7. ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

5 7 ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Η χρήση των κανονικών εξισώσεων οδηγεί σε εύκολη λύση προβλημάτων στα οποία η χαμιλτονιανή είναι σταθερά της κίνησης (δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο) και όλες οι συντεταγμένες είναι αγνοήσιμες Τότε έχομε H H( q, p) σταθερά της κίνησης H H p, q (7) q p p =σταθερό H H (,,, ) Άρα θα έχομε H H q (,,, ) (7) p Επομένως τα είναι σταθερά κατά την κίνηση και έχομε τις λύσεις (την κίνηση) q q ( t) t (7) Είναι ευνόητο ότι, στην περίπτωση της διατήρησης της χαμιλτονιανής, το ιδανικό θα ήταν να μπορούμε να βρούμε κατάλληλους μετασχηματισμούς οι οποίοι να μας οδηγήσουν σε περιγραφή με συντεταγμένες που να είναι όλες αγνοήσιμες Αυτό δεν είναι εφικτό πάντοτε Όμως μερικές φορές η αλλαγή γενικευμένων συντεταγμένων και γενικευμένων ορμών μπορεί να απλουστεύσει αρκετά το πρόβλημα Είναι γνωστό ότι οι μετασχηματισμοί σημείου (pot trasformatos) Q Q( q, t) μετασχηματίζουν ένα σύστημα το οποίο αρχικά περιγράφεται με τις συντεταγμένες q, να περιγράφεται με τις νέες συντεταγμένες Q και ως προς αυτές τις συντεταγμένες ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrage Οι εξισώσεις κίνησης κάθε συγκεκριμένου μηχανικού συστήματος ως προς Q είναι ίδιες με αυτές που προκύπτουν από τις εξισώσεις κίνησης του ίδιου συστήματος ως προς q αν οι τελευταίες μετασχηματιστούν με τον ανωτέρω μετασχηματισμό Η λαγκρανζιανή είναι η ίδια με την έννοια ότι οι αρχικές μεταβλητές της έχουν μετασχηματιστεί σύμφωνα με τον ανωτέρω μετασχηματισμό με απλή αντικατάσταση Οι σημειακοί μετασχηματισμοί δρουν στο θεσικό χώρο Στην περίπτωση των εξισώσεων του Hamlto (κανονικές εξισώσεις), θέλομε να βρούμε γενικότερους μετασχηματισμούς, Q Q( q, p, t), P P( q, p, t), που να μετασχηματίζουν τις συντεταγμένες του φασικού χώρου q, p σε αντίστοιχες QP, και οποιαδήποτε χαμιλτονιανή από H ( q, p, t ) να μπορεί να μετασχηματιστεί κατάλληλα (όχι κατ ανάγκη

5 με απλή αντικατάσταση) σε κάποιαν άλλη χαμιλτονιανή K ( QPt,, ) και να ισχύουν για αυτά τα μετασχηματισμένα μεγέθη του μηχανικού συστήματος, οι αντίστοιχες κανονικές εξισώσεις κίνησης Οι μετασχηματισμοί που έχουν αυτή την ιδιότητα, λέγονται κανονικοί μετασχηματισμοί (caocal trasformatos), ή μετασχηματισμοί επαφής (cotact trasformatos) Πρέπει να τονίσομε ότι ένας μετασχηματισμός για να είναι κανονικός πρέπει να συμπεριφέρεται ως τέτοιος για κάθε μηχανικό σύστημα του οποίου η χαμιλτονιανή είναι συνάρτηση των ίδιων μεταβλητών qpt,, του μετασχηματισμού Αν συμπεριφέρεται σαν κανονικός για ορισμένες μόνο χαμιλτονιανές τότε δεν είναι κανονικός μετασχηματισμός Δηλαδή ο κανονικός μετασχηματισμός δεν εξαρτάται από συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα Για τους κανονικούς μετασχηματισμούς θα έχομε H q, p Q Q( q, p, t), P P( q, p, t) H( q, p, t) K( Q, P, t) H p q K K Q, P P Q (74) Μετασχηματισμοί του τύπου Q Q( qt, ), P Pqt (, ) λέγονται διευρυμένοι μετασχηματισμοί σημείου (exteded pot trasformatos) Για να ισχύουν οι κανονικές εξισώσεις για συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα, πρέπει πριν και μετά το μετασχηματισμό να ισχύει η τροποποιημένη αρχή του Hamlto, δηλαδή t δ p q H( q, p, t) dt δ pq H( q, p, t) dt 0 (75) t t t t δ PQ K( Q, P, t) dt δ PQ K( Q, P, t) dt 0 (76) t t t Ας υποθέσομε ότι για το αρχικό σύστημα ισχύει η Εξ (75) και επομένως οι αντίστοιχες εξισώσεις του Hamlto Είναι ευνόητο ότι οι εξισώσεις του Hamlto που θα προκύψουν δεν αλλάζουν αν η παρένθεση του ολοκληρώματος πολλαπλασιαστεί επί μια σταθερά έστω Επίσης είναι γνωστό από τη θεωρία μεταβολών ότι οι εξισώσεις που προκύπτουν είναι οι ίδιες αν προστεθεί στην υπό ολοκλήρωση ποσότητα η ολική παράγωγος ως προς το χρόνο κάποιας αυθαίρετης συνάρτησης των ανεξάρτητων μεταβλητών (εδώ του χώρου των φάσεων, δηλαδή γενικευμένων συντεταγμένων και γενικευμένων ορμών) και του χρόνου Αυτά σημαίνουν ότι αν θεωρήσομε ότι ισχύει η Εξ (77) df pq H( q, p, t) PQ K( Q, P, t) (77) dt

54 θα ισχύει και η Εξ (76), επομένως για τις μετασχηματισμένες μεταβλητές QP, θα ισχύουν οι μετασχηματισμένες εξισώσεις του Hamlto Μπορούμε αρχικά να θεωρήσομε την F ως συνάρτηση μόνο των νέων μεταβλητών και του χρόνου ή μόνο των αρχικών μεταβλητών και του χρόνου Αυτό είναι ευνόητο διότι ο όρος που την περιέχει μπορεί να μεταβεί από το δεύτερο στο πρώτο μέλος, να προστεθεί ή να αφαιρεθεί χωρίς να αλλάξουν οι εξισώσεις Χάμιλτον Θα δούμε παρακάτω ότι αν ισχύουν κατάλληλες προϋποθέσεις και άλλοι συνδυασμοί μεταβλητών μαζί με το χρόνο αποτελούν ανεξάρτητες μεταβλητές και όλα τα μεγέθη μπορούν να εκφραστούν ως προς αυτές Η F η οποία παρόλο που και αυτή λέγεται γεννήτρια συνάρτηση, στην πραγματικότητα μπορεί να συνδέεται με μια γεννήτρια συνάρτηση F η οποία με τη διαδικασία που θα δούμε παρακάτω γεννά κανονικό μετασχηματισμό Η F g πρέπει να είναι συνάρτηση αρχικών και τελικών μεταβλητών και γενικώς και του χρόνου για να μπορεί να συνδέσει τις αρχικές με τις μετασχηματισμένες μεταβλητές Στα άκρα της ολοκλήρωσης θα ισχύουν g δ qt ( )=δ qt ( )=δ pt ( )=δ pt ( )=0 δ Qt ( )=δ Qt ( )=δ Pt ( )=δ Pt ( )=0 (78) Αυτό χρειάζεται για να πάρομε από τη διαδικασία παραλλαγών τις εξισώσεις Hamlto Η σταθερά μπορεί να σχετιστεί με αυτό που λέμε μετασχηματισμό κλίμακας (scale trasformato) Θα δούμε ότι μπορούμε να εξετάσομε την περίπτωση με χωρίς να χαθεί η γενικότητα Μετασχηματισμός κλίμακας είναι αυτός που μετασχηματίζει τις συντεταγμένες του φασικού χώρου ως εξής, q q, p p για παράδειγμα, αλλάζοντας τις μονάδες μέτρησής τους Ας εφαρμόσομε αυτό το μετασχηματισμό στις εξισώσεις Hamlto Ας κάνομε απλή αντικατάσταση των μεταβλητών για να πάρομε μια νέα χαμιλτονιανή από την αρχική, τότε θα έχομε τη χαμιλτονιανή εκφρασμένη συναρτήσει των q, p, δηλαδή H H q( q), p( p), t Έχομε τις σχέσεις H( q, pt, ) H( q, pt, ) q, p p q H q( q), p( p), t H q, p, t p( p ) q q p p p H q( q), p( p), t H q, p, t q( q ) p q q q Αυτές δεν οδηγούν ακριβώς σε εξισώσεις χάμιλτον Όμως αν πάρομε ως H( q, p, t) H q( q), p( p), θα έχομε μετασχηματισμένη χαμιλτονιανή την

55 H H q, p p q Δηλαδή προκύπτουν εξισώσεις Χάμιλτον Επομένως προκύπτει ότι αν υποθέσομε ότι df pq HPQ H dt και επίσης θέσομε, βρίσκομε την Εξ(77) Αυτά σημαίνουν ότι μπορούμε πάντα να κάνομε ενδιάμεσα κατάλληλο μετασχηματισμό κλίμακας έτσι που το να πολλαπλασιαστεί επί το / ώστε να καταλήξομε στο ότι η Εξ(77) να γίνει τελικώς, μετά από αναδιάταξη των όρων, όπως φαίνεται στις Εξ(79), (70) με pdq Pd Q K( Q, P, t) H( q, p, t) dt d F (79) df pq PQ K( Q, P, t) H( q, p, t) (70) dt Οι μετασχηματισμοί που ικανοποιούν αυτή τη σχέση με τις παραγώγους ή τα διαφορικά είναι κανονικοί μετασχηματισμοί και επομένως οδηγούν σε κανονικές εξισώσεις κίνησης στο μετασχηματισμένο χώρο των φάσεων Ο μετασχηματισμός με λέγεται διευρυμένος κανονικός μετασχηματισμός (exteded caocal trasformato) Για έχομε (απλό) κανονικό μετασχηματισμό Επειδή, εκτός των άλλων, υπάρχει η απαίτηση οι κανονικοί μετασχηματισμοί να διατηρούν τις αγκύλες Posso (που θα δούμε παρακάτω) δεν θεωρούμε ως κανονικούς μετασχηματισμούς τους διευρυμένους διότι δεν τις διατηρούν Αν δεν υπάρχει ο χρόνος στο μετασχηματισμό, οπότε Q Q( q, p), P P( q, p), τότε λέμε ότι έχομε περιορισμένο κανονικό μετασχηματισμό Οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι πλήθους Οι Εξ(79), (70) ισχύουν για κάθε κανονικό μετασχηματισμό όταν όλα έχουν εκφραστεί ως συναρτήσεις των παλιών συντεταγμένων και του χρόνου qpt,, ή των «νέων» συντεταγμένων και του χρόνου QPt,, Δηλαδή ισχύουν πάντοτε όταν μεταβλητές είναι μόνο οι παλιές και ο χρόνος ή μόνο οι νέες και ο χρόνος Αυτό γίνεται διότι σε κάθε κανονικό μετασχηματισμό οι παλιές μεταβλητές είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες και το ίδιο ισχύει για τις νέες μεταβλητές Έχομε επομένως πάντοτε τις σχέσεις

56 p d q P( q, p, t)d Q( q, p, t) K( Q( q, p, t), P( q, p, t), t) H( q, p, t) dt d Fqpt (,, ) p ( QPt,,)d q( QPt,,) PQ d KQPt (,,) HqQPt ((,,), pqpt (,,),)d t t d F qqpt (,, ), pqpt (,, ), t =d FQPt (,, ) (7) Ουσιαστικά οι Εξ(79), (70) και (7) λένε ότι το πρώτο τους μέλος είναι ολική παράγωγος ή ολικό διαφορικό ως προς το χρόνο κάποιας συνάρτησης F των αρχικών ή των τελικών συντεταγμένων και γενικώς και του χρόνου Από αυτές τις σχέσεις μπορούμε με δεδομένο τον κανονικό μετασχηματισμό να βρούμε την Fqpt (,, ) ή την FQPt (,, ) Τις σχέσεις (79), (70) μπορούμε να τις γράψομε ως προς μεταβλητές οποιοδήποτε συνδυασμό παλιών και νέων συντεταγμένων και ορμών (μαζί με το χρόνο) αρκεί αυτές να είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες Το αν ένας τέτοιος συνδυασμός αποτελείται από ανεξάρτητες μεταβλητές εξαρτάται από το συγκεκριμένο κανονικό μετασχηματισμό, γενικώς δεν είναι όλοι οι συνδυασμοί, συνδυασμοί ανεξάρτητων μεταβλητών Θα δούμε ότι ο αντίστροφος ενός κανονικού μετασχηματισμού είναι κανονικός μετασχηματισμός Το ότι αν υπάρχει ο αντίστροφος είναι και αυτός κανονικός μετασχηματισμός, προκύπτει εύκολα διότι για τον αντίστροφο μετασχηματισμό, από QPt,, που τώρα είναι αρχικές μεταβλητές και η K είναι η αρχική χαμιλτονιανή, πάμε στις qpt,, που τώρα είναι οι τελικές μεταβλητές και η H η τελική χαμιλτονιανή, βρίσκομε από τη δεύτερη από τις Εξ(7) ότι ισχύει η ίδια σχέση που ισχύει για τον προηγούμενο μετασχηματισμό με τη διαφορά ότι η F γίνεται F, δηλαδή Pd Q p ( Q, P,)d t q ( Q, P,) t H(( q Q, P,), t p( Q, P,),) t t K( Q, P,)d t t d FQPt (,, ) Στη συνέχεια θα βρούμε πως φτιάχνομε κανονικούς μετασχηματισμούς χρησιμοποιώντας μια γεννήτρια συνάρτηση F g η οποία σχετίζεται με την F και, όπως είπαμε, είναι συνάρτηση παλαιών και νέων μεταβλητών και ίσως και του χρόνου που όλες είναι ανεξάρτητες μεταβλητές Αντιστρόφως, θα δούμε πως από έναν κανονικό μετασχηματισμό μπορούμε να βρούμε μια γεννήτρια συνάρτηση F g Όπως ήδη αναφέραμε, το κάθε συγκεκριμένο πρόβλημα μπορεί να περιορίζει την επιλογή των ανεξάρτητων μεταβλητών Αν για παράδειγμα έχομε μετασχηματισμό με Q q είναι ευνόητο ότι δεν μπορούμε να έχομε ανεξάρτητες μεταβλητές τα qqt,, γιατί τα qq, δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα Τα κριτήρια περί ανεξαρτησίας των συνδυασμών μεταβλητών θα φανούν καλύτερα, αργότερα Θα δούμε ότι αν ο μετασχηματισμός εξαρτάται άμεσα από το χρόνο τότε και η γεννήτρια συνάρτηση εξαρτάται άμεσα από το χρόνο και η χαμιλτονιανή δεν διατηρεί τη μορφή της κατά το μετασχηματισμό Ακριβέστερα, δεν μπορεί να προκύψει από την παλιά με απλή

57 αντικατάσταση των σχέσεων που συνδέουν τις παλιές και τις νέες μεταβλητές Με αυτή την έννοια δεν είναι αναλλοίωτη στη μορφή Είναι ενδιαφέρον να εξετάσομε τις παρακάτω ειδικές κατηγορίες βασικών μετασχηματισμών όπου θα έχομε γεννήτριες συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών της μορφής F(, qqt,), F(, qpt,), F( pqt,,), F4( ppt,,) Ξανατονίζομε ότι πάντοτε στις γεννήτριες συναρτήσεις F g πρέπει να υπάρχει ανάμειξη αρχικών και τελικών συντεταγμένων εφόσον ενδιαφερόμαστε να δημιουργήσομε από τη γεννήτρια συνάρτηση μετασχηματισμούς οι οποίοι εξ ορισμού συνδέουν τις αρχικές με τις τελικές συντεταγμένες Επομένως, οι συναρτήσεις Fqpt, (,, ) FQPtπου (,, ) αναφέραμε στα προηγούμενα και περιέχουν μόνο παλιές ή μόνο νέες συντεταγμένες και ορμές, δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν αυτούσιες ως γεννήτριες συναρτήσεις, μπορούν όμως να μετατραπούν σε γεννήτριες συναρτήσεις κάνοντας χρήση της διαδικασίας που θα ακολουθήσομε παρακάτω Σε όλα που ακολουθούν μπορεί κανείς να χρησιμοποιεί την Εξ(79) ή την Εξ(70), θα χρησιμοποιούμε σε όλες τις περιπτώσεις την Εξ(79) Περίπτωση F( q, Q, t ) Ας υποθέσομε ότι τα q, Q είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους Ξεκινούμε από την Εξ(79) που έχει τη μορφή pdq Pd Q K( Q, P,) t H(, q p,)d t t d F(, q p,) t Το γεγονός ότι τα qq, είναι ανεξάρτητα σημαίνει ότι οι άλλες μεταβλητές μπορούν να εκφραστούν ως προς αυτές, δηλαδή Επομένως έχομε p p ( q, Q, t), P P( q, Q, t) Fq Q t p( qqt,, )d q P( qqt,, )d Q K Q, PqQt (,, ), t H q, p( qqt,, ), t dt (7) d F q, p( q, Q, t), t d,, Γράφομε d Fq, p( q, Q, t), t d Fq, Q, t και εννοούμε ότι έχομε απλή αντικατάσταση χωρίς να προστεθεί κάποιος άλλος όρος Με αυτή την έννοια λέμε ότι δεν «αλλοιώνεται» η μορφή της F, το σωστότερο είναι ότι έχει την ίδια τιμή στα αντίστοιχα σημεία Έχομε F F F d FqQt (,, ) dq dq dt q Q t Επομένως p ( q, Q, t)d q P( q, Q, t)d Q K Q, P( q, Q, t), t H q, p( q, Q, t), t dt F F F dq dq dt q Q t (7)

58 Θέτομε F (,, ) (, (,, ), ) (,, ) qqt Fq pqqt t FqQt Η ανεξαρτησία των διαφορικών οδηγεί στις δυο πρώτες από τις παρακάτω σχέσεις F(, q Q,) t F(, q Q,) t p, P Q q KQPt H qqpt pqpt t (,, ) (,, ), (,, ), F q( Q, P, t), Q, t t (74) Η τελευταία από αυτές τις σχέσεις δίνει τη μετασχηματισμένη χαμιλτονιανή Παρατηρούμε ότι δεν είναι αναγκαίο το ενδιάμεσο βήμα στην Εξ(7) της αντικατάστασης των P και p στα K και H Στην περίπτωση F μπορούμε κατά κάποιο τρόπο να ταυτίσομε τη συνάρτηση F με την F Από τις σχέσεις της Εξ (74) με δεδομένη την F (,, ) q Q t και εφόσον ισχύει η παρακάτω Εξ(77) βρίσκομε τις εξισώσεις του κανονικού μετασχηματισμού ως εξής: Λύνομε τις πρώτες εξισώσεις ως προς τα Q, P οπότε βρίσκομε τον κανονικό μετασχηματισμό Q Q( q, p, t), P P( q, p, t) Για να γίνει αυτό πρέπει να μπορούν να αντιστραφούν οι πρώτες από τις Εξ(74) για να πάρομε τις Q Q( q, p, t) Στη συνέχεια αντικαθιστούμε στις δεύτερες από τις Εξ(74) και βρίσκομε τις P P( q, p, t) Οι πρώτες των Εξ(74) είναι της μορφής p p( q, Q, t), επομένως για να μπορούν να αντιστραφούν και να δώσουν τα Q Q( q, p, t) πρέπει να ισχύει για την ιακωβιανή ορίζουσα p 0 (75) Q Θυμίζομε ότι χρησιμοποιούμε το σύμβολο για να δηλώσομε μια μήτρα και στην περίπτωση ορθογώνιας μήτρας την αντίστοιχη ορίζουσα με το σύμβολο Εδώ θα έχομε δισδιάστατες περιπτώσεις Τα στοιχεία τους στη γνωστή δισδιάστατη απεικόνιση συμβολίζονται με A όπου ο πρώτος δείκτης παριστάνει σειρά και ο δεύτερος στήλη Στην περίπτωση της Εξ(75) ο πάνω δείκτης παριστάνει γραμμή και ο κάτω p στήλη, δηλαδή A Αυτό θα ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις που θα ακολουθήσουν Q Επίσης θυμίζομε ότι όταν έχομε ανώτερες παραγώγους k Y Έχομε το συμβολισμό Yxx x Πρώτα υπολογίζεται η παράγωγος ως k xk xk x προς x μετά ως προς x κοκ μέχρι την τελευταία ως προς x k Αν έχομε την απλή περίπτωση δισδιάστατης μήτρας ή ορίζουσας με ανεξάρτητες μεταβλητές q ( q, q,, q) και p ( p, p,, p) αν οι δεύτερες παράγωγοι του τύπου Y Y qp p q

59 είναι στοιχεία μήτρας ή ορίζουσας τότε τα δηλώνουν τις αντίστοιχες σειρές και τα τις αντίστοιχες στήλες στη γνωστή αναπαράσταση Οι πρώτες από τις Εξ(74) σε συνδυασμό με την Εξ(75) οδηγούν στην p (,, ) F qqt Q Q q (76) Επομένως πρέπει να ισχύει για τη hessa (χεσιανή) ορίζουσα F (,, ) q Q t 0 Q q (77) Μπορούμε να δείξομε άμεσα ότι υπάρχει και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Πράγματι, αντιστρέφοντας τις δεύτερες από τις Εξ(74) βρίσκομε τα q q( Q, P, t) Για να γίνεται αυτό πρέπει να ισχύει P 0 (78) q Με τη βοήθεια των δεύτερων από τις Εξ(74) βρίσκομε ότι αυτό είναι αλήθεια αφού ισχύει η Εξ(77), οπότε P (,, ) F q Q t 0 q q Q (79) Επομένως ισχύει η Εξ(78) και έτσι η αντιστροφή γίνεται Αντικαθιστώντας τα q q( Q, P, t) στις πρώτες σχέσεις των Εξ(74) βρίσκομε τα p p( Q, P, t) Θα δούμε παρακάτω ότι και αυτός, αφού είναι ο αντίστροφος, είναι κανονικός μετασχηματισμός Στη συνέχεια βρίσκομε από την τελευταία των Εξ(74) τη νέα χαμιλτονιανή Προσοχή! σε αυτή τη σχέση πρώτα κάνομε τη μερική παραγώγιση της F( q, Q, t ) ως προς το χρόνο και κατόπιν αντικαθιστούμε τις εκφράσεις q ( Q, P, t ), p ( QPt,, ) οπότε βρίσκομε τη νέα χαμιλτονιανή K ( QPt,, ) Προφανώς η νέα χαμιλτονιανή, όταν υπάρχει η άμεση εξάρτηση από το χρόνο, δεν βρίσκεται με απλή αντικατάσταση των νέων μεταβλητών συναρτήσει των παλιών στην αρχική H ( q, p, t ) Πρέπει να τονιστεί ότι αν δεν ισχύει η Εξ(75) και επομένως και η Εξ(77), η δεδομένη F (,, ) q Q t δεν είναι γεννήτρια συνάρτηση κανονικού μετασχηματισμού Αν είναι γνωστός ο κανονικός μετασχηματισμός μπορούμε να ελέγξομε αν μπορεί να υπάρχει γεννήτρια συνάρτηση του μετασχηματισμού τύπου F (,, ) qqt όπως φαίνεται παρακάτω Είδαμε ότι η F (,, ) qqt βρίσκεται από τη σχέση F( q, Q, t) F q, p( q, Q, t), t όπου έχει γίνει αντικατάσταση του p ως συνάρτησης των qqt,, Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μπορεί να λυθεί η σχέση μετασχηματισμού Q Q( q, p, t) ως προς p οπότε θα

60 έχομε το p p( q, Q, t) Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα να μην είναι μηδέν, δηλαδή Q p 0 Περίπτωση F ( q, P, t ) Ας υποθέσομε ότι τα qp, είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους Αυτό σημαίνει ότι όλα μπορούν να γίνουν συναρτήσεις των qpt,, Θα δούμε ότι σε αυτή την περίπτωση η γεννήτρια συνάρτηση δεν μπορεί να ταυτιστεί με την F, με την έννοια της απλής αντικατάστασης μεταβλητών όπως κάναμε στην περίπτωση F Πρέπει να δούμε πώς να μετασχηματίσομε την Εξ(79) ώστε στο πρώτο μέλος να υπάρχουν μόνο διαφορικά των qp, και στο δεύτερο μέλος η F ( q, P, t ) Ξεκινούμε και πάλι από την Εξ(79) pdq Pd Q KQPt (,,) H(, q pt,)d td Fq (, pt,) (70) Εφόσον τα qp, είναι ανεξάρτητα θα μπορούμε να έχομε τις σχέσεις Επομένως p p ( q, P, t), Q Q( q, P, t) Fq P t p ( qpt,, )dq Pd Q( qpt,, ) K QqPt (,, ), Pt, H q, pqpt (,, ), t dt (7) d F q, p( q, P, t), t d,, Ισχύουν οι σχέσεις Q Q Q d Q( q, P, t) dq dp dt q P t F F F d FqPt (,, ) dq dp d t q P t (7) Επομένως μετά από αλλαγή του ονόματος των δεικτών και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα qp, είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα βρίσκομε

6 q P t ( PQ ) ( PQ ) ( PQ ) p ( qpt,, )dq dq dp dt Qd P K Q( q, P, t), P, t H q, p( q, P, t), t dt F F F dq dp d t q P t (7) Μεταφέρομε τους όρους,,4 στο δεύτερο μέλος και εφόσον και το t είναι ανεξάρτητη μεταβλητή έχομε p( qpt,, )d q K QqPt (,, ), Pt, H q, pqpt (,, ), tdt F PQ F PQ F PQ dq dp d t q P t (74) Θέτομε F( qpt,, ) F q, pqpt (,, ), t PQ( qpt,, ) (75) Ένεκα της ανεξαρτησίας των d q,d P,dt καταλήγομε στις σχέσεις F ( q, P, t) F ( q, P, t) p, Q P q KQPt H qqpt pqpt t (,, ) (,, ), (,, ), F ( q( Q, P, t), P, t) t (76) Η παραπάνω λεπτομερής διαδικασία μας οδηγεί στο να ακολουθήσομε την παρακάτω κάπως απλουστευμένη πορεία για να βρούμε τις Εξ(76) Εννοείται και πάλι ότι όλα τα μεγέθη είναι συναρτήσεις των qptπαρόλο,, που πολλές φορές δεν το γράφομε Προσθέτομε και στα δυο μέλη της Εξ(70) το ολικό διαφορικό d PQ PdQ Q dp = = = Έτσι έχομε pdq Qd P K( Q, P, t) H( q, p, t) dt df PQ = Θέτομε F ( qpt,, ) FqPt (,, ) PQ

6 Προφανώς τώρα έχομε pdq Qd P K( Q, P, t) H( q, p, t) dt d F ( q, P, t) Από αυτή τη σχέση αναπτύσσοντας το ολικό διαφορικό της F (,, ) q P t καταλήγομε στη σχέση F F F p q Q P H q p t t K Q P t t q P t d d (,, )d (,, )d d d d q P t F F F p dq Q d P K( Q, P, t) H( q, p, t) dt 0 q P t Εφόσον τα d q,d P,dt είναι ανεξάρτητα οι παρενθέσεις είναι η καθεμιά ίση με μηδέν, άρα έχομε πάλι την Εξ(76) Για να βρούμε τις σχέσεις μετασχηματισμού P P( q, p, t) πρέπει να μπορούν να αντιστραφούν οι πρώτες των Εξ(76) Γι αυτό πρέπει η ιακωβιανή ορίζουσα να είναι μη μηδενική, δηλαδή p P 0 (77) Επομένως αφού ισχύει p (,, ) F qpt P Pq (78) για να είναι γεννήτρια κανονικού μετασχηματισμού η δεδομένη συνάρτηση τύπου F (,, ) q P t πρέπει η χεσιανή ορίζουσα να μην είναι μηδενική, δηλαδή F (,, ) q P t 0 (79) Pq Με ανάλογη συλλογιστική όπως στην περίπτωση της F σχηματίζομε τη νέα χαμιλτονιανή ως προς τις μεταβλητές Q, P και το χρόνο t Αν είναι γνωστός ο κανονικός μετασχηματισμός μπορούμε να ελέγξομε αν μπορεί να υπάρχει γεννήτρια συνάρτηση του μετασχηματισμού τύπου F (,, ) qpt όπως φαίνεται παρακάτω Είδαμε ότι η F (,, ) qpt βρίσκεται από τη σχέση F ( q, P, t) F q, p( q, P, t), t PQ q, p( q, P, t), t

6 όπου έχει γίνει αντικατάσταση του p ως συνάρτησης των qpt,, Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μπορεί να λυθεί η σχέση μετασχηματισμού P P( q, p, t) ως προς p οπότε θα έχομε το p p( q, P, t) Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα να μην είναι μηδέν, δηλαδή P p 0 Περίπτωση F ( p, Q, t ) Υποθέτομε ότι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι τα pqt,, Μπορούμε να ακολουθήσομε την αναλυτική μεθοδολογία που ακολουθήσαμε στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις Όμως θα προτιμήσομε την ανάλογη της δεύτερης απλοποιημένης διαδικασίας που ακολουθήσαμε στην περίπτωση F Θα μετασχηματίσομε την Εξ(79) ώστε στο πρώτο μέλος να έχομε τα διαφορικά των ανεξάρτητων συντεταγμένων που είναι μάλιστα στη μορφή qd p, Pd Q (70) Προσθέτομε και στα δυο μέλη της Εξ(79) το ολικό διαφορικό Έτσι βρίσκομε Θέτομε d qp pdq qdp (7) qdp Pd Q K( Q, P, t) H( q, p, t) dt df pq (7) = F ( pqt,, ) F q( pqt,, ), pt, q( pqt,, ) p (7) Επομένως βρίσκομε q( pqt,, )d p PpQt (,, )d Q KQP, ( pqt,, ), t Hq( pqt,, ), pt, dt (74) d F ( p, Q, t)

64 Αφού πάρομε το ολικό διαφορικό της F (,, ) p Q t έχομε μετά από αναδιάταξη των όρων F F F q dp P dq K H dt 0 p Q t (75) Εφόσον τα d p, d Q, dt είναι ανεξάρτητα καταλήγομε στις σχέσεις F ( p, Q, t) F ( p, Q, t) q, P Q p (,, ) (,, ), (,, ), KQPt H qqpt pqpt t F p( Q, P, t), Q, t t (76) Τελικώς, με χειρισμούς όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις, βρίσκομε τους μετασχηματισμούς που μας οδηγούν στις μετασχηματισμένες συντεταγμένες και την έκφραση της νέας χαμιλτονιανής Για να προσδιορίζεται ο κανονικός μετασχηματισμός από τις Εξ(76) πρέπει να αντιστρέφονται οι πρώτες από αυτές, άρα πρέπει η αντίστοιχη ιακωβιανή να είναι μη μηδενική, δηλαδή q Q 0 (77) Όμως από αυτές τις ίδιες έχομε q (,, ) F p Q t Q Q p (78) Επομένως για να είναι γεννήτρια η δεδομένη συνάρτηση τύπου F (,, ) p Q t πρέπει να ισχύει για τη χεσιανή F (,, ) p Q t 0 Q p (79) Αν είναι γνωστός ο κανονικός μετασχηματισμός μπορούμε να ελέγξομε αν μπορεί να υπάρχει γεννήτρια συνάρτηση του μετασχηματισμού τύπου F (,, ) pqt όπως φαίνεται παρακάτω Είδαμε ότι η F (,, ) pqt βρίσκεται από τη σχέση F ( pqt,, ) F q( pqt,, ), pt, q( pqt,, ) p όπου έχει γίνει αντικατάσταση του q ως συνάρτησης των pqt,, Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μπορεί να λυθεί η σχέση μετασχηματισμού Q Q( q, p, t) ως προς q οπότε θα

65 έχομε το q q( p, Q, t) Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα να μην είναι μηδέν, δηλαδή Q q 0 4 Περίπτωση F ( p, P, t ) 4 Τώρα ανεξάρτητες μεταβλητές είναι τα ppt,, Ακολουθούμε την απλή διαδικασία Ξεκινούμε από την Εξ(79) και προσπαθούμε να έχομε στο πρώτο μέλος όρους με διαφορικά των pp, που είναι μάλιστα της μορφής qd p, Qd P (740) Προσθέτομε και στα δυο μέλη της Εξ(79) το ολικό διαφορικό d qp QP qdp pdq QdP Pd Q Οπότε έχομε (74) qdp Qd P K( Q, P, t) H( q, p, t) dt d F qp QP (74) Θέτομε 4 F ( ppt,, ) F q( ppt,, ), pt, q( ppt,, ) p Q( pptp,, ) Οπότε καταλήγομε στην (74) q ( p, P, t)d p Q( p, P, t)dp K Q( p, P, t), P, t H q( p, P, t), p, t dt d F ( p, P, t) 4 (744) Αναπτύσσομε το ολικό διαφορικό του δευτέρου μέλους και με την ανάλογη διαδικασία όπως και πριν καταλήγομε στις

66 F ( p, P,) t F ( p, P,) t q, Q P 4 4 p KQPt H qqpt pqpt 4 (,, ) (,, ), (,, F ( p( Q, P, t), P, t) t (745) Από αυτές προσδιορίζομε τους μετασχηματισμούς που μας οδηγούν στις μετασχηματισμένες συντεταγμένες και στη νέα χαμιλτονιανή Η σχέση που πρέπει να ισχύει ώστε η F (,, ) 4 p P t να είναι γεννήτρια κανονικού μετασχηματισμού προκύπτει από την απαίτηση να αντιστρέφονται οι πρώτες από τις Εξ(745) οπότε πρέπει Από αυτές όμως έχομε ότι q P 0 (746) q (,, ) F4 ppt P Pp (747) Άρα πρέπει για τη δεδομένη F (,, ) 4 p P t να ισχύει F (,, ) 4 p P t 0 Pp (748) Αν είναι γνωστός ο κανονικός μετασχηματισμός μπορούμε να ελέγξομε αν μπορεί να υπάρχει γεννήτρια συνάρτηση του μετασχηματισμού τύπου F (,, ) 4 ppt όπως φαίνεται παρακάτω Είδαμε ότι η F (,, ) 4 ppt βρίσκεται από τη σχέση 4 F ( ppt,, ) F q( ppt,, ), pt, q( ppt,, ) p Q q( ppt,, ), pt, P όπου έχει γίνει αντικατάσταση του q ως συνάρτησης των ppt,, Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να μπορεί να λυθεί η σχέση μετασχηματισμού P P( q, p, t) ως προς q οπότε θα έχομε το q q( p, P, t) Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα να μην είναι μηδέν, δηλαδή P q 0 Μπορεί κάποιος να μετασχηματίσει από μιαν οποιαδήποτε περίπτωση, αν υπάρχει, σε άλλη, αν υπάρχει, με απλό ή πολλαπλό μετασχηματισμό Legedre Για να μπορεί να γίνει αυτό πρέπει να ισχύουν κατάλληλες προϋποθέσεις ύπαρξης του μετασχηματισμού Legedre Πολλοί κανονικοί μετασχηματισμοί δεν μπορούν να αναχθούν σε κάποια από τις παραπάνω απλές μορφές αλλά σε κάποια μικτή περίπτωση όπως η επόμενη

67 Όμως για κάθε κανονικό μετασχηματισμό υπάρχει πάντα κάποιου είδους γεννήτρια συνάρτηση, απλού ή μεικτού τύπου 5 Μικτή περίπτωση F F( q, p, Q, P, t) Μπορούμε να έχομε μικτές περιπτώσεις των ανωτέρω απλών μορφών γεννητριών συναρτήσεων Δηλαδή, μπορεί μερικές μεταβλητές να ακολουθούν μια από τις ανωτέρω τέσσερις απλές μορφές και άλλες άλλη Ως παράδειγμα ας δούμε την ακόλουθη απλή περίπτωση όπου έχομε (αρχικό) χώρο των φάσεων με συντεταγμένες ( q, p) ( q, q, p, p) και τελικό με ( QP, ) ( Q, Q, PP, ) Έστω ότι η γεννήτρια συνάρτηση είναι της μορφής της Εξ(749), με ανεξάρτητες μεταβλητές τα q, P, p, Q, t F( q, P, p, Q, t ) (749) Αυτή είναι μεικτού τύπου F και F και γι αυτό συμβολίζεται ως F Θα διατάξομε τις εμπλεκόμενες μεταβλητές σε διάταξη παλιών και νέων γράφοντας τη γεννήτρια ως F F( q, p, Q, P, t) Ξεκινούμε και πάλι όπως πριν από την Εξ(79) για, δηλαδή την p dq p dq PdQ Pd Q K( Q, P, t) H( q, p, t) dt df (750) Εφαρμόζομε την απλή μεθοδολογία οπότε θα καταλήξομε να έχομε στο πρώτο μέρος μόνο διαφορικά της μορφής pd q, qd p, Qd P, PdQ (75) Για να το πετύχομε προσθέτομε και στα δυο μέλη της Εξ(750) το ολικό διαφορικό d( q p PQ ) q dp p dq PdQ QdP (75) Έτσι καταλήγομε στη σχέση Θέτομε qdp pdqpdq Qd P K( Q, P, t) H( q, p, t) dt (75) d F q p PQ F ( q, p, Q, P, t) F q, q ( q, p, Q, P, t), p ( q, p, Q, P, t), p, t Q ( q, p, Q, P, t) P q ( q, p, Q, P, t) p (754) οπότε βρίσκομε τη σχέση,,,, d d d,,,, q q, p, Q, Pt, d p p q, p, Q, Pt, d qp q, p, Q, Pt, dq Q q p Q P t P K H t F q p Q P t (755)

68 Για ευκολία στη γραφή δεν γράφομε τις εξαρτήσεις των K, H από τις ανεξάρτητες μεταβλητές Αναπτύσσομε το ολικό διαφορικό του δευτέρου μέλους και τελικώς με ανάλογη όπως πριν διαδικασία καταλήγομε στις εξισώσεις που θα μας δώσουν τον κανονικό μετασχηματισμό, δηλαδή στις,,,,,,,, F q p Q P t F q p Q P t p, Q q q P,,,,,,,, F q p Q P t F q p Q P t, P p Q KQPt H qqpt pqpt t (,, ) (,, ), (,, ), F q, p, Q, P, t t (756) Αντιστρέφοντας την πρώτη και την τρίτη (μαζί ως σύστημα εξισώσεων) βρίσκομε τα Q Q ( q, p, t), P P( q, p, t) και αντικαθιστώντας στις δεύτερη και τέταρτη βρίσκομε τα Q Q( q, p, t), P P( q p, t) δηλαδή βρίσκομε όλες τις σχέσεις του κανονικού μετασχηματισμού Για να μπορούν να αντιστραφούν η πρώτη και η τρίτη μαζί, θεωρούμε ως διάταξη των μεταβλητών τη q, pκαι QP, αντιστοίχως, οπότε πρέπει να ισχύει για την ιακωβιανή ορίζουσα q Q p Q q P p P 0 (757) Με χρήση της Εξ(756) βρίσκομε ότι για τη χεσιανή ορίζουσα ισχύει q q F F Q P Q p Pp p p F F Q P Q q Pq (758) Επομένως για να είναι η F ( q, P, p, Q, t ) γεννήτρια συνάρτηση πρέπει η χεσιαμνή ορίζουσα να είναι μη μηδενική, δηλαδή F F Q p Pp F F Q q Pq 0 (759)

69 Ας δούμε τώρα τι πρέπει να ισχύει ώστε δεδομένος κανονικός μετασχηματισμός να είναι κανονικός μετασχηματισμός τύπου F και μάλιστα F( q, p, Q, P, t ) Οι σχέσεις του δεδομένου μετασχηματισμού θα είναι Q Q (, q p,) t Q ( q, q, p, p,) t Q Q ( q, p, t) Q ( q, q, p, p, t) P P(, q p,) t P( q, q, p, p,) t P P( q, p, t) P( q, q, p, p, t) Η F( q, p, Q, P, t ) υπολογίζεται από τη σχέση (754) επομένως πρέπει να μπορεί να λυθεί το σύστημα της δεύτερης και τρίτης σχέσης του δεδομένου μετασχηματισμού ως προς q, p ώστε να υπολογιστούν ως συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών Έχομε έτσι τα q q( q, p, Q, P, t), p p( q, p, Q, P, t) Αντικαθιστούμε αυτά τα μεγέθη στην πρώτη και τέταρτη σχέση του μετασχηματισμού οπότε έχομε και τα Q Q( q, p, Q, P, t), P P( q, p, Q, P, t), οπότε όλα μπορούν να εκφραστούν ως προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές Για να γίνεται αυτό πρέπει να μπορεί να γίνει η λύση (αντιστροφή) της δεύτερης και τρίτης σχέσης ως προς q, p Αυτό γίνεται αν η σχετική ιακωβιανή ορίζουσα είναι μη μηδενική, δηλαδή πρέπει Q q P q Q p P p 0 7 Εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης από τις εξισώσεις κανονικού μετασχηματισμού Όταν δίνεται ένας μετασχηματισμός υπάρχουν κριτήρια που μας λένε αν είναι κανονικός ή όχι Παρακάτω θα δούμε κριτήριο που βασίζεται στο συμπλεκτικό φορμαλισμό και κριτήρια που σχετίζονται με τις αγκύλες του Posso και τις αγκύλες του Lagrage Άλλο κριτήριο είναι η ύπαρξη γεννήτριας συνάρτησης όπως αναλύσαμε στα προηγούμενα Ένα άλλο κριτήριο θα προκύψει από αυτά που θα αναπτύξομε στην παράγραφο 7 Οι διαδικασίες που περιγράψαμε μέχρι τώρα οδηγούν από δεδομένη γεννήτρια συνάρτηση σε κανονικούς μετασχηματισμούς Μπορούμε όμως να κάνομε και το αντίστροφο, δηλαδή να δίνονται οι εξισώσεις κανονικού μετασχηματισμού

70 Q Q( q, p, t), P P( q, p, t) και να θέλομε να βρούμε την F g Η μέθοδος που μπορούμε να ακολουθήσομε είναι να αντιστρέψομε κατάλληλα τις εξισώσεις μετασχηματισμού και να εκφράσομε τις υπόλοιπες μεταβλητές συναρτήσει αυτών που θέλομε να είναι οι ανεξάρτητες μεταβλητές και του χρόνου Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις κατάλληλες για την περίπτωση σχέσεις που συνδέουν τις μερικές παραγώγους της F g με μεταβλητές του χώρου των φάσεων πριν και μετά το μετασχηματισμό Αυτές μπορούμε, κατ αρχή, να τις ολοκληρώσομε και να βρούμε τη γεννήτρια συνάρτηση Φυσικά η γεννήτρια συνάρτηση είναι απροσδιόριστη κατά μια προσθετική αυθαίρετη συνάρτηση μόνο του χρόνου Είναι προφανές ότι, αφού υπεισέρχονται μόνο οι μερικές παράγωγοι της γεννήτριας συνάρτησης ως προς μεταβλητές του χώρου των φάσεων, οι εξισώσεις μετασχηματισμού δεν εξαρτώνται από αυτή την προσθετική συνάρτηση του χρόνου Αυτό επηρεάζει μόνο τη μορφή της νέας χαμιλτονιανής αλλά δεν επηρεάζει τις εξισώσεις κίνησης Το ποια είναι δυνατόν να είναι η μορφή της F (,,,, ) g qq ppt εξαρτάται από τις δυνατότητες αντιστροφής που καθορίζουν ποιες μεταβλητές μπορεί να ληφθούν ως ανεξάρτητες Αν η περίπτωση δεν εμπίπτει σε καμιά από τις απλές περιπτώσεις που αναφέραμε, τότε είναι κάποιο είδος μεικτής περίπτωσης και πρέπει να ακολουθήσομε ανάλογη διαδικασία όπως στην ανωτέρω μεικτή περίπτωση 5 για να βρούμε για τη συγκεκριμένη περίπτωση τις εξισώσεις με τις μερικές παραγώγους της F g Έστω ο μετασχηματισμός Q p q, P p t (760) Αυτός είναι κανονικός μετασχηματισμός όπως μπορεί να ελεγχθεί με διάφορους τρόπους Ας εφαρμόσομε το κριτήριο των αγκυλών Posso που φαίνεται στο σχετικό κεφάλαιο παρακάτω, βρίσκομε ότι ισχύει η Εξ(76), που σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός είναι κανονικός [ QP, ] (76) Εφόσον έχομε μόνο δυο μεταβλητές είναι ευνόητο ότι η γεννήτρια συνάρτηση θα υπάγεται σε μια από τις απλές περιπτώσεις που αναφέραμε προηγουμένως, δηλαδή τις () (4) Πράγματι μπορεί να εφαρμοστεί η διαδικασία όπου F F( q, Q, t) διότι η g πρώτη σχέση του μετασχηματισμού μπορεί να αντιστραφεί και να δώσει το p p( q, Q, t) Η γενική σχέση που πρέπει να ισχύει για να μπορεί να γίνεται αντιστροφή Q ( q, p, t) είναι ότι η ορίζουσα της μήτρας να είναι διάφορος του μηδενός Δηλαδή p Q ( q, p, t) p 0 (76) Στην περίπτωσή μας έχομε μόνο ένα στοιχείο μήτρας και πράγματι γενικώς ισχύει Q p 0 (76) p Εξάλλου φαίνεται αμέσως ότι γίνεται η αντιστροφή της

7 Q Q( q, p, t) p q (764) και δίνει p Q q / (765) Προφανώς και το P μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των qqt,, Πράγματι έχομε P pt Qq / t (766) Προχωρούμε στον προσδιορισμό της F (,, ) qqt Χρησιμοποιούμε τις πρώτες σχέσεις της Εξ(74) σε συνδυασμό με τις Εξ(765), (766)και καταλήγομε στις F ( q, Q, t) q Qq / F ( q, Q, t) / Qq t Q (767) Ολοκληρώνομε την πρώτη εξίσωση ως προς q, θεωρώντας τα Qt, σταθερές παραμέτρους οπότε βρίσκομε F / ( q, Q, t) Qq f( Q, t) (768) όπου η f (, ) Qt συνάρτηση που θα προσδιοριστεί Ολοκληρώνομε τη δεύτερη εξίσωση από τις Εξ(767) ως προς Q θεωρώντας τα qt, σταθερές παραμέτρους οπότε βρίσκομε F / ( q, Q, t) Qq tq f( q, t) (769) Για να παριστάνουν την ίδια συνάρτηση οι Εξ(768) και (769) πρέπει να ισχύει / / F( q, Q, t) Qq f( Q, t) Qq tq f( q, t) (770) Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να κάνομε την επιλογή f ( Qt, ) tq f( qt, ), f( qt, ) f( t) (77)

7 Άρα F / ( q, Q, t) Qq tq f( t) (77) Τώρα μπορούμε να κάνομε το αντίστροφο, δηλαδή να ξεκινήσομε από τη γεννήτρια της Εξ(77) και να επαληθεύσομε ότι βρίσκομε πράγματι τον κανονικό μετασχηματισμό της Εξ(760) Πράγματι F( q, Q, t) q / p Q q F( q, Q, t) Q / P Q q t (77) Από αυτές προφανώς βρίσκομε τις Εξ(760) Q p q, P p t Η άλλη δυνατότητα που έχομε είναι να επιχειρήσομε να βρούμε γεννήτρια συνάρτηση τύπου F (,, ) q P t Για να μπορούμε να έχομε ανεξάρτητες μεταβλητές τα qpt,, πρέπει να μπορούμε να κάνομε τις σχετικές αντιστροφές, άρα πρέπει Pqpt (,, ) p 0 (774) Αυτό ισχύει πράγματι διότι έχομε P 0 p (775) Πράγματι έχομε, p P t, Q ( P t) q (776) Μπορείτε να βρείτε μόνοι σας την F ( qpt,, ) Ακόμη μπορούμε να βρούμε και γεννήτρια τύπου F (,, ) p Q t Αυτό γίνεται διότι μπορούμε να αντιστρέψομε τις εξισώσεις μετασχηματισμού και να εκφράσομε τα qp, συναρτήσει των pq, Για να γίνεται τέτοια αντιστροφή πρέπει να ισχύει

7 Q ( q, p, t) q 0 (777) Στην περίπτωσή μας πράγματι ισχύει Q 0 (778) q Έχομε από την αντιστροφή q Q p (779) Προχωρούμε στην εύρεση της F (,, ) pqt Χρησιμοποιούμε τις δυο τελευταίες από τις Εξ(76) οπότε έχομε F ( p, Q, t) qq p p F ( p, Q, t) Ppt Q (780) Ολοκληρώνομε ως προς p την πρώτη από τις Εξ(780), θεωρώντας τα Qt, σταθερές παραμέτρους και τη δεύτερη ως προς Q θεωρώντας τα p, t σταθερές παραμέτρους οπότε βρίσκομε F( pqt,, ) Qp p f( Qt, ) F ( p, Q, t) Qp Qt f ( p, t) (78) Προφανώς μπορούμε να κάνομε την επιλογή f ( Q, t) Qt f ( pt, ) p / f( t) (78) Βρίσκομε επομένως ότι F( p, Q, t) Qp p f( t) (78) Και πάλι κάνοντας το αντίστροφο βρίσκομε από τη γεννήτρια συνάρτηση της Εξ(78) τον μετασχηματισμό από όπου ξεκινήσαμε Πράγματι

74 Άρα F ( p, Q, t) p q Q p F ( p, Q, t) Q P p t (784) Q p q P p t, Από εκεί και πέρα η διαδικασία είναι όπως στις άλλες περιπτώσεις που μελετήσαμε Η μόνη άλλη απλή περίπτωση που θα μπορούσαμε να έχομε είναι η περίπτωση F ( p, P, t ) 4 Όμως αυτό δεν μπορεί να γίνει διότι δεν μπορούμε να εκφράσομε τις μεταβλητές ως προς ppt,, Πράγματι για να γίνεται αυτό θα πρέπει Pqpt (,, ) q 0 (785) Στην περίπτωσή μας έχομε P 0 (786) q Επομένως δεν μπορεί να βρεθεί γεννήτρια συνάρτηση της μορφής F ( p, P, t ) 4 Δηλαδή οι ανωτέρω εξισώσεις μετασχηματισμού δεν μπορεί να δώσουν σχέσεις της μορφής Q Q( p, P,), t q q( p, P,) t Ξανατονίζομε, συνοψίζοντας, ότι ξεκινούμε από το μετασχηματισμό Q Q( q, p, t), P P( q, p, t) και ακολουθούμε την ανωτέρω διαδικασία Αν μπορέσομε να βρούμε συνάρτηση F (,,,, ) g qq ppt που γεννά κατά τα γνωστά τον δεδομένο μετασχηματισμό, τότε είμαστε βέβαιοι ότι ο μετασχηματισμός είναι κανονικός 7 Ένα άλλο κριτήριο για το αν ένας μετασχηματισμός είναι κανονικός Θα αναπτύξομε παρακάτω και ένα άλλο κριτήριο για να βρίσκομε αν ένας δεδομένος μετασχηματισμός είναι κανονικός

75 Ξεκινούμε από τη βασική Εξ(79) η οποία είναι pdq Pd Q K( Q, P, t) H( q, p, t) dt d F (787) Ας υποθέσομε ότι ο χρόνος είναι μια αυθαίρετη σταθερή παράμετρος, t t0 Αυτό σημαίνει ότι dt 0, οπότε η Εξ(787) γίνεται ή απλώς pδq PδQ δf (788) pdq PdQ d F, t t0 σταθερό (789) Αυτό μας οδηγεί στο κριτήριο που λέει ότι, ένας κανονικός μετασχηματισμός, για χρόνο αυθαίρετο που λαμβάνεται ως σταθερή παράμετρος, οδηγεί στο ότι η διαφορά των διαφορικών εκφράσεων του πρώτου μέλους είναι ολικό διαφορικό για σταθερό χρόνο, μιας συνάρτησης F των συντεταγμένων και του χρόνου Φυσικά εννοείται ότι όλα πρέπει να εκφραστούν συναρτήσει ανεξάρτητων συντεταγμένων και του χρόνου Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω, είναι σίγουρο ότι για κανονικούς μετασχηματισμούς, σε αυτές τις εκφράσεις μπορεί να είναι ανεξάρτητες συντεταγμένες τα q, p ή τα QP, Εφόσον έχομε ολικό διαφορικό ως προς τις ανεξάρτητες συντεταγμένες, αυτό που μπορούμε να κάνομε για να βρούμε (για παράδειγμα) την Fqpt (,, ) είναι το εξής: Εκφράζομε όλα συναρτήσει των qpt,,, και θέτομε όπου t t0 σταθερό, pd q Pq (, pt, )d Q( q, pt, ) d Fq (, pt, ) (790) 0 0 0 στη συνέχεια ολοκληρώνομε την έκφραση του πρώτου μέλους στο χώρο των q, p, μεταξύ ενός αυθαίρετου σημείου q0, p 0 και του σημείου q, p, ακολουθώντας μιαν οποιαδήποτε διαδρομή μεταξύ τους Προφανώς ακολουθούμε κάποια που μας βολεύει Στη συνέχεια θέτομε όπου t 0 το t Αν έχομε κάνει σωστά τους υπολογισμούς και εφόσον ο μετασχηματισμός είναι κανονικός θα έχομε την Fqptως (,, ) άθροισμα μιας έκφρασης που θα είναι συνάρτηση μόνο των qpt,, και μιας άλλης έκφρασης που θα είναι συνάρτηση μόνο των σταθερών q0, p 0 και του χρόνου t, Fq (, pt, ) f( q, pt, ) gq ( 0, p0, t) Ξανατονίζομε ότι, γενικώς, αυτή η συνάρτηση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπως είναι ως γεννήτρια συνάρτηση, με απλή αντικατάσταση των συντεταγμένων (αν αυτό μπορεί φυσικά να γίνει με κατάλληλες αντιστροφές των εξισώσεων μετασχηματισμού), ώστε να καταλήξει να είναι συνάρτηση του χρόνου και αρχικών και μετασχηματισμένων μεταβλητών Η συνάρτηση αυτή με απλή κατάλληλη αντικατάσταση μεταβλητών (αν μπορεί να γίνει αυτό) ώστε να μετατραπεί σε συνάρτηση των qqt,,, δίνει μόνο τη σωστή

76 γεννήτρια τύπου F (,, ) q Q t Αυτό αναμένεται διότι η μορφή που ξεκινήσαμε έχει στο πρώτο μέλος τα pd q, PdQ οπότε αν τα qq, είναι ανεξάρτητα τότε είμαστε στην περίπτωση F (,, ) q Q t Για τις άλλες περιπτώσεις πρέπει η ανωτέρω F να αλλάξει μορφή όπως έγινε στις ειδικές περιπτώσεις που περιγράψαμε με προσθήκη κατάλληλων όρων οι οποίοι, σύμφωνα με την παρούσα φιλοσοφία, μπορεί να θεωρηθούν ως συναρτήσεις των qpt,, Είναι καλό να διατυπώσομε αυτό το κριτήριο για τις ειδικές περιπτώσεις γεννητριών συναρτήσεων που εξετάσαμε παραπάνω, F, F, F, F 4 Δίνομε απλώς τα αποτελέσματα, τα οποία μπορεί κάποιος να βρει εύκολα Είναι ευνόητο ότι η εύρεση της γεννήτριας για την κάθε περίπτωση ακολουθεί την ανάλογη διαδικασία που παρουσιάσαμε προηγουμένως με ολοκλήρωση σε αυθαίρετο δρόμο στον αντίστοιχο χώρο, ( qq, ),( qp, ),( pq, ),( pp, ) αντιστοίχως για τις τέσσερις περιπτώσεις αντιστοίχως Περίπτωση F( q, Q, t ) p( qqt,, )d q PqQt (,, )d Q=d F( qqt,, ) (79) 0 0 0 Περίπτωση F ( q, P, t ) p ( q, P, t )d q Q ( q, P, t )dp d F ( q, P, t ) (79) 0 0 0 Περίπτωση F ( p, Q, t ) (79) q( pqt,, )d p PpQt (,, )dqd F( pqt,, ) 0 0 0 Περίπτωση F ( p, P, t ) 4 (794) q ( p, P, t )d p Q( p, P, t )dp d F ( p, P, t ) 0 0 4 0 Μια μεικτή περίπτωση F ( q, p, P, Q, t) p ( q, p, Q, P, t )d q q ( q, p, Q, P, t )d p P( q, p, Q, P, t )dq 0 0 0 Q ( q, p, Q, P, t )dp d F q, p, Q, P, t 0 (795) Η γενική περίπτωση που περιλαμβάνει όλες τις παραπάνω περιπτώσεις (μεικτή) γράφεται

77 p dq qdp PdQ QdP K H dt d F( q, p, Q, P, t) q( q, q,, q ), p p( p, p,, p ) Q( Q, Q,, Q ), P P( P, P,, P ) F p ( q, p, Q, P, t),,, q F q ( q, p, Q, P, t),,, p F Pq (, pq,, Pt, ),,, Q F Q ( q, p, Q, P, t),,, P (796) Για να μπορούμε από τις Εξ(796) να προσδιορίσομε τον κανονικό μετασχηματισμό Q Q( q, p, t), P P( q, p, t), πρέπει να μπορεί να αντιστραφεί (επιλυθεί) το σύστημα των εξισώσεων, το οποίο αποτελείται από τις πρώτες και τις δεύτερες εξισώσεις, ώστε να προσδιοριστούν τα Q, P Στη συνέχεια από τις δεύτερες και τις τρίτες σχέσεις θα προσδιοριστούν και τα υπόλοιπα QP, Για να επιλύεται το παραπάνω σύστημα, πρέπει η ορίζουσα που ακολουθεί (η οποία, όπως και φαίνεται, αποτελείται από τέσσερις ορίζουσες) να μην είναι μηδέν, δηλαδή p p Q P det 0 q q Q P (797) Από τις Εξ(796) και (797) καταλήγομε στην συνθήκη με τη γεννήτρια συνάρτηση για τη δυνατότητα επίλυσης του παραπάνω συστήματος εξισώσεων Δηλαδή η Εξ(797) γίνεται F F qq qp det 0 (798) F F pq pp Προφανώς έχομε για το σχετικό κριτήριο κανονικότητας του μετασχηματισμού με t t 0 σταθερό,

78 p ( q, p, Q, P, t )d q q ( q, p, Q, P, t )d p P( q, p, Q, P, t )dq (799) 0 0 0 d F( q, p, Q, P, t ) 0 Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε έναν διαφορετικό συμβολισμό και δίνομε μιαν άλλη μορφή της γενικής έκφρασης Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό x q ή x p y p αν x q (700) y q αν x p Ομοίως X Q ή X P P αν X Q Q αν X P Y Y (70) Ο κανονικός μετασχηματισμός Q Q( q, p, t), P P( q, p, t) πληροί τη γενική σχέση ydx YdX K Hdt d Fg (70) Το κριτήριο με t t0 σταθερό γίνεται ydx YdX d Fg, t t0 σταθερό (70) Παράδειγμα Ας ξεκινήσομε από το μετασχηματισμό που είδαμε και στα προηγούμενα Q p q, P p t (704) Ας βρούμε συνάρτηση Fqpt (,, ) τέτοια που να ισχύει η Εξ(790), δηλαδή η pd q Pq (, pt, )d Q( q, pt, ) d Fq (, pt, ) (705) 0 0 0 Αντικαθιστούμε από τις Εξ(704) και έχομε

79 d Fqpt (,, )= pq d ( pt)d( p q) tdq pp ( t)dp (706) 0 0 0 0 Εδώ τα πράγματα είναι απλά και δεν χρειάζεται η επιλογή κάποιας διαδρομής για την ολοκλήρωση μεταξύ q0, p 0 και q, p διότι ο κάθε ένας όρος με τα διαφορικά εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή του διαφορικού, άρα το αποτέλεσμα είναι F( q, p, t ) qt p / p t f( q, p, t ) (707) 0 0 0 0 0 0 Οπότε θέτοντας όπου t 0 το t έχομε τελικώς Fqpt qt p pt f q p t (708) (,, ) / ( 0, 0, ) Αφού υπάρχει η Fqpt (,, ) ο μετασχηματισμός είναι κανονικός Για διδακτικούς λόγους ας διαλέξομε τη διαδρομή από q0, p 0 μέχρι q, 0 p με q σταθερό και στη συνέχεια από q, p μέχρι, 0 q p με p σταθερό Θα έχομε από την Εξ(706) p Fqpt (,, ) pp ( t)dp tdq 0 0 0 p0 q0 p p0 t0p t0p0 t0qt0q0 q (709) Βάζομε όπου t 0 το t και έτσι πράγματι βρίσκομε την Εξ(708) Ας πάρομε τώρα την Εξ(708) και ας αγνοήσομε τον τελευταίο προσθετέο για ευκολία Έχομε Fqpt (,, ) qt p/ pt (70) Αν από τις σχέσεις μετασχηματισμού Εξ(704) εκφράσομε τα pp, ως προς qq, και αντικαταστήσομε στην Εξ(70) βρίσκομε την ίδια συνάρτηση με αυτήν της Εξ(77), χωρίς τον τελευταίο προσθετέο, δηλαδή βρίσκομε τη σωστή γεννήτρια συνάρτηση τύπου F( q, Q, t ) F / ( qqt,, ) FqQt (,, ) Qq tq (7) Ας κάνομε τώρα κάτι που είναι λάθος Από τις σχέσης μετασχηματισμού (704) βρίσκομε τα q q( p, Q, t), P P( p, Q, t) και κάνοντας απλή αντικατάσταση στην Εξ(70) βρίσκομε (,, ) (7) F pqt p Qt

80 Παρατηρούμε ότι με απλή αντικατάσταση δεν βρήκαμε τη γεννήτρια συνάρτηση τύπου F (,, ) p Q t που σύμφωνα με την Εξ(78) είναι F ( pqt,, ) Qp p Qt (7) Ας ακολουθήσομε τώρα τη σωστή διαδικασία και όπως στην Εξ(7) ας προσθέσομε στα δυο μέλη στην Εξ(70) τον όρο qp, που εδώ είναι απλώς ο όρος qp, τότε βρίσκομε F q p t F q p t qp qt p p t pq (74) (,, ) (,, ) / Αντικαθιστώντας τις μεταβλητές όπως πριν, τώρα καταλήγομε πράγματι στη γεννήτρια τύπου F (,, ) p Q t, δηλαδή βρίσκομε την Εξ(7), δηλαδή την F ( pqt,, ) Qp p Qt (75) Το ίδιο βρίσκομε αν στην Εξ(7) προσθέσομε τον όρο pq αν πρώτα αντικαταστήσομε το q αφού το εκφράσομε ως προς pq,, δηλαδή προσθέτομε τον όρο p( Q p ) (76) Πράγματι βρίσκομε πάλι τη σωστή Εξ(75) 7 Αγκύλες του Posso Έστω η συνάρτηση f ( q, p, t ), των μεταβλητών ( q, p, t) κάποιου χαμιλτονιανού μηχανικού συστήματος το οποίο έχει χαμιλτονιανή H ( q, p, t ) Αυτές οι συναρτήσεις (ποσότητες) λέγονται δυναμικές ποσότητες ή δυναμικές μεταβλητές ή δυναμικές συναρτήσεις Η ολική παράγωγος ως προς το χρόνο της συνάρτησης αυτής είναι df f f f q p dt t q p (77) Ισχύουν οι εξισώσεις του Hamlto H H q, p (78) p q Οι Εξ(77) και (78) δίνουν

8 df f f, Hqp dt t def f H f H f, H = qp q p p q (79) Η αγκύλη f, H λέγεται αγκύλη (του) Posso των f και H ως προς τις συζυγείς qp μεταβλητές ( q, p ) Αν η ποσότητα f ( q, p, t ) είναι σταθερά της κίνησης τότε df dt f f, H 0 qp t (70) Αν μια ποσότητα που είναι σταθερά της κίνησης, δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, δηλαδή είναι της μορφής f ( q, p ), τότε έχομε df f, H 0 qp dt (7) Δηλαδή μια διατηρούμενη ποσότητα, η οποία δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο, έχει αγκύλη Posso με τη χαμιλτονιανή ίση με μηδέν Γενικότερα, ορίζεται ως αγκύλη Posso ως προς ( q, p ), για κάθε δυο δυναμικές συναρτήσεις f (, q p,), t g(, q p,) t το μέγεθος def f g f g f, g = qp q p p q (7) Εύκολα από τον ορισμό προκύπτει ότι ισχύουν οι εξής σχέσεις για τις αγκύλες του Posso, όπου για απλούστευση δεν γράφομε ως δείκτες τα q, p ) Αν c σταθερά ανεξάρτητη από τα ( q, p, t ), τότε ) f, g g, f ) f, f 0 4) f f, g f, g f, g 5) [ ff, g] f[ f, g] [ f, g] f f g f, g, g f, t t t f f, q p f f, p q 6) 7) 8) f, c 0

8 Από τις (7), (8) βάζοντας όπου f τα q και τα p, βρίσκομε τις θεμελιώδεις σχέσεις των αγκύλων του Posso, δηλαδή τις 9) q, q 0 0) p, p 0 ) q, p δ (το δέλτα του Kroecker) Ισχύει επίσης η ταυτότητα του Jacob, η οποία λέει ότι, αν u,, w είναι τρεις δυναμικές συναρτήσεις, τότε έχομε ) u w w u w u,,,,,, 0 Αυτή αποδεικνύεται πιο δύσκολα και η διαδικασία φαίνεται στο παράρτημα Π7 Θα δείξομε ότι ισχύει το Θεώρημα του Posso το οποίο λέει ότι, αν f ( q, p, t ) και gqpt (,, ) είναι σταθερές της κίνησης τότε και η αγκύλη Posso f, g είναι σταθερά της κίνησης, δηλαδή d dt f, g 0 (7) Έχομε d dt f, g f, g f, g, H t (74) Χρησιμοποιούμε τη σχέση (6) και την ταυτότητα του Jacob και καταλήγομε στις σχέσεις d f g f, g, g f, g, H, f H, f, g dt t t f g H, f, g f, H, g t t df dg, g f, 00 dt dt (75) Παρακάτω Κεφ 04 για τη συμπλεκτική μορφή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού, θα δειχτεί ότι οι αγκύλες του Posso είναι αναλλοίωτες σε (απλούς ) κανονικούς μετασχηματισμούς ( ), δηλαδή έχουν την ίδια τιμή ανεξάρτητα από τις κανονικές συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται Αυτό σημαίνει ότι πράγματι δεν χρειάζεται να γράφονται οι δείκτες q, p στις αγκύλες Posso Επομένως μπορούμε να γράφομε τις αγκύλες του Posso χωρίς δείκτες FG, FG, FG, qp (76) QP

8 Σημειώνομε ότι αν χρησιμοποιήσομε διευρυμένο κανονικό μετασχηματισμό, βλέπε στην αρχή στο Κεφ 7, τότε οι αγκύλες δεν είναι αναλλοίωτες αλλά πολλαπλασιάζονται επί το συντελεστή ο οποίος διαφέρει από μετασχηματισμό σε μετασχηματισμό Αυτή είναι μια αιτία που ορίζομε ως κανονικό το μετασχηματισμό με Στη συνέχεια ορίζομε τις αγκύλες του Lagrage Ας φανταστούμε στο χώρο των φάσεων μια δισδιάστατη επιφάνεια που καθορίζεται από δυο παραμέτρους u, Για αυτή την επιφάνεια θα έχομε q q( u, ), p p( u, ) Η αγκύλη του Lagrage ορίζεται από την Εξ(77) u, def = qp Προφανώς ισχύει ότι u,, u Εύκολα προκύπτουν οι σχέσεις q p p q u u (77) q, q 0 α) β) p, p 0 γ) q, p δ, δ = το δέλτα του Kroecker Οι εκφράσεις αυτές είναι οι θεμελιώδεις αγκύλες του Lagrage Ισχύει η εξής σχέση για ανεξάρτητες συναρτήσεις, u,,,,, στο χώρο των φάσεων ul, uul, u δ (78) l Είναι σαν οι αγκύλες του Posso να είναι το αντίστροφο των αγκύλων του Lagrage Ισχύει και για τις αγκύλες του Lagrage ότι είναι αναλλοίωτες σε κανονικούς μετασχηματισμούς άρα δεν χρειάζεται να γράφονται οι δείκτες q, p Δηλαδή u, u, u, qp (79) QP Αξίζει να πούμε ότι οι αγκύλες Posso της κλασικής μηχανικής αντιστοιχούν (αρχή της αντιστοιχίας) στους μεταθέτες της κβαντικής φυσικής επί /, δηλαδή u, ( uu) Οι ανωτέρω κλασικές σχέσεις () μέχρι (5), ισχύουν και στην κβαντική φυσική για τους μεταθέτες

84 74 Συμπλεκτική μορφή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού Οι εξισώσεις του Hamlto μπορούν να γραφτούν σε συμπλεκτική μορφή όπως φαίνεται στη συνέχεια Ο όρος συμπλεκτική μορφή σημαίνει ότι οι θέσεις και οι συζυγείς ορμές εμπλέκονται και εμφανίζονται ως συνιστώσες κάποιας στήλης-διανύσματος Πράγματι, σχηματίζομε τις στήλες- διανύσματα η και H η, με συνιστώσες τα, q p και τις παραγώγους της χαμιλτονιανής ως προς τα, q p, αντίστοιχα, δηλαδή έχομε,, q p Η Η Η Η q p (70) Επίσης σχηματίζομε την αντισυμμετρική μήτρα (πίνακα) J, με διαστάσεις, με χρήση της μήτρας-μονάδας I, διαστάσεων Έχομε επομένως =,, =, = - H q H q q q H q q H p H p p H p p H p I J I I (7)

85 Προφανώς οι εξισώσεις Hamlto γράφονται σε συμπλεκτική μορφή ως εξής H η =J (7) η Η μήτρα J λέγεται η μήτρα της συμπλεκτικής δομής και ισχύουν οι σχέσεις J J k T T J J J T T J J JJ I J J = J = k = = I det J J (7) Στη συνέχεια θα βρούμε τη συνθήκη ώστε ένας μετασχηματισμός της μορφής Q Q( q, p, t), P P( q, p, t) (74) να είναι κανονικός μετασχηματισμός Οι σχέσεις αυτές μπορεί να γραφτούν στη συμπλεκτική μορφή =( Q, Q,, Q, P, P, P, t) = (,,,, t), =,,, = (, t) (75) Ισχύουν προφανώς οι σχέσεις Q, P H H H H,,,, Q P (76) Θα βρούμε τη λεγόμενη συμπλεκτική συνθήκη που είναι η συνθήκη η οποία πρέπει να ισχύει, ώστε ο ανωτέρω μετασχηματισμός να είναι κανονικός Η ιακωβιανή μήτρα, M, του μετασχηματισμού είναι M (77)

86 Υποθέτομε ότι αυτή η μήτρα είναι ομαλή οπότε οι σχέσεις μετασχηματισμού αντιστρέφονται και δίνουν τις = (,,,, t ), =,,, = (, t) (78) Από αυτές βρίσκομε τις σχέσεις t η t η M ζ (79) Αν H (, t) είναι η χαμιλτονιανή με τις συντεταγμένες μετασχηματισμένες, έχομε H( ζ, t) H( η, t) H H H T H, M η ζ (740) Ισχύουν οι εξισώσεις του Hamlto, Εξ(7) οι οποίες με τη βοήθεια των Εξ(79), (740) και με πολλαπλασιασμό επί M, δίνουν η T H M MM ζ MJM 0 (74) t ζ Αυτή η σχέση μας οδηγεί στις

87 T H η ζ = MJM M ζ t H ζ = MJM - MJM ζ ( JM ) T T T T H T η MJM -( JM ) ζ t T H T η MJM -( M ) J ζ t T H T η ζ MJM +( M ) J ζ t η t (74) Αν υπάρχει δυναμική συνάρτηση R(, t) τέτοια που να ισχύει η σχέση R ( M ) ζ T η J t (74) τότε η τελευταία σχέση της Εξ(74) γράφεται H ζ MJM T (744) ζ Αυτό σημαίνει ότι για να ισχύουν οι εξισώσεις του Hamlto, Εξ(7), με τις νέες μεταβλητές, πρέπει στην Εξ(744) να έχομε ότι MJM T J (745) Αυτή είναι η συμπλεκτική συνθήκη που πρέπει να ισχύει ώστε ο μετασχηματισμός της Εξ(75) να είναι κανονικός Ορίζομε μια νέα χαμιλτονιανή (καμιλτονιανή) σύμφωνα με τη σχέση K H R, τότε η Εξ (744) δίνει τις εξισώσεις του Hamlto στη μορφή ζ K ζ Αν έχομε εκτεταμένο κανονικό μετασχηματισμό τότε δεν ισχύει η συμπλεκτική συνθήκη αλλά η σχέση T MJM J (746)

88 Μήτρες όπως η M που πληρούν τη συμπλεκτική συνθήκη Εξ(745) λέγονται συμπλεκτικές μήτρες Πρέπει τώρα να ελέγξομε αν, όταν ισχύει η συμπλεκτική συνθήκη, υπάρχει συνάρτηση R τέτοια που να ισχύει η Εξ(74) Η Εξ(74) με τη βοήθεια της Εξ(745) δίνει R J ζ η M (747) t Το αριστερό μέλος της Εξ(747) είναι μια στήλη-διάνυσμα A με συνιστώσες R R R A, A,, A (748) Είναι ευνόητο ότι για κάθε ζευγάρι συνιστωσών του A, ισχύουν οι σχέσεις A A R R 0 A A 0 (749) Όλα αυτά μπορούμε ακόμη να ισχυριστούμε ότι συμβαίνουν, διότι το αριστερό μέλος της Εξ(747) είναι η βαθμίδα (gradet) της συνάρτησης R ως προς ζ, Εξ(748), οπότε το σχετικό θεώρημα λέει ότι ο στροβιλισμός (curl ή rot) της βαθμίδας ως προς ζ είναι μηδέν Το τελευταίο οδηγεί στην Εξ(749) που δείξαμε χωρίς αναφορά στο θεώρημα αυτό Για το δεύτερο μέλος της Εξ(747) γράφομε η t B J M (750) Σύμφωνα με τα ανωτέρω πρέπει να ισχύουν για αυτό το B η δεύτερες εξισώσεις της Εξ(749), δηλαδή B B 0 (75) Σύμφωνα με την Εξ(750) έχομε B l k Jl k, k t (75) Έτσι καταλήγομε στις σχέσεις

89 B J J 0 t k k lr l r k, k rt k, k l t k k Jl Jr k, k rt k, k l (75) Η δεύτερη εξίσωση της Εξ(75) γράφεται T T M M ( M ) T J M J M M J (754) t t t Από την Εξ(745) έχομε τις σχέσεις Επομένως η Εξ(754) γίνεται - T T - T - J M ( M ) J, M J = JM (755) T - T - M ( M ) - ( M ) J JM 0 t t T - - ( M ) JM 0 t (756) Από την Εξ(745) προκύπτει ότι T - - ( M ) JM J (757) Οπότε αφού η μήτρα J είναι η γνωστή μήτρα της συμπλεκτικής δομής με συνιστώσες σταθερούς αριθμούς (,-,0), προφανώς ισχύει η δεύτερη από τις σχέσεις της Εξ(756), άρα εξασφαλίζεται η ύπαρξη της R και η ισχύς της συμπλεκτικής σχέσης της Εξ(745) ως ικανής για να είναι ο μετασχηματισμός των Εξ(74) κανονικός Αντιστρέφοντας τη διαδικασία μπορούμε να δούμε ότι η συνθήκη είναι και αναγκαία Ανεξάρτητα από το αν ακολουθούμε τη διαδικασία των γεννητριών συναρτήσεων για τους κανονικούς μετασχηματισμούς ή τη συμπλεκτική διαδικασία, αποδεικνύεται ότι οι κανονικοί μετασχηματισμοί έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες που χαρακτηρίζουν μια ομάδα Ο μετασχηματισμός-μονάδα είναι κανονικός Αν ένας μετασχηματισμός είναι κανονικός, τότε είναι κανονικός και ο αντίστροφός του Δυο διαδοχικοί κανονικοί μετασχηματισμοί (η πράξη του γινομένου για τις ομάδες) ορίζουν έναν μετασχηματισμό που είναι κανονικός 4 Η πράξη του γινομένου είναι προσεταιριστική