ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1) 81 0 x 18 0. Να λύσετε τις εξισώσεις : x x x i) ii)) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x 7x 8 0 γ) (x ) 1(x ) 0 (x 5) 10(x 5) 9 0 (x 5) (x 5) 5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες: α) x 5x x 0 x x 7x 1 0. Να λύσετε τις εξισώσεις : α)x -8x+7=0 γ)(x -x)x+x+=0 ε)x -x -7x +8x+1=0 x -5x +x +x-=0 (x- 1)(x +)- (x+)=0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x 5x 5x 1 0 x 10x x 0 5 γ) x x 10x 8 0 x 19x 1x 19x 0 ε) x 1x 1x 0στ) x x x 8 0 ζ) x 5x 10x 8 0 η) x x x 9 θ) x 8x 1x 1 0ι) x 5x 8x 7x 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x x 7x 0 γ) x x 10x 0 9. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x x 7x 8x 1 0 γ) x 8x x 0 1 x 5x 11x 0 x 9x 7x 0 x x x x 8 0 x x x 18 0
10. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x(x 1) x 5 (x ) (x 1) 15x (x )(x ) γ) (x )(x ) x(x 1) x(1 x) (x ) 1 x(x 1) 7x (x )(x ) 11. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τον άξονα χ χ: α) f (x) x 8x 15x f (x) x x x 9x 1. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f και g α) f (x) x x 5x 7x και g(x) x x f (x) x x 7 και g(x) x 5x 5x x x 1. Δίνεται η συνάρτηση : f (x) x 15x 10x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1 17 1 1 1 1 α) x x x 0 x x x x 0 1 1 7 1 1 1 γ) x x x x 0 1 1 1 x x x x 0 8 8 15. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x x x 1x 8x 0 5 x 5x x 15x x 0 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 11x 0 9 x 5x x 1 0 γ) x 1x 1 0 x x 0 17. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x 1) 8(x 1) 17(x 1) 10 0 (x ) (x ) 11 0 γ) (x x ) 10(x x 1) 9 0 (x x 5) 5(x x ) 7(x x ) 0 0 18. Να λύσετε τις εξισώσεις: α)x -9x +8=0 (x +x-) -9(x +x-) +8=0 γ)(x+) 8 -(x+) -=0 (x - 11 x + 1) - (x - 11 x + 1) - = 0
x 1 x 1 ε) ( ) 5( ) 0 x x 19. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5x 8x 5x 0 1x 8x 9x 8x 1 0 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x 1)(x )(x )(x ) (x 1)(x )(x )(x 5) 0 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x 1 7 x 1 8 0 x x 1 8 x x 1 0 γ) x x 10 x x 5 9 0 x 1x 10x 0. Να λύσετε τις εξισώσεις : 1 1 α) x 1 7 x 1 8 x 5 x 8 0 x x 1 1 1 γ) x 15 x x 7 0 x x x. Αν κ ακέραιος αριθμός να δείξετε ότι η εξίσωση: 5x 9 1 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες.. Αν κ, λ ακέραιοι αριθμοί να δείξετε ότι η εξίσωση: ακέραια λύση. 8 x (k 1)x 1 0 δεν έχει 5. Δίνεται η εξίσωση x 5 - αx + βx + x - 1 = 0. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εξίσωση να έχει το ανώτερο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών. 010 009 010. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) (x 1) (x 1) (x) x x α) Να βρείτε τον σταθερό όρο του P(x) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες του P(x) 7. Το πολυώνυμο : P(x) x (1)x 8 έχει παράγοντα το x-. 8. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) x x x 1.Tο υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x+1 είναι -1. 9. Το πολυώνυμο P(x) x x έχει παράγοντα το x+.tο υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι -18. α)να βρείτε τις τιμές των α,β R Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
0. Δίνεται το πολυώνυμο x x. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R 1. Δίνεται το πολυώνυμο x x 1. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R P(x) x x x,το οποίο έχει παράγοντα το P(x) x x x,το οποίο έχει παράγοντα το. Το πολυώνυμο : P(x) 8x 0x 1 έχει παράγοντα το x.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x 11x διέρχεται από το σημείο Μ(-1,). Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x 5x τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ 5. Δίνεται η εξίσωση x ( )x 0,με α Z α) Να βρείτε για ποια τιμή του α Z η παραπάνω εξίσωση έχει ακέραια ρίζα Για τη μικρότερη τιμή του α που βρήκατε στο ερώτημα (α),να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Το πολυώνυμο P(x) x x 5 x,με α,β Z έχει δύο ακέραιες και αρνητικές ρίζες. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β Z 7. Το πολυώνυμο P(x) x x x 1,με α,β Z έχει δύο ακέραιες ρίζες. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β Z 8. Το πολυώνυμο P(x) x,με α,β,γ Z και α 0 έχει δύο ακέραιες και περιττές ρίζες. α) Να βρείτε την τιμή του β και να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και γ είναι αντίθετοι Να εκφράσετε την τρίτη ρίζα του P(x) σαν συνάρτηση του α 9. Το πολυώνυμο : P(x) x 9x 9 x έχει παράγοντα το x. α) Να αποδείξετε ότι β=0 Αν το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης P(x)=0 είναι,να βρείτε το α.
0. Δίνεται η εξίσωση x 5 + x + κx + λ = 0. Να προσδιοριστούν οι κ, λ ώστε το πολυώνυμο να έχει ρίζα το - 1 με πολλαπλότητα (διπλή ρίζα). Μετά να βρεθούν και οι άλλες ρίζες της εξίσωσης. 1. Αν το p. Αν το p x διαιρεί το P(x)=x +αx+β τότε δείξε ότι 0 x είναι παράγοντας του πολυωνύμου P(x)=x +αx +βx+γ δείξε ότι ο p είναι ρίζα της εξίσωσης αx +βx+γ=0. Αν το x p διαιρεί το f(x)=x -αx+β. Δείξτε ότι το x είναι παράγοντας του Ρ(x)= x 7x x 1x και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση P(x)=0. x 5. Να βρεθούν τα α, β ώστε το P(x)= x 9x x τους x- και x-. να έχει παράγοντες. Να βρεθεί ο α ώστε το πολυώνυμο P(x)= x 1 x 5x διαιρούμενο με x+1 να δίνει υπόλοιπο 15 και κατόπιν να λυθεί η εξίσωση P(x)=15. 7. Να βρεθούν τα α, β ώστε το P(x) = x x 5x να διαιρείται με τη μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x-1 και κατόπιν να λυθεί η εξίσωση P(x)=0. 8. Αν το P1 x έχει παράγοντα το 1 P x έχει παράγοντα το x-1. x δείξτε ότι το 9. Δείξτε ότι το πολυώνυμο P x 1 x x x 1, * όλους τους παράγοντες του x x x έχει παράγοντες 50. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x-)(x-) αν είναι γνωστό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x- είναι 10 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x- είναι ίσο με το 15. 51. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x 8x. Να βρείτε τα α,β R διαιρείται με το (x+)(x-). να 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε το πολυώνυμο P x x 1 να διαιρείται δια του x 1 5. Για ποιες τιμές των α,β R το P x x x έχει παράγοντες τους x-1, x+. Για τις τιμές αυτές να λυθεί η εξίσωση P(x)=0 5