ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ

ΠΕΙΡΑΜΑ ΔΙΑΔΙΚΑΙΑ ΠΟΤ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΥΘΕΙ ΑΠΕΙΡΕ ΥΟΡΕ, ΚΑΣΨ ΑΠΟ ΣΙ ΙΔΙΕ ΤΝΘΗΚΕ, ΔΙΝΟΝΣΑ ΚΑΠΟΙΟ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑ ΣΟ ΣΕΛΟ ΚΑΣΗΓΟΡΙΕ ΠΕΙΡΑΜΑΣΨΝ ΝΣΕΣΕΡΜΙΝΙΣΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΣΑ ΣΤΦΗ

ΔΕΙΓΜΑΣΟΦΨΡΟ ΣΟ ΤΝΟΛΟ Ω ΟΛΨΝ ΣΨΝ ΔΤΝΑΣΨΝ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑΣΨΝ ΕΝΟ ΠΕΙΡΑΜΑΣΟ ΕΝΑ ΠΙΘΑΝΟ ΑΠΟΣΕΛΕΜΑ ΟΝΟΜΑΖΕΣΑΙ ΔΕΙΓΜΑΣΟΗΜΕΙΟ Η ΑΠΛΟ ΓΕΓΟΝΟ ΚΑΣΗΓΟΡΙΕ ΔΕΙΓΜΑΣΟΦΨΡΨΝ ΔΙΑΚΡΙΣΟΙ ΤΝΕΦΕΙ

ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ ΑΝ { 1, 2,..., n}, ΑΝΣΙΣΟΙΦΙΖΕΣΑΙ Ε ΚΑΘΕ α j ΕΝΑ ΑΡΙΘΜΟ ΜΕΣΑΞΤ 0 ΚΑΙ 1, p j, ΜΕ p j 1, Ο ΟΠΟΙΟ ΔΕΙΦΝΕΙ ΣΟ ΠΟΟ ΕΙΝΑΙ ΔΤΝΑΣΟ ΝΑ ΤΜΒΕΙ ΣΟ α j P{α j }=p j =πιθανότητα του α j ΑΝ Α ΤΠΟΤΝΟΛΟ ΣΟ Ψ, ΣΟΣΕ ΣΟ Α ΛΕΓΕΣΑΙ ΓΕΓΟΝΟ ΚΑΙ ΑΝ A,,..., } ΣΟΣΕ P A { i1 i2 ik p p... i1 i2 p ik

P{Ψ}=1 ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ A 1 0 P ΑΝ A, B ΚΑΙ A B ΣΟΣΕ: P{ A B} P{ A} P{ B}

ΦΕΣΙΚΗ ΤΦΝΟΣΗΣΑ Ψ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ ΕΣΨ ΟΣΙ ΕΝΑ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΦΗ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΕΣΑΙ n ΥΟΡΕ. ΑΝ f(a) ΣΟ ΠΛΗΘΟ ΣΨΝ ΥΟΡΨΝ ΠΟΤ ΠΡΑΓΜΑΣΟΠΟΙΕΊΣΑΙ ΣΟ Α ΣΙ n ΕΠΑΝΑΛΗΧΕΙ ΣΟΣΕ: f A =f(a)/n=φεσικη ΤΦΝΟΣΗΣΑ ΣΟΤ Α ΘΕΨΡΨΝΣΑ ΌΣΙ ΣΟ ΟΡΙΟ ΑΤΣΗ ΣΗ ΠΟΟΣΗΣΑ (ΓΙΑ n ΣΕΙΝΕΙ ΣΟ ΑΠΕΙΡΟ) ΤΠΑΡΦΕΙ, ΣΟΣΕ Ο ΑΡΙΘΜΟ ΑΤΣΟ ΟΝΟΜΑΖΕΣΑΙ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ ΣΟΤ Α

ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΦΕΣΙΚΗ ΤΦΝΟΣΗΣΑ f Ψ =1 f A ΑΝ 0 A B ΣΟΣΕ: f AB f A f B

ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΠΕΙΡΑΜΑΣΨΝ ΣΤΦΗ

ΑΝΕΞΑΡΣΗΙΑ

ΑΝΕΞΑΡΣΗΙΑ & ΞΕΝΑ ΓΕΓΟΝΟΣΑ (ΔΤΟ ΓΕΓΟΝΟΣΑ ΕΙΝΑΙ ΑΝΕΞΑΡΣΗΣΑ ΟΣΑΝ Η ΠΡΑΓΜΑΣΟΠΟΙΗΗ ΣΟΤ ΕΝΟ ΔΕ ΔΙΝΕΙ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΕ ΦΕΣΙΚΑ ΜΕ ΣΗΝ ΠΡΑΓΜΑΣΟΠΟΙΗΗ ΣΟΤ ΑΛΛΟΤ)

ΑΝΕΞΑΡΣΗΙΑ & ΔΕΜΕΤΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ (ΣΟ ΠΑΡΑΠΑΝΨ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑΛΛΑΚΣΙΚΟ ΟΡΙΜΟ ΣΗ ΑΝΕΞΑΡΣΗΙΑ 2 ΓΕΓΟΝΟΣΨΝ)

ΘΕΨΡΗΜΑΣΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

ΛΤΗ

ΘΕΨΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ

ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΣΤΦΑΙΕ ΜΕΣΑΒΛΗΣΕ

ΟΡΙΜΟ

ΤΝΑΡΣΗΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ

ΙΔΙΟΣΗΣΕ ΤΝΑΡΣΗΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΣΤΦΑΙΑ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ

ΠΤΚΝΟΣΗΣΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ - ΔΙΑΚΡΙΣΗ Σ.Μ.

ΙΔΙΟΣΗΣΕ

ΤΝΕΦΗ ΣΤΦΑΙΑ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ ΜΙΑ ΣΤΦΑΙΑ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ Φ ΕΙΝΑΙ ΤΝΕΦΗ ΑΝ ΣΟ ΠΛΗΘΟ ΣΙΜΨΝ ΣΗ ΕΙΝΑΙ ΜΗ-ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ ΤΝΟΛΟ ΚΑΙ P(X = x) = 0

ΠΤΚΝΟΣΗΣΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ - ΤΝΕΦΗ Σ.Μ.

ΜΕΗ ΣΙΜΗ & ΔΙΑΠΟΡΑ - ΤΝΕΦΗ Σ.Μ.

ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΟΡΙΜΟ ΕΥΑΡΜΟΓΕ ΚΑΣΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΗ

ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΌΣΑΝ ΘΕΛΟΤΜΕ ΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΧΟΤΜΕ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΠΟΤ ΕΞΕΛΙΟΝΣΑΙ Ε ΦΕΗ ΜΕ ΣΟ ΦΡΟΝΟ Η ΣΟ ΦΨΡΟ, Π.Φ. ΑΥΙΞΕΙ ΠΕΛΑΣΨΝ Ε ΣΡΑΠΕΖΑ Ε ΤΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΦΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΗΜΑ, ΜΠΟΡΟΤΜΕ ΝΑ ΦΡΗΙΜΟΠΟΙΗΟΤΜΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΘΕΨΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΨΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕ ΣΤΦΑΙΨΝ ΜΕΣΑΒΛΗΣΨΝ ΜΕ ΤΓΚΕΚΡΙΜΕΝΕ ΙΔΙΟΣΗΣΕ

ΟΡΙΜΟ ΣΟΦΑΣΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΙΑ

ΣΑΞΙΝΟΜΗΗ Ψ ΠΡΟ ΣΟ ΦΨΡΟ ΣΨΝ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ ΑΝ S ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ, ΣΟΣΕ Δ ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΦΨΡΟΤ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ ΑΝ S ΜΗ-ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ, ΣΟΣΕ Δ ΤΝΕΦΟΤ ΦΨΡΟΤ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ Ψ ΠΡΟ ΣΟΝ ΠΑΡΑΜΕΣΡΙΚΟ ΦΨΡΟ ΑΝ Σ ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ ΤΝΟΛΟ, ΣΟΣΕ Δ ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΦΡΟΝΟΤ Η ΑΛΤΙΔΑ ΑΝ Σ ΜΗ-ΑΡΙΘΜΗΙΜΟ ΤΝΟΛΟ, ΣΟΣΕ Δ ΤΝΕΦΟΤ ΦΡΟΝΟΤ

ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΑΛΤΙΔΕ MARKOV ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΦΡΟΝΟΤ

Αλυσίδα Markov διακριτού χρόνου Δ με χώρο καταστάσεων S όπου ισχύει k k k k k k k k k k x X x X P x X x X x X x X P,...,, 1 1 0 0 1 1 1 1 X k S x x x k k 1 1 0,...,, 0,

Ιδιότητες αλυσίδας Markov α) Οι καταστάσεις στο παρελθόν είναι αδιάφορες β) Ο χρόνος παραμονής στην τρέχουσα κατάσταση είναι αδιάφορος γ) δ) k k m k m k k k k k m k m k k k x X x X x X P x X x X x X x X x X P,...,,...,,,..., 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1,..., k k k k m k m k k k k k x X x X P x X x X x X P

Προσδιορισμός ομογενούς αλυσίδας Markov ύνολο καταστάσεων S Αρχική κατανομή PX i, i S Πίνακας μετάβασης ενός βήματος i 0 0 P p ij i, js

P 1/ 1/ 2 4 1/ 2 3/ 4

Τπολογισμός χρονικά εξαρτημένων πιθανοτήτων Πίνακας μετάβασης k βημάτων Όπου S j i k ij k p, ) ( ) ( P i X j X P p k k ij 0 ) ( k k P P ) ( j i j i i X j X P p ij αν 0, 1,αν 0 0 0 m k m k P P P ) ( i X P k k i ) ( P π π ) ( 1 k k

Παράδειγμα Μέσα Μεταφοράς Εργαζόμενος πηγαίνει στο γραφείο με αυτοκίνητο ή μετρό Δεν πηγαίνει ποτέ 2 συνεχόμενες ημέρες με μετρό Αν μία ημέρα μετακινηθεί με αυτοκίνητο, την επόμενη δεν έχει συγκεκριμένη προτίμηση όσον αφορά το μέσο μεταφοράς

Ζητούμενα Μοντελοποίηση της διαδικασίας ως αλυσίδας Markov Ποια η πιθανότητα να μετακινηθεί με το αυτοκίνητο μετά από 2 ημέρες Ποια η πιθανότητα να μετακινηθεί με το αυτοκίνητο μετά από 2 ημέρες, εάν την πρώτη ημέρα ρίχνει ένα αμερόληπτο ζάρι και παίρνει το αυτοκίνητο αν τύχει 6

Ζητούμενο #1, k 0,1,2,... X k X k μέσο μεταφοράς την ημέρα k X k X k 0 1 αυτοκίνητο μετρό Ιδιότητα Markov

Ζητούμενο #2 P 2 P 2 PP 0.5 1 0.5 0.5 0 1 0.5 Πρώτη ημέρα μετακινείται με μετρό: 0 3/ 4 1/ 2 π( 0) 1/ 4 1/ 2 0 1 (2) 3/ 4 1/ 4 π 2 π 0 P 0 1 1/ 2 1/ 2 Πρώτη ημέρα μετακινείται με αυτοκίνητο: π 0.5 0.5 3/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 2 1 0 π 0 (2) 2 π0 P 1 0 3/ 4 1/ 4

Ζητούμενο #3 π 0 1/ 6 5/ 6 π (2) 2 π0 P 1/ 6 5/ 6 13/ 24 11/ 24 3/ 4 1/ 2 1/ 1/ 4 2

Παράδειγμα Τπολογιστικό σύστημα (1/2) 2 παράλληλοι επεξεργαστές Διακριτός χρόνος (sec) Μία εργασία υποβάλλεται στο σύστημα ανά sec με πιθανότητα α Σην αναλαμβάνει όποιος επεξεργαστής είναι διαθέσιμος Αν και οι δύο επεξεργαστές είναι διαθέσιμοι την αναλαμβάνει ο #1 Αν και οι δύο επεξεργαστές είναι απασχολημένοι η εργασία απορρίπτεται

Παράδειγμα Τπολογιστικό σύστημα (2/2) Ένας απασχολημένος επεξεργαστής ολοκληρώνει την εργασία του στο επόμενο sec με πιθανότητα β Ένας επεξεργαστής που ολοκληρώνει την εργασία του μπορεί να αναλάβει μια καινούρια ακαριαία

Ζητούμενα (1/2) X k Έστω τ.μ. που αντιστοιχεί στο πλήθος των εργασιών που υπάρχουν στο σύστημα στo k-οστό sec Διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων Πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος

Ζητούμενο #1

Ζητούμενο #2 p 00 p a 01 p 02 0 p 10 p 11 p 12 1 1 1 1 1 p 20 2 1 2 1 1 1 p21 1 p 22 2 1 1 1

Ζητούμενα (2/2) Αν α = 0.5 και β = 0.7 και το σύστημα είναι αρχικά άδειο Πιθανότητα του να μην υπάρχει κάποια εργασία στο σύστημα τη χρονική στιγμή k = 3 Πιθανότητα του να μην ολοκληρωθεί κάποια εργασία τη χρονική στιγμή k = 3

Ζητούμενο #1 π Πίνακας μετάβασης Αρχική κατανομή P 3 P 3 P 2 0.5 P 0.35 0.245 1 0 0 π 0 0.5 0.5 0.455 0.405 0.496 0.09 P 0.395 0.494 0.109 0.386 0.492 0.12 0.405 0.386 0.496 0.09 0.492 0.12 0 0.15 0.3 3 3 π0 P 1 0 0 0.395 0.494 0.109 0.405 0.496 0.09 Άρα, P X 0 0(3) 0. 405 3

Ζητούμενο #2 Έστω Α το γεγονός καμμία εργασία δεν ολοκληρώνεται τη στιγμή k = 3 Από το νόμο της ολικής πιθανότητας P 2 A PA X j 3 j0 3 j PA X 0 3 1, PA X 1 3 1 0.3, P 2 A X 2 1 0. 09 3 P A 10.405 0.3 0.496 0.090.09 0. 56

Παράδειγμα Καταναλωτική συμπεριφορά Ένας καταναλωτής αντικαθιστά κάθε χρόνο το κινητό του Αν έχει Nokia το αντικαθιστά με Ericsson Aν έχει Ericsson το αντικαθιστά με LG Αν έχει LG το αντικαθιστά με ένα Nokia ή με Ericsson

Ζητούμενα Μοντελοποίηση του φαινομένου μέσω μιας αλυσίδας Markov Ν.Δ.Ο. είναι αδύνατο να έχει το 2014 κινητό Nokia αν το 2012 αγόρασε το πρώτο του κινητό μάρκας LG

Ζητούμενο #1, k 0,1,2,... X k X k τύπος τηλεφώνου τη χρονιά k X k n X k e X k l Nokia Ericsson LG Ιδιότητα Markov

Ζητούμενο #2 Πίνακας μετάβασης (πρώτης τάξης) διάνυσμα αρχικής κατανομής 0 P 0 0.5 0 άρα PX 0 l 1, PX 0 n P X 0 e, π0 0 0 1 1 0 0.5 0 1 0 π 0 1 0.5 2 2 π0 P 0 0 1 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0.5 Δηλ. 50% πιθανότητες το 2014 να έχει LG/Ericsson 0

Παράδειγμα Gambler s ruin Ρουλέτα με 12 νούμερα Αρχικό κεφάλαιο παίκτη 3$ Ποντάρισμα 1$ σε κάθε γύρο Αν τύχει το νούμερο που πόνταρε ο παίκτης κερδίζει 3$

Ζητούμενα Μοντελοποίηση του φαινομένου μέσω μιας αλυσίδας Markov Διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων-πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης Ποια η πιθανότητα να διπλασιασμού του αρχικού κεφαλαίου του παίκτη μετά από 3 γύρους χωρίς να 3 υπολογιστεί ο P Γιατί το παράδειγμα ονομάζεται gambler s ruin

Ζητούμενα #1,2

Ζητούμενα #3,4 Από το διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων: 3 2 4 6 με πιθανότητα 11 1 1 12 12 12 3 5 4 6 με πιθανότητα 1 12 11 12 1 12 3 5 7 6 με πιθανότητα 1 12 1 12 11 12 Άρα, P X 3 0 6 X 3 33 12 3 Αναμενόμενο κέρδος παίκτη ανά γύρο 21/12 ( 1) 11/12 9/ 12

Αλυσίδες Markov ΣΑΞΙΝΟΜΗΗ ΚΑΣΑΣΑΕΩΝ

ΑΤΜΠΣΩΣΙΚΗ ΤΜΠΕΡΙΥΟΡΑ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ ΜΕΣΑΒΑΗ k p j : πιθανότητα κατάστασης j μετά από k μεταβάσεις lim ( k) j k p j Τπό ποιες συνθήκες υπάρχει; Πώς υπολογίζεται; Όρια αυτής της μορφής σχηματίζουν μία κατανομή πιθανοτήτων, δηλ. ; j j 1 Αν το όριο j υπάρχει, τότε ονομάζεται στάσιμη πιθανότητα της κατάστασης i j Aν το υπάρχει για όλες τις καταστάσεις της αλυσίδας, τότε το διάνυσμα π,,... 0 1 ονομάζεται στάσιμη κατανομή της αλυσίδας Markov

Ορισμοί Η κατάσταση j είναι προσβάσιμη από την ( n) κατάσταση i αν 0για κάποιο p n1,2,... ij Ένα υποσύνολο S του χώρου καταστάσεων X ονομάζεται κλειστό αν 0, i S, j S Μία κατάσταση i ονομάζεται απορροφητική αν αποτελεί ένα κλειστό σύνολο με ένα στοιχείο p ij Ένα κλειστό σύνολο καταστάσεων S ονομάζεται ανάγωγο αν η κατάσταση j είναι προσβάσιμη από την κατάσταση i i, j S Μία αλυσίδα Markov ονομάζεται ανάγωγη αν ο χώρος καταστάσεων της είναι ανάγωγος

Παράδειγμα ανάγωγη αλυσίδα

Παράδειγμα μη-ανάγωγη αλυσίδα Απορροφητική κατάσταση: Ανάγωγο σύνολο: S 1 S 2 4 2,3

Παράδειγμα (κλειστά & μη-κλειστά σύνολα καταστάσεων)

Παροδικές και επανερχόμενες καταστάσεις Η κατάσταση i ονομάζεται επανερχόμενη αν ξεκινώντας από την i η πιθανότητα να «επιστρέψουμε» σε αυτήν είναι 1 Η κατάσταση i ονομάζεται παροδική αν ξεκινώντας από την i η πιθανότητα να μην επιστρέψουμε ποτέ στην i είναι μεγαλύτερη του 0

ΘΕΨΡΗΜΑΣΑ Αν μία αλυσίδα Markov έχει πεπερασμένο χώρο καταστάσεων, τότε τουλάχιστον μία κατάσταση είναι επανερχόμενη Aν i είναι μία επανερχόμενη κατάσταση και η κατάσταση j είναι προσβάσιμη από την i, τότε η κατάσταση j είναι επανερχόμενη Αν S είναι ένα πεπερασμένο, κλειστό, ανάγωγο σύνολο καταστάσεων, τότε κάθε κατάσταση στο S είναι επανερχόμενη

Παράδειγμα Πεπερασμένο πλήθος (5) καταστάσεων -> τουλάχιστον μία (3) επανερχόμενη κατάσταση Κατάσταση 2: επανερχόμενη, κατάσταση 3: προσβάσιμη από την 2 -> κατάσταση 3: επανερχόμενη ύνολο {2,3}: κλειστό, ανάγωγο-> καταστάσεις 2, 3: επανερχόμενες

Παράδειγμα (επανερχόμενες παροδικές καταστάσεις)

Περιοδικές και μη-περιοδικές καταστάσεις Μία κατάσταση i ονομάζεται περιοδική αν ο μ.κ.δ. d του συνόλου ( n) n 0: 0είναι d 2 Μία κατάσταση i ονομάζεται μη-περιοδική αν ο μ.κ.δ. d του συνόλου ( n) n 0: 0είναι d 1 p ii p ii

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕ/ΜΗ-ΠΕΡΙΟΔΙΚΕ ΚΑΣΑΣΑΕΙ Όλες οι καταστάσεις είναι περιοδικές, με περίοδο 3 Όλες οι καταστάσεις είναι περιοδικές, με περίοδο 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕ/ΜΗ-ΠΕΡΙΟΔΙΚΕ ΚΑΣΑΣΑΕΙ Καμμία κατάσταση δεν είναι περιοδική

Θεώρημα: αν μία αλυσίδα Markov είναι ανάγωγη τότε όλες οι καταστάσεις αυτής, έχουν την ίδια περίοδο Πόρισμα: αν p ii 0 κάποιας κατάστασης i σε μια ανάγωγη αλυσίδα Markov, τότε όλες οι καταστάσεις είναι μη-περιοδικές και η αλυσίδα ονομάζεται μηπεριοδική Πόρισμα: αν κάποια κατάσταση σε μία ανάγωγη αλυσίδα Markov έχει περίοδο d 2, τότε όλες οι καταστάσεις έχουν την ίδια περίοδο και η αλυσίδα ονομάζεται περιοδική

τάσιμες κατανομές ανάγωγων αλυσίδων Markov Ανάγωγες αλυσίδες Markov που περιέχουν περιοδικές καταστάσεις δεν έχουν στάσιμη κατανομή ε μια ανάγωγη, μη-περιοδική αλυσίδα Markov τα όρια π j υπάρχουν πάντα και είναι ανεξάρτητα της αρχικής κατάστασης ε μια ανάγωγη, μη-περιοδική αλυσίδα Markov που αποτελείται από παροδικές καταστάσεις ισχύει 0,j X π j

τάσιμες κατανομές ε ανάγωγη, μη-περιοδική αλυσίδα με τουλάχιστον μία επανερχόμενη κατάσταση η στάσιμη κατάσταση υπολογίζεται λύνοντας το σύστημα: π πp j j 1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.3 0.455 0.245 0.15 0.5 0.35 0 0.5 0.5 P 2 1 0 2 2 1 0 1 2 1 0 0 0.3 0.15 0 0.455 0.5 0.5 0.245 0.35 0.5 έτοσμε: Από πp π 1: (2),(3), τις Από j j 1 0 0.7 0.15 0 0.455 0.5 0.5 2 1 0 2 1 2 1 0 0.106 0.495, 0.399, Άρα 2 1 0 π π π

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1/2)

ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΑΛΤΙΔΕ MARKOV ΤΝΕΦΟΤ ΦΡΟΝΟΤ

ΟΡΙΜΟ ΣΟΦΑΣΙΚΕ ΔΙΕΡΓΑΙΕ ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΚΑΣΑΣΑΗ ΤΝΕΦΟΤ ΦΡΟΝΟΤ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΙΔΙΟΣΗΣΑ (MEMORYLESS PROPERTY) Η ΕΠΟΜΕΝΗ ΚΑΣΑΣΑΗ ΣΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΕΞΑΡΣΑΣΑΙ ΜΟΝΟ ΑΠΌ ΣΗΝ ΣΡΕΦΟΤΑ ΚΑΣΑΣΑΗ ΦΡΟΝΟΙ ΜΕΣΑΒΑΗ ΕΚΘΕΣΙΚΑ ΚΑΣΑΝΕΜΗΜΕΝΟΙ ΡΤΘΜΟΙ ΜΕΣΑΒΑΗ = 1/ΜΕΟΙ ΦΡΟΝΟΙ ΜΕΣΑΒΑΗ

ΓΡΑΥΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΑΗ ΣΟ ΦΗΜΑ ΥΑΙΝΕΣΑΙ ΜΙΑ ΑΛΤΙΔΑ ΜΕ ΣΡΕΙ ΚΑΣΑΣΑΕΙ: ΣΙ 0, 1, 2 ΣΑ ΒΕΛΗ ΑΝΑΠΑΡΙΣΟΤΝ ΣΙ ΠΙΘΑΝΕ ΜΕΣΑΒΑΕΙ ΑΠΌ ΜΙΑ ΚΑΣΑΣΑΗ ΣΗΝ ΆΛΛΗ, Π.Φ. ΑΠΌ ΣΗΝ 0 ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΜΕΣΑΒΟΤΜΕ ΣΗΝ 1 ΑΛΛΑ ΌΦΙ ΣΗΝ 2. ΟΙ ΦΡΟΝΟΙ ΜΕΣΑΒΑΗ ΕΊΝΑΙ ΕΚΘΕΣΙΚΑ ΚΑΣΑΝΕΜΗΜΕΝΟΙ, Π.Φ. ΑΠΌ ΣΗΝ 0 ΣΗΝ 1 ΜΕΣΑΒΑΙΝΟΤΜΕ ΜΕ ΡΤΘΜΟ λ ΔΗΛΑΔΗ Ο ΑΝΣΙΣΟΙΦΟ ΦΡΟΝΟ ΜΕΣΑΒΑΗ ΕΦΕΙ ΜΕΗ ΣΙΜΗ 1/λ

ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΣΑΒΑΗ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΣΑΒΑΗ ΑΛΤΙΔΑ ΣΗ ΠΡΟΗΓΟΤΜΕΝΗ ΔΙΑΥΑΝΕΙΑ ΓΕΝΙΚΑ: ΕΝΑΛΛΑΚΣΙΚΟ ΣΡΟΠΟ ΠΕΡΙΓΡΑΥΗ ΜΙΑ ΑΛΤΙΔΑ ΣΕΣΡΑΓΨΝΙΚΟ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕ ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΟΤ ΡΤΘΜΟΤ ΜΕΣΑΒΑΗ ΣΟΙΦΕΙΑ ΔΙΑΓΨΝΙΟΤ ΣΕΣΟΙΑ, ΏΣΕ ΑΘΡΟΙΜΑ ΣΟΙΦΕΙΨΝ ΟΛΨΝ ΣΨΝ ΓΡΑΜΜΨΝ ΙΟ ΜΕ 0

ΣΑΙΜΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ ΟΙ ΟΡΙΑΚΕ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ ΟΛΨΝ ΣΨΝ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ Η ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ ΣΟΤ ΝΑ ΒΡΕΘΟΤΜΕ Ε ΚΑΠΟΙΑ ΚΑΣΑΣΑΗ ΜΕΣΑ ΑΠΌ «ΑΠΕΙΡΕ» ΜΕΣΑΒΑΕΙ Η «ΕΙΚΟΝΑ» ΣΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ΜΑΚΡΟΠΡΟΘΕΜΑ

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΑΙΜΗ ΚΑΣΑΝΟΜΗ ΕΠΙΛΤΗ ΤΣΗΜΑΣΟ ΓΡΑΜΜΙΚΨΝ ΕΞΙΨΕΨΝ πq 0 ΤΠΟ ΣΟΝ ΠΕΡΙΟΡΙΜΟ i 1 ΟΠΟΤ Q Ο ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΣΑΒΑΗ ΚΑΙ π ΣΟ ΔΙΑΝΤΜΑ ΣΨΝ ΟΡΙΑΚΨΝ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΨΝ ΣΨΝ ΚΑΣΑΣΑΕΨΝ

Q 0 0 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Q 0 0 0 ΕΠΙΛΤΗ ΣΟ MATLAB (1/2)

ΕΠΙΛΤΗ ΣΟ MATLAB (2/2)

MΟΝΣΕΛΟΠΟΙΗΗ ΙΦΤΕΙ Η ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΗ ΙΔΙΟΣΗΣΑ; ΚΑΣΑΣΑΕΙ; ΠΙΘΑΝΕ ΜΕΣΑΒΑΕΙ; ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΣΑΒΑΗ;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1/3) DETERIORATION FAILURES PREVENTIVE MAINTENANCE 1 ΜΗΦΑΝΗ ΠΑΡΑΓΕΙ ΠΑΝΣΑ (ΕΥΟΟΝ ΕΦΕΙ ΣΗ ΔΤΝΑΣΟΣΗΣΑ) k στάδια φθοράς (deterioration stages) 0: good-as-new i: φθαρμένη αλλά λειτουργική μηχανή F: down Φρόνοι μεταξύ «βλαβών» (στο στάδιο i) εκθετικοί με μέση τιμή 1/λ i Φρόνοι επισκευής εκθετικοί με μέση τιμή 1/μ r

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2/3) DETERIORATION FAILURES PREVENTIVE MAINTENANCE ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΤΝΣΗΡΗΗ Μean Time Between Inspection 1/λ in ΜΕΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΠΙΘΕΨΡΗΗ 1/μ in ΠΟΛΙΣΙΚΗ ΠΡΟΛΗΠΣΙΚΗ ΤΝΣΗΡΗΗ ΠΑΡΑΜΕΣΡΟΙ g < b ΚΑΜΜΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑ: i<=g MINIMAL MAINTENANCE (i i-1): g < i <= b MAJOR MAINTENANCE (i 0): b < i <= k ΜΕΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ MINIMAL MAINTENANCE 1/μ m ΜΕΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ MAJOR MAINTENANCE 1/μ Μ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3/3) DETERIORATION FAILURES PREVENTIVE MAINTENANCE Η αλυσίδα στη γενική της μορφή:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1/3) KANBAN DETERIORATION FAILURES 1 ΜΗΦΑΝΗ 1 ΣΤΠΟ ΠΡΟΩΟΝΣΨΝ ΕΚΘΕΣΙΚΟΙ ΦΡΟΝΟΙ ΠΑΡΑΓΨΓΗ ΜΕ ΜΕΗ ΣΙΜΗ 1/λ p 1 ΑΠΟΘΗΚΗ ΠΟΛΙΣΙΚΗ ΕΛΕΓΦΟΤ ΠΑΡΑΓΨΓΗ KANBAN ΜΕΓΙΣΟ ΑΠΟΘΕΜΑ Κ ΕΚΘΕΣΙΚΟΙ ΦΡΟΝΟΙ ΜΕΣΑΞΤ ΑΥΙΞΕΨΝ ΜΕ ΜΕΗ ΣΙΜΗ 1/λ a ΜΕΓΕΘΟ ΠΑΡΑΓΓΕΛΙΑ 1 ΟΦΙ ΟΤΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2/3) KANBAN DETERIORATION FAILURES d στάδια φθοράς (deterioration stages) 0: good-as-new i: φθαρμένη αλλά λειτουργική μηχανή F: down Φρόνοι μεταξύ «βλαβών» εκθετικοί με μέση τιμή 1/λ f Φρόνοι επισκευής εκθετικοί με μέση τιμή 1/μ r

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3/3) KANBAN DETERIORATION FAILURES Η ΑΛΤΙΔΑ ΣΗ ΓΕΝΙΚΗ ΣΗ ΜΟΡΥΗ:

ΕΞΙΩΕΙ CHAPMAN - KOLMOGOROV Για κάθε κατάσταση ισχύει:

ΔΙΕΡΓΑΙΕ POISSON

Διεργασία απαρίθμησης Διακριτής κατάστασης συνεχούς χρόνου Μοναδικό γεγονός Α σ.δ. N t, όπου N t το πλήθος των εμφανίσεων του Α στο διάστημα 0,t t 0, N 0 N N 0 0 Nt1... Nt k t t Nt Nt, k 1,2,... 0 k1, k k k1

Διεργασία Poisson(1/3) Mία διεργασία απαρίθμησης με ιδιότητες: ε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, συμβαίνει το πολύ ένα γεγονός Οι τυχαίες μεταβλητές είναι αμοιβαίως ανεξάρτητες k 1,2,... PNt t n 1, t k t ονομάζεται διεργασία Poisson t Nt, t, Nt, t,..., N N, 1 1 2 t k 1, t k t t... και 0 1 Η πιθανότητα k k εξαρτάται μόνο από το μήκος του διαστήματος, t, k1 t k s k1 t k

Διεργασία Poisson (2/3) Σο πλήθος των γεγονότων που συμβαίνουν σε κάθε διάστημα μήκους t ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λt: P N t s N( s) n e λt n λt, n! s, t 0 & n 0,1,2,... αναμενόμενη τιμή κατανομής Poisson: E N( t) t

Διεργασία Poisson (3/3) τ.μ. T n : ενδιάμεσος χρόνος μεταξύ n-1 και n γεγονότος ε μία διεργασία Poisson οι ενδιάμεσοι χρόνοι είναι ανεξάρτητοι και με κοινή κατανομή την εκθετική με παράμετρο λ: t t e P T n

Παράδειγμα ΚΕΠ Πελάτες φθάνουν σε ένα ΚΕΠ σύμφωνα με μια διεργασία Poisson (λ=4 πελάτες/ώρα) Σο ΚΕΠ ανοίγει στις 8:00 Ζητούμενα Η πιθανότητα να φθάσει 1 πελάτης ακριβώς έως τις 8:30 Η πιθανότητα να φθάσει 1 πελάτης ακριβώς έως τις 8:30 και 5 συνολικά έως τις 10:30

Λύση 30 λεπτά=0.5 ώρες, άρα: 40.5 1! 40.5 2 (0.5) 1 e 2e P N Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η: PN(0.5) 1, N(2.5) 5 PN(0.5) 1, N(2.5) N(0.5) 4 PN(0.5) 1P N(2.5) N(0.5) 4 4 40.5 4 2 e 40.5 1! e 42 4! 0.015

Παράδειγμα Βενζινάδικο Πελάτες φθάνουν σε ένα βενζινάδικο σύμφωνα με μια διεργασία Poisson (λ=20 πελάτες/ώρα) Η ποσότητα βενζίνης που βάζει κάθε πελάτης ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(20,5) Σο βενζινάδικο έχει κέρδος 0.05 ευρώ/λίτρο Ζητούμενα Η πιθανότητα μεταξύ 2 διαδοχικών αφίξεων να περάσουν από 2 έως 4 λεπτά Σο αναμενόμενο κέρδος του βενζινάδικου σε διάστημα 12 ωρών

Λύση(1/2) 2 λεπτά=1/30 ώρες, 4 λεπτά=1/15 ώρες: P 1 30 T n 1 15 P T n 1 15 P T n 1 30 1 e 20 15 (1 e 20 30 ) e 20 30 e 20 15 αν X n τα λίτρα βενζίνης που βάζει ο n-οστός πελάτης και Yt η συνολική ποσότητα βενζίνης που χορηγεί το πρατήριο σε διάστημα t

Λύση(2/2) ισχύει: Y( t) N n t 1 X n η αναμενόμενη χορηγούμενη ποσότητα βενζίνης είναι: Y t EX ENt 2020t 400 t E n το αναμενόμενο κέρδος του πρατηρίου σε 12 ώρες: ( 12) 0.05 400120.05 240 εσρώ E Y

EIΑΓΩΓΗ ΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΤΡΩΝ

Προσδιορισμός μοντέλου ουράς στοχαστικά μοντέλα διεργασιών άφιξης/εξυπηρέτησης δομικές παράμετροι μοντέλου πολιτικές λειτουργίας

Δομικές παράμετροι μέγιστη χωρητικότητα ουράς (capacity) πλήθος εξυπηρετητών

Πολιτικές λειτουργίας Πλήθος κλάσσεων πελατών Πολιτικές δρομολόγησης Πειθαρχία ουράς Πολιτικές αποδοχής πελατών

ημειογραφία A/B/m/K Τποθέσεις: 1 κλάσση πελατών, καμμία πολιτική αποδοχής πελατών, FCFS A: κατανομή χρόνων μεταξύ αφίξεων B: κατανομή χρόνων εξυπηρέτησης m: πλήθος εξυπηρετητών K: μέγιστη χωρητικότητα ουράς G: γενική κατανομή D: ντετερμινιστικοί χρόνοι Μ: εκθετικά κατανεμημένοι χρόνοι (markov)

Μέτρα λειτουργικότητας συστημάτων ουρών A k D k W k S k : χρόνος άφιξης πελάτη k : χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη k : χρόνος αναμονής πελάτη k : χρόνος παραμονής στο σύστημα πελάτη k E W ES E X, όπου X(t) τ.μ. (μήκος ουράς στο χρόνο t) αναμενόμενη περίοδος απασχόλησης εξυπηρετητή

Ουρά M/M/1/ Poisson αφίξεις με ρυθμό λ εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης με παράμετρο μ 1 εξυπηρετητής άπειρη χωρητικότητα ουράς πειθαρχία ουράς FCFS

Μέτρα λειτουργικότητας ουράς Μ/Μ/1/ (1/2) αναμενόμενο πλήθος πελατών στην ουρά EX αναμενόμενο χρόνος παραμονής στο σύστημα E S αναμενόμενος χρόνος αναμονής στην ουρά 1 E W

Μέτρα λειτουργικότητας ουράς Μ/Μ/1/ (2/2) πιθανότητα ύπαρξης τουλάχιστον n πελατών στην ουρά PX n n, 1 συνάρτηση κατανομής χρόνου αναμονής στην ουρά t t 1 e P W

Παράδειγμα Σράπεζα 1 ταμείο ανοικτά 10 ώρες ημερησίως δυνατότητα εξυπηρέτησης (κατά μέσο όρο) 10 πελάτες/ώρα 70 πελάτες/ημέρα κατά μέσο όρο εισέρχονται στην τράπεζα εκθετικοί ενδιάμεσοι χρόνοι/ χρόνοι εξυπηρέτησης

Ζητούμενα Μέσο μήκος ουράς Πιθανότητα ύπαρξης άνω των 2 πελατών στην ουρά Πιθανότητα παραμονής πελάτη στην ουρά πλέον των 20 λεπτών

Λύση σύστημα Μ/Μ/1/ με λ=7 (πελάτες/ώρα), μ=10 (πελάτες/ώρα), 0.7 1 E P ( t 7 10 7 X 2.33 πελάτες 3 3 X 2 P X 3 0.7 0. 343 1 t 1 P W t e P W P W 20min 1 3 0.7e 1 3 h) 1 10(10.7) 3 t 0.257,

Παράδειγμα Κυλικείο Αφίξεις 5 πελάτες/30 λεπτά Φρόνοι εξυπηρέτησης Εκθετικά κατανεμημένοι αναμενόμενος χρόνος εξυπηρέτησης 4.5 λεπτά Ζητούμενα α) Αναμενόμενος χρόνος αναμονής β) Πιθανότητα να περιμένουν τουλάχιστον 6 πελάτες στην ουρά γ) Πιθανότητα να είναι απασχολημένος ο εργαζόμενος

Λύση σύστημα Μ/Μ/1/ με λ=1/6 (πελάτες/λεπτό), μ=2/9 (πελάτες/λεπτό), 3 4 1 α) E W 2 9 1 6 2 9 1 6 13.5 λεπτά β) γ) 3 4 7 6 P L 7 0. 133 P L 3 4 1 0. 75 P L 7