ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΣ ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΩΝ Λυγισμός - Ευστάθεια Κρίσιμο φορτίο λυγισμού Δρ. Σ. Π. Φιλόπουλος
Εισαγωγή Μέχρι στιγμής στην ανάλυση των κατασκευών επικεντρώσαμε σε δύο βασικούς στόχους: Την αντοχή της κατασκευής δηλ. τη δυνατότητα παραλαβής δεδομένων φορτίων χωρίς ανάπτυξη τάσεων που ξεπερνούν προδιαγεγραμένα όρια Την ικανότητα παραλαβής φορτίων χωρίς ανάπτυξη παραμορφώσεων πάνω από επίσης προδιαγεγραμένα όρια
Εισαγωγή Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με την ευστάθεια των κατασκευών, δηλαδή με την ικανότητα παραλαβής φορτίων χωρίς απότομες και μεγάλες μεταβολές της αρχικής τους γεωμετρίας. Θα περιορίσουμε την ανάλυσή μας σε υποστυλώματα, δηλ στην ανάλυση και το σχεδιασμό κατακόρυφων πρισματικών δομικών στοιχείων που παραλαμβάνουν αξονικά φορτία.
Εισαγωγή Οι κατασκευές μπορεί να αστοχήσουν με διάφορους τρόπους που εξαρτώνται από: Τον τύπο της κατασκευής Τις συνθήκες στήριξης Το είδος των φορτίσεων Τα υλικά κατασκευής τους
Εισαγωγή Η αστοχία αποφεύγεται σχεδιάζοντας τις κατασκευές εις τρόπον ώστε τόσο οι μέγιστες αναπτυσσόμενες τάσεις όσο και οι μετατοπίσεις να παίρνουν τιμές εντός ανεκτών ορίων. Η αντοχή και η δυσκαμψία μιας κατασκευής είναι σημαντικοί παράγοντες και ο ρόλος τους έχει διαφανεί σε όσα μέχρι στιγμής έχουμε αναπτύξει σχετικώς Ο νέος τρόπος αστοχίας που θα εξετάσουμε είναι ο λυγισμός (buckling)
Εισαγωγή Ένα δομικό στοιχείο δοκού με μήκος μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερο από τη μεγαλύτερη εγκάρσια διάστασή του, το οποίο υποβάλλεται σε θλιπτικό φορτίο ονομάζεται υποστύλωμα (column). Λόγω της γεωμετρίας του, η αξονική μετατόπιση θα είναι πολύ μικρή συγκρινόμενη με την εγκάρσια σε περίπτωση λυγισμού.
Εισαγωγή Ενίοτε ο λυγισμός υποστυλωμάτων μπορεί να οδηγήσει σε αιφνίδια καταστροφική αστοχία των κατασκευών. Κατά συνέπεια λαμβάνεται ειδική πρόνοια στη φάση του σχεδιασμού τους ώστε να μπορούν ασφαλώς να παραλάβουν τα προδιαγεγραμένα φορτία. Το φαινόμενο του λυγισμού δεν περιορίζεται μόνο στα υποστυλώματα. Μπορεί να εμφανιστεί σε πολλά είδη κατασκευών Μπορεί να εμφανιστεί με ποικίλες μορφές Πατήστε ένα άδειο αλουμινένιο κουτί αναψυκτικού! Είναι κύρια αιτία αστοχίας σε πολλές κατασκευές
Λυγισμός και Ευστάθεια Ας θεωρήσουμε το υποστύλωμα του σχήματος Μοντελοποίηση με δύο απαραμόρφωτες ράβδους συνδεδεμένες με άρθρωση στο μέσον που διατηρούνται σε κατακόρυφη θέση μέσω ελατηρίου
Λυγισμός και Ευστάθεια Ένα απλό μοντέλο Η ελαστικότητα του μοντέλου είναι «συγκεντρωμένη» στο ελατήριο (το πραγματικό υποστύλωμα μπορεί να καμφθεί καθόλο το μήκος του) Οι δύο ράβδοι είναι απολύτως ευθυγραμμισμένες Το φορτίο P επιβάλλεται στον κατακόρυφο άξονα Το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος Τρο σύστημα των ράβδων καταπονείται σε κεντρική θλίψη
Λυγισμός και Ευστάθεια Στην κατασκευή δρα μια εξωτερική δύναμη που έχει σαν αποτέλεσμα μικρή οριζόντια μετατόπιση της άρθρωσης Α. Οι απολύτως στερεές ράβδοι στρέφονται κατά την μικρή γωνία Αναπτύσσεται δύναμη επαναφοράς στο ελατήριο Η οποία τείνει να επαναφέρει τις ράβδους στην αρχική κατακόρυφη θέση
Λυγισμός και Ευστάθεια Ταυτόχρονα, η τάση της αξονικής θλιπτικής δύναμης είναι να αυξήσει την εγκάρσια (οριζόντια) μετατόπιση. Αυτές οι δύο δράσεις λειτουργούν ανταγωνιστικά Η δύναμη επαναφοράς τείνει να μειώσει την εγκάρσια μετατόπιση Ενώ η αξονική δύναμη τείνει να την αυξήσει.
Λυγισμός και Ευστάθεια Ας αφαιρέσουμε τώρα την οριζόντια δύναμη Εάν το φορτίο P είναι μικρό, η δύναμη επαναφοράς θα επικρατήσει και θα επαναφέρει το σύστημα στην κατακόρυφη θέση Η κατασκευή τότε είναι ευσταθής Αντίθετα, αν το φορτίο P είναι μεγάλο, η εγκάρσια μετατόπιση του Α θα αυξηθεί και οι ράβδοι θα στρέφονται κατά όλο και μεγαλύτερες γωνίες μέχρι την κατάρρευση της κατασκευής Η κατασκευή τότε είναι ασταθής και αστοχεί σε λυγισμό
Κρίσιμο φορτίο Η μετάβαση από την ευσταθή στην ασταθή κατάσταση προκύπτει σε κάποια τιμή του αξονικού φορτίου. Αυτό είναι το κρίσιμο φορτίο P cr. Εδώ θα υπολογίσουμε το κρίσιμο φορτίο θεωρώντας την κατασκευή μετατοπισμένη από την αρχική της θέση
Κρίσιμο φορτίο Θεωρώντας το ΔΕΣ της άνω ράβδου η οποία Υποβάλλεται στην αξονική δύναμη P και τη δύναμη F από το ελατήριο Αν η στάθερά του ελατηρίου είναι k και η μετατόπισή του, τότε F = k Εφόσον η γωνία είναι μικρή, η εγκάρσια μετατόπιση του σημείου A είναι L/ και tanθ θ Από την οριζόντια ισορροπία έχουμε P tanθ = k θ L/ P cr = kl/4
Κρίσιμο φορτίο Αυτή είναι η τιμή του κρίσιμου φορτίου γα το μοντέλο μας Γιαυτήν την τιμή του φορτίου η κατασκευή ισορροπεί για αυθαίρετες τιμές (μικρές όμως) της γωνίας θ. Το κρίσιμο φορτίο είναι η μοναδική τιμή φορτίου για την οποία η κατασκευή ισορροπεί στην «μετατοπισμένη» θέση της Για την τιμή αυτή η τάση επαναφοράς του ελατηρίου εξισορροπεί την τάση περαιτέρω απομάκρυνσης από την αρχική κατακόρυφη θέση λόγω της αξονικής δύναμης Η τιμή αυτή αντιπροσωπεύει το όριο μεταξύ ευσταθούς και ασταθούς κατάστασης του συστήματος.
Κρίσιμο φορτίο Αν το αξονικό φορτίο είναι μικρότερο από την τιμή P cr το ελατήριο τείνει να επαναφέρει το σύστημα στην αρχική του διάταξη μετά από τη μικρή διαταραχή (ευσταθής κατάσταση). Αν το αξονικό φορτίο είναι μεγαλύτερο από την τιμή P cr η δράση του επικρατεί και η κατασκευή υφίσταται λυγισμό (ασταθής κατάσταση).
Η ενδιάμεση κατάσταση μεταξύ ευσταθούς και ασταθούς ισορροπίας ονομάζεται αδιάφορη ισορροπία (neutral equilibrium). Το κρίσιμο σημείο απ όπου οι μετατοπίσεις αρχίζουν να γίνονται όλο και μεγαλύτερες ονομάζεται σημείο διακλάδωσης του συστήματος (bifurcation point). Κρίσιμο φορτίο
Καταστάσεις ισορροπίας
Κρίσιμο φορτίο Θα εξετάσουμε 3 τύπους στήριξης υποστυλωμάτων: Αμφιαρθρωτά (pin-supported) Αμφίπακτα (doubly built-in) Προβόλους (cantilever)
Αμφιαρθρωτά υποστυλώματα Κανένα υποστύλωμα δεν είναι ακριβώς ευθύ. Σε κάποιο μέγεθος φόρτισης θα εμφανιστεί λυγισμός. Για να υπολογίσουμε το μέγιστο θλιπτικό φορτίο (Φορτίο Λυγισμού) υποθέτουμε ότι ο λυγισμός έχει προκύψει.
Αμφιαρθρωτά υποστυλώματα Κάνουμε τομή και κατασκευάζουμε το ΔΕΣ Από την εξίσωση ροπών στην τομή έχουμε M(x)=-Pv Από τη θεωρία καθαρής κάμψης έχουμε ότι EI d dx v Pv
Αμφιαρθρωτά υποστυλώματα Κατά συνέπεια παίρνουμε: Η P/EI είναι θετική σταθερά. Συνήθης ομογενής Δ.Ε. ης τάξης με P k EI Η λύση είναι της μορφής: v Acos( kx) Οι σταθερές A and B προσδιορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες d Bsin dx v kx P EI d v dx v k 0 v 0
Αμφιαρθρωτά υποστυλώματα Συνοριακές συνθήκες Στο x=0, v=0, άρα A=0 Στο x=l, v=0, άρα 0=Bsin(kL) Εάν B=0, δεν έχουμε κάμψη, άρα για μη τετριμένη λύση πρέπει sin(kl)=0 συνεπώς kl=n όπου n=1,,3,
Αμφιαρθρωτά υποστυλώματα Εφόσον k P EI n L το φορτίο λυγισμού προκύπτει ως: P n L EI
Αμφιαρθρωτά υποστυλώματα Οι τιμές του n καθορίζουν τις ιδιομορφές λυγισμού (buckling modes) P 1 P 1 First mode of buckling P 1 L EI P P Second mode of buckling P 4 L EI P 3 P 3 Third mode of buckling P 3 9 L EI
Κρίσιμο φορτίο λυγισμού Εφόσον P 1 <P <P 3, το υποστύλωμα λυγίζει στο P 1 και προφανώς δεν φθάνει ποτέ στις τιμές P, P 3 εκτός αν τροποποιήσουμε τις στηρίξεις του. Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού είναι λοιπόν το: P cr EI L Που ονομάζεται φορτίο λυγισμού κατά Euler
Αμφίπακτα υποστυλώματα Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού για διαφορετικούς τύπους στήριξης μπορεί να υπολογιστεί με βάση το αντίστοιχο φορτίο των αμφιαρθρωτών υποστυλωμάτων. Από θεώρηση συμμετρίας προκύπτει ότι το κεντρικό τμήμα του υποστυλώματος μπορεί να θεωρηθεί ως αμφιαρθρωτό υποστύλωμα με μήκος L eq =L/ Έτσι παίρνουμε: P cr 4 EI L
Πρόβολοι Όμοια με την προηγούμενη περίπτωση. Το μήκος ίσοδυναμεί με το ½ του αμφιαρθρωτού L E P cr P EI L L E A eq EI 4L L=L E / B P
Ισοδύναμο μήκος λυγισμού: P cr EI L eq L eq L αμφιαρθρωτό 0, 7L πάκτωση-άρθρωση L αμφίπακτο L πρόβολο
Διεύθυνση λυγισμού Το P crit είναι ανάλογο του I, άρα το υποστύλωμα θα λυγίσει στη διεύθυνση που αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιμή της ροπής αδράνειας. P y Buckling Direction P z Cross-section y A h z x b I y > I z
Κρίσιμη τάση υποστυλώματος Ένα υποστύλωμα αστοχεί είτε εξαιτίας διαρροής είτε από λυγισμό. Κατά συνέπεια ο μηχανικός πρέπει να γνωρίζει τα σχετικά τασικά μεγέθη. Από την εξίσωση Euler P cr L EI eq
Κρίσιμη τάση υποστυλώματος Η ελάχιστη ακτίνα αδράνειας της διατομής δίνεται από τη σχέση. r g min I A min όπου Ι min η ελάχιστη ροπή αδράνειας και Α η επιφάνεια διατομής.
Κρίσιμη τάση υποστυλώματος Άρα η κρίσιμη τάση είναι : όπου: cr Pcr E E A L / r eq g min cr η θλιπτική τάση στο υποστύλωμα που δεν ξεπερνά το όριο διαρροής Y του υλικού, δηλ. cr < Y, Η ποσότητα λ = L eq / r gmin ονομάζεται λυγηρότητα (slenderness ratio) και είναι ένα μέτρο της επιρρέπειας του υποστυλώματος σε λυγισμό.
Οριακή τιμή λυγηρότητας Η σχέση Euler για τον υπολογισμό του P crit ισχύει για ελαστικό λυγισμό Κατά συνέπεια μπορεί να εφαρμοστεί για τιμές της λυγηρότητας μεγαλύτερες της οριακής τιμής cr p όπου σ p το όριο αναλογίας του υλικού E
Παραβολή Johnson