει: Dx D D. Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή. Dx D 3D 4. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, ισχύει: D D D D και D 0. Αν x 6, να βρεθούν τα x,. x x 5. Σε ένα γραμμικό σύστημα χ με αγνώστους χ,, για τις ορίζουσες του D, D x, D ισχύει η σχέση: D D D D 0. Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε ότι είναι μοναδική. x x 6. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, ισχύει: D D D 4D D 5 x x x Να αποδείξετε ότι: D D 1 D 0. i Να βρείτε τη λύση του συστήματος. για 7. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: 1 1 3 1 1 i 0 1 1 1 8. Για ποιες τιμές των x και η εξίσωση x-+1+λ(x-)=0 αληθεύει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ; ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [7]
9. Δίνονται οι ευθείες ε 1 και ε με εξισώσεις x-=-1 και λx-=-1 αντίστοιχα, λ R. α) Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιμές του λ R. β) Να βρείτε το λ για το οποίο τέμνονται κάθετα. γ) Για το λ που βρήκατε στο (β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ευθείες και τον άξονα x x. 30. Δίνεται το σύστημα: x 5 3x 5 x a ι) Να οριστεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι πιο πάνω εξισώσεις να περνούν από το ίδιο σημείο. ιι) Αν α 0 δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. 31. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1 8 του χρόνου της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1 του χρόνου της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε. 3. Κάποιος μοιράζει με διαθήκη ένα ποσό σε τρεις ανιψιούς του Α, Β, Γ άνισα, ανάλογα προς τους αριθμούς 7, 6 και 5. Στη συνέχεια, με μια δεύτερη διαθήκη, αλλάζει τα μερίδια και διανέμει το ποσό ανάλογα προς τους αριθμούς 6, 5 και 4. α) Ποιος από τους κληρονόμους κερδίζει με τη νέα μοιρασιά; Ποιος χάνει; β) Ένας από τους κληρονόμους κερδίζει με τη δεύτερη μοιρασιά 6.000 περισσότερο απ ότι κερδίζει με την πρώτη. Πόση ήταν η κληρονομιά και πόσο κάθε μερίδιο με τη δεύτερη μοιρασιά; 33. Να βρεθεί τριψήφιος φυσικός αριθμός αν: α) το άθροισμα των ψηφίων του είναι 4. β) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 9 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο τελευταίων ψηφίων του γ) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 90 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο πρώτων ψηφίων του. ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ [8]