ΔΙΑΓΟΝΣΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΔΙΟ Ω ΑΦΗΓΗΗ. Γημήηπηρ Χαζάπηρ

ΔΙΑΓΟΝΣΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΔΙΟ Ω ΑΦΗΓΗΗ Γημήηπηρ Χαζάπηρ Τκήκα Εθπαίδεπζεο & Αγσγήο ζηελ Πξνζρνιηθή Ηιηθία Παλεπηζηήκην Αζελψλ ΠΔΡΙΛΗΨΗ Σην άξζξν ζρνιηάδεηαη ν ραξαθηήξαο ηεο καζεκαηηθήο γλψζεο, σο αληηθεηκελνπνηεκέλνπ πξντφληνο κηαο θνηλσληθήο πξαθηηθήο θαη παξνπζηάδνληαη ηα θχξηα ραξαθηεξηζηηθά ηεο αθήγεζεο σο κνξθήο ζθέςεο ζε αληηδηαζηνιή κε ηελ ινγηθν-παξαγσγηθή ζθέςε ηεο καζεκαηηθήο πξαθηηθήο. Εληνπίδνληαη ζπκπηψζεηο θαη απνθιίζεηο ησλ δχν κνξθψλ ζθέςεο θαη ζηε βάζε απηή πξνηείλεηαη ε εηζαγσγή ησλ καζεκαηηθψλ ζην λεπηαγσγείν κε ηε κνξθή ηεο αθήγεζεο ηζηνξηψλ θαη εκπεηξηψλ, ε νπνία ζα ζπκπιέθεη ηα αληηθείκελα ηνπ θφζκνπ, ηα ζπλαηζζήκαηα ησλ παηδηψλ θαη ηηο έλλνηεο ησλ καζεκαηηθψλ. Η μαθημαηική δπαζηηπιόηηηα και η μαθημαηική γνώζη Η καζεκαηηθή γλψζε είλαη παξάγσγν κηαο θνηλσληθήο πξαθηηθήο, ε νπνία φκσο κεηά ηελ παξαγσγή ηεο απηνλνκείηαη πιήξσο απφ ηελ πξαθηηθή ζηελ νπνία νθείιεη ηελ χπαξμε ηεο. Η καζεκαηηθή γλψζε - νη έλλνηεο, ηα ζεσξήκαηα θαη νη ηερληθέο, ησλ καζεκαηηθψλ παξφιν πνπ είλαη αλζξψπηλεο θαηαζθεπέο απνθηνχλ κεηά ηελ παξαγσγή ηνπο δηθέο ηνπο, αληηθεηκεληθά ππαξθηέο, ηδηφηεηεο θαη νδεγνχλ ζε πξνβιήκαηα, πέξα απφ ηηο πξνζέζεηο θαη ηηο πξνβιέςεηο ησλ αλζξψπσλ-δεκηνπξγψλ ηνπο. Όπσο έρεη αλαιπζεί απφ ηνλ Πφππεξ (Popper 1972), ε καζεκαηηθή γλψζε - θαη γεληθφηεξα ε επηζηεκνληθή γλψζε - είλαη έλα απφ ηα αλαπηπζζφκελα πξντφληα ηνπ αλζξψπηλνπ πλεχκαηνο, ην νπνίν αληηθεηκελνπνηψληαο ηηο δεκηνπξγίεο ηνπ θαη πξνζπαζψληαο λα επηιχζεη ηα ζπρλά απξφβιεπηα θαη απξφζκελα πξνβιήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηηο δεκηνπξγίεο απηέο παξάγεη λέεο καζεκαηηθέο έλλνηεο, λέα πξνβιήκαηα θαη λέεο ινγηθέο θαηαζθεπέο, παξάγεη δειαδή λέα καζεκαηηθή γλψζε. Σηε βάζε απηή δηαθξίλεηαη ε «αληηθεηκεληθή γλψζε», ε νπνία έρεη θαη κηα ζρεηηθά απηφλνκε χπαξμε, απφ ηελ «ππνθεηκεληθή πίζηε» ηνπ γλσξίδνληνο αλζξψπηλνπ ππνθεηκέλνπ. Σηελ αληηθεηκεληθφηεηα ηεο καζεκαηηθήο θαη γεληθφηεξα ηεο επηζηεκνληθήο γλψζεο, ζηελ αλεμαξηεηνπνίεζε ηεο δειαδή απφ ηηο ππνθεηκεληθέο πεπνηζήζεηο ησλ αλζξψπσλ, ζπκβάιιεη θαζνξηζηηθά ε δηαηχπσζε ηεο γλψζεο απηήο ζε κηα πεξηγξαθηθή θαη επηρεηξεκαηνινγηθή γιψζζα, ε νπνία απνηππψλεη ηηο ινγηθν-παξαγσγηθέο ζρέζεηο κεηαμχ καζεκαηηθψλ ελλνηψλ, 1

ζεσξεκάησλ, απνδείμεσλ, πξνβιεκάησλ θαη επηρεηξεκάησλ. Η γισζζηθά δηαηππσκέλε γλψζε, ε νπνία εθθξάδεη ηδηφηεηεο θαη ζρέζεηο θαη ε νπνία κπνξεί λα παξάγεη (θαη παξάγεη) λνεηηθά θαη (έκκεζα δηα ηεο ηερλνινγίαο) θπζηθά πξντφληα είλαη κηα γλψζε ε νπνία ππάξρεη αληηθεηκεληθά, δειαδή αλεμάξηεηα απφ ηνπο αλζξψπνπο, ηνπο παξαγσγνχο θαη ηνπο γλψζηεο ηεο γλψζεο απηήο. Τν δήηεκα είλαη φηη δελ ππάξρεη κε ηνλ ηξφπν πνπ ππάξρνπλ ηα πιηθά αληηθείκελα θαη ηα θαηλφκελα ηνπ θπζηθνχ θφζκνπ. Η καζεκαηηθή γλψζε ππάξρεη σο αληηθείκελν ελφο αθεξεκέλνπ θφζκνπ, ν νπνίνο πεξηιακβάλεη ηα αληηθεηκελνπνηεκέλα πξντφληα ηεο αλζξψπηλεο ζθέςεο θαη ηεο γιψζζαο. Σε αληηδηαζηνιή κε ηνλ θπζηθφ θφζκν, ν νπνίνο πεξηιακβάλεη φια ηα θπζηθά φληα θαη ηα πιηθά αληηθείκελα (ηνλ «πξψην θφζκν»), ν Πφπεξ εηζήγαγε ηε δηάθξηζε αλάκεζα ζε έλαλ ππνθεηκεληθφ «δεχηεξν θφζκν», ν νπνίνο πεξηιακβάλεη ηα πεξηερφκελα ηεο αλζξψπηλεο εκπεηξίαο (ηηο εληππψζεηο, ηα αηζζήκαηα, ηηο πεπνηζήζεηο) θαη ζε έλαλ αληηθεηκεληθφ «ηξίην θφζκν», ν νπνίνο πεξηιακβάλεη ηα παξάγσγα ηεο αλζξψπηλεο λνεηηθήο δξαζηεξηφηεηαο (ηηο επηζηεκνληθέο γλψζεηο, ηα θαιιηηερληθά δεκηνπξγήκαηα, ηα ηδενινγηθά ζπζηήκαηα). Μέζα απφ απηή ηε δηάθξηζε ηεο πξαγκαηηθφηεηαο ζε ηξεηο δηαθνξεηηθνχο θφζκνπο αίξεηαη ε θηινζνθηθή αληίζεζε αλάκεζα ζηε ζεψξεζε ησλ καζεκαηηθψλ σο κηαο θνηλσληθήο θαηαζθεπήο (θαηαζθεπαζηνθξαηία) κε ηε ζεψξεζε ησλ καζεκαηηθψλ σο κηαο αλαπαξάζηαζεο κηαο ήδε καζεκαηηθά νξγαλσκέλεο πξαγκαηηθφηεηαο (πιαησληζκφο). Οη καζεκαηηθέο έλλνηεο, ηα ζεσξήκαηα θαη ηα πξνβιήκαηα ππάξρνπλ αλεμάξηεηα απφ ηελ αλζξψπηλε ζθέςε, ελψ είλαη πξντφληα, ηδίσο γισζζηθά, ηεο αλζξψπηλεο θνηλσληθήο πξαθηηθήο. Είλαη, δειαδή, ηαπηφρξνλα θαη αλζξψπηλεο θαηαζθεπέο θαη ππαξθηά «αληηθείκελα», ηα νπνία αθφηνπ δεκηνπξγεζνχλ απνμελψλνληαη απφ ηνπο δεκηνπξγνχο ηνπο, απνθηνχλ απηφλνκε θαη α-ρξνληθή χπαξμε, έρνληαο ηηο δηθέο ηνπο ηδηφηεηεο, πνιιέο θνξέο απξφζκελεο θαη απξφβιεπηεο απφ ηνπο δεκηνπξγνχο ηνπο (βιέπε θαη ηα άιπηα πξνβιήκαηα ησλ καζεκαηηθψλ), αλεμάξηεηα απφ ηε γλψζε ή ηελ άγλνηα ησλ ηδηνηήησλ απηψλ απφ ηνπο αλζξψπνπο. Απηφ ζεκαίλεη, φηη κπνξεί λα πξνθχςνπλ αλαθαιχςεηο λέσλ καζεκαηηθψλ γεγνλφησλ, ηα νπνία πξνθχπηνπλ απφ αξρηθά αλζξψπηλεο καζεκαηηθέο θαηαζθεπέο, αλαθαιχςεηο δειαδή αληηθεηκεληθά ππαξθηψλ θαη φρη δηππνθεηκεληθά απνδεθηψλ, καζεκαηηθψλ αιεζεηψλ. Γηα παξάδεηγκα, αθφηνπ δεκηνπξγήζεθαλ νη θπζηθνί αξηζκνί σο εθθξάζεηο ηνπ πιήζνπο ελφο ζπλφινπ αληηθεηκέλσλ, ε δηάθξηζε άξηησλ θαη πεξηηηψλ αξηζκψλ ή ε δηάθξηζε πξψησλ θαη ζχλζεησλ αξηζκψλ πξνέθπςαλ αληηθεηκεληθά σο ηδηφηεηεο ησλ αξηζκψλ, φπσο πξνέθπςε αληηθεηκεληθά, αλεμάξηεηα απφ ηε ζέιεζε ησλ καζεκαηηθψλ θαη εληειψο απξφζκελα, ε αλαπάληεηε κέρξη ζήκεξα εηθαζία ηνπ Γθφικπαρ: είλαη δπλαηφλ λα γξαθεί θάζε άξηηνο αξηζκφο κεγαιχηεξνο ηνπ 2 σο άζξνηζκα δπν πξψησλ αξηζκψλ; 2

Απν κηα ηέηνηα νπηηθή, ε αληηθεηκεληθά ππάξρνπζα καζεκαηηθή γλψζε πξνζνκνηάδεη ζηα θπζηθά αληηθείκελα θαη ζηηο πιηθέο ζρέζεηο ηνπο, ηα νπνία επίζεο δελ είλαη παξαηεξήζηκα έμσ απφ έλα ζεσξεηηθφ πιαίζην θαη δελ είλαη πεξηγξάςηκα ρσξίο κηα γιψζζα, ε νπνία ελζσκαηψλεη αληίζηνηρεο ζεσξεηηθέο παξαδνρέο. Οη δπλαηφηεηεο εθαξκνγήο ησλ καζεκαηηθψλ ζηηο θπζηθέο επηζηήκεο πξνθχπηνπλ απφ απηήλ αθξηβψο ηε ζηελή ζεσξεηηθή αιιεινζπζρέηηζε καζεκαηηθψλ γεγνλφησλ θαη γεγνλφησλ ηνπ θπζηθνχ θφζκνπ. Οη βαζηθέο έλλνηεο θαη πξάμεηο ηεο αξηζκεηηθήο, γηα παξάδεηγκα, αλαπηχρζεθαλ αξρηθά γηα λα επηιχζνπλ πξαθηηθά πξνβιήκαηα απαξίζκεζεο θαη κέηξεζεο κεγεζψλ. Είλαη επνκέλσο αλακελφκελν, φηη φια ηα καζεκαηηθά ηα νπνία βαζίδνληαη ζηελ αξηζκεηηθή είλαη εθαξκφζηκα ζε εθείλα ηα θπζηθά θαηλφκελα, ηα νπνία είλαη ηζφκνξθα κε ηηο πξάμεηο ηεο αξηζκεηηθήο θαη ηα νπνία είλαη δπλαηφλ λα πνζνηηθνπνηεζνχλ κε καζεκαηηθνχο φξνπο θαη έηζη λα εθθξαζηνχλ κε καζεκαηηθή γιψζζα. Τέηνηα θαηλφκελα είλαη, γηα παξάδεηγκα, εθείλα ηα θαηλφκελα ηεο κεηαβνιήο ή ηεο έλσζεο, ηα νπνία είλαη ηζφκνξθα κε ηελ πξάμε ηεο πξφζζεζεο θαη ηεο αθαίξεζεο. Σηα καζεκαηηθά, φπσο θαη ζηηο θπζηθέο επηζηήκεο, νη ζεσξίεο δηαηππψλνληαη αξρηθά σο εηθαζίεο, δειαδή σο ππνζεηηθά ζπκπεξάζκαηα, νη νπνίεο δηαςεχδνληαη ή αλαζθεπάδνληαη κε ηελ απφδεημε ζηα καζεκαηηθά θαη κε ηηο εκπεηξηθέο δνθηκαζίεο ζηηο θπζηθέο επηζηήκεο. Μέζα απφ ηελ εκπεηξηθή επηθχξσζε επηζηεκνληθψλ ζεσξηψλ, φκσο, επηθπξψλνληαη εκκέζσο θαη ζε θάπνην βαζκφ θαη νη αληίζηνηρεο καζεκαηηθέο ζεσξίεο (Popper, 1963). Η αληηθεηκεληθά ππάξρνπζα καζεκαηηθή θαη επηζηεκνληθή γλψζε, φπσο νξίδεηαη ζηε βάζε απηή απφ ηνλ Πφππεξ, δηακνξθψλεη ηελ αλζξψπηλε ζπλείδεζε επεξεάδνληαο αθφκα θαη ηνλ ηξφπν κε ηνλ νπνίν ν άλζξσπνο παξαηεξεί, ή κέζσ ηεο ηερλνινγίαο κεηαζρεκαηίδεη, ηε θπζηθή πξαγκαηηθφηεηα. Η αλζξψπηλε ζπλείδεζε, επνκέλσο, δηακεζνιαβεί αλάκεζα ζην αθεξεκέλν θαη ζην ζπγθεθξηκέλν, αλάκεζα ζηνλ πνιηηηζκφ θαη ζηε θχζε, αίξνληαο ηελ απφιπηε δηάζηαζε θπζηθνχ θαη πλεπκαηηθνχ θφζκνπ. Όπσο πξναλαθέξζεθε, ε καζεκαηηθή γλψζε δηαζθαιίδεη ηελ αληηθεηκεληθή ηεο χπαξμε κφλν φηαλ, θαη ζην βαζκφ ζηνλ νπνίν, κπνξεί λα πξαγκαησζεί πιηθά σο γξαπηφ θείκελν ή σο πξνθνξηθφο ιφγνο, ηα νπνία κε ηε ζεηξά ηνπο απαηηνχλ ηελ αλζξψπηλε εκπινθή (ηνπ γξαθέα θαη ηνπ αλαγλψζηε ή ηνπ αθεγεηή θαη ηνπ αθξναηή). Σ απηφ αθξηβψο ην πεδίν ηεο κεξηθήο ζχκπησζεο θαη ηεο αιιειεπίδξαζεο ησλ ηξηψλ θφζκσλ, φπσο δηαθξίζεθαλ απφ ηνλ Πφππεξ, ηνπ θπζηθνχ θφζκνπ (ησλ φλησλ, ησλ αληηθεηκέλσλ θαη ησλ θαηλνκέλσλ), ηνπ ππνθεηκεληθνχ θφζκνπ ηεο αλζξψπηλεο εκπεηξίαο (ησλ αηζζεκάησλ, ησλ απφςεσλ θαη ησλ πεπνηζήζεσλ) θαη ηνπ αληηθεηκεληθνχ θφζκνπ ηεο καζεκαηηθήο γλψζεο (ησλ ελλνηψλ, ησλ ηερληθψλ θαη ησλ 3

ζεσξεκάησλ) κπνξνχκε λα νξγαλψζνπκε θαη λα αλαπηχμνπκε κηα εηζαγσγή ησλ καζεκαηηθψλ, ζην ζρνιείν θαη ηδίσο ζην λεπηαγσγείν, βαζηζκέλε ζηελ αθήγεζε, ε νπνία ζα ζπκπιέθεη ηα αληηθείκελα ηνπ θφζκνπ, ηα ζπλαηζζήκαηα ησλ παηδηψλ θαη ηηο έλλνηεο ησλ καζεκαηηθψλ. Η αθήγηζη ωρ μοπθή ανθπώπινηρ ζκέψηρ Αλαιχνληαο ηελ αλζξψπηλε λφεζε ν Μπξνχλεξ ππνζηεξίδεη, φηη νη άλζξσπνη γηα λα δηαρεηξηζηνχλ ηελ εκπεηξηθή πξαγκαηηθφηεηα θαη λα νξγαλψζνπλ ηε γλψζε ηνπο γηα ηελ πξαγκαηηθφηεηα απηή αλαπηχζζνπλ δχν ηχπνπο ζθέςεο, ηελ αθεγεκαηηθή θαη ηελ ινγηθνεπηζηεκνληθή ή παξαδεηγκαηηθή ζθέςε. Οη δχν απηνί ηχπνη ζθέςεο είλαη ζπκπιεξσκαηηθνί ρσξίο, φκσο, λα αλάγεηαη ν έλαο ζηνλ άιινλ, αθνχ έρνπλ δηαθνξεηηθέο νξγαλσηηθέο αξρέο, δηαθνξεηηθά θξηηήξηα πιεξφηεηαο θαη δηαθνξεηηθέο δηαδηθαζίεο επαιήζεπζεο (Bruner, 1986, ζ. 11-13). Η παξαδεηγκαηηθή ζθέςε αλαπηχζζεηαη κε θχξην κέζν ηελ ππνζεηηθν-παξαγσγηθή ινγηθή, επηδηψθνληαο ηε δηαηχπσζε αηηηνινγεκέλσλ επηρεηξεκάησλ θαη απνδείμηκσλ ηζρπξηζκψλ. Είλαη επνκέλσο κηα κνξθή ζθέςεο δνκεκέλε ζηελ θαηεγνξηνπνίεζε θαη ζην ινγηθφ επηρείξεκα, ε νπνία δνκείηαη κε άμνλα ηε ινγηθή ζπλεπαγσγή θαη φρη ηε ρξνληθή αιιεινπρία θαη απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη κηα ινγηθά ηεθκεξησκέλε γλψζε, δηαηππσκέλε κε πιεξφηεηα θαη ζπλέπεηα. Αληίζεηα, ε αθεγεκαηηθή ζθέςε, κε θχξην κέζν ηελ «ηζηνξία», επηδηψθεη λα νξγαλψζεη ηελ αλζξψπηλε εκπεηξία ρξνληθά θαη ρσξηθά, εθαξκφδνληαο κηα ππνλννχκελε, αιιά ζπάληα ξεηά εθθξαζκέλε, γλψζε θαη επηδηψθνληαο πξσηίζησο, φρη ηελ επαιήζεπζε, αιιά ηελ αιεζνθάλεηα ησλ ηζρπξηζκψλ ηεο. Δηεθδηθεί, επνκέλσο, φρη ηελ απφδεημε ελφο ηζρπξηζκνχ, αιιά ηελ απνδνρή ηνπ δηα ηεο πεηζνχο. Παξάιιεια, φπσο ζεκεηψλεη ν Μπξνχλεξ, ε αθήγεζε κηαο ηζηνξίαο ζπλδπάδεη δχν φςεηο, «κηα αθνινπζία γεγνλφησλ θαη κηα ππνλννχκελε αμηνιφγεζε ησλ αθεγνχκελσλ γεγνλφησλ» (Bruner, 2007). Μέζσ ηεο αμηνιφγεζεο απηήο ν αθεγεηήο παξνπζηάδεη ηε δηθηά ηνπ εξκελεία ησλ γεγνλφησλ πνπ αθεγείηαη, ελζσκαηψλεη έκκεζα ηηο δηθέο ηνπ εκπεηξίεο ζηα γεγνλφηα απηά θαη πξνβάιιεη ηηο δηθέο ηνπ επηινγέο γηα ηε ζεκαληηθφηεηα ησλ γεγνλφησλ απηψλ. Κχξηα ραξαθηεξηζηηθά κηαο αθήγεζεο είλαη θαηά ηνλ Μπξνχλεξ, ε ρξνληθή αιιεινπρία, ε αδηαθνξία γηα ηε δηάθξηζε πξαγκαηηθνχ θαη θαληαζηηθνχ, ε ηδηφκνξθε δηαρείξηζε ηεο θαλνληθφηεηαο θαη ε δξακαηνπνίεζε γεγνλφησλ θαη θαηαζηάζεσλ (Bruner, 1996). Η δφκεζε ηεο αθήγεζεο κε άμνλα κηα ρξνληθή αιιεινπρία γεγνλφησλ, ζπκβάλησλ θαη λνεηηθψλ θαηαζηάζεσλ ζηηο νπνίεο εκπιέθνληαη αλζξψπηλα φληα σο δξάζηεο ή θεληξηθά πξφζσπα είλαη ην ζεειηψδεο ραξαθηεξηζηηθφ ηεο. Τα ζπζηαηηθά, φκσο, ηεο ρξνληθήο 4

αιιεινπρίαο κηαο αθήγεζεο απνθηνχλ λφεκα, φρη σο κεκνλσκέλα ζηνηρεία, αιιά απφ ηε ζέζε ηνπο ζηε δηακφξθσζε ηεο αιιεινπρίαο σο ζπλφινπ, απφ ηελ πινθή δειαδή ηεο αθήγεζεο. Η δηαδηθαζία θαηαλφεζεο κηαο αθήγεζεο, επνκέλσο, πεξηιακβάλεη αθελφο ηελ θαηαλφεζε ηνπ λνήκαηνο ησλ ζπζηαηηθψλ ζηνηρείσλ ηεο θαη ηεο ζπζρέηηζεο ηνπο κε ηελ πινθή ηεο αθήγεζεο θαη αθεηέξνπ ηε δηάθξηζε ηεο δηακφξθσζεο ηεο πινθήο απφ ηελ αθνινπζία ησλ γεγνλφησλ ηεο αθήγεζεο. Αληίζεηα κε ηελ αθήγεζε θαη θαηά ζπλέπεηα ηελ αθεγεκαηηθή ζθέςε, ε νπνία δνκείηαη κε άμνλα ηε ρξνληθή αιιεινπρία γεγνλφησλ, ζπκβάλησλ θαη θαηαζηάζεσλ, ε παξαδεηγκαηηθή ζθέςε, κνξθή ηεο νπνίαο απνηειεί ε καζεκαηηθή ζθέςε, νξγαλψλεηαη κε άμνλα ηε ινγηθή αιιεινπρία παξαδνρψλ, αιεζεηψλ θαη επηρεηξεκάησλ. Οη ρξνληθέο ζρέζεηο απαιείθνληαη πιήξσο θαη φπσο ζεκεηψλεηαη απφ ηηο Σηλθιαίξ θ.α (Sinclair et al., 2009) αθφκα θαη νη καζεκαηηθέο δηαδηθαζίεο νη νπνίεο ελέρνπλ κηα ρξνληθή εμέιημε, φπσο είλαη ε απαξίζκεζε ζηελ αξηζκεηηθή ή ε πεξηζηξνθή ζηε γεσκεηξία, κεηαηξέπνληαη ζε αληηθείκελα ή ζηαηηθέο θαηαζηάζεηο θαη πεξηγξάθνληαη γισζζηθά κε νπζηαζηηθά θαη αλησλπκίεο. Η καζεκαηηθή γλψζε, ζε αληίζεζε κε κηα αθεγνχκελε ηζηνξία, δνκείηαη κε άμνλα ηηο ινγηθέο θαη φρη ηηο ρξνληθέο ζρέζεηο, γη απηφ θαη θαηά κηα εθδνρή «δελ κπνξεί λα έρεη αθεγεκαηηθή κνξθή» (Solomon & O Neill, 1998, ζ. 217). Η αδηαθνξία γηα ηε δηάθξηζε πξαγκαηηθψλ θαη θαληαζηηθψλ ζπκβάλησλ θαη θαηαζηάζεσλ, ην νπνίν απνηειεί ην δεχηεξν ραξαθηεξηζηηθφ ηεο αθήγεζεο, ζπλαξηάηαη ζηελά κε ηελ θαζνξηζηηθή ζεκαζία ηεο αιιεινπρίαο ησλ γεγνλφησλ κηαο αθήγεζεο. «Απηφ πνπ θαζνξίδεη πάλσ απ φια ηε κνξθή ή ην πεξηερφκελν ηεο αθήγεζεο είλαη πεξηζζφηεξν ε αθνινπζία ησλ πξνηάζεσλ παξά ε αιήζεηα ή ε αλαθξίβεηα πνπ εκπεξηέρεηαη ζηηο πξνηάζεηο απηέο» (Bruner, ν.π., ζ. 86). Επνκέλσο, θάζε αθήγεζε θαηαζθεπάδεη κηα δηθηά ηεο εηθνληθή πξαγκαηηθφηεηα, έλα δηθφ ηεο πεδίν αλαθνξάο, ζην νπνίν έλα γεγνλφο κπνξεί λα εληαρζεί αλεμάξηεηα αλ έρεη πξαγκαηηθά ζπκβεί ή είλαη απνιχησο θαληαζηηθφ. Απηφ ην ραξαθηεξηζηηθφ, φκσο, απνηειεί - αλ θαη φρη θπξίαξρν, πάλησο νπζηαζηηθφ - ζηνηρείν θαη ηεο παξαδεηγκαηηθήο ζθέςεο, ε νπνία επίζεο θαηαζθεπάδεη θαη απνδέρεηαη θαληαζηηθέο πξαγκαηηθφηεηεο ζηε βάζε ππνζέζεσλ, παξαδνρψλ θαη ζεσξεηηθψλ θαηαζθεπψλ. Η δηαθνξά αθεγεκαηηθήο θαη παξαδεηγκαηηθήο ζθέςεο ζην δήηεκα απηφ έγθεηηαη ζηα κέζα, πνπ έρνπλ αλαπηπρζεί θαη εθαξκφδνληαη γηα ηελ ηεθκεξίσζε ηεο «αιήζεηαο» ησλ ηζρπξηζκψλ, νη νπνίνη αλαθέξνληαη θαη αθνξνχλ ζηηο θαληαζηηθέο απηέο πξαγκαηηθφηεηεο. Οη καζεκαηηθέο θαη επηζηεκνληθέο «αιήζεηεο» ηεθκεξηψλνληαη κε ζαθψο νξηζκέλεο ινγηθέο δηαδηθαζίεο (νξηζκνχο, επηρεηξήκαηα, ζπιινγηζκνχο), ελψ νη «αιήζεηεο» ησλ αθεγήζεσλ εμαξηψληαη θαη θαζνξίδνληαη απφ ην πιαίζην αλαθνξάο ηνπο θαη ηηο εξκελείεο ηνπ πιαηζίνπ απηνχ. 5

Τξίην ραξαθηεξηζηηθφ ηεο αθήγεζεο θαη ηεο αθεγεκαηηθήο ζθέςεο είλαη ε ηδηφκνξθε δηαρείξηζε ηεο θαλνληθφηεηαο, δειαδή ησλ ζρέζεσλ κεηαμχ ηνπ ζπλεζηζκέλνπ θαη ηνπ αζπλήζηζηνπ, απηνχ ην νπνίν ζεσξείηαη θαζηεξσκέλν ζε έλα ζπγθεθξηκέλν πιαίζην θαη απηνχ ην νπνίν ζην ίδην πιαίζην ζεσξείηαη παξέθθιηζε. Μηα θαιά δνκεκέλε ηζηνξία πεξηιακβάλεη πέληε ζηνηρεία: έλαλ δξάζηε, κηα πξάμε, έλα ζηφρν, κηα ζθελή θαη έλα φξγαλν ζπλ θάπνην πξφβιεκα, ην νπνίν πξνθαιεί ή πξνθχπηεη απφ ηε δηαηάξαμε ηεο ηζνξξνπίαο αλάκεζα ζηα πέληε απηά ζηνηρεία. Η θαλνληθφηεηα, φκσο, θαη ε ξήμε ηεο, ν θαλφλαο θαη ε εμαίξεζε, ην παξάδεηγκα θαη ην αληη-παξάδεηγκα, απνηειεί επίζεο ζπζηαηηθφ ζηνηρείν ηεο παξαδεηγκαηηθήο ζθέςεο, ηνπ νπνίνπ βέβαηα ν ξφινο ζηελ αλάπηπμε ηεο είλαη εληειψο δηαθνξεηηθφο απφ ην ξφιν πνπ θαηέρεη ζηελ αθεγεκαηηθή ζθέςε. Η δηαηάξαμε ηεο ηζνξξνπίαο αλάκεζα ζηνπο παξάγνληεο ηεο ηζηνξίαο, ηελ νπνία πξνθαιεί έλα πξφβιεκα, θαη νη ζπλέπεηεο ηεο δηαηάξαμεο απηήο απνδίδνπλ ζηελ αθήγεζε ην ηέηαξην ραξαθηεξηζηηθφ ηεο, ηε δξακαηηθφηεηα, ε νπνία ζπλήζσο δεκηνπξγείηαη ζηε βάζε ησλ απνθιίζεσλ απφ ηελ θαλνληθφηεηα θαη ησλ ξήμεσλ κε ην ζπλεζηζκέλν πνπ πξνθαινχληαη απφ ην πξφβιεκα. Η αθήγεζε ηζηνξεί παζήκαηα θαη πξάμεηο ησλ πξσηαγσληζηψλ ηεο θαη ηα αθεγνχκελα γεγνλφηα ζπλαξηψληαη κε ηα αηζζήκαηα, ηηο πξνηηκήζεηο, ηηο επηζπκίεο, ηηο αμίεο, ηηο πεπνηζήζεηο ηνπο κέζα απφ θαηαζηάζεηο αλαγθαηφηεηαο, νη νπνίεο επελδχνληαη κε δξακαηηθά ζηνηρεία. Η δεκηνπξγία ή ε παξνπζίαζε δξακαηηθψλ θαηαζηάζεσλ είλαη έλα ραξαθηεξηζηηθφ ην νπνίν δηαθξίλεη ηελ παξαδεηγκαηηθή απφ ηελ αθεγεκαηηθή ζθέςε. Ελψ ε πξψηε επηδηψθεη λα ηαμηλνκήζεη ηδηφηεηεο θαη ζρέζεηο, ε δεχηεξε επηλνεί ζθνπηκφηεηεο γηα ηηο ηδηφηεηεο θαη ηηο ζρέζεηο κεηαμχ πξνζψπσλ, γεγνλφησλ θαη θαηαζηάζεσλ. Σπλνςίδνληαο, ηφζν ε παξαδεηγκαηηθή φζν θαη ε αθεγεκαηηθή ζθέςε θαηέρνπλ ζεκειηψδεηο ξφινπο ζηελ παξαγσγή θαη ζηελ νξγάλσζε ηεο γλψζεο, επηθεληξψλνληαη φκσο ζε δηαθνξεηηθέο φςεηο ησλ δηαδηθαζηψλ απηψλ. Η παξαδεηγκαηηθή ζθέςε επηθεληξψλεηαη ζηα δεδνκέλα ζηνηρεία ελφο ζπζηήκαηνο θαη ζηηο κεηαμχ ηνπο ζρέζεηο, επηδηψθνληαο λα εληνπίζεη θαη λα δηαηππψζεη γεληθφηεηεο, νη νπνίεο ραξαθηεξίδνπλ ηα ζηνηρεία θαη ηηο ζρέζεηο απηέο, ελψ ε αθεγεκαηηθή ζθέςε εληνπίδεηαη ζηα ζπγθεθξηκέλα γεγνλφηα ζηα νπνία εκπιέθνληαη ηα ζηνηρεία ελφο ζπζηήκαηνο θαζψο ηα γεγνλφηα εμειίζζνληαη ρξνληθά, ζην ππφβαζξν ησλ γεγνλφησλ απηψλ θαη ζηηο ζπλάθεηεο ηνπο κε ηηο γλψζεηο ή ηηο κλήκεο ησλ αλαγλσζηψλ, ησλ αθξναηψλ ή ησλ ζεαηψλ ηεο αθήγεζεο. Απφ ηελ νπηηθή ηεο δηδαζθαιίαο θαη ηεο κάζεζεο, ηψξα ε έκθαζε ζηελ παξαδεηγκαηηθή ζθέςε αηηηνινγείηαη γηα εθείλα ηα είδε γλψζεο, ηα νπνία νξγαλψλνληαη κε άμνλα ηηο αξρέο θαη ηνπο θαλφλεο ηεο ινγηθήο, φπσο είλαη ηα καζεκαηηθά, αιιά φπσο επηζεκαίλεη ν 6

Μπξνχλεξ, ε έκθαζε απηή είλαη απνιχησο αλαπνηειεζκαηηθή φηαλ πξφθεηηαη γηα γλψζε ηνπ «ζπκβνιηθνχ θφζκνπ» (Bruner, 1991), κέξνο ηνπ νπνίνπ απνηεινχλ θαη ηα καζεκαηηθά. Επνκέλσο, κπνξεί λα δηαηππσζεί ν ηζρπξηζκφο, φηη ζηε ζπγθξφηεζε ηεο καζεκαηηθήο ζθέςεο θαη ζηε κάζεζε ηεο καζεκαηηθήο γλψζεο, ε αθεγεκαηηθή ζθέςε είλαη ζπκπιεξσκαηηθή ηεο παξαδεηγκαηηθήο ζθέςεο θαη ν ξφινο ηνπο εμίζνπ ζεκαληηθφο. Σηελ πξψηε ζρνιηθή ειηθία, κάιηζηα, ε αθήγεζε θαη ε αλάπηπμε ηεο αθεγεκαηηθήο ζθέςεο κπνξεί λα απνηειέζεη ηε βάζε γηα ηελ αλάπηπμε ηεο παξαδεηγκαηηθήο καζεκαηηθήο θαη επηζηεκνληθήο - ζθέςεο. Η μαθημαηική εκπαίδεςζη με άξονα ηην αθήγηζη Η αθήγεζε θαη ζηηο δχν φςεηο ηεο (σο παξαθνινχζεζε θαη θαηαλφεζε ηζηνξηψλ θαη σο θαηαζθεπή θαη παξνπζίαζε ηζηνξηψλ) κπνξεί λα απνηειέζεη ηνλ άμνλα ελφο πξνγξάκκαηνο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο ζην λεπηαγσγείν παξέρνληαο ζηα παηδηά ηελ λνεηηθή νξγαλσηηθή δνκή γηα ηελ αθνκνίσζε (κε ηνπο φξνπο ηεο ζεσξίαο ηνπ Πηαδέ) καζεκαηηθψλ εκπεηξηψλ θαη γλψζεσλ κέζα απφ ηε δεκηνπξγία ελφο πεξηβάιινληνο δηεξεπλεηηθήο κάζεζεο. Σε έλα ηέηνην καζεζηαθφ πεξηβάιινλ, ηα παηδηά ππνθηλνχληαη λα ζέηνπλ εξσηήζεηο, λα δηαηππψλνπλ ππνζέζεηο, λα ζπιιέγνπλ δεδνκέλα, λα ειέγρνπλ ηηο ππνζέζεηο κέζα απφ ηελ αλάιπζε ησλ δεδνκέλσλ θαη λα εμάγνπλ ζπκπεξάζκαηα. Σε έλα πεξηβάιινλ δηεξεπλεηηθήο κάζεζεο κε άμνλα ηελ αθήγεζε ηα παηδηά κπνξεί λα είλαη νη πξσηαγσληζηέο κηαο ηζηνξίαο, ε νπνία θαηαζθεπάδεηαη θαη εμειίζζεηαη κε ηε ζπκκεηνρή ηνπο θαη ε νπνία δνκείηαη ζηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ, ελψ θαηά ηελ εμέιημε ηεο ηζηνξίαο ηα παηδηά «αλαθαιχπηνπλ» ηα αλαγθαία ζηνηρεία γηα ηελ επηθχξσζε ή ηελ απφξξηςε ησλ ππνζέζεσλ ηνπο. Μηα ηέηνηα πξνζέγγηζε ζηελ εηζαγσγή ησλ καζεκαηηθψλ ζην λεπηαγσγείν νθείιεη λα πιεξνί ηξεηο πξνυπνζέζεηο: (1) Να εμαζθαιίδεη κηα ηζνξξνπία αλάκεζα ζηελ εμέιημε κηαο ηζηνξίαο, ε νπνία πξνθαιεί ην ελδηαθέξνλ θαη ηε ζπκκεηνρή ησλ παηδηψλ θαη ζηελ επίηεπμε ησλ δηδαθηηθψλ ζηφρσλ κέζα απφ ηελ ηζηνξία απηή. Τν πξψην είλαη αλαγθαίν γηα λα ππνθηλήζεη ηε κάζεζε θαη ην δεχηεξν είλαη απαξαίηεην γηα λα εμαζθαιίζεη ηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ηεο εθπαηδεπηηθήο δξαζηεξηφηεηαο. (2) Να εηζάγεη ή λα δεκηνπξγεί ηζηνξίεο, φρη κφλν θαηαλνεηέο απφ φια ηα παηδηά, αιιά ηζηνξίεο νη νπνίεο ζα παξέρνπλ δπλαηφηεηεο ζπκκεηνρήο ζηηο δξαζηεξηφηεηεο ηνπο ζε φια ηα παηδηά. (3) Η αθήγεζε κηαο ηζηνξίαο ζα πξέπεη λα βαζίδεηαη ζε κηα πξνζρεδηαζκέλε πινθή, ε νπνία φκσο ζα είλαη ηαπηφρξνλα επέιηθηε θαη δεθηηθή ηξνπνπνηήζεσλ αλάινγα κε ηελ εμέιημε 7

ηεο ζπκκεηνρήο ησλ παηδηψλ ζηελ αθήγεζε θαη ζηελ επίιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ηεο ηζηνξίαο. Η πξνζαξκνγή κηαο πξνθαηαζθεπαζκέλεο ηζηνξίαο ζηα, φρη απνιχησο πξνβιέςηκα, δεδνκέλα ηεο αθήγεζεο ηεο ηζηνξίαο επηβάιιεη ην ζρεδηαζκφ ηεο ζε δηαδνρηθά ηκήκαηα, ηα νπνία ζα επηηξέπνπλ ηελ θαηά πεξίπησζε ηξνπνπνίεζε ηεο. Καηά ηα ζρεδηαζκφ κηαο ηζηνξίαο ελδηαθέξεη πξσηίζησο ε ρξνληθή αιιεινπρία ησλ επεηζνδίσλ θαη απφ καζεκαηηθή άπνςε ην πεξηερφκελν θαη κέζνδνη επίιπζεο ησλ πξνβιεκάησλ, ελψ θαηά ηελ αθήγεζε ηεο νη πξάμεηο ησλ πξσηαγσληζηψλ ηεο ηζηνξίαο, ε ζπκκεηνρή ησλ παηδηψλ θαη βέβαηα νη καζεκαηηθέο εκπεηξίεο ηνπο. Εηζάγνληαο ηα καζεκαηηθά σο αθήγεζε ηζηνξηψλ κε θαηαζηάζεηο θαη ήξσεο, πνπ πξνθαινχλ ην ελδηαθέξνλ ηνπο, ππνθηλνχκε ηε ζπκκεηνρή ησλ παηδηψλ ζε ηξεηο ηχπνπο δξαζηεξηνηήησλ, δεκηνπξγψληαο αληίζηνηρεο θαηαζηάζεηο κάζεζεο: (1) Σηελ θαηαζθεπή ηεο ηζηνξίαο, κηα δξαζηεξηφηεηα ε νπνία εληζρχεη ηε δεκηνπξγία λνεκάησλ γηα ηνλ θφζκν ηεο πξαγκαηηθφηεηαο θαη απ ηελ νπηηθή πνπ εδψ ελδηαθέξεη ηε δεκηνπξγία καζεκαηηθψλ λνεκάησλ αλάγλσζεο, ρεηξηζκνχ θαη κεηαζρεκαηηζκνχ ζηνηρείσλ ηεο πξαγκαηηθφηεηαο. (2) Σηε δηεξεχλεζε θαηαζηάζεσλ, νη νπνίεο ζπλζέηνπλ ηελ αθεγνχκελε ηζηνξία, φπσο γηα παξάδεηγκα πνηεο κπνξεί λα είλαη νη ινγηθέο ζπλέπεηεο κηαο πξάμεο ελφο ήξσα ηεο ηζηνξίαο ζηηο δεδνκέλεο ζπλζήθεο θαη πνηεο ζα κπνξνχζαλ λα είλαη ππφ δηαθνξεηηθέο ζπλζήθεο ή πνηεο είλαη νη ζπλέπεηεο ησλ πξνζέζεσλ ελφο ήξσα ηεο ηζηνξίαο ζηηο πξάμεηο ηνπ θαη επνκέλσο ζηελ εμέιημε ηεο ηζηνξίαο. (3) Σηνλ αλαζηνραζκφ επεηζνδίσλ-πξνβιεκάησλ ηεο ηζηνξίαο θαη ζηελ λνεηηθή επεμεξγαζία ησλ αληίζηνηρσλ καζεκαηηθψλ γλψζεσλ. O Gerrig (1993) ζεκεηψλεη φηη ε αθήγεζε ηζηνξηψλ πξνζθέξεη ζηνπο αθξναηέο, ζηνπο αλαγλψζηεο ή ζηνπο ζεαηέο ηεο δχν ελδηαθέξνπζεο, απφ καζεζηαθή άπνςε, εκπεηξίεο. Πξψηνλ, ηνπο «κεηαθέξεη» ζε έλαλ δηαθνξεηηθφ απφ ηνλ παξφληα ρψξν θαη ζε έλαλ άιιν απφ ην ελεζηψηα ρξφλν κε έλαλ ηξφπν γνεηεπηηθφ, έηζη πνπ ε «κεηαθνξά» απηή λα γίλεηαη αιεζνθαλήο. Δεχηεξνλ ηνπο ππνθηλεί ηε «ζπκκεηνρή» ζηε δξάζε ηεο ηζηνξίαο, σο εάλ ε δξάζε απηή λα ήηαλ πξαγκαηηθή. Οη αθξναηέο, νη αλαγλψζηεο ή νη ζεαηέο «κεηέρνπλ» ζηελ ηζηνξία, λνεηηθά θαη ζπλαηζζεκαηηθά, κε ηξφπν αλάινγν ηεο ζπκκεηνρήο ησλ εζνπνηψλ ζε έλα ζεαηξηθφ έξγν. Ννεηηθά, κεηέρνληαο ζηελ εμέιημε ηεο ηζηνξίαο θαη ζπλαηζζεκαηηθά εθδειψλνληαο ηα αηζζήκαηα ηνπο θαηά ηελ εμέιημε ηεο. Οη εκπεηξίεο ηεο «κεηαθνξάο» κπνξεί λα αμηνπνηεζνχλ γηα ηε δεκηνπξγία 8

θηλήηξσλ γηα κάζεζε θαη νη εκπεηξίεο ηεο «ζπκκεηνρήο» κπνξεί λα ζπκβάιινπλ ζηελ δεκηνπξγία θαηαζηάζεσλ δηεξεπλεηηθήο κάζεζεο ησλ καζεκαηηθψλ. Σπκπεξαζκαηηθά, ππφ ηνπο πξναλαθεξζέληεο φξνπο, έλα πξφγξακκα καζεκαηηθψλ κε άμνλα ηελ αθήγεζε ζα ζπκβάιεη θαζνξηζηηθά ζηελ δεκηνπξγία θηλήηξσλ γηα κάζεζε θαη ζηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο ζην λεπηαγσγείν. Με ην πιενλέθηεκα, κάιηζηα, φηη ζα κεηαζέζεη ην επίθεληξν ηνπ ελδηαθέξνληνο γηα ηα καζεκαηηθά απφ ηελ αιγνξηζκηθή ηνπο φςε, ε νπνία ηνλίδεη ηελ εθηέιεζε πξάμεσλ ζηελ αλαιπηηθή ηνπο φςε ε νπνία πξνζαλαηνιίδεη ζηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ, ηα νπνία πξνέξρνληαη απφ, ή αλαθέξνληαη ζε θαηαζηάζεηο ηεο πξαγκαηηθφηεηαο. «Η θαηαζθεπή ηζηνξηψλ ζην κπαιφ καο (ή ε εμηζηφξεζε φπσο ζπρλά απνθαιείηαη)είλαη έλα απφ πην ζεκειηψδε κέζα θαηαζθεπήο λνεκάησλ είλαη κηα δξαζηεξηφηεηα ε νπνία δηαπνηίδεη φιεο ηηο φςεηο ηεο κάζεζεο Μέζα απφ ηελ αληαιιαγή ηζηνξηψλ νη δάζθαινη θαη νη καζεηέο κπνξνχλ λα κνηξαζηνχλ ηηο δηθέο ηνπο θαηαλνήζεηο ελφο ζέκαηνο θαη λα ζπγθιίλνπλ ζηηο λνεηηθέο ηνπο αλαπαξαζηάζεηο ηνπ θφζκνπ. Μ απηή ηελ έλλνηα νη ηζηνξίεο θαη νη αθεγήζεηο ηνπο έρνπλ ζέζε ζε φια ηα καζήκαηα ηνπ αλαιπηηθνχ πξνγξάκκαηνο (Mandler 1984, ζ.. 194). Χσξίο λα εμαηξνχληαη ηα καζεκαηηθά. Ένα παπάδειγμα μαθημαηικών αθηγημάηων Αθεγήκαηα ηα νπνία κπνξεί λα απνηειέζνπλ βάζε γηα ηελ εηζαγσγή ησλ καζεκαηηθψλ ζην λεπηαγσγείν, λα ρξεζηκνπνηεζνχλ δειαδή σο κήηξεο αλάπηπμεο θαηαζηάζεσλ δηεξεπλεηηθήο κάζεζεο καζεκαηηθψλ ελλνηψλ, ππάξρνπλ ειάρηζηα ζηελ ειιεληθή βηβιηνγξαθία, ζε αληίζεζε κε ηελ μελφγισζζε βηβιηνγξαθία εθπαηδεπηηθψλ καζεκαηηθψλ ηζηνξηψλ θαη απηφ ζπληζηά κηα δπζθνιία εθαξκνγήο ηεο άπνςεο πνπ εθηέζεθε πξνεγνχκελα, αθνχ ζα πξέπεη λα επηλνεζνχλ νη θαηάιιειεο ηζηνξίεο θαη απφ καζεκαηηθή θαη απφ εθπαηδεπηηθή άπνςε. Τα αθεγήκαηα ηνπ Τζηψηζνπ «Ιζηνξίεο κε 4 πξάμεηο» θαη «Επηπεδία: Αθεγήκαηα ζε δχν δηαζηάζεηο» απνηεινχλ ραξαθηεξηζηηθά παξαδείγκαηα ηζηνξηψλ, νη νπνίεο θαηάιιεια νξγαλσκέλεο θαη ελδερνκέλσο ηξνπνπνηεκέλεο κπνξεί λα εηζάγνπλ ηα παηδηά ηνπ λεπηαγσγείνπ ζηηο έλλνηεο ησλ αξηζκεηηθψλ πξάμεσλ ην πξψην θαη ζηα ραξαθηεξηζηηθά ησλ επίπεδσλ γεσκεηξηθψλ ζρεκάησλ ην δεχηεξν. Σηελ «Επηπεδία» ηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα είλαη αλζξσπνκνξθηθά θαη νη ηδηφηεηεο ησλ ραξαθηήξσλ-ζρεκάησλ γίλνληαη νξγαληθφ κέξνο ηεο πινθήο ησλ ηζηνξηψλ, κε ηέηνην ηξφπν ψζηε νη καζεκαηηθέο ηδηφηεηεο ησλ γεσκεηξηθψλ ζρεκάησλ πνπ είλαη ηαπηφρξνλα θαη 9

ζηνηρεία ησλ δξψλησλ πξνζψπσλ λα δεκηνπξγνχλ ειηγκνχο ζηελ πινθή θαη λα θαηεπζχλνπλ απνθαζηζηηθά ηε δξακαηηθή έληαζε ησλ ηζηνξηψλ. Τα αθεγήκαηα έρνπλ ηε κνξθή ηζηνξηψλ αζηπλνκηθνχ κπζηεξίνπ, νη νπνίεο απαηηνχλ ηελ επίιπζε πξνβιεκάησλ. Γηα παξάδεηγκα φηαλ αλαδεηείηαη ν δηαξξήθηεο πνπ έθιεςε ηε ζπάληα ζπιινγή ησλ ηφμσλ ηνπ Γεξάζηκνπ Χνξδσηνχ (ελφο πινχζηνπ θαη εθθεληξηθνχ θχθινπ), ν ππαζηπλφκνο Τξίραο (έλα νμπγψλην ηξίγσλν κε ηεηξάγσλε ινγηθή) καδί κε ην βνεζφ ηνπ ηνλ Αγεζίιαν (έλα νξζνγψλην ηξίγσλν πνπ πξνζπαζεί θηιφηηκα λα νμχλεη ην πλεχκα θαη ηηο γσλίεο ηνπ) αλαθαιχπηνπλ ζηνλ ηφπν ηεο δηάξξεμεο απνηππψκαηα κηαο γσλίαο 75 ν. Τα παηδηά θαινχληαη ζπλερίδνληαο ηελ αλάγλσζε ηνπ αθεγήκαηνο λα απνθιείζνπλ απφ ηα βαζηθά ηεηξάπιεπξα ζρήκαηα (απιφ ηεηξάπιεπξν, ηξαπέδην, ηζνζθειέο ηξαπέδην, πιάγην παξαιιειφγξακκν, ξφκβν, νξζνγψλην παξαιιειφγξακκν θαη ηεηξάγσλν) ηνπο «χπνπηνπο» εθείλνπο νη νπνίνη δε ζα κπνξνχζαλ λα έρνπλ ζην πεξίγξακκά ηνπο έζησ θαη κία γσλία 75 ν. Σηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε, ην νξζνγψλην παξαιιειφγξακκν θαη ην ηεηξάγσλν. Απφ θεη θαη πέξα, νη έξεπλεο, νη νπνίεο ζηελ αθήγεζε είλαη αζηπλνκηθέο, εληνπίδνληαη ζε πξφζζεηα ραξαθηεξηζηηθά ηα νπνία ζα κπνξνχζαλ λα κεηψζνπλ ηνλ αξηζκφ ησλ ππφπησλ κέρξη ηελ απνθάιπςε (θαη ηε ζχιιεςε) ηνπ πξαγκαηηθνχ έλνρνπ. Μέρξη λα ζπκβεί απηφ, ηα ραξαθηεξηζηηθά ησλ ηεηξάπιεπξσλ γεσκεηξηθψλ ζρεκάησλ είλαη δηαξθψο παξφληα ζηελ εμέιημε ηεο ηζηνξίαο θαη έρνληαο νξγαληθή ζεκαζία γηα ηε ξνή ηεο αθήγεζεο, απνθηνχλ κηα ηδηαίηεξε ζεκαζία θαη γηα ηνλ αθξναηή ή αλαγλψζηε (Τζηψηζνο, 2008). Σην πιαίζην ελφο ηέηνηνπ αθεγήκαηνο, ηα παηδηά κπνξνχλ λα ζπλζέζνπλ θαη λα εληάμνπλ ηηο δηθέο ηνπο ηζηνξίεο, ηνπο δηθνχο ηνπο ραξαθηήξεο-γεσκεηξηθά ζρήκαηα, ηηο δηθέο ηνπο ππνζέζεηο θαη ηα δηθά ηνπο γεσκεηξηθά πξνβιήκαηα θαη ζπκπεξάζκαηα θαη ηέηνηα αθεγήκαηα κπνξνχλ λα ζπλζέζνπλ ηνλ άμνλα ηεο εηζαγσγήο ησλ καζεκαηηθψλ ζην λεπηαγσγείν, ζχκθσλα κε ηελ πξφηαζε ε νπνία ππνζηεξίδεηαη ζην παξφλ θείκελν. Βιβλιογπαθικέρ αναθοπέρ Bruner, J. S., Actual minds, possible worlds. Harvard University Press, Cambridge, MA., 1986. Bruner, J. S., The narrative construction of reality, Critical Inquiry, 18(1), 1 21, 1991. Bruner, J., Ππάξειρ νοήμαηορ, Ειιεληθά Γξάκκαηα, Αζήλα, 1997. Bruner, J. S., Ο πολιηιζμόρ ηηρ εκπαίδεςζηρ, Ειιεληθά Γξάκκαηα, Αζήλα, 2007. Gerrig, R., Experiencing Narrative Worlds: On the Psychological Activities of Reading, Yale University Press, New Haven, 1993. 10

Mandler, J., Stories, Scripts, and Scenes: Aspects of Schema Theory, Erlbaum, Hillsdale, NJ., 1984. Popper K., Objective Knowledge: An Evolutionary Approach, Clarendon Press, Oxford, 1972. Popper K., Conjectures and Refutations: The Growth of Scientific Knowledge, Routledge and Kegan Paul, London, 1963. Sinclair N., Healy, L. and Sales C. O. R., Time for telling stories: narrative thinking with dynamic geometry, ZDM Mathematics Education, 41, 2009, 441 452. Solomon, Y., & O Neill, J., Mathematics and narrative, Language and Education, 2(3), 1998, 210 221. Τζηψηζνο Ν., Επιπεδία: Αθηγήμαηα ζε δύο διαζηάζειρ, Κέδξνο, Αζήλα, 2003. Τζηψηζνο Ν., Ιζηοπίερ με 4 ππάξειρ, Κέδξνο, Αζήλα, 2005. Τζηψηζνο Ν., Μποπεί ένα αθηγημαηικό βιβλίο να είναι μαθημαηικό; Πποζεγγίζειρ ηων μαθημαηικών ηος Δημοηικού ζσολείος μέζα από βιβλία με ιζηοπίερ. Σην Δ. Χαζάπεο (επηκ.), Το βιβλίο ζηη διδαζκαλία ηων μαθημαηικών, Θεζζαινλίθε: Οκάδα Έξεπλαο ηεο Μαζεκαηηθήο Εθπαίδεπζεο, 2008, 55-76. 11