ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση = (1) έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. 7 3 Θεωρούμε την συνάρτηση f = η οποία έχει πεδίο ορισμού το. 7 Επειδή η f είναι συνεχής, γνήσια αύξουσα και lim f = lim =, lim f + 7 lim + = = +, το σύνολο τιμών της είναι όλο το. Αφού το (, + ) =, η εξίσωση f = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο. Σημείωση: Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση περιττού βαθμού έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο. Το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης βρίσκεται με την εφαρμογή του Θ.Rolle. Έστω ότι η ( 1) έχει δύο ρίζες 1,δηλαδή f( 1) = f =. Υποθέτουμε ότι 1 < και f = θα έχει,. Άρα η εξίσωση = + + > άτοπο. Οπότε η εξίσωση εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [ ] 1 6 τουλάχιστον μία ρίζα, αλλά f ακριβώς μία πραγματική ρίζα. f = έχει 1

2 Άσκηση. Να δείξετε ότι η εξίσωση πραγματικές ρίζες. +α +β= e με αβγ,, έχει το πολύ τρεις διαφορετικές Θεωρούμε την συνάρτηση f = +α +β e η οποία έχει πεδίο ορισμού το. Θα αποδείξουμε με την σε άτοπο απαγωγή. Έστω ότι η εξίσωση f = έχει τέσσερις ρίζες. Tότε, αφού η f είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων άρα και συνεχής, από Θεώρημα του Rolle η f = έχει τουλάχιστον τρεις ρίζες. Και ομοίως η f = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες και η f = έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Aλλά f = 4 +α e, f 4 4e f = έχει το πολύ τρεις ρίζες. = και η f = 8e άτοπο, άρα η εξίσωση

3 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 1. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα [, ] f( με την βοήθεια της συνάρτησης g e ) ( )( ) ( αβ ) τέτοιο ώστε f ( ), 1 1 = + α β αβκαι παραγωγίσιμη στο( αβ, ). Να δείξετε = α β, ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον. Η g( ) είναι συνεχής στο [ αβ, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) αβ. g( α ) = g( β ) = από Θεώρημα του Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) ώστε g ( ) =. f f( Αλλά ) f( g = e f α β + e ( β ) + e ) ( α ). Για = έχουμε αβ τέτοιο g = e f α β + e β + e α = ή f f f f α β + β + α = ή f α β = α + β ή ( ) f = ( α ) + ( β ) ( α)( β) ή 1 1 f ( ) = + α β 3

4 Άσκηση. = +α με α> και [, 4] με f = f( 4). Αν η στο διάστημα [, 4 ], να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, 4) f ( ) ln + f ( ) =. Δίνεται η συνάρτηση h f ln ( ) f παραγωγίσιμη στο διάστημα h ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle έτσι ώστε Επειδή η συνάρτηση h f ln ( ) = +α ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [, 4 ], θα έχουμε h = h( 4) ή f ln ( 4 + α ) = f ( 4) ln ( α) f ( 4) ln ( 4 + α ) = f ( 4) ln ( α ) ln ( 4 + α ) = ln ( α) ln ( 4 + α ) = ln ( α) 4+ α = 16+ 4α α + 3α= α= ή α= 3. Το 3 α=. α= απορρίπτεται, άρα α= h = f ln = f ln με την f ορισμένη στο [ ] στο(,) (, + ), τότε το πεδίο ορισμού της h f ln συνόλων. Δηλαδή, το D = [, 4] και h = f ln + f. Αν h, 4 και τηνln = είναι η τομή των δύο, 4 Επειδή ισχύει το Θ. Rolle, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε h = ή f ( ) ln + f ( ) = ή f ( ) ln + f ( ) = ή f ln + f =. ή 1 f ln + f = 4

5 Άσκηση 3. Να δείξετε ότι η ευθεία y=α +β, α έχει με την γραφική παράσταση της συνάρτησης f = e το πολύ δύο κοινά σημεία. Τα κοινά σημεία της ευθείας και της C f βρίσκονται από την λύση της εξίσωσης α +β= e ή e α β=. Θεωρούμε την συνάρτηση g = e α β, η οποία ορίζεται στο A= Dg =. g είναι παραγωγίσιμη ως Έστω ότι η εξίσωση g = έχει τρεις ρίζες τότε, αφού η άθροισμα παραγωγισίμων και άρα και συνεχής στο. Από το Θ. Rolle η εξίσωση g = ή e α= έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για τη συνάρτηση g = e α, η οποία είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων, άρα και συνεχής. Οπότε η εξίσωση = = θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα, το οποίο είναι άτοπο γιατί e >. g e Άρα η ευθεία y έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. =α +β και η συνάρτηση f e = δεν έχουν τρία κοινά σημεία, επομένως 5

6 Άσκηση 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f = e + και g = e + 4. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο να προσδιοριστεί. Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f,g αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f g =. f = g e + = e + 4 e e + 4=, η οποία έχει προφανή Έχουμε λύση την =. Θα δείξουμε ότι η λύση αυτή είναι μοναδική με τη βοήθεια του θεωρήματος του Rolle. Έστω ότι η εξίσωση e e 4 + = έχει δύο ρίζες τις 1 =,. Η συνάρτηση [, ] [, ] ή. 1 1 h = e e + 4 είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο διάστημα h( 1) h (, ) ή (, ) τέτοιο ώστε h ( ) =. Όμως = =, άρα ισχύει το Θ. Rolle, έτσι θα υπάρχει τουλάχιστον ένα 1 1 άτοπο. h = e + e +, Άρα η εξίσωση e e 4 + = έχει μοναδική ρίζα. Σημείωση: Η συνάρτηση h = e e + 4 είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα γνήσια αυξουσών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις e (σαν σύνθεση δύο αυξουσών συναρτήσεων των e, ), e (σαν σύνθεση δύο φθινουσών συναρτήσεων των e, ) και 4 είναι αύξουσες, άρα η εξίσωση h = e e + 4 = έχει μοναδική λύση την =. 6

7 Άσκηση 5. 3 α β α β f = + +δ + γ δ +δ με + +γ=. Να δείξετε ότι 3 3 ξ,1 έτσι ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f Έστω η συνάρτηση υπάρχει τουλάχιστον ένα στο σημείο M( ξ, f ( ξ )) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. (Γενικές Εξετάσεις - 199) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε A,f f ξ. ένα σημείο ( ξ ( ξ) ) είναι ο αριθμός Για να είναι παράλληλη προς το, αρκεί να ισχύει f ( ξ ) =. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση f στο διάστημα [,1 ]. Η f είναι συνεχής στο [,1] ως πολυωνυμική. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,1) ως πολυωνυμική. f( ) = δ, f( 1) α β 3 = + +γ+δ=δάρα f f( 1) = = δ. f ξ =. Άρα ισχύει το Θ. Rolle, έτσι θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,1) τέτοιο ώστε 7

8 Άσκηση 6. Να δείξετε ότι η εξίσωση πραγματικές ρίζες. 4 + e = με αβγ,, έχει το πολύ δύο διαφορετικές Η εξίσωση 4 4 e 3 1 e = + + =. f = + e 3 1. Θεωρούμε την συνάρτηση 4 Έστω ότι η εξίσωση f = έχει τρείς ρίζες. Αφού η f είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων, άρα και συνεχής. Από το Θεώρημα του Rolle, η εξίσωση f = θα έχει τουλάχιστον δύο ρίζες και ομοίως η εξίσωση f = μία τουλάχιστον ρίζα. 3 Έχουμε όμως f = 4 + e 3και f = 1 + e > για κάθε, άρα άτοπο. Επομένως η εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες. 8

9 Άσκηση 7. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (, + ), έτσι ώστε να ισχύει f + f 6 = 3ln + 11 (1) για 1 πολύ σε ένα σημείο. >. Να δείξετε ότι η Cf τέμνει τον άξονα το Έστω ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία A( 1,f ( 1) ), B(,f ( ) ), έτσι έχουμε f( 1) = f =. Υποθέτουμε ότι 1 <. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση f στο διάστημα [ 1, ] (, + ). Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ 1, ], άρα και συνεχής. f = f = 1 Άρα ισχύει το Θ. Rolle, έτσι θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο ώστε Παραγωγίζουμε τη σχέση (1), έτσι έχουμε 3 f f + f 6= (). 1 ( f f 6) ( 3ln 11) + = + Η () για = ξ γίνεται f ( ξ) f ( ξ ) + f ( ξ) 6 = και επειδή ξ 3 f ξ =, θα έχουμε f ξ =. 3 6 =. ξ Το οποίο είναι αδύνατο (άτοπο) γιατί ξ>, άρα η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα σε δύο σημεία, οπότε θα τον τέμνει το πολύ σε ένα σημείο. 9

10 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση 1. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f( ) με πεδίο ορισμού το και α ώστε f ( α+ 1) = ef ( α ). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α, α+ 1) έτσι ώστε f ( ) = f( ). = θέτουμε όπου Στη σχέση f f είναι ρίζα της εξίσωσης f = f. Είναι: το και έτσι έχουμε f f Θεωρούμε την συνάρτηση g e f διάστημα [ α, α+ 1]. Επομένως είναι και συνεχής στο [ α, α+ 1]. f = f() f f = e f e f = e f =. =. Δηλαδή το =, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και στο Επίσης g e α α 1 α 1 α α = f( α ) και g( 1) e f( 1) e e f e f g Άρα η συνάρτηση g e f επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α, α+ 1) έτσι ώστε g ( ) =, αλλά g = ( e f( ))' = e f + e f g = e f e f = f ( ) f( ) = f ( ) = f( ). α+ = α+ = α = α = α. = ικανοποίει όλες τις υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, 1

11 Άσκηση. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [,1 ] με τουλάχιστον ένα (,1) τέτοιο ώστε f ( ) 3 f( ) f 1 = 1, τότε να δείξετε ότι υπάρχει = (1). Στη σχέση (1), θέτουμε όπου το και έτσι έχουμε f = 3 f, (,1). Δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης f = 3 f, (,1). Είναι: f () = 3 f() f () + f() 3 = f () + f () 3 = =. 3 f() g f 3 =. Θεωρούμε την συνάρτηση Η g είναι παραγωγίσιμη στο [,1] ως άθροισμα παραγωγίσιμων (άρα και συνεχής στο [,1 ]). g = και g1 f1 1 Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα (,1) έτσι ώστε = =, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. g =. ή ( f + f 3) = f + f 3 =, ( (,1) ) g = f g = f + f 3 g = f + f 3 = 3 f 3 f f 3 f = = 11

12 Άσκηση 3. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το[ 1, e ], έτσι ώστε να ισχύει f( e) f( 1) = + 1 (1). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( 1, e) έτσι ώστε η e εφαπτομένη της B,. Cf στο σημείο A(,f ( ) ) να διέρχεται από το σημείο ( ) Cf στο σημείο ( ) Για να διέρχεται η ( ε ) από το σημείο Η εξίσωση της εφαπτομένης της A,f είναι η ευθεία ε :y f = f. B, αρκεί να δείξουμε ότι: f f + Β ( ε) f = f ( ) f f + = = f f 1 f() + = g ( ) =. Όπου g() = + ln, [1, e]. Δηλαδή η εξίσωση g () 1, e. = να έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Η συνάρτηση g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [ 1, e] διότι: Η g είναι παραγωγίσιμη στο [ 1, e] σαν άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων (άρα και συνεχής). f( 1) ( 1 f e f e ) g ( 1) = + ln1 = f ( 1) και g ( e) = + ln e = + 1 = f ( 1), άρα η εξίσωση 1 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα ( 1, e ). e e g = 1

13 Άσκηση 4. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [ αβ,, ] με α β ( αβ, ) και οι μιγαδικοί αριθμοί z = e + if ( α ), w = f ( β) ie. α) Αν α και z = 1 να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α. f για κάθε β) Αν Im ( zw ) = να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( αβ, ) έτσι ώστε γ) Αν ο μιγαδικός αριθμός u zw I f ξ = f ξ. ώστε f =. = να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) ξ α β, έτσι α) α α α α z 1 e if 1 e f 1 e f 1 f 1 e = + α = + α = + α = α = α α και επειδή α α=. α α 1 e e e α β α β α+β ( ) ( ) zw = e + if α f β ie = e f β + f α e + i f α f β + e (1) β) α+β Im zw = f α f β + e = f α f β = e <. α+β Έχουμε Η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [ αβείναι, ] παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής. Επίσης f( α) f( β ) <, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Bolzano, επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ( αβ, ) τέτοιο ώστε f( ) =. Θα δείξουμε ότι η εξίσωση f = έχει ακριβώς μία ρίζα με την μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Έστω ότι έχει δύο ρίζες. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο [ αβ,, ] άρα και συνεχής στο [ αβ,, ] από το θεώρημα του Rolle η εξίσωση f έχουμε f. α γ) Από τη σχέση (1) έχουμε = έχει τουλάχιστον μια ρίζα, άτοπο. Γιατί ( α) f( β) β f u = zw I e f β + f α e = = (). α β e e f Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση g = στο διάστημα [, ] Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] e αβ, άρα και συνεχής. αβ. 13

14 f g ( α ) =, α e α του Rolle. ( ) f β g β = g α = g β, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος e β g ξ =. Επομένως θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α, β ) τέτοιο ώστε Έχουμε όμως ότι g = = = e f f ξ ξ g ξ = = f ξ = f ξ e ξ ( e ) f f e f e f f e Ημερομηνία τροποποίησης: 31/8/11 14