4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Transcript

1 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df ( ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού τότε υπάρχει η παράγουσα. ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν F( και G( είναι διαφορετικές παράγουσες μιας συνάρτησης f( τότε διαφέρουν κατά μια σταθερά c δηλαδή: F(-G(=c. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η ολοκλήρωση είναι η αντίθετη διαδικασία της παραγώγισης ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ λ i fi = λ i 34 fi, λ i σταθερές ποσότητες. 2 [ ] = f( 3 f '( = f(+c, c σταθερή ποσότητα. 4.3 ΒΑΣΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ f(= F(=c 2 f(= F(=+c 3 f(= F(= + /(+)+c, - 4 f(= e F(= e +c 5 f(= / F(=ln +c 6 f(= cos( F(=sin(+c 7 f(= sin( F(=-cos( +c 8 f(= /cos 2 ( F(=tn(+c 9 f(= /sin 2 ( F(=-ctn(+c f(= /(+ 2 ) F(=rctn(+c f(= / 2 F(=rcsin(+c 2 f(= F(= /ln()+c

2 4.4 ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 4.4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ:Έστω f συνεχής στο D(f) και u=g( με πεδίο τιμών R(g)=D(f) τότε f ( g( ) g' = f ( u) du =F(u)+c. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω θεώρημα μας βοηθάει να απλοποιήσουμε τα ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας τις παραγώγους των σύνθετων συναρτήσεων. ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ G : ΒΗΜΑ : Γράφουμε την G( = f( g( )g (. ΒΗΜΑ 2: Θέτουμε u=g(. ΒΗΜΑ 3: Υπολογίζουμε G = f ( u) du. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: f(u) πρέπει να είναι εύκολα ολοκληρώσιμη ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΝΟΝΑΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ: Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα όπου η f μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο δύο συναρτήσεων h και h 2 (δηλαδή f(=h (h 2 ( ) και η παραγουσα Η της συνάρτησης h είναι εύκολα παραγωγίσιμη τότε = Η ( h 2 ( - H h '( ( 2. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Αν h h2 ' είναι εύκολα υπολογίσιμη τότε έχουμε υπολογίσει και το. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Ο κανόνας παραγοντικής ολοκλήρωσης συνεπάγεται από την ιδιότητα [f(g(] =f (g(+ f (g ( θέτοντας Η =f και h 2 =g. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (IIΙ): H h 2 ( πρέπει να είναι πιο απλή συνάρτηση από την h 2 (. H h ( επιλέγεται ώστε να έχει εύκολα υπολογίσιμες παράγουσες. 36

3 4.4.3 ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ e + p = α - e α+ p(-α - e + p' όπου p( είναι πολυωνυμική συνάρτηση 2 sin( + ) p( = =-α - cos(α+)p(+α - cos( + ) p' 3 cos( + ) p( = =α - sin(α+)p(-α - sin( + ) p' 4 ln( g( ) = = F(ln( - g' g( όπου f,g είναι ρητές συναρτήσεις. α + 5 e β α + sin( γ + δ, e β cos( γ + δ θεωρούμε σαν h (=e α+β και εφαρμόζουμε δύο φορές τον κανόνα παραγοντικής ολοκλήρωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Οι ρητές συναρτήσεις αναφέρονται σε συναρτήσεις που γράφονται σαν λόγος δύο πολυωνύμων δηλαδή f(=p(/q(. ΜΕΡΙΚΑ ΒΑΣΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ α + β = α - ln(α+β) + c 2 ( α + β ) = α - (α+β) -+ /(-+) + c 2 + ( + ) 3 2 ( + ) = = ln(+ 2 )/2 + c = rctn( + c + c, - 38

4 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΗΜΑ : Ελέγχουμε αν ο βαθμός του p( είναι μικρότερου βαθμού από το q(. Αν όχι διαιρούμε και προχωρούμε με το υπόλοιπο r( δηλαδή γράφουμε p(/q( = ( + r(/q(. ΒΗΜΑ 2: Παραγοντοποιούμε την q(. ΒΗΜΑ 3: Για κάθε παράγοντα (-α) γράφουμε Α /(-α) +Α 2 /(-α) Α /(-α). Για κάθε παράγοντα ( 2 ++c) m γράφουμε (Β +Γ )/( 2 ++c) + + (Β +Γ )/( 2 ++c) ΒΗΜΑ 4: γράφουμε το p(/q( σαν άθροισμα των παραπάνω συντελεστών και βρίσκουμε τα Α, Β, Γ Α κ, Β κ, Γ κ. ΒΗΜΑ 5: Υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα με βάση τα βασικά ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ (κατά Riemnn): Έστω f( είναι συνεχής στο [,] και για οποιοδήποτε διαμερισμό του [,]= [, ] [, 2 ] [,] με = και + = και για οποιαδήποτε ξ i [ i-, i ] για,, + τότε το όριο lim f ( ξi ) δi, δ i = i - i- n δ i ονομάζεται ολοκλήρωμα κατά Riemnn και είναι ίσο με F()-F(). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ή [, ] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Το ολοκλήρωμα από το α έως το β είναι ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται ανάμεσα στην f( και στην ευθεία y= (δηλαδή τον άξονα των Χ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Το ολοκλήρωμα είναι στην ουσία επέκταση των αθροισμάτων σε συνεχή διαστήματα. 4

5 4.5. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ λi fi ποσότητες. β α β α 2 = = λi 3 = 4 Αν < 2 < < τότε i + = i 4 fi, λ i σταθερές 5 Αν α<β<γ και f( για κάθε τότε f γ ( α. 6 Αν f(<g( για κάθε α<<β τότε β α g. 4.6 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.6. ΠΡΩΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω f( είναι συνεχής στο [,] τότε το ολοκλήρωμα lim = lim F( ) -F(). Ανάλογα έχουμε: = lim 42 ορίζεται σαν το όριο = lim lim = lim F( ) - lim F( ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα με ένα πραγματικό αριθμό τότε το αντίστοιχο ολοκλήρωμα συγκλίνει διαφορετικά αποκλίνει.

6 4.6.2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΤΥΠΟΥ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω f( είναι συνεχής στο (,) και [] lim = ± + ή/και [2] lim = ± τότε το ολοκλήρωμα ορίζεται σαν το όριο lim + t =F() - lim F( + αν ισχύει η [] lim t t t t lim lim + = lim F( - F(α) αν ισχύει η [2] t 2 t 2 t και η [] και η [2]. 43 = lim F( - lim F( + αν ισχύουν ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Ανάλογα μπορούμε να ορίσουμε και συνδυασμούς Α και Β τύπου γενικευμένα ολοκληρώματα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Αν η συνάρτηση f είναι ασυνεχής σε ένα σημείο (,) τότε ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( και g( είναι συνεχής στο [,) και f( g( για κάθε τότε () αν g συγκλίνει τότε και το (2) αν g συγκλίνει. αποκλίνει. αποκλίνει τότε και το ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να γενικευτεί για όλα τα γενικευμένα ολοκληρώματα. 44 = +

7 4.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4.7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ Συνήθως δίδεται η συνάρτηση οριακών εσόδων (ή οριακού κόστους) και ζητούνται οι συναρτήσεις ολικών ή μέσων εσόδων (ή κόστους) δηλαδή: R(q) = MR ( q) dq και C(q) = MC ( q) dq ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ, ΑΠΟΤΑΜΙΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΘΝΙΚΟΥ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Το εθνικό εισόδημα δίδεται σαν άθροισμα του ποσού που καταναλώνουμε και του ποσού που αποταμιεύουμε δηλαδή: ΕΙΣΟΔΗΜΑ = ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ + ΑΠΟΤΑΜΙΕΥΣΗ [Ε = Κ + Α]. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν παραγωγίσουμε την παραπάνω dk da έκφραση προς το εισόδημα έχουμε: + = de de. 45 ΟΡΙΣΜΟΣ: Η παράγωγος της κατανάλωσης ως dk προς το εισόδημα, de, ονομάζεται οριακή ροπή προς κατανάλωση. ΟΡΙΣΜΟΣ: Η παράγωγος της αποταμίευσης ως da προς το εισόδημα, de, ονομάζεται οριακή ροπή προς αποταμίευση. ΟΡΙΣΜΟΣ: Η παράγωγος του εισοδήματος ως de προς την αποταμίευση, da, ονομάζεται πολλαπλασιαστής εθνικού εισοδήματος και συμβολίζεται με. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: =/(οριακή ροπή προς αποταμίευση) και =/(-οριακη ροπή προς κατανάλωση). ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Για κάθε νομισματική μονάδα που αποταμιεύεται το εθνικό εισόδημα αυξάνει κατά μονάδες. 46

8 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Πλεόνασμα καταναλωτή στο σημείο (q,p ) λέγεται το επιπλέον ποσό που διατίθεται να πληρώσει ο καταναλωτής για προϊόντα που πωλούνται πάνω από την τιμή p και δίδεται ως: q (i) CS= D ( q) dq pq αν η ζήτηση περιγράφεται από τη σχέση p=d - (q) ή (ii) CS= D( p) dp p> p q>, αν η ζήτηση περιγράφεται από τη σχέση q=d(p) ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: Πλεόνασμα παραγωγού στο σημείο (q,p ) λέγεται το επιπλέον ποσό που διατίθεται να χάσει ο παραγωγός προσφέροντας τα αγαθά του σε τιμή μικρότερη από την τιμή p και δίδεται ως: (i) PS= p q q S ( q) dq περιγράφεται από τη σχέση p=s - (q) ή (iii) PS= S( p) dp p< p q>, αν η προσφορά αν η προσφορά περιγράφεται από τη σχέση q=s(p).