wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το y β) Να εκτιμήσετε την τιμή της περιμέτρου και του εμβαδού του διπλανού σχήματος, με διαστάσεις τις τιμές των,y του ερωτήματος α λ λ 0 Δίνεται η εξίσωση Εξισώσεις α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του λ, οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε β) Αν l 0 γ) Για λ=, να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες και Δίνονται οι παραστάσεις: α) Να αποδείξετε ότι Α = β) Να αποδείξετε ότι Β = Α και γ) Να λύσετε την εξίσωση A A A A B Δίνεται η εξίσωση λ λ 8λ 0 (), με παράμετρο λ α) i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει διακρίνουσα: Δ λ λ ii Να βρείτε τις τιμές λ, λ της παραμέτρου λ, με λ λ, ώστε η εξίσωση () να έχει διπλή ρίζα Στη συνέχεια, να βρείτε τη διπλή ρίζα 0, για λ = λ β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των λ ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ρίζες άνισες τις, Για ποιές απ τις τιμές της παραμέτρου ισχύει: 6 5 Δίνεται η εξίσωση 5 5 7 7 8 07 α) Να λυθεί η εξίσωση β) Να απλοποιηθεί η παράσταση K 7 00 6 Δίνεται η εξίσωση λ λλ 0 για κάθε 7,7 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει δύο πραγματικές και άνισες λύσεις β) Έστω S και P το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης () Αν ισχύει P S, να προσδιορίσετε την τιμή του λ γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο β ερώτημα να υπολογίσετε τις παραστάσεις A και B 7 Ένας μαθηματικός ενός φροντιστηρίου έδωσε σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου µια άσκηση Κρυπτογραφίας Έδωσε τις,, παρακάτω σχέσεις και είπε στους μαθητές ότι στο τέλος έπρεπε
wwwaskisopolisgr να βρουν µια λέξη Το κλειδί για την αποκρυπτογράφηση των λέξεων ήταν ότι τα αποτελέσματα των,, είναι αριθμοί οι οποίοι αντιστοιχούν σε ένα γράμμα της ελληνικής αλφαβήτου κατά αύξοντα φυσικό αριθμό (πχ το αποτέλεσμα αν είναι αντιστοιχεί στο γράμμα Α, στο Β κτλ ) Δ 5 Δ 7 8 75 08 6 Δ 0 6 6 5 α) Υπολόγισε το Δ β) Να αποδείξετε ότι Δ 5 γ) Υπολόγισε το Δ 5 και βρες την λέξη κλειδί για την εκπαίδευση Δ Δ Δ Δ δ) Να λυθεί η εξίσωση 7 8 Δ Δ 8 α) Δίνονται οι αριθμοί α και β Να αποδείξετε ότι α και β β) Αν α και β να λύσετε την εξίσωση α β 0, 9 Δίνεται η σχέση 07 08 με, α) Να βρεθούν οι τιμές των, β) Αν, να λυθούν οι εξισώσεις i α ii β γ) Αν α και β 0 με α,β λύσεις του β ερωτήματος, να λυθούν οι εξισώσεις: i α ii β 0Δίνονται οι παραστάσεις Α με, B α) Να αποδειχθεί ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του β) Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης Β γ) Αν A και B τότε: i Να λυθεί η εξίσωση B A ii Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η εξίσωση λ Αλ Β λ λ να είναι αόριστη Ανισώσεις Δίνεται η εξίσωση λ λ 0 με λ και λ () α) Να αποδείξετε ότι έχει ρίζες άνισες για κάθε λ β) Έστω, οι ρίζες της () Να βρείτε: i) Τα και ii) Τις τιμές του λ για τις οποίες η () έχει ρίζες ετερόσημες α) Να λυθεί η ανίσωση β) Να λυθεί η εξίσωση 0
wwwaskisopolisgr γ) να αποδείξετε ότι: 5 Δίνεται η εξίσωση: α) Να δείξετε ότι λ λ 0, με λ η οποία έχει δύο ρίζες άνισες τις και β) Να υπολογίσετε τις τιμές του λ γ) Να εκφράσετε σαν συνάρτηση του λ τις τιμές των πιο κάτω παραστάσεων Κ, Λ, Μ δ) Να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: α) Να λύσετε την ανίσωση: διαστήματος Δ β) Αν Δ, να δείξετε ότι η παράσταση σταθερός αριθμός 5α) Να λύσετε τις εξισώσεις: i 6 0 λ λ 5 και να γράψετε τις λύσεις της σε μορφή Α ii β) i Να λύσετε την ανίσωση 6 0 6 0 ii Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η εξίσωση 6 Δίνεται η εξίσωση λ λ λ 0, λ λ είναι 0 είναι αδύνατη στο ; α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι Δ 5λ λ β) i Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες; ii Αν, οι ρίζες της (), να βρεθεί η τιμή του λ ώστε να ισχύει: 0 γ) Αν y 5 και y οι λύσεις της εξίσωσης 7Σε αριθμητική πρόοδο είναι κ d μ, 0, να βρεθούν τα κ,μ Πρόοδοι α 8 και α6 α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α (μονάδες 5) και την διαφορά ω της προόδου Αν α και ω =, τότε: β) Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, που απαιτούνται, ώστε το άθροισμα τους να ξεπερνάει το 0 γ) Αν οι μη μηδενικοί αριθμοί α, α, α5 με την σειρά αυτή, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, μ ε λόγο λ, να βρείτε τις ακέραιες τιμές του και τον λόγο της προόδου
wwwaskisopolisgr Βασικές έννοιες συναρτήσεων 8Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της 005 006 γ) Να αποδείξετε ότι: 005 005 00 9Δίνεται η συνάρτηση: f α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να απλοποιηθεί ο τύπος της f f β) Να υπολογιστεί η παράσταση A f γ) Να λυθεί η εξίσωση f f 0Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f α,, όπου α) Να αποδείξετε ότι α = 6 β) Να υπολογίσετε την τιμή f γ) Να λύσετε την εξίσωση: f f δ) Να λύσετε την ανίσωση: f f 0 α α) Να λύσετε την εξίσωση: 0 β) Να λύσετε την ανίσωση: 6 8 0 0 γ) Να λύσετε την ανίσωση: 6 8 0 Η εξίσωση - λ + λ = Ο, όπου λ, έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, α) Να αποδείξετε ότι λ < 0 ή λ > β) Για λ : i) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες, της εξίσωσης είναι ετερόσημες ii) Αν είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης, να λύσετε την ανίσωση 0 iii) Αν είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης, να δείξετε ότι Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να δείξετε ότι για κάθε στο πεδίο ορισμού της ισχύει ότι f() = 8 f 0 γ) Να λύσετε στο την ανίσωση: Δίνεται η ακολουθία πραγματικών αριθμών α ν, ν, η οποία είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω και της οποίας ο έβδομος όρος είναι: α7 και η συνάρτηση f α α α, όπου α και α, ο πρώτος και ο τέταρτος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου α) Να βρείτε τους α και α β) Αν α και α 5 και, είναι οι ρίζες της εξίσωσης f 0, να
υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: i) A ii) B iii) Γ 00 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση: B A Γ, όπου Α,Β,Γ είναι οι τιμές των παραστάσεων που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα β 5Δίνεται το τριώνυμο λ 5λ, λ α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και το πρόσημό της για τις διάφορες τιμές του λ β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: i Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες ii Η συνάρτηση f λ 5λ έχει πεδίο ορισμού το γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ, για την οποία το τριώνυμο έχει δύο ρίζες, με wwwaskisopolisgr 6Δίνεται η εξίσωση Δ Δ 0 () όπου Δ είναι η διακρίνουσα της α) Να βρείτε τις τιμές του Δ και το πλήθος των ριζών της () Για Δ = 5, θεωρούμε τις συναρτήσεις g 5, f όπου, είναι οι ρίζες της εξίσωσης () g 5 β) i Να αποδείξετε ότι ii Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να απλοποιήσετε τον τύπο της iii Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C g 7 Δίνεται η συνάρτηση f κ, κ α) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το Α, β) Να βρείτε την τιμή του κ για την οποία το σημείο Μ, ανήκει στη γραφική παράσταση της f 8α) Έστω σημείο M 6,, Να βρεθούν τα ώστε το Μ να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο β) Αν A το σύνολο λύσεων της ανίσωσης 6 0 τότε: i αν A, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της παράστασης ii αν A να λύσετε την ανίσωση 6 9 α f 9 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f γ) Δίνεται η συνάρτηση ii Να βρείτε το α, αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το 5 A, 5 5
wwwaskisopolisgr Η συνάρτηση f 9Δίνονται οι ευθείες (ε ): y α, (ε ): y α 5 α) Αν οι (ε ) και (ε ) είναι παράλληλες να βρείτε το α β) Για α = να βρείτε : i) τις συντεταγμένες του σημείου Α που η (ε ) τέμνει τον άξονα y'y καθώς και του σημείου Β που η (ε ) τέμνει τον άξονα ' ii) την απόσταση ΑΒ y α) Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες οι ευθείες (ε ) και (ε ) είναι κάθετες β) Για α= Να βρεθεί το σημείο τομής Α των ευθειών (ε ) και (ε ) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α από την αρχή των αξόνων γ) Για ποια τιμή του λ το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο: 0Δίνονται οι ευθείες (ε ): y α και (ε ): f λ, δ) Για λ 0 να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα Δίνεται η συνάρτηση f f f α) Να δείξετε ότι α= - και β= - 5 α 5, 5, α,β β, 5 β) Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες ε : y λ f ε : y λ f να είναι παράλληλες και 6 για την οποία ισχύουν: f f και γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: f λ ε :y λ, ε :y α) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι παράλληλες β) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών λ ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι κάθετες μεταξύ τους Δίνονται οι ευθείες ε και ε με εξισώσεις Δίνεται η συνάρτηση f λ όπου λ, πραγματικοί αριθμοί, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία με εξίσωση y λ α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού λ έτσι ώστε η ευθεία με εξίσωση y λ σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5 ο β) Για λ = : i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες, y'y κα να τη σχεδιάσετε ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα f α f iii)να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει Α Δίνεται η εξίσωση λ λ όπου λ α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση ως προς
wwwaskisopolisgr την οποία και να προσδιορίσετε β) Αν η λύση της παραπάνω εξίσωσης για κάθε τιμή του λ είναι: λ, να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ για τις οποίες η λύση αυτή, απέχει από τον αριθμό απόσταση που δεν ξεπερνά το y μ μ, μ y μ μ, μ Β Δίνονται οι ευθείες ε : και ε : Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου μ,για τις οποίες η ευθείες ε, ε σχηματίζουν με τον άξονα, αντίστοιχα αμβλεία και οξεία γωνία 5Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση: α) Είναι παράλληλη στην ευθεία y = ; β) Σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα ; γ) Διέρχεται από την αρχή 0(0 0) των αξόνων: y α α α, α Για ποιες τιμές του α η ευθεία ε: 6Έστω η συνάρτηση f k, k της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(, -) α) Να αποδείξετε ότι k = - και να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες και yy y β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο B,f και είναι παράλληλη στην ευθεία ζ με εξίσωση: y = + 05 γ) Έστω Κ(,α), Λ(,β), Μ(5, γ) τρία σημεία που ανήκουν στην ευθεία ε Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β, γ με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου 7 Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να αποδείξετε ότι f 0 έχει δύο ρίζες άνισες β) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης f 0 f 0 f f 0 A f f 0 f 0 f f 0 f 0 B Γ, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 7 γ) Αν A, B και Γ B 0 i Να σχεδιάσετε την ευθεία y Γ σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οy A ii Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ε με τους άξονες, y y 7