Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com У часопису МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (види [5]) објављен је рад Од површине троугла до одређеног интеграла. Овај рад представља наставак тог рада. Нека је криволинијски троугао ABC равна фигура ограничена дужима CA, CB и кривом линијом BA одређене са y=y(x), односно F(x,y) = као на слици. и нека је функција y=y(x) диференцијабилна на [a,b]. Задатак је израчунати површину ове равне фигуре. Слика. Означимо са P(x) површину фигуре АСE, са P(x+h) означимо површину фигуре АСD, са P означимо површину фигуре EСD (видети слику ), где је a x b, x + h b и h >. Слика.
P = P(x + h) P(x) Тада је: P [p(y(x + h) y(x)) + (x + h)(y(x) q) + x(q y(x + h))] (Напомена: На десној страни примењена је формула за израчунавање површине троугла на троугао CDE, види [5] стр. 49) P [p(y(x + h) y(x)) + xy(x) qx + hy(x) hq + qx xy(x + h)] P [hy(x) hq + p(y(x + h) y(x)) x(y(x + h y(x))] P h y(x + h) y(x) y(x + h) y(x) [y(x) q + p x ] h h P P (y, x, p, q) = lim h = [y(x) q + p lim y(x+h) y(x) y(x+h) y(x) h h -x lim h h ] h Означимо P (y,x,p,q) са P (x) Добијамо: () P (x) = (y(x) q + (p x)y (x)) Ако посматрамо зависност величине P (y,x,p,q) од функције y(x), онда P (y,x,p,q) можемо означити са P (y). Овде P (y) можемо схватити као неко пресликавање са скупа диференцијабилних функција у скуп функција, по формули (), слично као што је то код извода. Тада имамо: ) P (k y + k y ) = k P (y ) + k P (y ) + q(k + k ), k, k ϵr, односно n i= n i= n i= ) P ( k i y i ) = k i P (y i ) + q( k i ), k, k,, k n ϵr. Доказ: P (k y +k y ) = [(k y +k y )-q+p(k y +k y ) - x(k y +k y ) ] = [k y +k y -q+pk y +pk y - xk y - xk y ] = [(k y -k q+pk y -xk y ) +(k y -k q+pk y - xk y )+k q+k q-q] = k (y -q+py -xy )+ k (y -q+py -xy )+ q(k +k -) =k P (y )+k P (y )+ q(k +k -). Индукцијом се доказује ). Ако је q=, онда вреди линеарност, тј. P (y +y ) = P (y )+P (y ) и P (kу) = kp (у). Из () излази
P ( y q ( p x) y ) dx. Нека је P ( y) ( y q ( p x) y ) dx, тада важи: 3) P(k y +k y ) = k P(y )+k P(y )+ q(k +k -) dx, k, k ϵr, односно n i= n i= n i= 4) P( k i y i ) = k i P(y i ) + q( (k i ) dx, k, k,, k n ϵr. Из () долазимо до формуле: b a () P = (y q + (p x)y )dx, p, q (слика 3.) Ако је q= добијамо формулу (3) P = (y + (p x)y ) односно (4) P = b (y + (p x)y )dx a (слика 4.) Слика 3. Слика 4. 3
Ако је и p= добијамо формулу (5) P = (y xy ), односно (6) P = b (y xy )dx a (слика 5.) Слика 5. Оријентација фигуре се одређује тако што се полази од B(b,y(b)) према A(a,y(a)) и наставља даље док се не дође до В. Ако је на тај начин фигура позитивно оријентисана тада је P позитивно, у противном P је негативно.означимо са P површину фигуре. (Види [5] стр 5, 53, 54, 57) Ево две особине које излазе из формула () и (): b a c a b c а) P = P dx = P dx + P dx, где је a < c < b (слика 6.) b б) P dx a = P dx a b Слика 6. 4
ПРИМЕРИ У следећим примерима показаћемо примену формула (), (4) и (6) на израчунавање површина неких равних фигура. Наведени начин у наредним примерима поједностављује поменуто израчунавање. Фигуре чије површине израчунавамо су осенчане и оријентисане. Пример. Слика 7. Дато је y= x+, C(, ), p =, q=. Наћи површину фигуре са слике. y = P = (x + + x. ) = P = dx =. Пример. Слика 8. 5
Дато је y= x +, C(,3), p =, q=3. Наћи површину фигуре са слике. y = P = (x + 3 +. x. ) = P = dx =, P = (површина посматране фигуре) Пример 3. Слика 9. Дато је y = x, С(,), p=, q =. Наћи површину фигуре са слике. y = x P = (x x. x) = x P = x dx = [ P = 6 x 3 3 ] = = 6 Пример 4. Дато је y = x, С(, ), p=, q =. Наћи површину фигуре са слике. 4 4 y = x P = (x + x 4 x. x) P = ( x + x 4 ) 6
P = ( x + x 4 ) dx = P = 4 [ x3 3 + x 4 x] = ( 3 + 4 ) = 4 Пример 5. Слика. Слика. 7
Дато је y = -x +4x, С(,), p=, q =, А(-,5), В(6,-) где су А и В тачке на параболи. Наћи површину фигуре са слике. y = -x+4 P = [ x + 4x + ( x + 4) x( x + 4)] P = (x x + 4) 6 P = (x x + 4)dx = (x3 3 x + 4x) 6 = [( 6 3 6 + 4.6) ( ( )3 ( ) + 4( ))] = 98 3 3 3 Уколико линија којом је ограничена фигура није проста и имамо делове фигура који су позитивно оријентисани и делове који су негативно оријентисани, онда ће примена формуле () довести до резултата који је једнак разлици површина позитивно и негативно оријентисаних делова. Резултат у општем случају може бити и позитиван и негативан (види [5], стр. 53, слика 5; стр.57, слика ). Пример 6. Слика. Дато је y = x, С(,), p=, q =. Наћи Р. 4 4 y = x P = (x + x 4 x. x) ) P = ( x + x) 8
P = 3 ( x + x) dx = ( x 3 x + ) = 4 ( 3 + 3 ) = 4 Пример 7. Слика 3. Дато је y = sinx, С(π,), p=π, q =. Наћи Р. y = cosx P = (sinx + πcosx xcosx) P = 3π (sinx + πcosx xcosx) dx 3π P = ( cosx + πsinx xsinx cosx) = + π 4 У наредним примерима криве су задате параметарски. Ако се функција y(x) може параметризовати као x=u(t), y=v(t), тада је y x = dy dy = dt dx dx = v (t) dt, односно y u (t) x = v t dx = u t dt. Формула () тада постаје P = β [v(t) q + (p u(t)) v t u t ] u t dt. u t и 9
Пример 8. Слика 4. Дато је x +y =, С(,), p=, q =. Наћи површину осенчаног дела фигуре са слике. x =cost y = sint x t = -sint y t = cost y x =- P = cost cost (sint + cost sint sint ) cos t sin t P = sin t cos t + cos t sint P = cost sint P = cost ( sint)dt = ( cost)dt = ( cost)dt = sint = (t- sint) = (-sin). За неке специјалне вредности угла биће: = π 6, P = (π 6 - sinπ 6 ) = (π 6 - ) = π, P = (π - sinπ) = π = π, P = (π - sinπ) =π.
Пример 9. Слика 5. Дато је x +y =, С(,), p=, q=. Наћи површину осенчаног дела фигуре са слике. x =cost y = sint x t = -sint y t = cost y x =- P = cost (sint + cost ) = sint sint cos t sin t P = sint ( sint)dt = dt = β dt = ( t) β = (β ) β Пример. β Слика 6.
Дато је b x +a y = a b, С(a,), p=a, q =. Наћи површину осенчаног дела фигуре са слике. x =acost y =b sint x t = -asint y t = bcost y x = bcost P = bcost (bsint a asint absin t abcost + abocs t P = P = b cost sint asint P = b cost ( asint)dt sint = ab bcost + acost asint ) = cost ab asint asint ab ab ( cost)dt = ( cost)dt = (t sint) = ab ( sin) За неке специјалне вредности угла биће: = π, P =ab (π - sinπ ) =ab (π - ) = π, P = ab abπ (π - sinπ) = = π, P = ab (π - sinπ) =abπ. Пример. Слика 7. Дато је b x +a y = a b, С(,), p=, q =. Наћи површину осенчаног дела фигуре са слике.
x =acost y =b sint x t = -asint y t = bcost y x =- P = P = (bsint+acost bcost asint ) b(sin t+cos t) = b sint sint P = b ( asint)dt = ab β dt = ab β t β sint Пример. = ab bcos t asin t (β ). 3 3 Слика 8. 3 Дато је x y a, а>, C(,), p=, q=. Наћи површину осенчаног дела астроиде (слика 8.). x =acos 3 t, y = asin 3 t, x t = -3acos tsint, y t = 3asin tcost y x = 3asin tcost 3acos tsint = sint cost P = (asin3 t + acos 3 t sint cost ) P = a (sin3 t+cos tsint) = a sint P = a sint 3acos t (-asint) dt = 3a sint tcos t dt = = 3a 4 sin tdt = 3a cos4t 8 dt = 3a 6 За неке специјалне вредности угла биће: sin4t (t - 4 ) sin4 =3a ( - 6 4 ). 3
= π 4, P =3a 6 (π 4 - )= 3a π 64 = π, P π =3a 3 = 3π 4, P π =9a 64 = π, P = 3a π 6 = π, P = 3a π 8. Пример 3. Слика 9. Наћи површину између једног лука циклоиде задате параметарским једначинама x=a(t sint), y = a( cost) и x-осе (слика 9.), где су C(,), p= и q=. x t = a( cost), y t = asint asin t sin t y x = = a( cos t) cos t P = [a( cost)- a(t sint) sin t ] = cos t = a cos t cos t t sin t sin cos t P = a π cost tsint cost ( cost)dt = a P = a (t-sint+tcost-sint) π =3a π. t = a cos t t sin t cos t π ( cost tsint)dt 4
Пример 4. Слика. Наћи површину петље Декартовог листа (слика ). Декартов лист је задат алгебарском једначином x 3 +y 3 = 3axy, a> где је његова асимптота x+y+a =. y = tx x 3 (+t 3 ) =3atx x = 3at 3at y= +t3 +t 3 x t = x t = 3a( t3 ) (+t 3 ) y t = 3a(t t4 ) (+t 3 ) y x = t t t 3 P = (at +t 3 3at +t 3 t t4 t 3) 3at t t4 +t 3 +t 3 t 3) 3a( t3 ) (+t 3 ) P = (at P = 9a t ( + t 3 ) ( + t 3 ) 3 P = 9a d(+t3 ) 3 (+t 3 ) dt dt = 9a t ( + t 3 ) dt dt = 3a +t 3 = 3a (Напомена: Види [6], стр. 48, Пример 7) ЛИТЕРАТУРА [] M. Марјановић, Математичка анализа I, Научна књига, Београд, 983. [] J. Д. Кечкић, МАТЕМАТИКА са збирком задатака за IV разред средње школе, НАУКА, Београд, 99. [3] Т. Пејовић, Математичка анализа, Грађевинска књига, Београд, 97. [4] Д. Тошић, Математика III, Академска мисао, Београд 6. [5] Ж. Ђурић, Од површине троугла до одређеног интеграла, Математика и информатика, :4 (5), 49 7. 5
[6] М. Обрадовић, Д. Георгијевић, МАТЕМАТИКА са збирком задатака за IV разред средњег образовања и васпитања, Научна књига, Београд, 99. 6